TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SP TOÁN - TIN KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học Đồng Tháp, năm 2014 i TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SP TOÁN - TIN KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học Sinh viên thực hiện: Lê Thị Ngọc Thảo Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Dũng Đồng Tháp, năm 2014 ii MỤC LỤC Mở đầu 1 1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Tổng quan về đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 Kế hoạch nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric 10 2.1 Không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . 13 Kết luận và kiến nghị 25 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Đồng Tháp, ngày 19 tháng 4 năm 2014 Tác giả Lê Thị Ngọc Thảo 1 MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài Nghiên cứu mở rộng không gian mêtric là một vấn đề được nhiều tác giả quan tâm và đã đạt được những kết quả phong phú. Năm 1965, V. S. Gahler [7] đã giới thiệu khái niệm 2-mêtric như là sự tổng quát diện tích của tam giác trong mặt phẳng, mở rộng khái niệm không gian mêtric thành không gian 2-mêtric. Một số tác giả khác đã chứng minh được rằng 2-mêtric là hàm không liên tục trong khi mêtric là một hàm liên tục. Vào năm 1992, S. G. Matthews [14] đã đưa ra khái niệm mêtric riêng phần bằng cách cho khoảng cách giữa x và x khác 0. Năm 2006, Z. Mustafa và B. Sims [15] đã giới thiệu khái niệm về không gian G-mêtric như là một sự mở rộng khác của không gian mêtric. Năm 2007, bằng cách thay R trong định nghĩa mêtric bằng một không gian Banach, L. G. Huang và X. Zhang [11] đã giới thiệu khái niệm mêtric nón. Năm 2012, S. Sedghi và các cộng sự [18] giới thiệu khái niệm không gian S-mêtric như là một sự suy rộng mới của không gian mêtric. Những không gian này đã được nghiên cứu ở Trường Đại học Đồng Tháp, xem [1], [2], [8], [10], [16], [17], [19]. Năm 2010, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu một loại không gian mới, đó là không gian kiểu-mêtric. Hướng nghiên cứu về tính chất của không gian kiểu-mêtric và những tương tự của nó đã được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Gần đây, N. V. Dung và các cộng sự [3], [4] đã chứng minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric; mở rộng định lí điểm bất động cho hai ánh xạ trong không gian kiểu-mêtric. Trong tài liệu [12], M. Jovanovic và các cộng sự đã chứng minh một số kết quả cho điểm bất 2 động chung của không gian kiểu-mêtric. Định lí điểm bất động trong không gian kiểu-mêtric còn được nghiên cứu trong tài liệu [9]. Tính chất của không gian kiểu-mêtric đã được các tác giả sử dụng trong các công trình trên. Tuy nhiên, những tính chất này được trình bày rời rạc, dưới dạng cô đọng và chưa mang tính hệ thống. Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát một số tính chất của không gian kiểu-mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2 Tổng quan về đề tài Năm 2010, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu định nghĩa không gian kiểu-mêtric như sau. Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1 và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X. (1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. (2) D(x, y) = D(y, x). (3) D(x, y) ≤ K  D(x, z) + D(z, y)  . Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là một không gian kiểu-mêtric. Tiếp theo, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu khái niệm hội tụ, dãy Cauchy và đầy đủ trong không gian kiểu-mêtric như sau. Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric. (1) Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim n→∞ D (x n , x) = 0, kí hiệu là lim n→∞ x n = x. (2) Dãy {x n } được gọi là một dãy Cauchy nếu lim m,n→∞ D (x m , x n ) = 0. (3) Không gian kiểu-mêtric (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X là một dãy hội tụ trong X. Gần đây, N. V. Dung và các cộng sự [3] đã đưa ra nhận xét về không gian kiểu-mêtric như sau. (1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian kiểu-mêtric (X, d, 1) 3 và ngược lại. (2) Nếu (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric thì (X, D, K  ) cũng là một không gian kiểu-mêtric với mọi K  ≥ K. Trong khóa luận này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 3 Mục tiêu nghiên cứu - Hệ thống, thiết lập và chứng minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. - Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric trong chuyên ngành hẹp Tôpô đại cương. 5 Nội dung nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpô được sử dụng trong khóa luận. Chương 2: Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản của không gian kiểu-mêtric. Sau đó, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric và xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 4 6 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, hệ thống những kết quả, bằng cách tương tự những kết quả đã có đề xuất kết quả mới. Mô tả phương pháp: Sinh viên nghiên cứu tài liệu, nắm vững những kết quả đã có, sau đó trình bày trước nhóm thảo luận. Cùng với sự hướng dẫn của giảng viên, sinh viên đề xuất kết quả và chứng minh. 7 Kế hoạch nghiên cứu Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian thực hiện Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. - Hệ thống những khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpô. - Tổ chức thảo luận nhóm, kiểm tra kết quả. Từ 12/2013 đến 1/2014 Chương 2. Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. - Hệ thống những kiến thức cơ bản của không gian kiểu-mêtric. - Thiết lập, chứng minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric và xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. - Tổ chức thảo luận nhóm, kiểm tra kết quả. Từ 1/2014 đến 3/2014 5 Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian thực hiện - Trình bày kết quả trước nhóm nghiên cứu, bộ môn. - Hướng dẫn sinh viên chỉnh sửa các ý kiến đóng góp. Tháng 4/2014 - Hoàn thành khóa luận. - Kiểm tra khóa luận. Tháng 5/2014 6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric Từ khoảng cách giữa hai điểm trong không gian R 2 hoặc R 3 , khái niệm khoảng cách đã được mở rộng thành khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian R n và rộng hơn là khoảng cách của hai phần tử trong tập hợp bất kì. Hàm khoảng cách cùng với tập hợp đó trở thành một không gian, được gọi là một không gian mêtric. 1.1.1 Định nghĩa ([5], trang 24). Cho X là một tập tùy ý khác rỗng và hàm d : X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X. (1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. (2) d(x, y) = d(y, x). (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không gian mêtric. Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường kí hiệu vắn tắt không gian mêtric (X, d) là X. Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian mêtric. 1.1.2 Ví dụ ([5], trang 25). Giả sử M là tập con khác rỗng của tập số thực R. Đặt d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ M. Khi đó, d là một mêtric và được gọi là mêtric thông thường trên M. [...]... + D(z, y) Vậy D là một kiểu- mêtric trên X với K = 2 Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số nhận xét về không gian kiểu- mêtric 2.1.4 Nhận xét ([3], Remark 1.3) (1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian kiểu- mêtric (X, d, 1) và ngược lại (2) Nếu (X, D, K) là một không gian kiểu- mêtric thì (X, D, K ) cũng là một không gian kiểu- mêtric với mọi K ≥ K Tương tự như trong không gian mêtric, chúng ta... con của X mà mỗi tập được biểu diễn dưới dạng hợp của một họ con của B Khi đó, họ O là một tôpô trên X và họ B là một cơ sở của không gian tôpô (X, O) Tôpô O được gọi là tôpô sinh bởi họ B Kí hiệu T2 là tôpô sinh bởi họ C = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0} Ta đã biết trong không gian mêtric thì T1 = T2 Mối quan hệ giữa T1 và T2 trong không gian kiểu- mêtric sẽ được tìm hiểu trong mục tiếp theo 2.2 Một số tính. .. cho f (U ) ⊂ V (2) f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X 10 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC 2.1 Không gian kiểu- mêtric Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của không gian kiểu- mêtric 2.1.1 Định nghĩa ([13], Definition 6) Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1 và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X (1)... là một kiểu- mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là một không gian kiểu- mêtric Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian kiểu- mêtric 2.1.2 Ví dụ ([13], Example 1) Cho X là tập các hàm f trên C[0, 1] sao cho 1 |f (x)|2 dx < ∞ 0 1 |f (x) − g(x)|2 dx với mọi f, g ∈ X Khi đó, (X, D, 2) là một Đặt D(f, g) = 0 không gian kiểu- mêtric 11 Chứng minh Để chứng minh (X, D, 2) là một không gian kiểu- mêtric,... ) là một kiểu- mêtric trên X × Y với K = max {K1 , K2 } Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất trong không gian kiểu- mêtric tích 2.2.5 Mệnh đề Cho (X1 , D1 , K1 ), (X2 , D2 , K2 ) là hai không gian kiểu- mêtric và kiểu- mêtric tích được xác định như trong Mệnh đề 2.2.4 (1) Khi đó sự hội tụ trong không gian tích X1 × X2 tương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nghĩa là lim (xn , yn ) = (x, y) trong. .. D(x, y) 2 4 4 Do đó, D không là một mêtric trên X 25 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận Khóa luận đã đạt được những kết quả sau (1) Chi tiết hóa những ví dụ của không gian kiểu- mêtric: Ví dụ 2.1.2, Ví dụ 2.2.6 (2) Đề xuất và chứng minh một số tính chất của không gian kiểu- mêtric: Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5 2 Kiến nghị Khóa luận có thể được phát triển theo... 13 2.1.6 Nhận xét Trong không gian kiểu- mêtric, tôpô T1 được hiểu là tôpô cảm sinh bởi sự hội tụ của nó Điều này có nghĩa là tập A mở trong không gian kiểu- mêtric khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A, lim xn = x, tồn tại n0 sao cho n→∞ xn ∈ A với mọi n ≥ n0 Tiếp theo, chúng tôi trình bày một tôpô khác trên không gian kiểu- mêtric Trước hết, chúng tôi định nghĩa hình cầu mở trong không gian kiểu- mêtric như sau... Cauchy trong X là một dãy hội tụ trong X 1.2 Không gian tôpô Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa ([5], trang 92) Cho X là một tập khác rỗng và một họ T các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau (1) ∅ ∈ T , X ∈ T 8 (2) Nếu (Gα )α∈I là một họ những phần tử của T thì Gα ∈ T α∈I (3) Nếu G1 , G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T Khi đó, T được gọi là một. .. 0 Vậy d là một mêtric trên X Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm trong không gian mêtric 1.1.4 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) là một không gian mêtric (1) Dãy {xn } trong X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim d(xn , x) = 0, n→∞ kí hiệu là lim xn = x n→∞ (2) Dãy {xn } trong X được gọi là một dãy Cauchy nếu lim d(xm , xn ) = 0 m,n→∞ (3) Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric... Cauchy và tính đầy đủ trong không gian kiểu- mêtric 2.1.5 Định nghĩa ([13], Definition 7) Cho (X, D, K) là một không gian kiểu- mêtric (1) Dãy {xn } được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim D (xn , x) = 0, kí hiệu là n→∞ lim xn = x n→∞ (2) Dãy {xn } được gọi là một dãy Cauchy nếu lim D (xm , xn ) = 0 m,n→∞ (3) Không gian kiểu- mêtric (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X là một dãy hội tụ trong