M CL C M ð U .0 Lí ch n đ tài khố lu n 2 M c tiêu khoá lu n Nhiêm v nghiên c u Phương pháp nghiên c u ð i tư ng ph m vi nghiên c u Ý nghĩa khoa h c B c c c a khóa lu n CHƯƠNG 1: KI N TH C CƠ S .5 1.1 Tích phân b i 1.1.1 Tích phân hai l p 1.1.2 Tích phân ba l p 11 1.2 Tích phân đư ng 18 1.2.1 Tích phân ñư ng lo i m t 18 1.2.2 Tích phân đư ng lo i hai 19 1.3 Tích phân m t 21 1.3.1 Tích phân m t lo i m t 21 1.3.2 Tích phân m t lo i hai 22 CHƯƠNG 2: M I LIÊN H GI A TÍCH PHÂN B I - TÍCH PHÂN ðƯ NG - TÍCH PHÂN M T 26 2.1 M i liên h gi a tích phân b i tích phân ñư ng 26 2.1.1 Công th c Green 26 2.1.2 Ví d minh ho 28 2.2 M i liên h gi a tích phân đư ng tích phân m t 2.2.1 Cơng th c Stokes 35 2.2.2 M t s ví d minh ho 38 2.3 M i liên h gi a tích phân m t tích phân b i 42 2.3.1 Công th c Ostrogradski 42 2.3.2 Ví d minh ho 43 CHƯƠNG 3: BÀI T P ÁP D NG 46 3.1 Bài t p có l i gi i 46 3.2 Bài t p ñ ngh 55 K T LU N 58 TÀI LI U THAM KH O 62 M ð U Lí ch n đ tài khố lu n Tích phân m t khái ni m tốn h c mà v i ngh ch đ o c a (vi phân) đóng vai trị hai phép tính b n ch ch t gi i tích Các khái ni m tích phân b i ñ u d a sơ ñ vi phân (tính y u t vi phân r i l y t ng) Tích phân đư ng tích phân m t s m r ng c a tích phân b i hai phương di n: l y tích phân cung cong thay cho đo n th ng, tính tích phân m t cong thay cho mi n ph ng Chính th , ý nghĩa th c t c a tích phân ñư ng tích phân m t r t l n H u h t toán k thu t liên quan ñ n trư ng vectơ ñ u liên quan đ n tích phân đư ng tích phân m t như: tính cơng c a l c, tính thơng lư ng c a trư ng … Tuy nhiên, q trình h c khơng sinh viên g p khó khăn vi c tính tích phân Do đó, vi c đưa tích phân v tích phân đơn gi n tìm hi u m i liên h gi a chúng đư c nhà tốn h c Sofia Kovalevskaia (1850 – 1891) - nhà n toán h c ngư i Nga Georiel Gabriel Stokes (1819 – 1903) - nhà toán h c ngư i Ireland quan tâm; đư c th hi n rõ nét ba đ nh lí: ð nh lí Green, đ nh lí Stokes đ nh lí Ostrogradski V i lí v i s đam mê nghiên c u gi i tích c n c a b n thân, em ñã quy t ñ nh nghiên c u “M i liên h gi a tích phân ñư ng – tích phân m t – tích phân b i” đ làm khố lu n t t nghi p M c tiêu khoá lu n Làm rõ m i quan h gi a ba lo i tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t thơng qua vi c phân tích, h th ng ví d minh ho h th ng t p áp d ng Nhiêm v nghiên c u - Nghiên c u ki n th c b n v tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t - Nghiên c u m i liên h gi a ba lo i tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t - ðưa h th ng ví d t p đ làm rõ m i liên h tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t Phương pháp nghiên c u Phương pháp nghiên c u lý lu n: ð c nghiên c u tài li u, giáo trình có liên quan đ n tích phân đư ng, tích phân m t, tích phân b i, đ nh lý, cơng th c Green, Ostrogradski Stokes áp d ng vào m t s ví d c th Phương pháp t ng k t kinh nghi m: T vi c nghiên c u lý lu n, tác gi h th ng l i ki n th c ñã nghiên c u ð i tư ng ph m vi nghiên c u ð i tư ng nghiên c u: Tích phân đư ng, tích phân m t, tích phân b i Ph m vi nghiên c u: M i liên h th ng gi a ba lo i tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t Ý nghĩa khoa h c Khóa lu n đư c hồn thành có th tài li u tham kh o t t cho gi ng viên sinh viên ngành Tốn, đ c bi t sinh viên năm th ñ i h c B c c c a khóa lu n Ngồi ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o, khóa lu n đư c chia thành chương: Chương 1: Ki n th c s Chương 2: M i liên h gi a tích phân b i – tích phân đư ng – tích phân m t Chương 3: Bài t p áp d ng CHƯƠNG 1: KI N TH C CƠ S Trong chương 1, khố lu n trình bày ki n th c s liên quan v tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t: ð nh nghĩa, cách tính, … Các ki n th c chương đư c trích t tài li u [1], [3] 1.1 Tích phân b i 1.1.1 Tích phân hai l p a) ð nh nghĩa Cho hàm s z = f ( x, y ) , xác ñ nh D mi n gi i n i, có di n tích Chia D thành n m nh nh không d m lên (không giao nhau, ph n chung ch có th ph n biên c a m i m nh) G i m nh nh ( ∆S1 ) ,…, ( ∆Sn ) di n tích tương ng c a chúng ∆S1 ,…, ∆Sn Trên m i m nh ( ∆Si ) l y ñi m Mi tuỳ ý: Mi ( x i , yi ) ∈ ( ∆Si ) n L p t ng I n = ∑ f ( x i , yi ) ∆Si (1.1) i =1 g i t ng tích phân c a hàm f ( x, y ) mi n D ng v i phép chia mi n D cách ch n ñi m M i ñã nêu G i d i ñư ng kính c a m nh ( ∆Si ) : d i = d ( ∆Si ) = Sup{MN : M, N ∈ ( ∆Si )} N u n → ∞ cho Max ( di ) → , I n d n ñ n gi i h n h u h n I, không ph thu c vào cách chia mi n D cách ch n m Mi ( ∆Si ) ta nói: - Hàm f ( x, y ) kh tích D; - I đư c g i tích phân hai l p c a hàm f ( x, y ) D, kí hi u ∫∫ f ( x, y ) dxdy ; D - D mi n l y tích phân; f ( x, y ) hàm dư i d u tích phân b) Cách tính tích phân hai l p to đ Descates ð nh lý 1.1 (Phubini) hình ch nh t Gi s f: ℝ → ℝ m t hàm kh tích hình ch nh t đóng ℝ = [ a, b ] x [ c, d ] a) N u v i m i x ∈ [ a, b ] , hàm s y ֏ f ( x, y ) kh tích [ c, d ] hàm s d φ [ x ] = ∫ f ( x, y ) dy kh tích [ a, b] c b d   f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx ∫∫ ℝ a c  b ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ φ ( x ) dx t c ℝ a (1.2) b) N u v i m i y ∈ [ c, d ] , hàm x ֏ f ( x, y ) kh tích [ a, b ] hàm s v φ [ y] = ∫ f ( x, y ) dx kh tích [ c, d ] a d b   f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx dy ∫∫ ℝ c a  (1.3) ð c bi t n u f m t hàm s lien t c ℝ ta có đ ng th i hai đ ng th c (1.2) (1.3) (Tích phân π n = {∆x i × ∆yi } = [ x i -1 , x i ] × [ yi -1 , yi ] , n = 1, b d d  f ( x, y ) dy  dx thư ng ñư c vi t dư i d ng ∫ dx ∫ f ( x, y )dy g i tích ∫ ∫ a c  a c b phân l p) Ch ng minh: a) Gi s {π } m ' n t dãy chu n t c nh ng phép phân ho ch [ a, b] , π 'n : a = x < x1 < < x p = b n L y ñi m b t kỳ ξ i ∈ [ x i -1 , x i ] l p t ng tích phân pn ξ i =σ ( φ, π 'n , ξ1 , , ξ p ) = ∑ φ ( ξ i ) ∆x i n i =1 Ta ch ng minh lim σ n = ∫∫ f ( x, y ) dxdy n →∞ ℝ G i {π ''n } m t dãy chu n t c nh ng phép phân ho ch ño n [ c, d ] π ''n : c = y < y1 < < y q = d n Khi π n = {∆x i × ∆yi } = [ x i -1 , x i ] × [ yi -1 , yi ] , i = 1, , q n , j = 1, , q n , n = 1, m t dãy chu n t c nh ng phép phân ho ch hình ch nh t ℝ ð t mij =inf f ( x,y ) , M ij =supf ( x,y ) , ta có mij ≤ f ( x, y ) ≤ M ij v i ( x,y )∈∆x i ×∆y j ( x,y )∈∆xi ×∆y j m i ( x, y ) ∈ ∆x i × ∆y j ð c bi t mij ≤ f ( ξ i , y ) ≤ M ij v i m i y ∈ ∆y j yj Do mij∆y j ≤ ∫ f ( ξ , y )dy ≤ M ∆y , t i ij j c y j -1 d qn qn ∑ m ∆y ≤ ∫ f ( ξ , y )dy ≤ ∑ M ∆y ij j j=1 i ij T j , i =1, , p n j=1 c pn qn pn pn qn ∑∑ m ∆x ∆y ≤ ∑ φ ( ξ ) ∆x ≤ ∑∑ M ∆x ∆y , t ij i j i=1 j=1 i ij i=1 i j c i=1 j=1 s ( f, π n ) ≤ σ n ≤ S ( f, π n ) v i m i n, s ( f, π n ) S ( f, π n ) t ng ðácbu c a hàm s f ng v i phép phân ho ch π n hình ch nh t ℝ Vì f kh tích ℝ nên lims ( f, π n ) = limS ( f, π n ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy n →∞ n →∞ ℝ Do lim σ n = ∫∫ f ( x, y ) dxdy n →∞ ℝ b) Ch ng minh tương t * Mi n l y tích phân có d ng hình ch nh t ð nh lý 1.2 Cho D hình ch nh t: D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} d gi s f ( x, y ) hàm liên t c D Khi tích phân ∫ f ( x, y ) dy xác c d  ñ nh v i m i x ∈ [ a,b ] ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx D a c  b Cơng th c cho phép tính tích phân hai l p (c a hàm hai bi n) v trái thơng qua tích phân l p (hai l n tính tích phân, l n đ u theo bi n y, l n sau theo bi n x) v ph i ð cho g n ngư i ta hay vi t v ph i b d b d a c a c ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy (có tài li u vi t ∫∫ f ( x, y ) dydx ), cơng th c đư c vi t l i dư i d ng b d a c ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy D (1.4) Tương t đ i vai trị c a hai bi n, ta thu ñư c: d b ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx D c (1.5) a Trư ng h p hàm f ( x, y ) tích c a hai hàm liên t c, m t hàm ch ph thu c vào bi n x, m t hàm ch ph thu c vào bi n y: f ( x, y ) = h ( x ) k ( y ) Theo ñ nh lý 1.2 ta có: b  d  ∫∫ h ( x ).k ( y ) dxdy = ∫ dx ∫ ( h ( x ).k ( y ) ) dy =  ∫ h ( x )dx . ∫ k ( y ) dy  D a c a  c  b d * Mi n l y tích phân có d ng b t kỳ - N u D hình thang cong có đáy song song v i tr c Oy: D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y ( x )} , hàm y1 ( x ) , y ( x ) liên t c [a, b] , hàm f ( x, y ) liên t c D,  y2 ( x )  f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx ∫∫  D a y1 ( x ) a  y1 ( x )   b y2 ( x ) b (1.6) - N u D hình thang cong có đáy song song v i tr c Ox: D = {( x, y ) : c ≤ y ≤ d, x1 ( y ) ≤ x ≤ x ( y )} , hàm x1 ( y ) , x ( y ) liên t c 2π a πa I = ∫ dφ ∫ r dr = 0 Bài 3.6 Tính tích phân I = ∫ C xdy − ydx , C chu n đóng, khơng x + y2 t c t, khơng qua g c to đ , ch y theo hư ng ngư c chi u kim ñ ng h L i gi i: Ta xét hai trư ng h p a) C ñư ng cong đóng khơng bao quanh g c to đ Khi mi n b ch n D đư c gi i h n b i ñư ng cong C khơng ch a g c to đ Do hàm P ( x, y ) = − y x Q ( x, y ) = liên t c v i ñ o hàm x +y x + y2 riêng c p m t mi n đóng D = D ∪ C Áp d ng cơng th c Green ta có: I= ∫ C  ∂Q ∂P  xdy − ydx = ∫∫  −  dxdy = 2 x +y ∂x ∂y  D    y − x2 y2 − x  = ∫∫  − dxdy =  ( x + y ) ( x + y )2  D   b) ðư ng cong C vòng quanh g c to ñ Trong trư ng h p mi n D có ch a m g c to ñ , mà Q ( x, y ) = t i hàm P ( x, y ) = − y , x + y2 x khơng xác đ nh Vì v y khơng th áp d ng đư c cơng th c x + y2 Green Ta xét đư ng trịn C R tâm O(0, 0), bán kính R đ bé đ cho CR ñư c bao bên C, ký hi u D R mi n ñư c gi i h n b i ñư ng cong C C R , C0 =C ∪ CR biên c a mi n D R ñư c ñ nh hư ng dương cho theo hư ng mi n D R ln ln v phía bên trái Như v y C l y theo chi u ngư c kim đ ng h , cịn CR l y theo chi u thu n kim + ñ ng h , t c C0 =C+ ∪ C− (ký hi u C + : s l y chi u ngư c kim ñ ng h ) R R Áp d ng công th c Green D R ta có:  ∂Q ∂P  xdy − ydx = ∫∫  −  dxdy 2 x +y +  ∂x ∂y  DR C ∫  y2 − x y2 − x  = ∫∫  −  dxdy = x + y2  x +y DR Như v y: xdy − ydx xdy − ydx xdy − ydx =∫ +∫ =0 2 x +y x +y x + y2 + + − C C C ∫ R T đó: I= xdy − ydx xdy − ydx xdy − ydx =− ∫ =∫ 2 x +y x +y x + y2 + − + C C C ∫ R R Ch n tham s hoá x = Rcosφ , y = Rsinφ , ≤ π ≤ 2π , dx = − Rsinφdφ , dy = Rcosφdφ Ta có: ∫ C+ R xdy − ydx = x + y2 2π ∫ Rcosφ.Rcosφ − Rsinφ.( − Rsinφ ) dφ = 2π R2 V y C bao quanh g c to đ thì: I= ∫ C xdy − ydx = 2π x + y2 Áp d ng cơng th c Stokes B 3.7 Tính I = ∫ (y − z ) dx + ( z − x ) dy + ( x − y ) dz v i ( L ) giao ( L) n c a biên hình l p phương ≤ x ≤ a ; ≤ y ≤ a ; ≤ z ≤ a v i m t ph ng x+y+z= 3a , hư ng ñi ( L ) ngư c chi u kim đ ng h n u nhìn t phía z > L i gi i: Ta có: P = y − z ⇒ Py' = 2y;Pz' = −2z Q = z − x ⇒ Q'z = 2z;Q'x = −2x R = x − y ⇒ R 'x = 2x;R 'y = −2y ⇒ I = − ∫∫ ( y + z ) dydz + ( z + x ) dzdx + ( x + y ) dxdy ( S) (S) mi n ph ng x + y + z = 3a gi i h n b i ñư ng ( L ) suy pháp vectơ góc nh n ⇒ cosα = cosβ = cosγ = ⇒ I = −2∫∫ ( x + y + z ) ( S) ds ds = −2∫∫ 3a = −6a ∫∫ dxdy 3 D (S ) V y I = − a3 Bài 3.8 Tính tích phân I = ∫ ydx +zdy +xdz , C đư ng trịn C x + y + z = a , x + y + z = , l y theo chi u kim đ ng h n u nhìn t phía dương c a tr c Ox L i gi i: L y S hình trịn tâm O(0, 0, 0) bán kính a, n m m t ph ng x + y + z = , nói cách khác S ti t di n hình trịn t o thành c t hình c u x + y + z = a b i m t ph ng x + y + z = Hư ng dương c a S ñư c xác ñ nh b i vectơ pháp n n = ( cosα, cosβ, cosγ ) ch n phù h p v i hư ng dương c a C Như v y n s h p v i tr c Ox, Oy, Oz nh ng góc nh n Áp d ng công th c Stokes v i P = y, Q = z, R = x, ta có: I= ∫ ydx + zdy + xdz = ∫∫ −dxdy − dydz − dzdx C S = − ∫∫ dxdy + dydz + dzdx S Do tính đ i x ng c a x, y, z nên I = −3∫∫ dxdy = −3∫∫ cosγds S cosγ = S 1 = , đó: 1+1+1 I = −3∫∫ S ds = − 3πa (v i di n tích c a hình trịn S πa ) Áp d ng cơng th c Ostrogradski đ tích th tích b ng tích phân m t Bài 3.9 Tính tích phân I = ∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy , ( S) phía (S ) ngồi c a m t c u x + y + z = a L i gi i: Áp d ng cơng th c Ostrogradski ta có: I = ∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy = 3∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz , ( Ω ) (S ) ( Ω) hình c u x + y + z ≤ a Do chuy n qua h to đ c u ta tính đư c: 2π π a 0 I = ∫ dφ ∫ sinθdθ ∫ r 4dr = 12 πa Bài 3.10 Tính I = ∫∫ x 2dydz − y 2dzdx + z 2dxdy v i ( S) m t phía ngồi: (S ) x + y + z = R (góc ph n th nh t) L i gi i: π  0 ≤ φ ≤  π  Chuy n sang to ñ c u: V = 0 ≤ θ ≤  0 ≤ τ ≤ R   πR ⇒ I = ∫∫∫ ( x − y + z ) dxdydz = (V) 4y   Bài 3.11 Tính tích phân I = ∫∫  z + 2x +  dS v i ( S) ph n m t ph ng  (S)  x y z + + = n m góc ph n tư th nh t L i gi i: Trên m t ph ng x y z + + = , ta có z = − 2x − y 4 61 Do p = −2 , q = − , dS = + p + q dxdy = dxdy 3 Hình chi u c a m t ( S) xu ng m t ph ng xOy mi n D gi i h n b i tr c Ox, Oy ñư ng th ng x y + = Mi n D ñư c xác ñ nh b i b t ñ ng 3 th c ≤ x ≤ , ≤ y ≤ x V y  ∫∫  z + 2x +  ( S) 4y  4  61  dxdy =  dS = ∫∫  − 2x − y + 2x + y   3  (D)  = 61 61 ∫∫ dxdy = 3 = 61 D Bài 3.12 Tính tích phân I = ∫∫ ydS v i ( S) ph n c a m t z = x + y , ( S) ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ L i gi i Trên m t z = x + y , ta có: p = , q = 2y , dS = + + 4y dxdy Hình chi u c a ( S) xu ng m t ph ng xOy hình ch nh t D xác ñ nh b i: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Do ñó: ∫∫ ydS = ∫∫ y ( S) 0 + 4y dxdy = ∫ dx ∫ 2y + 2y dy = ( D) 13 = (1 + 2y ) = 3 Bài 3.13 Tính tích phân I = ∫∫ ( y + z ) dS v i ( S) ph n c a m t (S ) parabôlôid x = − y − z n m m t ph ng x = L i gi i: Trên m t ( S) ta có: x = − y − z Do đó: x 'y = −2y , x 'z = −2z , dS = + ( y + z )dydz Hình chi u c a m t ( S) xu ng m t ph ng x = mi n ( D ) gi i h n b i đư ng trịn y + z = Do I = ∫∫ ( y + z ) dS = ∫∫ ( y + z ) + ( y + z )dydz (S ) (D) 2π 0 Chuy n sang t o ñ c c ta ñư c: I = ∫ dφ ∫ r + 4r rdr + 4r = u Ta có: + 4r = u ⇒ 4rdr = udu ð i bi n s 17 V y I = 2π ∫ = ( u − u ) du = 16 π  u5 u3   −  8 1 17 π π 782 17 + = 391 17 + 120 60 ( ) ( ) 3.2 Bài t p ñ ngh Áp d ng cơng th c Green tính tích phân sau: Bài Tính tích phân ∫ (x + y ) dx+ ( x − y ) dy , OABO ñư ng g p OABO khúc kín v i đ nh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) Bài Áp d ng công th c Green tính tích phân đư ng: I= ∫ ( x + y) dx − ( x + y ) dy , C đư ng g p khúc ABCA ch y C theo hư ng dương v i ñ nh A(1, 1), B(3, 2) C(2, 5) Bài Áp d ng công th c Green tính tích phân đư ng: x y2 I = ∫ ( x + y ) dx − ( x − y ) dy , C ñư ng ellipse + = l y theo a b C chi u ngư c kim ñ ng h Bài Tính tích phân I = ∫ e (1− cosy ) dx − ( y − siny ) dy  , C   x C ñư ng cong gi i h n mi n: P = {( x, y ) : ≤ x ≤ π, ≤ y ≤ sinx} l y theo hư ng dương Bài Tính tích phân I = e −( x − y2 ) cos2xydx + sin 2xydy  , C ( ) ∫   C đư ng trịn x + y = R l y theo chi u ngư c kim ñ ng h ∫ ( x + y) Bài So sánh hai tích phân: I1 = 2 dx − ( x − y ) dy AmB I2 = ∫ ( x + y) 2 dx − ( x − y ) dy , AmB đo n th ng n i hai ñi m AnB A(1, 1), B(2, 6), cịn AnB parabol có tr c song song v i tr c Oy, ñi qua ba ñi m A, B g c to ñ Áp d ng cơng th c Stokes tính tích phân: Bài ∫ ( y − z ) dx + ( z − x ) dy + ( x − y ) dz , C ellipse x + y2 = a , C x z + = (a >0, h >0) l y theo hư ng ngư c chi u kim ñ ng h n u nhìn t a h phía dương c a tr c Ox Bài ∫ (y + z ) dx + ( x + z ) dy + ( x − y ) dz , C đư ng trịn C x + y + z = 2Rx, x + y = 2rx, (0 < r < R), z > l y theo chi u dương cho ph n có di n tích bé nh t c a phía ngồi hình c u x + y + z = 2Rx ñư c gi i h n b i ñư ng cong C, ln ln n m v phía bên trái Bài ∫ (y − z ) dx + ( z − x ) dy + ( x − y ) dz , C giao n c a C m t ph ng x + y + z = a v i m t c a hình h p ≤ x ≤ a , ≤ y ≤ a , ≤ z ≤ a , l y theo chi u ngư c kim ñ ng h n u nhìn t phía dương c a tr c Ox Bài 10 I = ∫ ( y − z ) dx + ( z − x ) dy + ( x − y ) dz ( L ) elip x + y = ; ( L) x + z = có hư ng ngư c chi u kim đ ng h n u nhìn t ph n dương tr c Oz Bài 11 I = x 2 ∫ e dx + z ( x + y ) dy + yz dz (L) giao n c a m t ( L) z = x + y v i m t ph ng x = , x = , y = , y = Áp d ng cơng th c Ostrogradski tính tích phân: Bài 12 I = ∫∫ ( y − z ) dydz + ( z − x ) dzdx + ( x − y ) dxdy , ñó ( S) ph n (S ) m t nón x + y = z ; ≤ z ≤ h Bài 13 I = ∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy , ( S) m t c u (S ) x + y2 + z2 = x Bài 14 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , ñó ( S) m t elipxoid: (S ) x y2 z2 + + = a b2 c2 Bài 15 ∫∫ x dydz +y dzdx +z dxdy , S phía ngồi m t c u 3 S x + y2 + z2 = a Bài 16 ∫∫ ( x − y +z ) dydz + ( y − z +x ) dzdx + ( z − x +y ) dxdy , S phía S ngồi c a m t: x − y +z + y − z +x + z − x +y = Bài 17 ∫∫ ( x cosα + y cosβ + z cosγ ) ds , S 2 ph n c a m t nón S x + y = z , ( ≤ z ≤ h ) cosα , cosβ , cosγ cosin ñ nh hư ng c a pháp n ngồi c a m t nón Bài 18 ∫∫ x dydz +y dzdx +z dxdy , tích phân l 2 S c a m t nón z = x + y , ≤ z ≤ y theo phía PH L C Bài HD Cách 1: Vi t phương trình đo n OA, AB, OB sau tính tích phân t ng đo n đó, tích phân OABO t ng c a ba tích phân đo n OA, AB, OB Cách 2: Áp d ng cơng th c Green đ t P ( x, y ) = x + y , Q ( x, y ) = x − y tính bình thư ng ðáp s : Bài HD Bư c 1: G i D tam giác ABC m t ph ng Oxy, A(1, 1), B(3, 2) C(2, 5) Bư c 2: Vi t phương tình c nh AB, BC, CA Bư c 3: Áp d ng công th c Green ðáp s : − 140 x y2 Bài HD Bư c 1: Ký hi u D hình ellipse có biên + = a b Bư c 2: Áp d ng cơng th c Green đ i v i tích phân đư ng l y đư ng ellipse (C), theo chi u ngư c kim ñ ng h ðáp s : −2πab Bài HD Áp d ng công th c Green  ∂Q ∂P  ∫ Pdx+Qdy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy   C D ðáp s : − π ( e − 1) Bài HD Bư c 1: ð t P ( x, y ) = e ( − x − y2 )cos2xy , Q x, y = e−( x ( ) − y2 )sin2xy Bư c 2: Áp d ng công th c Green ðáp s : Bài HD Bư c 1: Vi t phương trình đư ng th ng AB Bư c 2: Phương trình t ng quát c a parabol có tr c th ng đ ng qua ba ñi m là: y = ax + bx +c Bư c 3: Áp d ng công th c Green (chú ý hi u I − I1 tích phân đư ng lo i hai l y theo chu n đóng AnBmA theo chi u dương) ðáp s : I − I1 = hay I =I1 + Bài HD Bư c 1: Ký hi u S thi t di n ellipse t o thành c t hình x + y ≤ a b i m t ph ng x z + = (a >0, h >0) a h Bư c 2: Áp d ng công th c Stokes ðáp s : I = −2πa ( a + h ) Bài HD Áp d ng công th c Stokes ðáp s : I = 2πRr Bài HD Bư c 1: G i to ñ c a hình l p phương O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), O’(0, 0, a), A’(a, 0, a), B’(a, a, a), C’(0, a, a) Bư c 2: Áp d ng công th c Stokes ðáp s : I = − a Bài 15 HD Bư c 1: Áp d ng công th c Ostrogradski Bư c 2: Chuy n qua h to ñ c u ðáp s : I = Bài 16 HD Bư c 1: Kí hi u V th tích gi i h n b i m t S: x − y +z + y − z +x + z − x +y = Bư c 2: Áp d ng công th c Ostrogradski ðáp s : I = Bài 17 HD Bư c 1: Ký hi u S1 m t tròn x + y ≤ h Bư c 2: Áp d ng công th c Ostrogradski Bư c 3: Chuy n qua to đ tr đ tính tích phân π ðáp s : I = − h Bài 18 HD I = ∫∫ x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy = ∫∫ ( x 2cosα + y 2cosβ +z 2cosγ ) ds S ðáp s : I = − S π 12 πa K T LU N Khóa lu n “ M i quan h gi a tích phân b i – tích phân đư ng – tích phân m t” hồn thành đ y ñ m c tiêu nhi m v ñã ñ thuy t minh Khóa lu n h th ng ki n th c s v tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t: ð nh nghĩa, cách tính … ð ng th i, khố lu n trình bày ba đ nh lý b n v m i liên h gi a tích phân b i, tích phân đư ng tích phân m t Bên c nh đó, chương c a khố lu n đưa phân tích 13 ví d c th v m i liên h gi a ba lo i tích phân; chương ñã xây d ng m t h th ng g m 31 t p áp d ng, ñó có 13 t p có l i gi i TÀI LI U THAM KH O [1] Tô Văn Ban (2012), Giáo trình gi i tích II, NXB Giáo d c Vi t Nam, Hà N i [2] Nguy n Th a H p (2007), Gi i tích t p III, NXB ð i h c Qu c gia Hà N i, Hà N i [3] Tr n ð c Long (2006), Giáo trình gi i tích t p 3, NXB ð i h c Qu c gia Hà N i, Hà N i [4] Tr n ð c Long (2005), Bài t p gi i tích t p III, Nhà xu t b n ð i h c qu c gia Hà [5] Tr n Công T n (2008), Bài t p gi i tích tốn h c 3, ðH Hùng Vương [6] Tr n Công T n (2009), Bài t p gi i tích tốn h c 2, ðH Hùng Vương [7] Vũ Tu n (1997), Tích phân tốn h c t p III, NXB Giáo d c, Hà N i ... i, tích phân đư ng, tích phân m t - Nghiên c u m i liên h gi a ba lo i tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t - ðưa h th ng ví d t p đ làm rõ m i liên h tích phân b i, tích phân. .. u ð i tư ng nghiên c u: Tích phân đư ng, tích phân m t, tích phân b i Ph m vi nghiên c u: M i liên h th ng gi a ba lo i tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t Ý nghĩa khoa h... i tích phân tích phân b i, tích phân đư ng, tích phân m t thơng qua vi c phân tích, h th ng ví d minh ho h th ng t p áp d ng 3 Nhiêm v nghiên c u - Nghiên c u ki n th c b n v tích phân tích phân