Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý MA TRẬN A. CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN: Bài 2.1. Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu: a. ðổi chỗ dòng i và dòng j của ma trận A. b. Nhân dòng j của ma trận A với số c rồi cộng vào dòng i của nó. c. ðổi chỗ cột i và cột j của ma trận B. d. Nhân cột j của ma trận B với số c rồi cộng vào cột i của nó. Bài 2.2. Ký hiệu A r x s là ma trận cấp r x s. Tìm m, n trong các trường hợp sau: a. A 3 x 4 B 4 x 5 = C m x n b. A 2 x 3 B m x n = C 2 x 6 c. A 2 x m B n x 3 = C 2 x 3 Bài 2.3. Cho các ma trận : A =         3 0 -1 2 1 1 , B =         1 5 2 -1 1 0 -4 1 3 , C =         -3 -1 2 1 4 3 , D =       4 -1 2 0 Tìm các ma trận sau (nếu tồn tại) A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D 2 . Bài 2.4. Cho các ma trận: A =       2 -1 3 0 1 2 , B =         -2 1 0 2 1 -1 , C =       1 1 0 1 a. Tính AB, ABC b. Tính (AB) 3 , C n với n ∈ N. c. Tìm ma trận chuyển vị của A. Bài 2.5. Cho các ma trận: A =         0 2 -1 1 1 -1 -2 -5 4 , B =         1 3 1 2 2 1 3 4 2 , C =         1 0 0 0 2 0 0 0 1 Tính: A.B, D = BCA, D 6 Bài 2.6 Cho X =         1 2 3 4 5 6 và Y =         -1 3 4 . Tìm XX t , X t X, YY t , Y t Y Bài 2.7. Cho ma trận A =         1 -2 2 -6 1 4 2 -2 3 . Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I 3 Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý Bài 2.8. Cho A =       -1 0 1 0 1 1 . Nếu B 3 x2 sao cho AB = I 2 thì : B =         a b -a-1 1 - b a + 1 b ∀ a, b ∈ R. Khi ñó, CmR: (BA) 2 B = B. Bài 2.9. Cho A =       4 -3 1 0 . CmR A n = 3 n - 1 2 A + 3 - 3 n 2 I 2 , với mọi n ≥ 1, n ∈ N B. HẠNG CỦA MA TRẬN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Bài 2.9 Tìm dạng bậc thang dòng rút gọn của ma trận: a.         3 21 0 9 0 1 7 -1 -2 -1 2 14 0 6 1 6 42 -1 13 0 b.         1 1 0 -3 -1 1 -1 2 -1 0 4 -2 6 3 -4 2 4 -2 -4 -7 Bài 2.10 Tìm hạng của ma trận: a.         1 0 -2 -4 -1 5 1 3 7 5 0 -10 b.         1 -3 4 2 2 1 1 4 -1 -2 1 -2 c.         1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 d.       1 2 3 4 2 4 6 8 -1 3 -3 6 0 1 0 2 5 10 15 20 e.         0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 4 17 3 f.         1 2 0 3 0 -1 2 7 1 0 0 -5 0 1 0 2 Bài 2.11 Tùy theo giá trị của m, tính hạng của ma trận sau: a.         -1 0 2 1 0 2 1 -1 2 2 1 1 1 3 2 -2 -1 1 m -2 b.         -1 2 1 -1 1 m -1 1 -1 -1 1 m 0 1 1 1 2 2 -1 1 c.         -1 2 1 -1 1 m -1 1 -1 -1 1 m 0 1 1 1 2 2 -1 1 d.         m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m e.         3 m 1 2 1 4 7 2 1 10 17 4 4 1 3 3 f.         -1 12 4 8 2 1 1 3 -2 24 8 16 m 3 1 2 Bài 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss - Jordan: a.      x 1 - x 2 + x 3 = -2 2x 1 + x 2 - 2x 3 = 6 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 b.      -x 1 + 2x 2 = 8 3x 1 + x 2 + x 3 = 2 -2x 1 - x 2 = 1 Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý c.      2x 1 - x 2 + 3x 3 - x 4 = -1 -x 1 + 2x 2 - x 3 + 3x 4 = 3 x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 d.      36.47x + 5.28y + 6.34z = 12.26 7.33x + 28.74y + 5.86z = 15.15 4.63x + 6.31y + 26.17z = 25.22 e.      2x 1 - 3x 2 - 4x 3 + 5x 4 = -13 4x 1 - 6x 2 + x 3 - x 4 = 14 6x 1 - 9x 2 + x 3 + 2x 4 = 13 2x 1 - 3x 2 - 2x 3 - 4x 4 = 9 f.      x 1 - 4x 2 + 3x 3 = -22 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 12 x 1 + 7x 2 + 2x 3 = 34 3x 1 - x 2 - 2x 3 = 0 g.      6x 1 - 5x 2 - 7x 3 + 8x 4 = 3 3x 1 + 11x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 14 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 0 h.    x + y + z + u + t = 15 x + 2y + 3z + 4u + 5t = 35 x + 3y + 6z + 10u + 15t = 70 x + 4y + 10z + 20u + 35t = 126 x + 5y + 15z + 35u + 70t = 210 Bài 2.13 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số thực m ∈ R: a.      3mx + (3m - 7)y + (m - 5)z = m - 1 (2m - 1)x + (4m - 1)y + 2mz = m + 1 4mx + (5m - 7)y + (2m - 5)z = 0 b.      x + 2y - z + t = m 2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1 x + + 7y - 5z + t = -m Bài 2.14 Cho A = (a ij ) n x n a. Nếu A 2 = 0 thì A là ma trận suy biến (Không khả nghịch) b. Nếu A 2 = A và A ≠ I n thì A suy biến. Bài 2.15 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan) a.         1 0 1 0 0 2 -1 3 1 b.         1 1 -1 0 0 1 1 1 0 c.         0 0 2 1 2 6 3 7 9 d.         1 1 1 -1 1 0 2 0 0 e.         1 2 3 4 5 6 5 7 9 f.         0 0 2 1 2 6 3 7 9 Bài 2.16 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan) a.         0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 b.         1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 c.         1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý d.         1 2 4 6 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 2 e.         1 -2 1 -1 -1 4 -2 3 2 0 1 3 -2 6 0 5 f.         2 -1 0 3 1 1 2 -1 -1 2 3 1 0 1 2 1 Bài 2.17 Cho A =       1 4 -3 1 . CmR A 2 – 2A + 13 I 2 = 0. Từ ñó suy ra rằng A -1 = - 1 13 (A – 2 I 2 ). Tính A -1 Bài 2.18 Cho A =         1 1 -1 0 0 1 2 1 2 a. CmR A 3 = 3A 2 – 3A + I 3 b. Biểu diễn A 4 theoA 2 , A và I 3 . Từ ñó xác ñịnh A 4 dưới dạng tường minh c. Sử dụng câu a ñể chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A -1 . Bài 2.19 a. Cho B là ma trận vuông cấp n thỏa B 3 = 0. Nếu A = I n – B, chứng minh rằng ma trận A không suy biến và A -1 = I n + B + B 2 b. Áp dụng: nếu B =         0 r s 0 0 t 0 0 0 . Tìm (I 3 – B) -1 . Toán - Lý MA TRẬN A. CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN: Bài 2.1. Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu: a. ðổi chỗ dòng i và dòng j của ma trận A. b. Nhân dòng j của ma trận A. i của nó. c. ðổi chỗ cột i và cột j của ma trận B. d. Nhân cột j của ma trận B với số c rồi cộng vào cột i của nó. Bài 2.2. Ký hiệu A r x s là ma trận cấp r x s. Tìm m, n trong các trường. Bài 2.14 Cho A = (a ij ) n x n a. Nếu A 2 = 0 thì A là ma trận suy biến (Không khả nghịch) b. Nếu A 2 = A và A ≠ I n thì A suy biến. Bài 2.15 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma