BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trần Văn Toàn, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai. Ngày 29 tháng 1 năm 2009 Tóm tắt nội dung Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được học trong chương trình Toán Trung học phổ thông. Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành, cũng chỉ đưa ra một vài bài toán nhỏ mà phương pháp giải chủ yếu là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối, tức là xét dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa. Lấy ý tưởng chính từ một bài viết trong [1], tôi viết đề tài này với mục đích là đưa thêm một cách giải nữa, chủ yếu là tránh việc xét dấu biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, mà công việc xét dấu này đôi khi thật sự không đơn giản. 1 Các bất phương trình cơ bản 1.1 Vài kết quả lí thuyết Sách Giáo viên Đại số lớp 10 (bộ hai) của Nhà xuất bản Giáo dục, xuất bản năm 2006, trang 107 có chứng minh rằng nếu a là một số thực bất kì thì ta có 1. |f(x)|  a ⇔ −a  f (x)  a. 2. |f(x)|  a ⇔  f(x)  a f(x)  −a 1. Thật vậy, xét bất phương trình |f(x)|  a. • Nếu a  0, ta có |f(x)|  a ⇔ −a  f(x)  a. • Nếu a < 0, các bất phương trình |f(x)|  a và −a  f(x)  a đều vô nghiệm. • Trường hợp bất phương trình |f(x)|  a chứng minh tương tự. 2. Bây giờ, ta xét bất phương trình |f(x)|  g(x) và hệ bất phương trình −g(x)  f(x)  g(x). Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)|  g(x) (Khi đó, D cũng là tập xác định của bất phương trình −g(x)  f(x)  g(x)). 1 Giả sử có số x 0 ∈ D thoả bất phương trình |f(x)|  g(x), tức là |f(x 0 )|  g(x 0 ). (1.1.1) Ta chỉ xét trường hợp g(x 0 )  0. • Nếu f(x 0 )  0, thì |f(x 0 )| = f (x 0 ) và bất phương trình (1.1.1) trở thành f(x 0 )  g(x 0 ). (1.1.2) Mặt khác, vì f(x 0 )  0 và g(x 0 )  0, nên f(x 0 )  −g(x 0 ). (1.1.3) Từ (1.1.2) và (1.1.3) suy ra −g(x 0 )  f (x 0 )  g(x 0 ). Hay x 0 cũng thoả −g(x)  f(x)  g(x). • Trường hợp f(x 0 ) < 0. Khi đó, |f (x 0 )| = −f(x 0 ) và (1.1.1) trở thành −f(x 0 )  g(x 0 ). Do vậy, ta có (1.1.3). Mặt khác, vì f(x 0 ) < 0 và g(x 0 )  0, nên có (1.1.2). Do đó, ta cũng có −g(x 0 )  f (x 0 )  g(x 0 ). (Cũng có thể nhận xét rằng, nếu |f(x 0 )|  g(x 0 ), g(x 0  0, thì −g(x 0 )  f(x 0 )  g(x 0 ).) • Trái lại, nếu có x 0 thoả −g(x 0 )  f (x 0 )  g(x 0 ), ta cũng có |f (x 0 )| < g(x 0 ). Vậy ta có |f(x)|  g(x) ⇔ −g(x)  f(x)  g(x). 3. Xét bất phương trình |f (x)| > g(x) và tuyển bất phương trình  f(x) > g(x), f(x) < −g(x). • Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)| > g(x). Giả sử có số x 0 ∈ D thoả |f(x)| > g(x), tức là |f(x 0 )| > g(x 0 ). – Nếu f(x 0 )  0, từ |f(x 0 )| > g(x 0 ) suy ra f(x 0 ) > g(x 0 ). – Nếu f(x 0 ) < 0, từ |f(x 0 )| > g(x 0 ) suy ra −f(x 0 ) > g(x 0 ) hay f(x 0 ) < −g(x 0 ). Do đó, ta có f(x 0 ) > g(x 0 ) hoặc f(x 0 ) < −g(x 0 ). Tức x 0 cũng thoả một trong hai bất phương trình f(x) > g(x) hoặc f(x) < −g(x). • Trái lại, giả sử có số x 0 thoả f(x 0 ) > g(x 0 ) hoặc f(x 0 ) < −g(x 0 ). – Nếu g(x 0 ) < 0, hiển nhiên |f(x 0 )| > g(x 0 ). 2 – Nếu g(x 0 ) = 0, ta có f (x 0 ) > 0 hoặc f(x 0 ) < 0. Hay f(x 0 ) = 0. Tức x 0 cũng thoả |f(x 0 )| > 0. – Nếu g(x 0 ) > 0. Do f(x 0 ) > g(x 0 ), nên |f(x 0 )| > g(x 0 ). Từ ba trường hợp, ta thấy, nếu x 0 thoả f(x 0 ) > g(x 0 ) hoặc f(x 0 ) < −g(x 0 ), thì x 0 cũng thoả |f(x 0 )| > g(x 0 ). Vậy ta có |f(x)| > g(x) ⇔  f(x) > g(x), f(x) < −g(x). Chứng minh tương tự, ta có các kết quả như sau: 1. |f(x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f(x) < g(x). 2. |f(x)|  g(x) ⇔  f(x)  g(x), f(x)  −g(x). Cũng từ các kết quả trên, ta có f(x)  |g(x)|  h(x) ⇔  f(x)  g(x)  h(x), f(x)  −g(x)  h(x). Ta có thể viết các bất phương trình dạng trên dưới dạng sau: 1. |f| < g ⇔    f < g, −f < g; 2. |f|  g ⇔    f  g, −f  g; 3. |f|  g ⇔  f  g, −f  g; 4. |f| > g ⇔  f > g, −f > g. Xin đưa ra một số các kết quả sau: 1.              f 1 (x) < 0, f 2 (x) < 0, . . . . . . . . . f n (x) < 0 ⇔ max{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)} < 0. 2.              f 1 (x)  0, f 2 (x)  0, . . . . . . . . . f n (x)  0 ⇔ max{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)}  0. 3.              f 1 (x)  0, f 2 (x)  0, . . . . . . . . . f n (x)  0 ⇔ min{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)}  0. 3 4.              f 1 (x) > 0, f 2 (x) > 0, . . . . . . . . . f n (x) > 0 ⇔ min{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)} > 0. 5.      f 1 (x) < 0, f 2 (x) < 0, . . . . . . . . . f n (x) < 0 ⇔ min{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)} < 0. 6.      f 1 (x)  0, f 2 (x)  0, . . . . . . . . . f n (x)  0 ⇔ min{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)}  0. 7.      f 1 (x)  0, f 2 (x)  0, . . . . . . . . . f n (x)  0 ⇔ max{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)}  0. 8.      f 1 (x) > 0, f 2 (x) > 0, . . . . . . . . . f n (x) > 0 ⇔ max{f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)} > 0. 1.2 Ví dụ và bài tập Ví dụ 1.2.1. Giải bất phương trình     1 − |x| 1 + |x|      1 2 . Lời giải. Ta có     1 − |x| 1 + |x|      1 2 ⇔     1 − |x| 1 + |x|  1 2 −1 + |x| 1 + |x|  1 2 ⇔     |x| 1 + |x|  1 2 |x| 1 + |x|  3 2 ⇔  |x|  1 3 + |x|  0 ⇔ −1  x  1. ❏ Ví dụ 1.2.2. Giải bất phương trình log 5 log 1/2  x 2 − 4|x| |x| − 7   0. (1.2.1) Lời giải. (1.2.1) ⇔        log 1/2  x 2 − 4|x| |x| − 7   1, log 1/2  x 2 − 4|x| |x| − 7  > 0 ⇔        x 2 − 4|x| |x| − 7  1 2 , x 2 − 4|x| |x| − 7 < 1 ⇔        2x 2 − 9|x| + 7 |x| − 7  0, x 2 − 5|x| + 7 |x| − 7 < 0 ⇔    |x| − 7 < 0, 2x 2 − 9|x| + 7  0 ⇔    |x| < 7, 1  |x|  7 2 ⇔ 1  |x|  7 2 ⇔    − 7 2  x  −1, 1  x  7 2 . ❏ 4 Ví dụ 1.2.3. Giải bất phương trình |x − 6| < x 2 − 5x + 9. (1.2.2) Lời giải. Bất phuong trình (1.2.2) tương đương với hệ    x − 6 < x 2 − 5x + 9, −(x − 6) < x 2 − 5x + 9 ⇔    x 2 − 6x + 15 > 0, x 2 − 4x + 3 > 0 ⇔  x < 1, x > 3. ❏ Ví dụ 1.2.4. Giải bất phương trình |x 2 − 2x − 8| > 2x. (1.2.3) Lời giải. (1.2.3)⇔  x 2 − 2x − 8 > 2x, x 2 − 2x − 8 < −2x ⇔  x 2 − 4x − 8 > 0, x 2 − 8 < 0 ⇔  x < 2 √ 2, x > 2 + 2 √ 3. ❏ Ví dụ 1.2.5. Giải bất phương trình |x 3 − 7x − 3| < x 3 + x 2 + 3. Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với    x 3 − 7x − 3 < x 3 + x 2 + 3 −(x 3 − 7x − 3) < x 3 + x 2 + 3 ⇔    x 2 + 7x + 6 > 0 2x 3 + x 2 − 7x > 0 ⇔   −1 < x < 0 x > −1 + √ 57 4 . ❏ Ở ví dụ trên, việc xét dấu của các biểu thức x 3 − 7x − 3 và x 3 + x 2 + 3 là rất khó. Ví dụ 1.2.6. Giải bất phương trình |x 3 − x 2 + 4| + x 3 − x 2 − 2x − 2  0. Lời giải. Đưa bất phương trình đã cho về dạng |x 3 − x 2 + 4|  −x 3 + x 2 + 2x + 2, ta được  −3  x  −1, x = 1. ❏ Chú ý rằng, việc xét dấu các biểu thức x 3 − x 2 + 4 và −x 3 + x 2 + 2x + 2 là không đơn giản. Ví dụ 1.2.7. Giải bất phương trình ||x| − 1| < 1 − x. Lời giải. Ta có ||x| − 1| < 1 − x ⇔    |x| − 1 < 1 − x −|x| + 1 < 1 − x ⇔    |x| < 2 − x x < |x| ⇔          x < 2 − x −x < 2 − x x < 0. ⇔ x < 0. ❏ Ví dụ 1.2.8. Tìm tập giá trị của biểu thức x + a, biết rằng |2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a|  3. (1.2.4) Lời giải. Đặt y = |x + a|, bất phương trình (1.2.4) cho trở thành |y −2|+ 2|y −2a + 2|  3. (1.2.5) 5 Bất phương trình (1.2.5) tương đương với    y −2  3 − 2|y − 2a + 2| y −2  −3 + 2|y − 2a + 2| hay −1 + 2|y −2a + 2|  y  5 −2|y − 2a + 2|. (1.2.6) Từ (1.2.6) suy ra y ∈ [−1; 5]. • y = −1 khi và chỉ khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = 1 2 . • y = 5 khi và chỉ khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = 7 2 . Vậy tập giá trị của x + a là đoạn [−1; 5]. ❏ Ví dụ 1.2.9. Giải bất phương trình ||x 2 − 3x − 7| + 2x − 1| < x 2 − 8x − 5. (1.2.7) Lời giải. (1.2.7) ⇔    |x 2 − 3x − 7| + 2x − 1 < x 2 − 8x − 5 |x 2 − 3x − 7| + 2x − 1 > −x 2 + 8x + 5 ⇔    |x 2 − 3x − 7| < x 2 − 10x − 4 |x 2 − 3x − 7| > −x 2 + 6x + 6 ⇔                   x 2 − 3x − 7 < x 2 − 10x − 4 −x 2 + 3x + 7 < x 2 − 10x − 4   x 2 − 3x − 7 > −x 2 + 6x + 6 −x 2 + 3x + 7 > −x 2 + 6x + 6 ⇔                   7x > 3 2x 2 − 13x − 11 > 0   2x 2 − 9x − 13 > 0 3x − 1 < 0 ⇔                                                 x > 3 7    x < 13 − √ 257 4 x > 13 + √ 257 4        x < 9 − √ 85 4 x > 9 + √ 85 4 x < 1 3 ⇔ x < 13 − √ 257 4 . ❏ Ví dụ 1.2.10. Giải bất phương trình |x 2 − |x 2 − 3x − 5| − 5| < x + 1. Giải tương tự, nghiệm bất phương trình trên là 1 + √ 19 2 < x < 2 + √ 16 2 . Ví dụ 1.2.11. Giải bất phương trình |x − 1| + |x − 2| > 3 + x. (1.2.8) 6 Lời giải. Ta có |x −1|+ |x −2| > 3 +x ⇔ |x −1| > 3 +x −|x −2| ⇔  x − 1 > 3 + x − |x − 2|, −x + 1 > 3 + x − |x − 2| ⇔  |x − 2| > 4, |x − 2| > 2x + 2 ⇔      x − 2 > 4, −x + 2 > 4, x − 2 > 2x + 2, −x + 2 > 2x + 2 ⇔       x > 6, x < −2, x < − 4 3 x < 0 ⇔  x > 6, x < 0. ❏ Ví dụ 1.2.12. Giải bất phương trình log 3 |x 2 − 4x| + 3 x 2 + |x − 5|  0. Lời giải. Ta có log 3 |x 2 − 4x| + 3 x 2 + |x − 5|  0 ⇔ |x 2 − 4x| + 3 x 2 + |x − 5|  1 ⇔ |x 2 − 4x|  x 2 − 3 + |x − 5| ⇔  x 2 − 4x  x 2 − 3 + |x − 5|, −x 2 + 4x  x 2 − 3 + |x − 5| ⇔  |x − 5|  3 − 4x, |x − 5|  −2x 2 + 4x + 3 ⇔            x − 5  3 − 4x, −x + 5  3 − 4x    x − 5  −2x 2 + 4x + 3, −x + 5  −2x 2 + 4x + 3 ⇔    x  − 2 3 , 1 2  x  2. ❏ Ví dụ 1.2.13. Giải bất phương trình ||3 x + 4x − 9| − 8|  3 x − 4x − 1. (1.2.9) Lời giải. (1.2.9) ⇔    |3 x + 4x − 9| − 8  3 x − 4x − 1, −|3 x + 4x − 9| + 8  3 x − 4x − 1 ⇔    |3 x + 4x − 9|  3 x − 4x + 7, |3 x + 4x − 9|  −3 x + 4x + 9 ⇔                   3 x + 4x − 9  3 x − 4x + 7 −3 x − 4x + 9  3 x − 4x + 7   3 x + 4x − 9  −3 x + 4x + 9 −3 x − 4x + 9  −3 x + 4x + 9 ⇔                   x  2 3 x  1   3 x  9 x  0 ⇔                   x  2 x  0   x  2 x  0 ⇔ 0  x  2. ❏ Ví dụ 1.2.14. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết |f| + |g| < h. (1.2.10) Lời giải. (1.2.10) ⇔ |f| < h −|g| ⇔    f < h −|g|, −f < h −|g| ⇔    |g| < h −f, |g| < h + f, ⇔              g < h − f, −g < h − f, g < h + f, −g < h + f ⇔              f + g < h, f − g < h, −f + g < h, −f − g < h. 7 ❏ Chú ý, trong bất phương trình (1.2.10) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối và ta có thể đưa (1.2.10) về dạng |f 1 |  f 2 . Ta thấy, ứng mỗi dấu giá trị tuyệt đối, thì dấu biểu thức bên trong của nó có hai trường hợp là (+) và (−) (ta không xét biểu thức bên trong dấu giá trị tuyện đối luôn dương hoặc luôn âm). Do đó, với bất phương trình dạng (1.2.10), để thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta xét các khả năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −). Ở đây, kí hiệu (+ +) để chỉ dấu của f và g đều dương. Ví dụ 1.2.15. Giải bất phương trình |3x + 2| + |2x − 3| < 11. (1.2.11) Lời giải. Để ý bất phương trình có dạng |f| < g. (1.2.11) ⇔              (3x + 2) + (2x − 3) < 11, (3x + 2) − (2x − 3) < 11, −(3x + 2) + (2x − 3) < 11, −(3x + 2) − (2x − 3) < 11 ⇔                x < 12 5 , x < 6, x > −16, x > −2 ⇔ −2 < x < 12 5 . ❏ Ví dụ 1.2.16. Tìm quan hệ giữa f, g, h, k biết |f|+ |g| + |h| < k Lời giải. Ta có |f| + |g| + |h| < k ⇔ |f| + |g| < k −|h| ⇔              f + g < k − |h|, f − g < k − |h|, −f + g < k − |h|, −f − g < k − |h| ⇔              |h| < k − f −g, |h| < k − f + g, |h| < k + f −g, |h| < k + f + g ⇔                                      h < k − f −g, −h < k − f −g, h < k − f + g, −h < k − f + g, h < k + f −g, −h < k + f −g, h < k + f + g, −h < k + f + g ⇔                                      f + g + h < k, f + g − h < k, f − g + h < k, f − g − h < k, −f + g + h < k, −f + g − h < k, −f − g + h < k, −f − g − h < k ❏ Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng, bất phương trình có dạng |f 1 | + |f 2 | + |f 3 | + ··· + |f n | < f tương đương với hệ gồm 2 n bất phương trình. Ví dụ 1.2.17. Giải bất phương trình |x 2 − 3x − 7| + |2x 2 − x − 9| + |3x 2 − 7x − 5| < x + 15. (1.2.12) 8 Lời giải. Ta có (1.2.12) ⇔                                      (x 2 − 3x − 7) + (2x 2 − x − 9) + (3x 2 − 7x − 5) < x + 15, x 2 − 3x − 7 + 2x 2 − x − 9 − (3x 2 − 7x − 5) < x + 15, x 2 − 3x − 7 − (2x 2 − x − 9) + 3x 2 − 7x − 5 < x + 15, x 2 − 3x − 7 − (2x 2 − x − 9) − 3x 2 − 7x − 5 < x + 15, −(x 2 − 3x − 7) + (2x 2 − x − 9) + (3x 2 − 7x − 5) < x + 15, −(x 2 − 3x − 7) + (2x 2 − x − 9) − (3x 2 − 7x − 5) < x + 15, −(x 2 − 3x − 7) − (2x 2 − x − 9) + (3x 2 − 7x − 5) < x + 15, −(x 2 − 3x − 7) − (2x 2 − x − 9) − (3x 2 − 7x − 5) < x + 15, ⇔                                            6x 2 − 12x − 36 < 0, 2x − 26 < 0, 2x 2 − 10x − 18 < 0, 4x 2 + 10x + 18 > 0, 4x 2 − 4x − 8 < 0, 4x 2 − 6x − 22 < 0, −2x 2 − 8x − 12 < 0, −4x − 4 < 0, −6x 2 − 4x − 4 < 0 Từ đó, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là 5 + √ 61 6 < x < √ 97 + 3 4 hoặc − 1 < x < 5 − √ 61 6 . ❏ Ví dụ 1.2.18. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết |f| + |g| > h. (1.2.13) Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.2.14, ta có kết quả sau: |f| + |g| > h ⇔      f + g > h, f − g > h, −f + g > h, −f − g > h. Ví dụ 1.2.19. Giải phương trình |x − 1| + |2 − x| > 3 + x. Lời giải. |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ⇔      x − 1 + 2 − x > 3 + x, x − 1 − (2 − x) > 3 + x, −(x − 1) + 2 − x > 3 + x, −(x − 1) − (2 − x) > 3 + x ⇔  x < 0, x > 6. ❏ 9 Ví dụ 1.2.20. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết |f| − |g| < h. (1.2.14) Lời giải. Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.2.14, ta có kết quả sau: |f| − |g| < h ⇔                 f − g < h, f + g < h,  −f − g < h, −f + g < h. ❏ Ví dụ 1.2.21. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết |f| − |g| > h. (1.2.15) Lời giải. Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.2.14, ta có kết quả sau: |f| − |g| > h ⇔        f − g > h, f + g > h,  −f − g > h, −f + g > h. ❏ Ví dụ 1.2.22. Giải bất phương trình |x 2 − 3x − 17| − |x 2 − 5x − 7| > 3. (1.2.16) Lời giải. (1.2.16) ⇔        x 2 − 3x − 17 + x 2 − 5x − 7 > 3, x 2 − 3x − 17 − x 2 + 5x + 7 > 3;  −x 2 + 3x + 17 + x 2 − 5x − 7 > 3, −x 2 + 3x + 17 − x 2 + 5x + 7 > 3 ⇔        2x 2 − 8x − 27 > 0, 2x > 13;  −2x > −7, −2x 2 + 8x + 21 > 0 ⇔                               x < 4 − √ 70 2 x > 4 + √ 70 2 x > 13 2      x < 7 2 4 − √ 58 2 < x < 4 + √ 58 2 ⇔    4 − √ 58 2 < x < 7 2 x > 13 2 ❏ Ví dụ 1.2.23. Tìm m để bất phương trình x 2 + |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm. 10 [...]... Moskva “Nauka”, 1987 27 Mục lục 1 Các bất phương trình cơ bản 1.1 Vài kết quả lí thuyết 1.2 Ví dụ và bài tập 1 1 4 2 Giải bất phương trình bằng cách đưa về phương pháp khoảng 2.1 Bất phương trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.2 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 15 15 19 Tài... dấu giá trị tuyệt đối Ứng dụng của phương pháp khoảng trong mục này phần lớn để giải các bất phương trình mũ và bất phương trình logarit mà ta có thể đưa về dạng tích hoặc thương Các phép thế tương đương như: loga f (x) ↔ (a − 1)(f (x) − 1), loga f (x) − loga g(x) ↔ (a − 1)[f (x) − g(x)], af (x) − ag(x) ↔ (a − 1)[f (x) − g(x)] thường xuyên được sử dụng trong mục này 15 Ví dụ 2.1.1 Giải bất phương trình. .. ∅ 18 J Sau đây là một số bài tập Giải các bất phương trình sau: 2.1.1 (B, 2008) log0,7 log6 x2 + x x+4 < 0 Đáp số S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) x2 − 3x + 2 2.1.2 (D, 2008) log 1 2 x 0 Đáp số S = [2 − 2.1.3 logx x + 1 3 log√2x+3 x + √ 2; 1) ∪ (2; 2 + √ 2] 1 3 Đáp số S = 2 ; 1 ∪ [3; +∞) 3 2.2 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 2.2.1 Giải bất phương trình √ (|x − 2| − 4 − x2 ) |x + 4| − x2 −... Giải bất phương trình 0 Đáp số S = −1; 7 2 1.2.4 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 2x − 1 + |x − a| lớn hơn 2 Đáp số a < − 13 21 hoặc a > 4 4 1.2.5 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3|x − a| + |x2 + x − 2| nhỏ hơn 2 Hướng dẫn Ta chỉ cần giải bài toán tìm a sao cho bất phương trình 3|x − a| + |x2 + x − 2| < 2 có. .. ∈ ∅,   6p + 3 x p − 2, p −1, ⇔ p −1 ⇒ p − 2 < −9p − 6 Ta có ⇔ 6p + 3 −9p − 6 p − 9 15 Kết luận • Nếu p −1, thì bất phương trình (1.2.17) có nghiệm là 6p + 3 x p − 2; • Nếu p > −1 bất phương trình (1.2.17) vô nghiệm J Ví dụ 1.2.25 Giải và biện luận bất phương trình theo tham số |2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p Lời giải Bất phương trình (1.2.18) tương đương với hệ   (2x + 21p) − 2(2x − 21p)... − 6x + 5) 0 √ − 6 − 1 x 1, ⇔ √ 6 − 1 x 5 √ Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [ 6 − 1; 2) ∪ (2; 5] J Ví dụ 2.2.7 Giải bất phương trình logx2 Ví dụ 2.2.8 Giải bất phương trình |x2 − 1|log2 |x 2 −3x+1| > 1 Lời giải Nhận xét x = ±1 không là nghiệm của bất phương trình  |x2 − 1| > 0, 2 Ta có |x2 − 1|log2 |x −3x+1| > 1 ⇔ (|x2 − 1| − 1) log |x2 − 3x + 1| > 0   2 |x2... 4 2 Giải bất phương trình bằng cách đưa về phương pháp khoảng Xét bất phương trình dạng loga f (x) > loga g(x) Ta có, loga f (x) > loga g(x) ⇔  a > 0,     f (x) > 0, g(x) > 0,      (a − 1)[f (x) − g(x)] > 0 Như vậy, với các điều kiện a > 0, f (x) > 0, g(x) > 0, thì dấu của hiệu loga f (x) − loga g(x) là dấu của tích (a − 1)[f (x) − g(x)] Để chỉ dấu của loga f (x) − loga g(x) là dấu của... −11, nên ta có x < −11 √ √ • Nếu x 5 và x = 3, 8x + 5 > 0 Nhân (2.2.8) với 8 x2 − 5 + (8x + 5), ta được  x < −11 √ x < −11 −80x − 345 0 Dẫn tới  69 Do điều kiện x 5, ta được √ (x − 3)(x + 11) 5 x < 3 x < 3 − 16 √ Từ hai trường hợp trên, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −11) ∪ [ 5; 3) J Ví dụ 2.2.6 Giải bất phương trình log−4x2 +12x−8 |4x − 5| > 0 Lời giải Bất phương trình đã cho... 0 Bất phương trình (1.2.20) đúng với mọi x thuộc R khi và chỉ khi mỗi bất phương trình của hệ trên đúng với mọi x thuộc R Điều này xảy ra khi và chỉ khi   1 < m < 5, (m − 1)2 − 4(m − 1) < 0,         (m + 1)2 − 12(m + 1) < 0, −1 < m < 11, ⇔ (m + 1)2 + 4(m + 1) < 0, −5 < m < −1,           2 (m − 1) + 12(m − 1) < 0 −11 < m < 1 Hệ bất phương trình trên vô nghiệm Vậy không có giá. .. + 4x − 3 x 2 (2.2.4) Lời giải Bất phương trình xác định khi x 2 và x = 0 Bất phương trình (2.2.4) tương đương với √ 2 − x + 2x − 3 0 (2.2.5) x 3 • Nếu x 2, (2.2.5) luôn thoả 2 3 • Nếu 0 = x < , ta có 2x − 3 = −|3 − 2x| Khi đó, (2.2.5) được viết lại 2 √ 2 − x − |3 − 2x| 0 (2.2.6) x √ Nhân hai vế bất phương trình (2.2.6) với 2 − x + |3 − 2x|, ta được bất phương trình tương đương  2 2 x < 0, 2 − x − (3 . là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối, tức là xét dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa. Lấy ý tưởng. trong bất phương trình (1.2.10) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối và ta có thể đưa (1.2.10) về dạng |f 1 |  f 2 . Ta thấy, ứng mỗi dấu giá trị tuyệt đối, thì dấu biểu thức bên trong của nó có hai. > 0). 2.1 Bất phương trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối Ứng dụng của phương pháp khoảng trong mục này phần lớn để giải các bất phương trình mũ và bất phương trình logarit mà ta có thể đưa