1 ThS. on Vng Nguyờn toancapba.com CHUYấN H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) II 1. Dng 1: ỡ ù ù ớ ù ù ợ f(x,y) = 0 f(y,x) = 0 (i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia) Phng phỏp gii chung Cỏch gii 1 Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai phng trỡnh ca h. Vớ d 1. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Tr (1) v (2) v theo v ta c: 3 3 2 2 x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0 - + - = - + + + = 2 2 y 3y (x y) x 3 0 y x 2 4 ộ ự ổ ử ờ ỳ ữ ỗ - + + + = = ữ ỗ ờ ỳ ữ ữỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Th y = x vo (1) hoc (2) ta c: 3 x x 0 x 0 + = = Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Vớ d 2. Gii h phng trỡnh 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ Gii iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - Ê Ê ù ù ớ ù ù - Ê Ê ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: ( ) ( ) 2x 3 2y 3 4 y 4 x 0 + - + + - - - = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0 2x 3 2y 3 4 y 4 x + - + - - - + = + + + - + - 2 1 (x y) 0 x y 2x 3 2y 3 4 y 4 x ổ ử ữ ỗ ữ - + = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + - + - . Thay x = y vo (1), ta c: 2 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16 + + - = Û + + + - = 2 2 9 x 0 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9x 38x 33 0 9 ì - ³ ï ï Û - + + = - Û Û = Ú = í ï - + = ï î (nhận). Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ì ï ï = ì ï =ï ï ï Ú í í ï ï = ï ï î = ï ï î . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ì ï = + ï ï í ï = + ï ï î Giải Trừ và cộng (1) với (2), ta được: 3 2 2 3 2 2 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ì ì ï ï = + - + + - = ï ï ï ï Û í í ï ï = + + - + - = ï ï ï ï î î 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0 x y 0 x y 0 x xy y 1 x y 0 x xy y 3 x xy y 1 x xy y 3 ì ì ì ì ï - = + = ï ï - = + + = ï ï ï ï ï ï Û Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï + = - + = + + = - + = ï ï ï ï î î î ï î + x y 0 x 0 x y 0 x 0 ì ì - = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = ï ï î î + 2 2 2 x y 0 y x x 3 x 3 x xy y 3 x 3 y 3 y 3 ì ì ì ì ï ï - = = ï ï = = - ï ï ï ï ï ï Û Û Ú í í í í ï ï ï ï - + = = = = - ï ï ï ï î î ï ï î î + 2 2 2 x y 0 y x x 1 x 1 y 1 y 1 x xy y 1 x 1 ì ì ì ì + = = - ï ï = - = ï ï ï ï ï ï Û Û Ú í í í í ï ï ï ï = = - + + = = ï ï ï ï î î î î + 2 2 2 2 2 2 xy 1 x xy y 1 xy 1 x 1 x 1 x y 0 y 1 y 1 x y 2 x xy y 3 ì ì ì ì ì ï = - ï + + = = - = = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û Ú í í í í í ï ï ï ï ï + = = - = + = - + = ï ï ï ï ï î î î î ï î Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3 x 0 y 1 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ì ì ï ï = = - = = = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú Ú í í í í í ï ï ï ï ï = = = - = = - ï ï ï ï ï î î î ï ï î î . Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ì ï + + - = ï ï í ï + + - = ï ï î Giải 3 iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - Ê Ê ù ù ớ ù ù - Ê Ê ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: 2x 3 4 x 2y 3 4 y + - - = + - - (3) Xột hm s 3 f(t) 2t 3 4 t, t ; 4 2 ộ ự ờ ỳ = + - - ẻ - ờ ỳ ở ỷ , ta cú: / 1 1 3 f (x) 0, t ; 4 2 2t 3 2 4 t ổ ử ữ ỗ = + > " ẻ - ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + - (3) f(x) f(y) x y ị = = . Thay x = y vo (1), ta c: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16 + + - = + + + - = 2 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9 - + + = - = = (nhn). Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ỡ ù ù = ỡ ù =ù ù ù ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ . Vớ d 5. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y y 2y x ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Xột hm s 3 / 2 f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t = + ị = + > " ẻ Ă . H phng trỡnh tr thnh f(x) y (1) f(y) x (2) ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . + Nu x y f(x) f(y) y x > ị > ị > (do (1) v (2) dn n mõu thun). + Nu x y f(x) f(y) y x < ị < ị < (mõu thun). Suy ra x = y, th vo h ta c 3 x x 0 x 0. + = = Vy h cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Chỳ ý: Khi gp h phng trỡnh i xng loi II dng 1, ta nờn gii cỏch 1. Nu gii khụng c mi ngh n cỏch 2 v 3, nu vn khụng gii c thỡ quay tr v bi v tỡm iu kin chớnh xỏc ri gii li cỏch 1! Vớ d 6 (trớch thi H khi B 2003). Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 x 2 3x y y 2 3y x ỡ ù + ù = ù ù ù ớ ù + ù ù = ù ù ợ Gii Nhn xột t h phng trỡnh ta cú x 0 y 0 ỡ > ù ù ớ ù > ù ợ . Bin i: 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 3x 3xy x 2 (1) y 3yx y 2 (2) y 2 3y x ì ï + ï = ï ì ï = + ï ï ï ï Û í í ï ï = + + ï ï ï î ï = ï ï î Trừ (1) và (2) ta được: (x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0). - + + = Û = + + > Với 3 2 x y : (1) 3x x 2 0 = Û - - = 2 (x 1)(3x 2x 2) 0 x 1. Û - + + = Û = Vậy hệ có 1 nghiệm x 1 y 1 ì = ï ï í ï = ï î . 2. Dạng 2: ì ï ï í ï ï î f(x,y) = 0 g(x,y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng Phương pháp giải chung Cách giải 1 Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 1 1 x y (1) x y 2x xy 1 0 (2) ì ï ï - = - ï ï í ï ï - - = ï ï î . Giải Điều kiện: x 0, y 0 ¹ ¹ . Ta có: 1 1 (1) (x y) 1 0 y x y . xy x æ ö ÷ ç Û - + = Û = Ú = - ÷ ç ÷ ÷ç è ø + Với y = x: 2 (2) x 1 0 x 1 Û - = Û = ± . + Với 1 y x = - : (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 x 1 y 1 y 1 ì ì = = - ï ï ï ï Ú í í ï ï = = - ï ï î î . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x) f(y) x y = Û = với hàm f đơn điệu. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 x y cos x cos y (1) x y 3y 18 0 (2) ì - = - ï ï í ï - - = ï î . Giải Tách biến phương trình (1), ta được: (1) x cosx y cosy Û - = - (3). Xét hàm số / f(t) t cos t f (t) 1 sin t 0, t = - Þ = + > " Î ¡ . Suy ra (3) f(x) f(y) x y Û = Û = . Thay x = y vào (2), ta được: 5 3 2 x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3. - - = Û - + + = Û = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 3 y 3 ì = ï ï í ï = ï î . Chú ý: Cách giải sau đây sai: 2 1 1 x y (1) x y 2x xy 1 0 (2) ì ï ï - = - ï ï í ï ï - - = ï ï î . Giải Điều kiện: x 0, y 0 ¹ ¹ . Xét hàm số / 2 1 1 f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0} t t = - Î Þ = + > " Ρ ¡ . Suy ra (1) f(x) f(y) x y Û = Û = ! Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 x 3y 2 0 y 3x 2 0 ì ï - + = ï ï í ï - + = ï ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 1 y 2 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 2) 2 2 x xy x 2y y xy y 2x ì ï + = + ï ï í ï + = + ï ï î . Đáp số: 3 x x 0 2 y 0 3 y 2 ì ï ï = ì ï =ï ï ï Ú í í ï ï = ï ï î = ï ï î . 3) x 1 y 7 4 y 1 x 7 4 ì ï + + - = ï ï í ï + + - = ï ï î . Đáp số: x 8 y 8 ì = ï ï í ï = ï î . 4) x 1 y 2 3 y 1 x 2 3 ì ï + + - = ï ï í ï + + - = ï ï î . Đáp số: x 3 y 3 ì = ï ï í ï = ï î . 5) x 3 2 y 3 y 3 2 x 3 ì ï + + - = ï ï í ï + + - = ï ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 1 y 2 ì ì = = - ï ï ï ï Ú í í ï ï = = - ï ï î î . 6) 3 3 x x 2y y y 2x ì ï = + ï ï í ï = + ï ï î . Đáp số: x 0 x 3 x 3 y 0 y 3 y 3 ì ì ì ï ï = = = - ï ï ï ï ï ï Ú Ú í í í ï ï ï = = = - ï ï ï î ï ï î î . 7) 2 2 3 2x y x 3 2y x y ì ï ï + = ï ï ï í ï ï + = ï ï ï î . Đáp số: x 1 y 1 ì = ï ï í ï = ï î . 8) 2 2 1 2x y y 1 2y x x ì ï ï = + ï ï ï í ï ï = + ï ï ï î . Đáp số: x 1 y 1 ì = ï ï í ï = ï î . 9) 2 2 2 2 x y 4 y xy 4 x ì ï - = ï ï í ï - = ï ï î . Đáp số: x 2 y 2 ì = ï ï í ï = ï î . 6 10) 3 2 3 2 x x x 1 2y y y y 1 2x ỡ ù - + + = ù ù ớ ù - + + = ù ù ợ . ỏp s: x 1 x 1 y 1 y 1 ỡ ỡ = = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = - ù ù ợ ợ . 11) (trớch thi H khi A 2003) 3 1 1 x y (1) x y 2y x 1 (2) ỡ ù ù - = - ù ù ớ ù ù = + ù ù ợ . Hng dn gii iu kin: x 0, y 0. ạ ạ x y 1 1 (1) x y 0 (x y) 1 0 x y y . xy xy x ổ ử - ữ ỗ - + = - + = = = - ữ ỗ ữ ữỗ ố ứ + Vi x y = : (2) 1 5 x 1 x . 2 - = = + Vi 4 1 y : (2) x x 2 0. x = - + + = Xột hm s 4 / 3 3 1 f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x . 4 - = + + ị = + = = 3 3 x 1 3 f 2 0, lim f(x) 0, x 4 4 4 đƠ ổ ử - ữ ỗ = - > = +Ơ ị > " ẻ ữ ỗ ữ ữỗ ố ứ Ă 4 x x 2 0 ị + + = vụ nghim. Cỏch khỏc: + Vi 4 x 1 x 2 0 x x 2 0 < ị + > ị + + > . + Vi 4 4 x 1 x x x x x 2 0 ị - ị + + > . Suy ra (2) vụ nghim. Vy h phng trỡnh cú 3 nghim phõn bit 1 5 1 5 x x x 1 2 2 y 1 1 5 1 5 y y 2 2 ỡ ỡ ù ù - + - - ù ù = = ù ù ỡ = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù = - + - - ù ù ù ợ = = ù ù ù ù ù ù ợ ợ . 12) x sin y (1) y sin x (2) ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ Hng dn gii Tr (1) v (2) ta c: x y sin y sin x x sin x y sin y (3). - = - + = + Xột hm s / f(t) t sin t f (t) 1 cos t 0, t = + ị = + " ẻ Ă . (3) f(x) f(y) x y (1) x sin x 0 (4). = = ị - = Xột hm s / g(x) x sin x g (x) 1 cos x 0, x = - ị = - " ẻ ị Ă (4) cú khụng quỏ 1 nghim. Do g(0) 0 (4) x 0. = ị = Vy h cú 1 nghim x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . . và cộng (1) với (2) , ta được: 3 2 2 3 2 2 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ì ì ï ï = + - + + - = ï ï ï ï Û í í ï ï = + + - + - = ï ï ï ï î î 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0 x y 0 x. 0 ỡ > ù ù ớ ù > ù ợ . Bin i: 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 3x 3xy x 2 (1) y 3yx y 2 (2) y 2 3y x ì ï + ï = ï ì ï = + ï ï ï ï Û í í ï ï = + + ï ï ï î ï = ï ï î Trừ (1) và (2) ta được: (x y)(3xy x y) 0. y) 0 x y 2x 3 2y 3 4 y 4 x ổ ử ữ ỗ ữ - + = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + - + - . Thay x = y vo (1), ta c: 2 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16 + + - = Û + + + - = 2 2 9 x 0 11 2 2x 5x 12 9 x x