HÀM SỐ MŨHÀM SỐ LÔGARIT I .HÀM SỐ MŨ : 1. Đònh nghóa : với a > 0 ; a  1. Hàm số y = x a gọi là hàm số mũ Chú ý : Khi a= 1 thì y =1 x =1  x  R) Ví dụ : Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số mũ ? A. y= x 3 B. y= x ( 3) C. y= 3 x D. y= 1 x 2. Đạo hàm của hàm số mũ : Thừa nhận :  t 0 lim  t e 1 t  = 1  t 0 lim  at e 1 t  = a Ví dụ : 1) 0 lim x 5x e 1 x  2) 0 lim x 2.Sin3x e 1 x  3) 0 lim x 3x x e e sin 4x  Đònh lý : (e x ) / = e x > ( e u ) / = u / .e u ( a x ) / = a x .lna > ( a u ) / = u / .a u .lna p dụng : Tính đạo hàm : 1) y = e Sin x 2) y = e 3x .(x 2  2x + 5 ) 3) y = x x 2.e 4 5 e   4) y = (35.e x ) 7 5) y = x 1 7  6) y = 2 Cos x 5 7) y = 3 Cos x 8) y = x.e x 3.Khảo sát hàm số mũ : + TXD : D = R TGT : (0; + ) + Sự biến thiên : vì y / = a x .lna nên đạo hàm của hàm số mũ cùng dấu với lna  a > 1 thì y / >0 , h/s đồng biến : x 1 > x 2  1 x a > 2 x a  0 <a< 1 thì y / < 0 ; h/s nghòch biến : x 1 > x 2  1 x a < 2 x a + Tiệm cận : Khi a>1 x lim  a x =+ ; x lim  a x =0 => y= 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang Khi 0< a<1 x lim  a x =0 ; x lim  a x =+ => y= 0 (trục Ox)là tiệm cận ngang + Bảng biến thiên : x  0 1 + x  0 1 + a 1 y = a x 0 y = a x 0 a > 1 0< a< 1 1 a +  +  +Đồ thò h/s : Vì a 0 =1 => đồ thò y = a x luôn đi qua A(0;1) và (1;a) y = x a và y = x a 1 (hay x a       1 ) đ/ x qua Oy Ví dụ 1: Vẽ đồ thò h/s y = 2 x và y = x 1 3       Ví dụ 2: Nhận xét hàm số nào sau đây đồng biến , nghòch biến ? a) y =       x 4  b) y =          x 1 2 3 c) y = x 1 2 1        II.HÀM SỐ LÔGARIT: 1. Đònh nghóa : Cho a > 0 ; a  1. Hàm số : y = a log x được gọi là hàm số lôgarít cơ số a Ví dụ: Các hàm số y=log 3 x ; y= 1 4 log x ; y= 5 log x; y =lnx có cơ số bằng ? 2. Đạo hàm của hàm số logarit : Ta có :  x 0 lim  ln(1 x) x  = 1  x 0 lim  ln(1 .x) x   =  ( chứng minh) Ví dụ : 1/ x 0 lim  2 ln(1 3x) x 2x   2) x 0 lim  Sin4x 3x ln(1 2x)   3) x 0 lim  sin 2x ln(1 5x)  Đònh lý : (lnx) / = 1 x x(0;+) > (lnu) / = u u  (log a x) / = 1 xlna > (log a u ) / = u u.lna  Ví dụ : Tính đạo hàm : 1) y = 3 log (4x 1)  2) y = 5 x x 2e 1 e 3         3) y = 4 2 2 log (x 4)  4) y = 2lnx 3 4 5ln x   5) y = ln( 7 x + e x ) 6) y=log 5 (5x 2 6x +11) 7) Chứng minh các biểu thức : Cho y = ln(Cos x) x y a >1 1 0 <a< 1 y x 1 O O CMR : a) y / + Sin 2x .y // + 3.tgx = 0 b) y / .tgx  y // 1 = 0 3. Khảo sát hàm số logarit : y = a log x ( 0< a 1 ) + TXD : D = R   ( hay (0; + ) Tập giá trò là R + Sự biến thiên của hàm số : Vì y / = 1 xlna  a > 1 thì y / >0 với mọi x >0 , h/s đồng biến trên (0;+)  0 <a< 1 thì y / < 0 , h/s nghòch biến trên (0;+) + Tiệm cận : Khi a>1 x 0 lim   log a x = ; x lim  log a x =+ => x= 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng Khi 0< a<1 x 0 lim   log a x =+ ; x lim  log a x = => x= 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng + Bảng biến thiên : x 0 1 a + x 0 a 1 + 1 1 y= a log x  y= a log x  + Đồ thò : Vì a log 1 = 0; a log a = 1 đồ thò luôn đi qua điểm (1;0) ; (a;1) Chú ý : y = a log x <=> x = a y  a M = N ( với N > 0 ) <=> M = a log N Ví dụ : Vẽ đồ thò hàm số : a) y = 2 log x b) y =  2 log x c) y = 2 2 log x Bài tập : 1. Vẽ đồ thò hàm số : a) y = 3 x b) y = x 1 3 c) y = 3 x d) y = 3 x e) y = 4 x 3 f) y = 2 x + 1 g) y = 2 x+2 h) y = 2 log x 2 a > 1 0< a< 1 0 0 +  +  y a >1 1 0 < a < 1 y x x 1 O O i) y = log 3 x k)y = log 1/3 x l) y= log x 3 3 m) y = 3 log x 2 2. a) Vẽ đồ thò hàm số y = x 1 2 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 2 = 3m + 1 3. Tìm x biết : a) 5 x = 625 b) 3 x = 243 c) 3 x =81 d) 2 3x+1 =32 e)       x 4 9 =       5 3 2 f)       x 2 3 .       x 9 8 = 27 64 g) x x 2 . 3 =36 h) (0,25) 2 x =  x 3 256 2 i) 27 x 1  = 729.3 x 1  k) ( 3 3  ) x =1 4. Giải các phương trình sau : a) 5 2x 6.5 x + 5 = 0 b) 2 2x+1 +5.2 x 3 = 0 c) 3 2x + 3 x+1 18 = 0 d) 4 x 5.2 x 24 = 0 e) 2 x = 1 x f) 3 x +x 11 = 0 g) 3 x+2 + 3 x1 = 28 h) 5 2x1 +2 2x 5 2x +2 2x+2 = 0 i)   2 3x 10x 3 x 3    =1 k) 2 3x 10x 3 x 3    =1 5. Suy ra mối quan hệ giữa x và y tùy các bất đẳng thức sau : a) (1/3) x < (1/3) y b) (1,5) x < (1,5) y c) (0,3) x > (0,3) y d) (5/4) x < (5/4) y e) (2,3) x < (2,3) y 6. Tìøm tập xác đònh của hàm số : a) a) y = 3 x 2  b) y = 3 x + 3 1 x  c) y = |x 3| |8 x| 2    d) y = 2 log (x 2 3x) e) y =  x 1 .lgx 3 f) y = 5 log   x 2 x 3 g) y= 2 log          2 4x 11 2x 4x 6 h)y = 3 log 1 2 log x i) y = 1 2x lg x 3  