PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HÀ TRUNG Năm học 2011-2012 Môn thi: Toán. Thời gian: 150 phút Câu 1: (3,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a. (3 2 2 3)(3 2 2 3) − + b. 2 5 24 12 + − c. ( ) 12 2 14 2 13 12 2 11 11 13   + + − + +  ÷   d. 2 2 os 1 1 cot 1 Sin x C x gx Tgx + − + + Câu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P= ( ) 2 3 3 : x y xy x y x y y x x y x y − +   − −  ÷ +  ÷ − − +   a. Rút gọn biểu thức P b. Tính giá trị của biểu thức P khi x=5-2 6 ; y=5+2 6 c. Chứng minh 0 1P ≤ < Câu 3: (2,5 điểm) a. Chứng minh rằng 2a 4 +1 ≥ 2a 3 +a 2 b. Cho x>y và x.y = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 x y x y + ≥ − Câu 4: (3,0 điểm) a. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 luôn là một số chính phương b. Giải phương trình 15 3 6x x − + − = . Câu 5: ( 3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho · PMQ =60 0 a. Chứng minh · · BPM CMQ = . b. Chứng minh tam giác MBP đồng dạng với tam giác QCM và PB.CQ có giá trị không đổi khi P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC. c. Kẻ MH ⊥ PQ. Chứng minh MBP ∆ đồng dạng với QMP ∆ ; QCM ∆ đồng dạng với QMP ∆ . d. Chứng minh độ dài MH không đổi khi P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho · PMQ =60 0 Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH (H ∈ BC) và HC = 2HB. Đường thẳng qua C vuông góc với AC và đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt nhau tại D. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BC. a. Chứng minh 3DK.AH = BC.BK b. Tam giác DHC là tam giác gì? Câu 7: (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2 2 1 1 1 1 x y     − −  ÷  ÷     C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HÀ TRUNG Năm học 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu 1: (3,5 đ) a. (3 2 2 3)(3 2 2 3) − + = ( ) 2 3 2 - ( ) 2 2 3 =18 - 12 = 6 0,5 b. 2 5 24 12 + − = ( ) 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 3 2 3 + − + − = = 1,0 c. ( ) 12 2 14 2 13 12 2 11 11 13   + + − + +  ÷   = = ( ) 2 2 12 2 ( 13 1) ( 11 1) 11 13   + + − + +  ÷   = ( ) ( ) 12 2 13 2 11 1 11 13 + + − − + = ( ) ( ) 2 ( 13 1) 11 1 11 13 + − − + = ( ) ( ) 13 1 11 1 11 13 + − − + = ( ) ( ) 13 11 11 13 − + =13-11=2 0.25 0.25 0,25 0,25 d. 2 2 os 1 1 cot 1 Sin x C x gx Tgx + − + + = 2 2 os 1 cos sinx 1 1 sinx cos Sin x c x x x + − + + = = 3 3 os 1 sinx cos sinx cos Sin x C x x x + − + + = 2 2 ( cos )(sin sin cos os ) 1 sinx cos Sinx x x x x c x x + − + − + = 2 2 sin sin cos os 1 sin cosx x x c x x x − + − = − 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2: (3,0 đ) a. (1,25đ): ĐKXĐ x; y 0 ≥ ; x ≠ y P= ( ) 2 3 3 : x y xy x y x y y x x y x y − +   − −  ÷ +  ÷ − − +   = = ( )( ) ( )( ) 2 : ( )( ) x y x y x y x xy y x xy y xy x y x y x y x y   − + − + + − + + −  ÷  ÷ − − + +   = : x xy y x xy y x y x y x y   + + − + + −  ÷  ÷ + +   = 2 . x xy y x xy y x y x y x xy y + + − − − + + − + = . xy x y x y x xy y + + − + = xy x xy y − + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b. (0.5 đ): x=5-2 6 = ( ) 2 3 2 − y=5+2 6 = ( ) 2 3 2 + ̃ P= 3 2 5 2 6 5 2 6 1 − − + + − = 1 9 0,25 0,25 c. (1,25đ): Ta có x; y 0 0xy ≥  ≥ (1) ( ) 2 x xy y x y xy − + = − + Ta có x ≠ y ̃ ( ) 2 x y − >0 ; 0xy ≥ ̃ ( ) 2 x y xy − + >0 (2) Từ (1) và (2) suy ra xy x xy y − + 0 ≥ hay P ≥ 0 (*) Xét P-1 = xy x xy y − + -1= xy x y xy x xy y − − + − + = = 2 2 ( )xy x y x y x xy y x xy y − − − − = − + − + Ta có - ( ) 2 x y − <0 (vì x ≠ y) (3) Từ (2) và (3) suy ra 2 ( )x y x xy y − − − + <0 hay P-1<0 ⇔ P<1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3: (2,5đ) a. (1,25 đ): Xét 2a 4 +1 -(2a 3 +a 2 ) = a 4 -2a 2 + 1 + a 4 -2a 3 + a 2 = =(a 2 - 1) 2 + (a 2 -a) 2 Ta có (a 2 - 1) 2 ≥ 0 và (a 2 -a) 2 ≥ 0 a R ∀ ∈ ̃ 2a 4 +1 -(2a 3 +a 2 ) ≥ 0 ⇔ 2a 4 +1 ≥ 2a 3 +a 2 0,25 0,25 0,5 0,25 b. (1,25 đ) Cho x>y và x.y = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 x y x y + ≥ − Ta có x.y =1 ̃ ( ) 2 2 2 2x y xy x y x y x y − + + = − − = 2 x y x y − + − Vì x>y nên x-y>0 Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có 2 x y x y − + − 2 2 ≥ Vậy 2 2 2 2 x y x y + ≥ − 0,5 0,25 0,25 0,25 Câu 4: (3,0 đ) a. (1,5 đ) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n; n+1; n+2; n+3 Ta có n(n+1)( n+2)( n+3)+1 = (n 2 +3n)(n 2 +3n+2) +1 = (n 2 +3n+1-1)(n 2 +3n+1+1) +1 =(n 2 +3n+1) 2 -1 +1=(n 2 +3n+1) 2 Vậy tích của 4 số tự nhiên cộng thêm 1 là số chính phương 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b.(1,5 đ) 15 3 6x x − + − = ĐKXĐ: x ≤ 3 0,25 15 3 6x x − + − = ⇔ 15-x+3-x+2 (15 )(3 )x x − − =36 ⇔ 2 (15 )(3 )x x − − =2x+18 ⇔ (15-x)(3-x)=(x+9) 2 ⇔ 45-18x+x 2 =x 2 +18x+81 ⇔ 36x=-36 ⇔ x=-1 (Thỏa mãn đkxd) Vậy PT có nghiệm x=-1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u 5: (3,5 đ) a. (1,0 đ) Ta cã · · 0 0 60 180BMP CMQ + + = ̃ · · 0 120CMQ BMP = − Trong BPM ∆ cã µ B =60 0 nªn · · 0 120BPM BMP = − Suy ra · · BPM CMQ = 0,25 0,25 0,25 0,25 b. (1,0đ) Xét hai tam giác BPM và CMQ có · · BPM CMQ = và µ µ B C = nên ∆ MBP đồng dạng với ∆ QCM, suy ra MB BP CQ CM = ̃ BP.CQ=MB.CM= 2 4 BC (vì theo gt ta có MB=MC= 2 BC ) Vì ∆ ABC đều đã cho nên BC có độ dài không đổi, vậy tích MB.CM không đổi 0,25 0,25 0,25 0,25 c. (1,0 đ) Do ∆ MBP đồng dạng với ∆ QCM ̃ BP MP CM QM = ̃ BP MP BM QM = ̃ BP MB MP QM = Hai tam giác MBP và QMP có · · 0 60PBM PMQ = = và BP MB MP MQ = nên hai tam giác MBP và QMP đồng dạng Ta có hai tam giác MBP và QCM đồng dạng Nên hai tam giác QMP và QCM đồng dạng 0,25 0,25 0,25 0,25 d. (0,5 đ) Từ câu c ta có · · BPM QPM = hay PM là phân giác của góc BPQ nên MH=ME (ME là đường cao của tam giác BPM) ME có độ dài không đổi nên MH có độ dài không đổi. 0,25 0,25 H F E M A B C P Q Cõu 6: (3,0 ) a. (1,5 ) Xột ABH v BDK cú ã ã 0 90BAH ABH + = ã ã 0 90DBH ABH + = ã BAH = ã DBH ABH ng dng vi BDK AH BH BK DK = Ta cú HC = 2 HB BH = 1 3 BC 3 AH BC BK DK = 3DK.AH = BC.BK (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b. (1,5 ) C/m ABCH ng dng vi CKD 2 AH HC BC CK KD KD = = AH.KD = HC.CK (2) T (1) v (2) suy ra BK .BC=3HC.CK . 2 . . 3 3 BK BC CK BC HC CK = = BK=2CK Ta cú HC =2BH BH=HK=KC K l trung im ca HC KD l ng trung trc ca on thng HC DH C cõn ti D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu 7: (1,5 ) Ta cú: A= 2 2 1 1 1 1 x y ữ ữ = 2 2 2 2 ( 1)( 1)x y x y = 2 2 ( 1)( 1)( 1)( 1)x x y y x y + + = 2 2 ( 1)( )( 1)( )x y y x x y + + = ( 1)( 1)x y xy + + = 1 2 1 xy x y xy xy + + + = + Ta cú x+y 2 xy (x+y) 2 4xy 1 4xy 1 4 xy Du "=" xy ra khi x=y= 1 2 Vy A 1+2.4=9 Du "=" xy ra khi x=y= 1 2 Vy giỏ tr nh nht ca biu thc A l 9 khi x=y= 1 2 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Ghi chỳ: - Thí sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa,điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở điểm thành phần của đáp án. - Đối với bài hình nếu thí sinh không vẽ hình thì không đợc tính điểm. H K D A B C . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HÀ TRUNG Năm học 2011-2012 Môn thi: Toán. Thời gian: 150 phút Câu 1: (3,5 điểm) Rút gọn các biểu. y     − −  ÷  ÷     C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HÀ TRUNG Năm học 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Nội. là một số chính phương b. Giải phương trình 15 3 6x x − + − = . Câu 5: ( 3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho · PMQ =60 0 a.