Luyện Kiểm tra hình học đề 3 Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = a, SA  (ABC), góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 o . a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC c) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC . Tính diện tích tam giác AHK Giải : a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC Vì tam giác ABC vuông cân tại B => AB=BC= AC 2 = a 2 Ta có : BC  AB , BC  SA => BC  SB + (SBC)  (ABC) =BC ; AB  BC ; SB  BC =>    (ABC);(SBC) =    AB;SB =  SBA =60 0 SA=AB.tan60 0 = a 2 . 3 = a 3 2 S ABC = 1 2 2 a 2       = 2 a 4 ; V S.ABC = 1 3 SA.S ABC = 1 3 a 3 2 . 2 a 4 = 3 a 6 24 b)diện tích tam giác AHK SC= 2 2 SA AC  = a 5 2 ; SK.SC= SA 2 => SK= 2 SA SC = 2 3a 2 a 5 2 = 3a 10 Cách 1: SB= 2 2 SA AB  =a 2 ; AH= SA.AB SB = a 3 a . 2 2 a 2 = a 3 2 2 BC  AB, BC  SA => BC  mp(SAB) , AH  (SAB) => BC  AH Theo cách dựng SB  AH => (SBC)  AH ; HK  (SBC) => AH  HK Đồng thời : AH  SC , AK  SC => HK  SC Ta có  SKH đồng dạng với  SBC => HK BC = SK SB => HK= SK.BC SB = 3a a . 10 2 a 2 = 3a 2 10 S AHK = 1 2 AH.HK= 1 2 a 3 2 2 3a 2 10 = 2 3a 3 16 5 = 3 3a 15 80 Cách 2: V SAHK = 1 3 SK.S AHK => S AHK = SAHK 3V SK 60 0 A S C x a B H K Ta có : SH SB = 2 SH.SB SB = 2 2 SA SB = 2 2 3a / 2 2a = 3 4 SK SC = 2 SK.SC SC = 2 2 SA SC = 2 2 3a / 2 5a / 2 = 3 5 S.AHK S.ABC V V = SA.SH.SK SA.SB.SC =1. 3 4 . 3 5 = 9 20 => V SAHK = 9 20 . 3 a 6 24 = 3 3a 6 160 S AHK = SAHK 3V SK = 3 9a 6 160 3a 10 = 3 3a 15 80 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 . Gọi O là tâm của hình vuông và M là trung điểm của SC. Mặt phẳng () qua A, M, song song với BD,() cắt SB,SD lần lượt tại B’, D’ . a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. b) Tỉnh tỉ số SB' SB c) Tính thể tích khối chóp S.AB’MD’ Giải: a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD O là tâm của hình vuông , SO  (ABCD) Gọi K là trung điểm CD + Tam giác SCD cân => SK  CD + Tam giác OCD cân => OK  CD + Góc tạo bởi mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) là góc tạo bởi SK và OK =>  SKO =60 0 Với OK = a 2 ; SO =OK.tan60 0 = a 3 2 + Đáy là hình vuông S đáy = a 2 + Thể tích hình chóp: V S.ABCD = 1 3 SO.S đáy = 1 3 . a 3 2 .a 2 = 3 a 3 6 b) tỉ số SB' SB = + Nối AM cắt SO tại G , vì (α) song song với BD ; => Giao tuyến của (α) và mp(SBD) là Gx // BD Dựng Gx cắt SB,SD lần lượt tại B',D' O A C S D B 6 0 0 K M B' D' G + Trong tam giác SAC có SO,AM là các trung tuyến => G là trong tâm  SAC => SB' SB = SG SO = 2 3 c) Tính thể tích khối chóp S.AB’MD’ ta có : V SABC =V SADC = 1 2 V S.ABCD  S.AB'M S.ABC V V = SA SB' SM . . SA SB SC = 2 1 . 3 2 = 1 3 => V SAB'M = 1 3 V SABC = 1 6 V SABCD  S.AD' M S.ADC V V = SA SD' SM . . SA SD SC = 2 1 . 3 2 = 1 3 => V SAD'M = 1 3 V SADC = 1 6 V SABCD V SAB'MD' = V SAB'M +V SAD'M = 1 6 V SABCD + 1 6 V SABCD = 1 3 3 a 3 6 = 3 a 3 18  Luyện Kiểm tra hình học đề 4 Bài 1: Cho hình chóp SABC có SA  (ABC), ABC vuông tại B, có SA=3a ; AC =2a;  0 BAC 60  a) Tính thể tích hình chóp SABC ? b) Gọi I là trung điểm SC. Chứng minh rằng IA=IB=IC=IS c) Gọi M là trung điểm của BC và N là điểm trên AB sao cho AN=2NB .Tính cosin của góc tạo bởi MN và SB Giải : a) thể tích hình chóp SABC: + cos  BAC = AB AC => AB=2a. 1 2 =a ; BC=a 3 S ABC = 1 2 a.a 3 = 2 a 3 2 V h/chóp = 1 3 SA.S ABC = 1 3 .3a. 2 a 3 2 = 3 a 3 2 b) Chứng minh rằng IA=IB=IC=IS  SAC vuông có AI là trung tuyến => IA=IS=IC (1) BC  AB , BC  SA => BC  SB Suy ra tam giác SBC vuông tại B , có IB là trung tuyến => IB=Í=IC (2) Từ (1) và (2) suy ra : IA=IB=IC=IS c) cos(MN,SB) BN= AB 3 = a 3 ; BM= 1 2 BC= a 3 2 ; MN= 2 2 BN BM  = a 31 6 ; SB=a 10 60 0 A S C 2 a B H I 3 a M N B A C S O * a a D K J I Cos(MN,SB)= cos(MN;SB   = MN.SB MN.SB   = MN.(SA AB) MN.SB     = MN.AB MN.SB   = (MB BN).AB MN.SB     = BN.AB MN.SB   = BN.BA MN.SB   = 0 BN.BA.cos0 MN.SB = a .a.1 3 a 31 .a 10 6 = 2 310 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với SA (ABCD) , SA=a, ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I,J,K là hình chiếu của A lên SB,SC,SD a) Chứng minh : AJ  IK . Tính tỉ số : SJ SC b) Chứng minh A,I,K,J nằm trên một mặt phẳng . Tính V S.AIJK c) Tính góc giữa hai mp(SBC) và (SCD) ; góc giữa hai đường thẳng AC và SD Giải: a) AJ IK  SAB =  SAD (c.g.c) => SB =SD Đường cao AI = đường cao AK =>  SAI =  SAK => AI =AK ; SI =SK Do đó : SI SB = SK SD => IK // BD Mà BD  AC , BD  SA => BD  (SAC) => IK  (SAC) Mà : AJ  (SAC) Suy ra : IK  AJ SC 2 =SA 2 +AC 2 =a 2 +2a 2 =3a 2  SJ SC = 2 SJ.SC SC = 2 2 SA SC = 1 3 b) Chứng minh A,I,K,J nằm trên một mặt phẳng : BC  AB ; BC  SA => BC  (SAB) Mà : AI  (SAB) => AI  BC Mặt khác : AI  SB (gt) Suy ra : AI  (SBC) => AI  SC (1) CD  AD ; CD  SA => CD  (SAD) Mà : AK  (SAD) => AK CD Mặt khác : AK  SD (gt) Suy ra : AK  (SCD) => AK  SC (2) Từ (1) và (2) suy ra : (AIK)  SC Mặt khác : AJ  SC Do đó AJ , (AIK) cùng nằm trong một mặt phẳng qua A và vuông góc SC . Hay AJ  (AIK) + Thể tích hình chóp S.ABCD: S ABCD = a 2 ; V S.ABCD = 1 3 SA.S ABCD = 1 3 a.a 2 = 3 a 3 (đvtt) + SI SB = 2 SI.SB SB = 2 2 SA SB = 1 2 ; tương tự SK SD = 1 2 SAIJ SABC V V = SA.SI.SJ SA.SB.SC = 1 2 1 3 = 1 6 => V SAIJ = 1 6 V SABC = 1 12 V SABCD SAKJ SADC V V = SA.SK.SJ SA.SD.SC = 1 2 1 3 = 1 6 => V SAKJ = 1 6 V SADC = 1 12 V SABCD Vậy V SAIJK =V SAIJ +V SAKJ = 1 6 V SABCD = 1 6 3 a 3 = 3 a 18 c) Tính góc giữa hai mp(SBC) và (SCD) ; góc giữa hai đường thẳng AC và SD Theo chứng minh trên AI  (SBC) ; AK  (SCD)    (SBC);(SCD) =  (AI;AK) =  IAK AI.SB=SA.AB=> AI= a 2 2 ; AK= a 2 2 IK BD = SI SB => IK= SI SB .BD= 1 2 .a 2 = a 2 2 cos  IAK = 2 2 2 AI AK IK 2.AI.AK   = 2 2 2 2 2a 2a 2a 4 4 4 2a 2. 4   = 1 2 =>  IAK =60 0  cos(AC;SD) = cos(AC;SD)   = AC SD AC.SD   = AC.(SA AD) AC.SD     = AC.AD AC.SD  = 0 AC.AD.cos45 AC.SD = 0 AD.cos45 SD = 2 a. 2 a 2 = 1 2  (AC;SD) =60 0 . AI.SB=SA.AB=> AI= a 2 2 ; AK= a 2 2 IK BD = SI SB => IK= SI SB .BD= 1 2 .a 2 = a 2 2 cos  IAK = 2 2 2 AI AK IK 2. AI.AK   = 2 2 2 2 2a 2a 2a 4 4 4 2a 2. 4   = 1 2 =>  IAK =60 0 . SH SB = 2 SH.SB SB = 2 2 SA SB = 2 2 3a / 2 2a = 3 4 SK SC = 2 SK.SC SC = 2 2 SA SC = 2 2 3a / 2 5a / 2 = 3 5 S.AHK S.ABC V V = SA.SH.SK SA.SB.SC =1. 3 4 . 3 5 = 9 20 => V SAHK = 9 20 . 3 a. = 1 2 2 a 2       = 2 a 4 ; V S.ABC = 1 3 SA.S ABC = 1 3 a 3 2 . 2 a 4 = 3 a 6 24 b)diện tích tam giác AHK SC= 2 2 SA AC  = a 5 2 ; SK.SC= SA 2 => SK= 2 SA SC = 2 3a 2 a 5 2 = 3a 10