Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ CHUYÊN ĐỀ MÔN: TOÁN. Tác giả: Nguyễn Ngọc Xuân Tổ: Toán. Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Tỉnh: Hòa Bình. PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất khi giải phương trình hàm. Ta có thể: • Hoặc cho các biến x,y,… nhận các giá trị bằng số. Thường các giá trị đặc biệt là 0, 1, 2, ± ± • Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết. Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt ( ) f x y+ mà muốn có ( ) 0f thì ta thế y bởi x− , muốc có ( ) f x thì cho 0y = , muốn có ( ) f nx thì thế y bởi ( ) 1n x− . 1.1 Thế ẩn tạo PTH mới: Ví dụ 1: Tìm { } : \ 2f →¡ ¡ thỏa mãn ( ) 2 2 1 2 1 1 1 x f x x x x +   ⇒ + ∀ ≠  ÷ −   . Lời giải: Đặt { } 1 2 1 \ 2 1 x x t t x MGT ≠ +   = ⇒ =  ÷ −   ¡ (tập xác định của f). Ta được: 1t x t x + = − thế vào (1): ( ) ( ) 2 2 3 3 2 t f t t t x − = ∀ ≠ − . Thử lại thấy đúng. Vậy hàm số cần tìm có dạng ( ) ( ) 2 2 3 3t f t t x − = − . Nhận xét: + Khi đặt t, cần kiểm tra giả thiết x x D t D MGT ∈ ⊃ . Với giả thiết đó mới đảm bảo tính chất: “ Khi t chạy khắp các giá trị của t thì x=1 cũng chạy khắp tập xác định của f”. + Trong ví dụ 1,nếu :f →¡ ¡ thì có vô số hàm dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 x x f x x a  − ≠  = −    (Với a ∈ ¡ tùy ý) Ví dụ 2: Tìm hàm ] ( ] ( : ; 1 0;1f −∞ − ∪ → ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2f x x x x x− − = + − ∀ ≥ . Lời giải: Đặt ( ) 2 2 2 2 0 1 1 1 x t t x x x x t x x t − ≥   = − − ⇔ − = − ⇔  − = −   Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ 2 2 2 2 1 1 2 2 x t x t t x x xt t x t ≥  ≥   ⇔ ⇔   + − = − + =    . Hệ có nghiệm 2 1 1 0 1 2 t t x t t t ≤ −  + ⇔ ≥ ⇔  < ≤  ] ( ] ( ; 1 0;1t ∈ −∞ − ∪ . Vậy ] ( ] ( 1 ; 1 0;1 x t D MGT ≥ = = −∞ − ∪ . Với 2 1t x x= − − thì ( ) 2 1 1 1x x f t t t + − = ⇒ = thỏa mãn (2). Vậy ( ) 1 f x x = là hàm số cần tìm. Ví dụ 3: Tìm 2 : \ ;3 3 f   →     ¡ ¡ thảo mãn: ( ) 3 1 1 1, 2 3 2 1 x x f x x x x − +   = ∀ ≠ ≠  ÷ + −   . Lời giải: Đặt ( ) 1 2 3 1 2 2 1 \ ;3 2 3 3 x x x t t t x x t MGT ≠ ≠ − +   = ⇒ = ⇒ =   + −   ¡ thế vào (4) ta được: ( ) 4 3 2 t f t t + = − thỏa mãn (3). Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 4 3 2 t f x x + = − Ví dụ 4: Tìm ( ) ( ) : 0; 0;f +∞ → +∞ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0; 4 .xf xf y f f y x y= ∀ ∈ +∞ Lời giải: Cho ( ) 1, 0;y x= ∈ +∞ , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1xf xf f f= . Cho ( ) 1 1 x f = ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1f f xf x f xf x = ⇒ = ⇒ = . Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f a t xf f t f t t t = ⇒ = ⇒ = (với ( ) 1a f= ). Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 0; 1 0; 0; x f t MGT ∈ +∞ ∈ +∞ ⇒ = +∞ . Ví dụ 5: Tìm hàm ( ) ( ) : 0; 0;f +∞ → +∞ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 ; . . , 0; 2 f f xy f x f f y f x y x y     = = + ∀ ∈ +∞  ÷  ÷     (5). Lời giải: Cho 1; 3x y= = ta được: ( ) 1 3 2 f = . Cho ( ) 1; 0;x y= ∈ +∞ ta được: ( ) 3 f y f y   =  ÷   . Thế lại (5) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0; 5'f xy f x f y x y= ∀ ∈ +∞ . Thay y bởi 3 x ta đượcL ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2f f x f f x x x     = ⇒ =  ÷  ÷     . Thử lại thấy đúng. Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 1 0 2 f x x= ∀ > . Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Ví dụ 6: Tìm hàm :f →¡ ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 4 , 6 .x y f x y x y f x y xy x y x y− + − + − = + ∀ ∈¡ Lời giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 1 1 4 4 x y f x y x y f x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⇔ − + − + − =           = + − − + + + − + + − − + − −             Đặt u x y v x y = −   = +  ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 1 4 vf u uf v u v u v u v u v vf u uf v u v v u v f u u u f u v − = + − + − − ⇒ − = − ⇔ − = − + Với 0uv ≠ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 * 3 , 0 f u u f v v f u u u v a f u au u u u v u − − − = ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = + ∀ ≠¡ + Với 0; 0u v= ≠ suy ra: ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0 0.f u u f u u f− = ⇔ = ⇒ = Hàm ( ) 3 f u au u= + thỏa mãn ( ) 0 0f = . Vậy ( ) 3 f u au u u= + ∀ ∈¡ Hàm số cần tìm là: ( ) ( ) 3 f u ax x a= + ∈¡ . Thử lại thấy đúng. 1.2. Thế ẩn tạo ra hệ PTH mới: Ví dụ 1: Tìm hàm :f →¡ ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 1 1f x xf x x x+ − = + ∀ ∈¡ . Lời giải: Đặt t x= − , ta được: ( ) ( ) ( ) 1 1f t tf t t t− − − = − + ∀ ∈¡ . Ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x xf x x f x xf x f x x  + − = +  ⇒ =  − + − = − +   . Thử lại hàm số cần tìm là: ( ) 1f x = . Ví dụ 2: Tìm hàm số { } : \ 0,1f →¡ ¡ Thỏa mãn: ( ) ( ) * 1 1 2 x f x f x x x −   + = + ∀ ∈  ÷   ¡ . Lời giải: Đặt ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 2 1 . x x f x f x x x − = ⇔ + = + Đặt ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 , 2 1 . 1 x x f x f x x x x − = = ⇔ + = + − Đặt ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 1 , 2 1 . x x x f x f x x x − = = ⇔ + = + Ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 f x f x x x x x f x f x x f x x x x f x f x x  + = +  + − +   + = + ⇒ = = + +   ÷ −    + = +  . Thử lại thấy đúng. Vậy hàm số cần tìm có dạng: ( ) 1 1 1 2 1 f x x x x   = + +  ÷ −   . Ví dụ 3: Tìm hàm số { } : \ 1;0;1f − →¡ ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) 1 1 1 3 . 1 x xf x xf x x −   + = ∀ ≠ −  ÷ +   Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Lời giải: Đặt ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 3 2 1. 1 x x xf x f x x − = ⇒ + = + Đặt ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 1 1 , 3 2 1. 1 x x x f x f x x x − = = − ⇒ + = + Đặt ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 1 1 , 3 2 1. 1 1 x x x x f x f x x x − + = = ⇒ + = + − Đặt ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 3 1 , 3 2 1. 1 x x x x f x f x x − = = ⇒ + = + Ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 1 4 1 . 5 1 2 1 2 1 xf x f x x f x f x x x f x x x x f x f x x f x f x  + =  + =  − + ⇒ =  − + =   + =  Thử lại thấy đúng. Vậy hàm số cần tìm là: ( ) ( ) 2 4 1 . 5 1 x x f x x x − + = − Ví dụ 4. (Áo 1996) Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 2 4 1 2 2 ,x f x f x x x+ − = − ∀ ∪ ¡ Giải Thay x bởi 1 x− ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 2 1 1x f x f x x x− − + = − − − Như vậy ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 1 2 2 1 1 2 1 1 x f x f x x x f x f x x x  + − = −   − − + = − − −   Ta có ( ) ( ) 2 2 1 1D x x x x= − − − + và ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 x D x x x x x= − − − − + . Vậy ( ) . , x D f x D x= ∀ ∈¡ . Từ đó ta có nghiệm của bài toán là ( ) 2 4 2 1 : , : 2 :2 x x a x b f x c x a a a a b  − ≠ ≠  = ∈ =   − − =  ¡ (c là hằng số tùy ý), Với a, b là nghiệm của phương trình 2 1 0x x− − = Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Nhận xét: bài toán trên được dùng một lần nữa trong kì thi VMO 2000, bảng B. Ví dụ 5. Tìm tất các các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 cos , ,f x y f x y f x y x y+ + − = ∀ ∈¡ Hint: 1. Thế 2 y π → 1. Thế 2 y y π → + 2. Thế 0x → Đáp số: ( ) ( ) cos sin ,f x a x b x a b= + ∈¡ Ví dụ 6. :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f xy x y f xy f x f y x y+ + = + + ∈¡ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈¡ Hint: 1. Tính ( ) 0f 2. Thế 1y = − . Chứng minh f là hàm số 3. Thế ( ) ( ) 1 2 1 2 1y f x f x= ⇒ + = + 4. Tính ( ) ( ) 2 1f u v uv+ + + theo (3) và theo giả thiết để suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2f uv u f uv f u+ = + 5. Cho 1 , 2 2 y v x= − → và ,2u y uv x→ → để suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 7. Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 1 , , , , 0,0 ; 0 f x xf x x f x f y f x y x y x y x y = ∀ ≠ + = + + ∀ ∈ ≠ + ≠¡ Hint: 1. Tính ( ) ( ) 0 , 1f f − 2. Tính 1a + với ( ) 1 1 1 1 1 1 x a f f f x x x +     = = = +  ÷  ÷ + +     theo cả hai điều kiện. Đáp số: ( ) 1f x x= + Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Nhận xét: Thủ thuật này áp dụng cho một lớp các bài toán gần tuyến tính Ví dụ 8. Tìm tất cả các hàm số * :f →¡ ¡ thỏa mãn ( ) 1 1 2 f = và ( ) ( ) ( ) 3 3 , ,f xy f x f f y f x y y x +     = + ∀ ∈  ÷  ÷     ¡ Hint: 1. Tính ( ) 3f 2. Thế 3y → Đáp số: ( ) 1 2 f x = Ví dụ 9. Tìm tất các các hàm số * :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện: ( ) * 1 2 3 ,f z f x x y   + = ∀ ∈  ÷   ¡ Hint: Thế 1 x x → Đáp số: ( ) 2 f x x x = − Ví dụ 10. Tìm tất cả các hàm số { } : \ 0,1f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện: ( ) { } 1 2 , \ 0,1 x f x f x x x −   + = ∀ ∈  ÷   ¡ Hint: Thế 1 1 , 1 x x x x x − − → → − Đáp số: ( ) 1 1 1 x f x x x x − = + − − Luyện tập: 2. Tìm tất cả các hàm số :f + + →¤ ¤ thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) 1 1,f x f x x + + = + ∀ ∈¤ và ( ) ( ) 3 3 ,f x f x x + = ∀ ∈¤ Hint: 1. Quy nạp ( ) ( ) , ,f x n f x n x + + = + ∀ ∈ ∀∈¤ ¥ Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ 2. 2. Với p q + ∈¤ , tính 3 2 p f q q      ÷ +  ÷  ÷     theo hai cách. Đáp số: ( ) ,f x x x + = ∀ ∈¤ Ví dụ 11. (VMO 2002). Hãy tìm tất cảc các hàm số ( ) f x xác định trên tấp số thực ¡ và thỏa mãn hệ thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2002 2001. . , ,f y f x f x y y f x x y− = − − ∀ ∈¡ (1) Giải a. Thế ( ) y f x= vào (1) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2002 0 202. ,f f x f x f x x= − − ∀ ∈¡ (2) b. Lại thay 2002 y x= vào (1) thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2002 2002 0 2001. . ,f x f x f x f x x− = − ∀ ∈¡ (3) Lấy (2) cộng với (3) ta được ( ) ( ) ( ) 2002 0,f x f x x x+ = ∀ ∈¡ Từ đây suy ra với mỗi giá trị x ∈ ¡ thì ta có hoặc là ( ) 0f x = hoặc là ( ) 2002 f x x= − . Ta sẽ chỉ ra rằng để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì bắt buộc phải có đồng nhất ( ) 0,f x x≡ ∀ ∈¡ hoặc ( ) 2002 ,f x x x≡ − ∀ ∈¡ . Thật vậy, vì ( ) 0 0f = trong cả hai hàm số trên, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại 0a ≠ sao cho ( ) 0f a = và tồn tại 0b > sao cho ( ) 2002 f b b= − (vì chỉ cần thay 0x = vào quan hệ (1) ta nhận được hàm f là hàm chẵn). Khi đó thế x a= và y b= − vào (1) ta được ( ) ( ) 2002 f b f a b− = + Vậy ta nhận được dãy quan hệ sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2002 2002 002 2002 2002 2002 2002 0 0 0 0 b f b f b f a b a b a b b 2 ≠ − = = − = +  ≠  =  − + − + < −   Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Bằng cách thử lại quan hệ hàm ban đầu ta kết luận chỉ có hàm số ( ) 0,f x x≡ ∀ ∈¡ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 12. (Hàn Quốc 2003) Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x f y f x xf y f f y x y− = + + ∀ ∈¡ (4) Giải Nhận thấy hàm ( ) 0f x ≡ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét trường hợp ( ) 0f x ≠ a. Thế ( ) x f y= vào (4) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 2 f x f f z z f x= + → = − + . Hay ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 f x f f f x = − + . b. Thế ( ) x f z= , với z là một số thuộc ¡ thì ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f z f y f f z f z f y f f y− = + + . Với lưu ý là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 f y f f f y = − + và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 f z f f f z = − + Thay vào quan hệ hàm ở trên ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 f z f y f f z f y f − − = − + . (5) c. Tiếp theo ta chứng tỏ tập ( ) ( ) { } | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡ . Do ( ) 0f x ≠ nên tồn tại một giá trị 0 y sao cho ( ) 0 0f y a= ≠ . Khi đó từ quan hệ (4) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x a f x xa f a f x a f x ax fa− = + + → − − = + . Vì vế phải là hàm bậc nhấ cả X nên xa fa+ có tập giá trị là toàn bộ ¡ . Do đó hiệu ( ) ( ) f x a f x− − cũng có tập giá trị là toàn bộ ¡ , khi x∈¡ . Mà ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } | , |f x f y x y f x a f x x− ∈ ⊃ − − ∈ =¡ ¡ ¡ , Do đó ( ) ( ) { } | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡ . Vậy từ quan hệ (5) ta thu được ( ) ( ) 2 0 , 2 x f x f x= − + ∀ ∈¡ Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Mặt khác ta lại có ( ) ( ) ( ) 2 0 , 2 x f x f x T f= − + ∀ ∈ Nên ( ) 0 0f = . Thử lại thấy hàm số ( ) 2 , 2 x f x x= − ∀ ∈¡ thỏa mãn hệ hàm. Kết luận: Có hai hàm số thỏa mãn là ( ) 2 , 2 x f x x= − ∀ ∈¡ hoặc . Nhận xét: Bài toán trên lấy ý tưởng từ bài thi IMO 1996: Tìm tất cá các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, ,f x f y f f y xf y f x x y− = + + − ∀ ∈¡ . Đáp số là ( ) 2 1, 2 x f x x= − + ∀ ∈¡ Ví dụ 13. (Iran 1999) Xác định các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 , ,f f x y f x y yf x x y+ = − + ∀ ∈¡ Giải a. Thế 2 y x= ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 4 ,f f x x f x f x x+ = + ∀ ∈¡ b. Thế ( ) y f x= − ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 4 ,f f f x x f x x= + − ∀ ∈¡ Cộng hai phương trình trên ta được ( ) ( ) ( ) 2 4 0,f x f x x x− = ∀ ∈¡ . Từ đây ta thấy vỡi mỗi x ∈ ¡ thì hoặc là ( ) 0f x ≡ hoặc là ( ) 2 f x x= . Ta chứng minh nếu f thỏa mãn yêu cầu bài toán thì f phải đồng nhất với hai hàm số trên. Nhận thấy ( ) 0 0f = , từ đó thay 0x = ta được ( ) ( ) ,f y f y y= − ∀ ∈¡ , hay f là hàm chẵn. Giả sử tồn tại 0, 0a b≠ ≠ sao cho ( ) ( ) 2 0,f a f b b= = − , khi đó thay ,x a y b= = − ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 .f b f a b f b f a b− = + → = + Từ đó ta có quan hệ sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (0 0) b f b f b f a b a b a a b b ≠ − = = − = + ≠   =  − + − + < −  Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Do đó xảy ra điều mâu thuẫn. Thử lại thấy hàm số ( ) 0f x ≡ thỏa mãn yêu cầu. Nhận xét: 1. Rõ ràng bài toán VMO 2002 có ý tưởng giống bài toán này. 2. Ngoài phép thế như trên thì bài toán này ta cũng có thể thực hiện những phép thế khác nhau như: a. Thế ( ) ( ) 2 1 . 2 y x f x= − b. Thế 0y = để ( ) ( ) ( ) 2 f f x f x= , sau đó thế ( ) 2 y x f x= − . c. Thế ( ) y x f x= − và sau đó là 2 y x x= − . Ví dụ 14. Tìm hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ,f x f y f x x f y x y− = + + ∀ ∈¡ . (6) Giải Nhận thấy hàm ( ) 0f x ≡ không thỏa mãn yêu cầu. Xét ( ) 0f x ≠ . a. Thay x bởi ( ) f y vào (6) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 f f f y f y= − + b. Lại thay x bởi ( ) f x ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 0 f f x f y f f x f x f y f f x f x f y f x f y f − = + +   = − + + +  ÷   = − − + Tuy nhiên việc chứng minh tập ( ) ( ) { } | ,f x f y x y− ∈¡ có tập giá trị là ¡ chưa thực hiện được. c. Từ đây ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 0 . f f x f y f f x f y f y f f x f y f x f y f y f x f y f f x f x f y f − = − − = − + − + = − − + + = − − + Ta sẽ chứng minh tập ( ) ( ) { } 2 | ,f x f y x y− ∈¡ bằng ¡ . Thật vạy tồn tại giá trị 0 y ∈¡ sao cho ( ) 0 0f y a= ≠ . Khi đó thay 0 y y= vào (6) ta có ( ) ( ) 2 ,f x a f x x a x− − = + ∀ ∈¡ Mà khi x ∈ ¡ thif x a+ có tập giá trị là ¡ . Chứng tỏ tập ( ) ( ) { } 2 | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡ . Mà ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 2 | , |f x f y x y f x a f x x− ∈ ⊃ − − ∈¡ ¡ nên ( ) ( ) { } 2 | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡ . Do đó từ (c) ta kết luận ( ) ,f x x x= − ∀ ∈¡ . Thay vào (6) ta được ( ) 0 0f = Kết luận: Hàm số ( ) ,f x x x= − ∀ ∈¡ thỏa mãn yêu cầu bài toán. [...]... đẳng thức trên ta được ( f ( 0) ) 2 − f ( 1) f ( −1) f ( x ) − = f ( f ( 0 ) − f ( −1) ) x + f ( 0 ) Nếu ( f ( 0 ) ) − f ( 1) f ( −1) = 0 , thì thay x = 0 vào phương trình cuối cùng ta được f ( 0 ) = 0 , nên 2 theo (7) thì f ( x ) f ( y ) = xy Khi đó f ( x ) f ( 1) = x, ∀x ∈ ¡ , điều này dẫn đến ( f ( 0) ) 2 − f ( 1) f ( −1) = −1 , mâu thuẫn Vậy ( f ( 0 ) ) − f ( 1) f ( −1) ≠ 0 , suy ra f ( x ) là một... thấy hàm số này thỏa mãn 2 Nếu f ( 0 ) = 1 thì lại vẫn thay x = y = 0 ta nhận được, với mỗi x ∈ ¡ thì hoặc là f ( x ) = x + 1 hoặc là f ( x ) = x − 1 Giả sử tồn tại giá trị a sao cho f ( a ) = a − 1 Khi đó thay x = a, y = 0 ta được f a 2 = a 2 − 4a + 1 ( ) 2 2 Nhưng ta lại có hoặc là f a = a ( ) + 1 hoặc f ( a ) = a 2 2 − 1 Do đó ta phải có hoặc là 1 Tuy nhiên kiểm tra đều không thỏa 2 Vậy hàm số . Hoàng Văn Thụ Tỉnh: Hòa Bình. PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất khi giải phương trình hàm. Ta có thể: •. dạng ( ) ( ) 2 2 3 3t f t t x − = − . Nhận xét: + Khi đặt t, cần kiểm tra giả thiết x x D t D MGT ∈ ⊃ . Với giả thiết đó mới đảm bảo tính chất: “ Khi t chạy khắp các giá trị của t thì x=1 cũng. Thật vạy tồn tại giá trị 0 y ∈¡ sao cho ( ) 0 0f y a= ≠ . Khi đó thay 0 y y= vào (6) ta có ( ) ( ) 2 ,f x a f x x a x− − = + ∀ ∈¡ Mà khi x ∈ ¡ thif x a+ có tập giá trị là ¡ . Chứng tỏ tập