 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 1 Bùi Văn Chi  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008– 2009 Ngày thi: 18/06/2008 - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (1,5 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 1 a 1 a 2 a + − < với a > 0. Câu 2. (3 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2 2 2x x 11x 6 x 3 x 9 + − = − − b) 2 x 2x 1 3 2 2 − + − + = 1 Câu 3. (1,5 điểm) Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: y = 3x + 1 2x Câu 4. (2,5 điểm) Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường thẳng qua O và vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố đònh khi M (M khác A) di động trên tia Ax. Câu 5. (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho 3x + 1 chia hết cho y đồng thời 3y + 1 chia hết cho x.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 2 Bùi Văn Chi  GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRỪỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009 – Ngày: 18/06/2008 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1(1,5 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 1 a 1 a 2 a + − < với a > 0 (1) Biến đổi: (1) ⇔ 2 a(a 1) + - 2a < 1 (a > 0) ⇔ 2 a(a 1) + < 1 + 2a (a > 0) ⇔ 4a(a + 1) < (1 + 2a) 2 (a > 0) ⇔ 4a 2 + 4a < 4a 2 + 4a + 1 (a > 0) ⇔ 0 < 1: bất đẳng thức đúng Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Câu 2 (3 điểm) Giải các phương trình: a) 2 2 2x x 11x 6 x 3 x 9 + − = − − (1) TXĐ: x ≠ ± 3 Biến đổi: (1) ⇔ 2x(x + 3) = x 2 + 11x – 6 (x ≠ ± 3) ⇔ 2x 2 + 6x – x 2 – 11x + 6 = 0 (x ≠ ± 3) ⇔ x 2 – 5x + 6 = 0 (x ≠ ± 3) ⇔ x = 2. Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2. b) 2 x 2x 1 3 2 2 − + − + = 1 (2) Biến đổi: (2) ⇔ ( ) x 1 2 1 1 − − + = ⇔ x 1 2 2 x 3 2 ; x 1 2 − = + ⇔ = + = − − Vậy tập nghiệm của phương trình (2): S = { } 3 2; 1 2 + − − Câu 3 (1,5 điểm) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức y = 3x + 1 2x với x ≥ 1 (1) Biến đổi: (1) ⇔ y = x 1 5x 2 2x 2 + + p dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 3 Bùi Văn Chi  x 1 x 1 2. . 2 2x 2 2x + ≥ = 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 2x = ⇔ x = 1 (x ≥ 1) Và 5x 5 2 2 ≥ (x ≥ 1) Do đó y ≥ 1 + 5 7 2 2 = . Vậy giá trò nhỏ nhất của y là 7 2 khi x = 1. Câu 4 (2,5 điểm) Chứng minh F thuộc tia cố đònh Iy Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt Ax tại P, cắt AB tại Q. Ta có tứ giác OEPD nội tiếp nên:   1 1 D P = (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) Tứ giác OECQ nội tiếp nên   1 1 C Q = (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) Mặt khác, tam giác OCD cân tại O nên   1 1 D C = . Suy ra   1 1 P Q = , do đó ∆OPQ cân tại O, nên đường cao OE cũng là đường trung tuyến, ta có PE = EQ. Vì PQ // BM (cùng vuông góc với OE), nên theo đònh lý Ta lét, ta có: PE AE EQ MF AF BF = = Suy ra MF = BF. Gọi I là trung điểm của AB, ta có IF là đường trung bình của ∆ABM. Vì tia Ax và điểm I cố đònh nên tia Iy // Ax cũng cố đònh. A C Q P D O I F B M x y 1 1 1 1 E  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 4 Bùi Văn Chi  Vậy khi M di động trên tia Ax thì F di động trên tia cố đònh Iy // Ax, với I là trung điểm của AB. Câu 5 (1,5 điểm) Tìm x, y nguyên với x > 1, y > 1 sao cho: 3x + 1 chia hết y và 3y + 1 chia hết cho x Ta có 3x + 1 ⋮ y , 3y + 1 ⋮ x, nên: 3x + 1 = ky; 3y + 1 = mx, với k, m ∈ N, m ≥ 1, k ≥ 1, k 3, m 3. Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta có: 3x + 1 + 3y + 1 = ky + mx ⇔ ky – 3y + mx – 3x = 2 ⇔ y(k – 3) + x(m – 3) = 2 (1) Vì x > 1, y > 1 và k 3, m 3, nên từ (1) suy ra k và m không thể đồng thời lớn hơn 3, hoặc đồng thời nhỏ hơn 3. Không mất tính tổng quát, giả sử m > 3, khi đó 1 ≤ k < 3, suy ra k =1 hoặc 2. +) Xét trường hợp k = 1 Khi đó ta có 3x + 1 = y. Vì 3y + 1 ⋮ x nên ta có: 3(3x + 1) + 1 ⋮ x ⇔ 9x + 4 ⋮ x ⇔ 4 ⋮ x ⇔ x = 2 hoặc 4 (do x ∈ Z, x > 1) *) Với x = 2 ta có y = 3x + 1 = 7 *) Với x = 4 ta có y = 3x + 1 = 13. +) Xét trường hợp k = 2 Khi đó ta có 3x + 1 = 2y Vì 3y + 1 ⋮ x nên ta có: 2(3y + 1) ⋮ x ⇔ 6y + 2 ⋮ x ⇔ 3(3x + 1) + 2 ⋮ x ⇔ 9x + 5 ⋮ x ⇔ 5 ⋮ x ⇔ x = 5 (x ∈ Z, x > 1) *) Với x = 5 ta có 2y = 3x + 1 = 3.5 + 1 = 16 ⇔ y = 8. Do m, k có vai trò như nhau nên x, y có thể hoán vò các giá trò cho nhau. Vì vậy ta tìm được 6 cặp giá trò x, y liệt kê trong bảng sau thỏa mãn điều kiện bài toán. x 2 7 4 13 5 8 y 7 2 13 4 8 5 .  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 1 Bùi Văn Chi  ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008– 2009 Ngày thi: 18/06/2008 - Thời. 3x + 1 chia hết cho y đồng thời 3y + 1 chia hết cho x.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 2 Bùi Văn Chi  GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRỪỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH . (1) ⇔ y = x 1 5x 2 2x 2 + + p dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 3 Bùi Văn Chi  x 1 x 1 2. . 2 2x 2 2x + ≥ = 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi