Đang tải... (xem toàn văn)
GIÁO TRÌNH Cơ sở mật mã học Mật mã học là khoa học nghiên cứu cách ghi bí mật thông tin nhằm biến bản tin rõ thành các bản mã. Phân tích mã là khoa học nghiên cứu cách phá các hệ mật nhằm phục hồi bản rõ ban đầu từ bản mã. Việc tìm hiểu các thông tin về khóa và các phương pháp biến đổi thông tin cũng là một nhiệm vụ quan trọng của phân tích mật mã.
Häc viÖn c«ng nghÖ bu chÝnh viÔn th«ng GIÁO TRÌNH C¥ së mËt m· häc Chủ biên: GS.TS Nguyễn Bình Cộng tác viên: TS. Ngô Đức Thiện Khoa KTĐT1 - Học viện CNBCVT Hà Nội - 2013 PTIT iii MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU i MỤC LỤC iii CHƯƠNG 1. NHẬP MÔN MẬT MÃ HỌC 1 1.1. SƠ ĐỒ KHỐI ĐƠN GIẢN CỦA MỘT HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ 1 1.2. SƠ LƯỢC VỀ MẬT MÃ HỌC 2 1.3. THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP 3 1.3.1. Khái niệm về thuật toán 3 1.3.2. Độ phức tạp của thuật toán 4 1.4. LÝ THUYẾT THÔNG TIN TRONG CÁC HỆ MẬT 7 1.4.1. Độ mật hoàn thiện. 7 1.4.2. Entropy 13 BÀI TẬP CHƯƠNG 1. 22 CHƯƠNG 2. MẬT MÃ KHÓA BÍ MẬT 24 2.1. SƠ ĐỒ KHỐI MỘT HỆ TRUYỀN TIN MẬT 24 2.2. MẬT MÃ THAY THẾ 25 2.2.1. Mật mã dịch vòng (MDV) 25 2.2.2. Mã thay thế (MTT) 26 2.2.3. Mật mã Vigenère 26 2.3. MẬT MÃ HOÁN VỊ (MHV) 31 2.4. MẬT MÃ HILL 32 2.5. HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN XYCLIC CỦA VÀNH ĐA THỨC 36 2.5.1. Nhóm nhân của vành 36 2.5.2. Các phần tử cấp n và các nhóm nhân xyclic cấp n 37 2.5.3. Hệ mật xây dựng trên các cấp số nhân xyclic 38 2.6. CÁC HỆ MẬT MÃ TÍCH 44 2.7. CÁC HỆ MÃ DÒNG 46 2.7.1. Sơ đồ chức năng của hệ mật mã dòng 46 2.7.2. Tạo dãy giả ngẫu nhiên (M-dãy) 48 2.8. CHUẨN MÃ DỮ LIỆU 53 2.8.1. Mở đầu 53 PTIT Ch¬ng 1: NhËp m«n mËt m· häc 1 CHƯƠNG 1. NHẬP MÔN MẬT MÃ HỌC 1.1. SƠ ĐỒ KHỐI ĐƠN GIẢN CỦA MỘT HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ Hình 1.1. Sơ đồ hệ thống thông tin số Trường hợp nguồn tin đầu vào là nguồn tin số thì không cần bộ biến đổi A/D ở đầu vào và bộ biến đổi D/A ở đầu ra Trong hệ thống này khối mã bảo mật có chức năng bảo vệ cho thông tin không bị khai thác bất hợp pháp, chống lại các tấn công sau: - Thám mã thụ động: bao gồm các hoạt động: + Thu chặn. + Dò tìm. + So sánh tương quan. + Suy diễn. - Thám mã tích cực: bao gồm các hoạt động: + Giả mạo. + Ngụy trang. + Sử dụng lại. + Sửa đổi. Biến đổi A/D (Tương tự - số) Mã nguồn Mã bảo mật Mã kênh Kênh truyền (Tạp âm, đa đường, giao thoa, nhiễu, nghe trộm…) Giải mã kênh Giải mã nguồn Giải mã bảo mật Biến đổi D/A (Số - tương tự) Đầu vào rõ Bản rõ Bản mã Từ mã được truyền Từ mã nhận được Đầu ra số Bản rõ Bản mã Nguồn tin tương tự Nh ậ n tin PTIT Chơng 1: Nhập môn mật mã học 2 1.2. S LC V MT M HC Khoa hc v mt mó (cryptology) bao gm: - Mt mó hc (cryptography). - Phõn tớch mt mó (cryptanalysis). Mt mó hc l khoa hc nghiờn cu cỏch ghi bớ mt thụng tin nhm bin bn tin rừ thnh cỏc bn mó. Phõn tớch mó l khoa hc nghiờn cu cỏch phỏ cỏc h mt nhm phc hi bn rừ ban u t bn mó. Vic tỡm hiu cỏc thụng tin v khúa v cỏc phng phỏp bin i thụng tin cng l mt nhim v quan trng ca phõn tớch mt mó. Cú ba phng phỏp tn cụng c bn ca thỏm mó: Tỡm khúa vột cn. Phõn tớch thng kờ. Phõn tớch toỏn hc. Vic tn cụng ca thỏm mó cú th c thc hin vi cỏc gi nh: Tn cụng ch vi bn mó. Tn cụng vi bn rừ ó bit. Tn cụng vi cỏc bn rừ c chn. Tn cụng vi cỏc bn mó c chn. Chỳ ý: Mt h mt cú th b phỏ ch vi bn mó thng l h mt cú an ton thp. Mt h mt l an ton vi kiu tn cụng cú cỏc bn rừ c chn thng l mt h mt cú an ton cao. Cú 4 loi h mt mó sau: H mt mó dũng. H mt mó khi i xng. H mt mó cú hi tip mt mó. H mt mó khúa cụng khai (Bt i xng). Ta s nghiờn cu cỏc loi h mt trờn cỏc chng sau. Khi xõy dng mt h mt ngi ta thng xem xột ti cỏc tiờu chun sau: mt cn thit. Kớch thc khụng gian khúa. Tớnh n gin v tc d mó húa v gii mó. Tớnh lan truyn sai. Tớnh m rng bn tin. PTIT Chơng 1: Nhập môn mật mã học 3 1.3. THUT TON V PHC TP 1.3.1. Khỏi nim v thut toỏn 1.3.1.1. nh ngha thut toỏn Cú th nh ngha thut toỏn theo nhiu cỏch khỏc nhau. õy ta khụng cú ý nh trỡnh by cht ch v thut toỏn m s hiu khỏi nim thut toỏn theo mt cỏch thụng thng nht. nh ngha 1.1: Thut toỏn l mt quy tc vi nhng d liu ban u ó cho, tỡm c li gii ca bi toỏn c xột sau mt khong thi gian hu hn. minh ha cỏch ghi mt thut toỏn cng nh tỡm hiu cỏc yờu cu ra cho thut toỏn, ta xột trờn cỏc vớ d c th sau õy: Cho n s 1 , 2 , ,X X X n ta cn tỡm m v j sao cho: 1 max k n m X j X k V j l ln nht cú th. iu ú cú ngha l cn tỡm cc i ca cỏc s ó cho v ch s ln nht trong cỏc s cc i. Vi mc tiờu tỡm s cc i vi ch s ln nht, ta xut phỏt t giỏ tr [ ]X n . Bc th nht, vỡ mi ch cú mt s ta cú th tm thi xem [ ]m X n v j n . Tip theo ta so sỏnh [ ]X n vi [ 1]X n . Nu [ ]X n khụng nh hn [ 1]X n thỡ ta gi nguyờn, trong trng hp ngc li, [ 1]X n chớnh l s cc i trong hai s ó xột v ta phi thay i m v j . t [ 1]m X n , 1, , 1j n . Vi cỏch lm nh trờn, mi bc ta luụn nhn c s cc i trong s nhng s ó xột. Bc tip theo l so sỏnh nú vi nhng s ng trc hoc kt thỳc thut toỏn trong trng hp khụng cũn s no ng trc nú. 1.3.1.2. Thut toỏn tỡm cc i M1: [Bc xut phỏt] t , 1, [ ]j n k n m X n M2: [ó kim tra xong?]. Nu 0k , thut toỏn kt thỳc. M3: [So sỏnh]. Nu [ ]X k m , chuyn sang M5 M4: [Thay i m ]. t , [ ]j k m X k (Tm thi m ang l cc i). M5: [Gim k ]. t 1k k quay v M2. Du " " dựng ch mt phộp toỏn quan trng l phộp thay ch (replacement). Trờn õy ta ghi thut toỏn bng ngụn ng thụng thng. Trong trng hp thut toỏn c vit bng ngụn ng ca mỏy tớnh, ta cú mt chng trỡnh. PTIT Chơng 1: Nhập môn mật mã học 4 Trong thut toỏn cú nhng s liu ban u c cho trc khi thut toỏn bt u lm vic c gi l cỏc u vo (input). Trong thut toỏn trờn u vo l cỏc s [1], [2], , [ ]X X X n . Mt thut toỏn cú th cú mt hoc nhiu u ra (output). Trong thut toỏn trờn cỏc u ra l m v j . Cú th thy rng thut toỏn va mụ t tha món cỏc yờu cu ca mt thut toỏn núi chung, ú l: - Tớnh hu hn: Thut toỏn cn phi kt thỳc sau mt s hu hn bc. Khi thut toỏn ngng lm vic ta phi thu c cõu tr li cho vn t ra. Thut toỏn m rừ rng tha món iu kin ny, vỡ mi bc ta luụn ch t vic xem xột mt s sang s ng trc nú v s cỏc s l hu hn. - Tớnh xỏc nh: mi bc thut toỏn cn phi xỏc nh, ngha l ch rừ vic cn lm. Nu i vi ngi c thut toỏn trờn cha tha món c iu kin ny thỡ ú l li ca ngi vit. Ngoi nhng yu t k trờn, ta cũn phi xột n tớnh hiu qu ca thut toỏn. Cú rt nhiu thut toỏn v mt lý thuyt l hu hn bc, tuy nhiờn thi gian hu hn ú vt quỏ kh nng lm vic ca chỳng ta. Nhng thut toỏn ú s khụng c xột n õy, vỡ chỳng ta ch quan tõm nhng thut toỏn cú th s dng thc s trờn mỏy tớnh. Cng do mc tiờu trờn, ta cũn phi chỳ ý n phc tp ca cỏc thut toỏn. phc tp ca mt thut toỏn cú th c o bng khụng gian tc l dung lng b nh ca mỏy tớnh cn thit thc hin thut toỏn v bng thi gian, tc l thi gian mỏy tớnh lm vic. õy khi núi n phc tp ca thut toỏn ta luụn hiu l phc tp ca thi gian. 1.3.2. phc tp ca thut toỏn Thi gian lm vic ca mỏy tớnh khi chy mt thut toỏn no ú khụng ch ph thuc vo thut toỏn m cũn ph thuc vo mỏy tớnh c s dng. Vỡ th, cú mt tiờu chun chung, ta s o phc tp ca mt thut toỏn bng s cỏc phộp tớnh phi lm khi thc hin thut toỏn. Khi tin hnh cựng mt thut toỏn, s cỏc phộp tớnh phi thc hin cũn ph thuc vo c ca bi toỏn, tc l ln ca u vo. Vỡ th phc tp ca thut toỏn s l mt hm s ca ln u vo. Trong nhng ng dng thc tin, chỳng ta khụng cn bit chớnh xỏc hm ny m ch cn bit c ca chỳng, tc l cn cú mt c lng tt ca chỳng. Trong khi lm vic, mỏy tớnh thng ghi cỏc ch s bng búng ốn sỏng, tt, búng ốn sỏng ch s 1, búng ốn tt ch s 0. Vỡ th thun tin nht l dựng h m c s 2, trong ú biu din mt s, ta ch cn dựng hai ký hiu 0 v 1. Mt ký hiu 0 hoc 1 c gi l 1bit vit tt ca binary digit. Mt s nguyờn n biu din bi k ch s 1 v 0 c gi l mt s k bit . phc tp ca mt thut toỏn c o bng s cỏc phộp tớnh bit. Phộp tớnh bit l mt phộp tớnh logic hay s hc thc hin trờn cỏc s mt bit 0 v 1. c lng phc tp ca thut toỏn ta dựng khỏi nim bc O ln. PTIT Ch¬ng 1: NhËp m«n mËt m· häc 5 Định nghĩa 1.2: Giả sử nf và g n là hai hàm xác định trên tập hợp các số nguyên dương. Ta nói nf có bậc O-lớn của g n và viết On g nf , nếu tồn tại một số 0C sao cho với n đủ lớn. Các hàm nf và g n đều dương thì n C g nf . Ví dụ 1.1. : 1) Giả sử nf là đa thức: 1 1 1 0 d d d d n a n a n a n a f trong đó 0 d a . Dễ chứng minh O d n nf . 2) Nếu On g nf , 2 On g nf thì 1 2 O g f f . 3) Nếu 1 1 O gf , 2 2 O gf thì 1 2 1 2 O g gf f . 4) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: lim n n g n f thì O gf 5) Với mọi số 0 , log On n Định nghĩa 1.3: Một thuật toán được gọi là có độ phức tạp đa thức hoặc có thời gian đa thức, nếu số các phép tính cần thiết để thực hiện thuật toán không vượt quá logO d n , trong đó n là độ lớn của đầu vào và d là số nguyên dương nào đó. Nói cách khác nếu đầu vào là các số k bit thì thời gian thực hiện thuật toán là O d k , tức là tương đương với một đa thức của k . Các thuật toán với thời gian O n , 0 được gọi là thuật toán với độ phức tạp mũ hoặc thời gian mũ. Chú ý rằng nếu một thuật toán nào đó có độ phức tạp O g thì cũng có thể nói nó có độ phức tạp O h với mọi hàm h g . Tuy nhiên ta luôn luôn cố gắng tìm ước lượng tốt nhất có thể để tránh hiểu sai về độ phức tạp thực sự của thuật toán. Cũng có những thuật toán có độ phức tạp trung gian giữa đa thức và mũ. Ta thường gọi đó là thuật toán dưới mũ. Chẳng hạn thuật toán nhanh nhất được biết hiện nay để phân tích một số nguyên n ra thừa số là thuật toán có độ phức tạp: exp log loglogn n PTIT Ch¬ng 1: NhËp m«n mËt m· häc 6 Khi giải một bài toán không những ta chỉ cố gắng tìm ra một thuật toán nào đó, mà còn muốn tìm ra thuật toán “tốt nhất”. Đánh giá độ phức tạp là một trong những cách để phân tích, so sánh và tìm ra thuật toán tối ưu. Tuy nhiên độ phức tạp không phải là tiêu chuẩn duy nhất để đánh giá thuật toán. Có những thuật toán về lý thuyết thì có độ phức tạp cao hơn một thuật toán khác, nhưng khi sử dụng lại có kết quả (gần đúng) nhanh hơn nhiều. Điều này còn tùy thuộc những bài toán cụ thể, những mục tiêu cụ thể và cả kinh nghiệm của người sử dụng. Chúng ta cần lưu ý thêm một số điểm sau đây. Mặc dù định nghĩa thuật toán mà chúng ta đưa ra chưa phải là chặt chẽ, nó vẫn quá “cứng nhắc” trong những ứng dụng thực tế. Bởi vậy chúng ta còn cần đến các thuật toán “xác suất”, tức là các thuật toán phụ thuộc vào một hay nhiều tham số ngẫu nhiên. Những “thuật toán” này về nguyên tắc không được gọi là thuật toán vì chúng có thể với xác suất rất bé, không bao giờ kết thúc. Tuy nhiên thực nghiệm chỉ ra rằng, các thuật toán xác suất thường hữu hiệu hơn các thuật toán không xác suất. Thậm chí trong rất nhiều trường hợp, chỉ có các thuật toán như thế là sử dụng được. Khi làm việc với các thuật toán xác suất, ta thường hay phải sử dụng các số “ngẫu nhiên”. Khái niệm chọn số ngẫu nhiên cũng cần được chính xác hóa. Thường thì người ta sử dụng một “máy” sản xuất số giả ngẫu nhiên nào đó. Tuy nhiên ở đây khi nói đến việc chọn số ngẫu nhiên ta hiểu đó là được thực hiện trên máy. Cần chú ý ngay rằng, đối với các thuật toán xác suất, không thể nói đến thời gian tuyệt đối, mà chỉ có thể nói đến thời gian hy vọng (expected). Để hình dung được phần nào “độ phức tạp” của các thuật toán khi làm việc với những số lớn, ta xem Bảng 1.1 dưới đây cho khoảng thời gian cần thiết để phân tích một số nguyên n ra thừa số nguyên tố bằng thuật toán nhanh nhất được biết hiện nay. Bảng 1.1. Độ phức tạp để phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố Số chữ số thập phân Số phép tính bit Thời gian 50 10 1,4.10 3,9 giờ 75 12 9.10 104 ngày 100 15 2,3.10 74 năm 200 23 1,2.10 9 3,8.10 năm 300 29 1,5.10 15 4,9.10 năm 500 39 1,3.10 25 4,2.10 năm Từ Bảng 1.1 trên, ta thấy rằng ngay với một thuật toán dưới mũ, thời gian làm việc với các số nguyên lớn là quá lâu. Vì thế nói chung người ta luôn cố gắng tìm những thuật toán đa thức. PTIT Chơng 1: Nhập môn mật mã học 7 1.4. Lí THUYT THễNG TIN TRONG CC H MT Nm 1949, Claude Shannon ó cụng b mt bi bỏo cú nhan Lý thuyt thụng tin trong cỏc h mt trờn tp chớ The Bell System Technical Journal. Bi bỏo ó cú nh hng ln n vic nghiờn cu khoa hc mt mó. Trong chng ny ta s tho lun mt vi ý tng trong lý thuyt ca Shannon. 1.4.1. mt hon thin. Cú hai quan im c bn v an ton ca mt h mt. 1.4.1.1. an ton tớnh toỏn o ny liờn quan n nhng n lc tớnh toỏn cn thit phỏ mt h mt. Mt h mt l an ton v mt tớnh toỏn nu mt thut toỏn tt nht phỏ nú cn ớt nht N phộp toỏn, N l s rt ln no ú. Vn l ch, khụng cú mt h mt thc t ó bit no cú th c chng t l an ton theo nh ngha ny. Trờn thc t, ngi ta gi mt h mt l "an ton v mt tớnh toỏn" nu cú mt phng phỏp tt nht phỏ h ny nhng yờu cu thi gian ln n mc khụng chp nhn c. (iu ny tt nhiờn l rt khỏc vi vic chng minh v an ton). Mt quan im chng minh v an ton tớnh toỏn l quy an ton ca mt h mt v mt bi toỏn ó c nghiờn cu k v bi toỏn ny c coi l khú. Vớ d, ta cú th chng minh mt khng nh cú dng. Mt h mt ó cho l an ton nu khụng th phõn tớch ra tha s mt s nguyờn n cho trc". Cỏc h mt loi ny ụi khi gi l An ton chng minh c". Tuy nhiờn cn phi hiu rng, quan im ny ch cung cp mt chng minh v an ton cú liờn quan mt bi toỏn khỏc ch khụng phi l mt chng minh hon chnh v an ton. (Tỡnh hỡnh ny cng tng t nh vic chng minh mt bi toỏn l NP y : Cú th chng t bi toỏn ó cho chớ ớt cng khú nh mt bi toỏn NP y khỏc, song khụng phi l mt chng minh hon chnh v khú tớnh toỏn ca bi toỏn). 1.4.1.2. an ton khụng iu kin o ny liờn quan n an ton ca cỏc h mt khi khụng cú mt hn ch no c t ra v khi lng tớnh toỏn m Oscar c phộp thc hin. Mt h mt c gi l an ton khụng iu kin nu nú khụng th b phỏ thm chớ vi kh nng tớnh toỏn khụng hn ch. Khi tho lun v an ton ca mt h mt, ta cng phi ch ra kiu tn cụng ang c xem xột. Trong chng ta thy rng, khụng mt h mt no trong cỏc h mó dch vũng, mó thay th v mó Vigenốre c coi l an ton v mt tớnh toỏn vi phng phỏp tn cụng ch vi bn mó (Vi khi lng bn mó thớch hp). iu m ta s lm trong phn ny l phỏt trin lý thuyt v cỏc h mt cú an ton khụng iu kin vi phng phỏp tn cụng ch vi bn mó. Cú th thy rng, c ba h mt nờu trờn u l cỏc h mt an ton vụ iu kin ch khi mi phn t ca bn rừ c mó hoỏ bng mt khoỏ cho trc. Rừ rng l an ton khụng iu kin ca mt h mt khụng th c nghiờn cu theo quan im phc tp tớnh toỏn vỡ thi gian tớnh toỏn cho phộp khụng hn ch. õy lý PTIT Chơng 1: Nhập môn mật mã học 8 thuyt xỏc sut l nn tng thớch hp nghiờn cu v an ton khụng iu kin. Tuy nhiờn ta ch cn mt s kin thc s ng trong xỏc sut; cỏc nh ngha chớnh s c nờu di õy. nh ngha 1.4: Gi s X v Y l cỏc bin ngu nhiờn. Kớ hiu xỏc sut X nhn giỏ tr x l p(x) v Y nhn giỏ tr y l p y . Xỏc sut ng thi ,p x y l xỏc sut X nhn giỏ tr x v Y nhn giỏ tr y. Xỏc sut cú iu kin p x y l xỏc sut X nhn giỏ tr x vi iu kin Y nhn giỏ tr y. Cỏc bin ngu nhiờn X v Y c gi l c lp nu ,p x y p x p y vi mi giỏ tr cú th x ca X v y ca Y. Quan h gia xỏc sut ng thi v xỏc sut cú iu kin c biu th theo cụng thc: ,p x y p x y p y (1.1) i ch x v y ta cú: ,p x y p y x p x (1.2) T hai biu thc trờn ta cú th rỳt ra kt qu sau:(c gi l nh lý Bayes) nh lý 1.1: (nh lý Bayes) Nu 0p y thỡ: p x p y x p x y p y (1.3) H qu 1.1. x v y l cỏc bin c lp khi v ch khi: p x y p x , ,x y . Trong phn ny ta gi s rng, mt khoỏ c th ch dựng cho mt bn mó. Gi s cú mt phõn b xỏc sut trờn khụng gian bn rừ P . Kớ hiu xỏc sut tiờn nghim bn rừ xut hin l ( )p x P . Cng gi s rng, khúa K c chn (bi Alice v Bob) theo mt phõn b xỏc sut xỏc nh no ú. (Thụng thng khoỏ c chn ngu nhiờn, bi vy tt c cỏc khoỏ s ng kh nng, tuy nhiờn õy khụng phi l iu bt buc). Kớ hiu xỏc sut khúa K c chn l ( )p K K . Cn nh rng khúa c chn trc khi Alice bit bn rừ. Bi vy cú th gi nh rng khoỏ K v bn rừ x l cỏc s kin c lp. Hai phõn b xỏc sut trờn P v K s to ra mt phõn b xỏc sut trờn C . Tht vy, cú th d dng tớnh c xỏc sut ( )p y P vi y l bn mó c gi i. Vi mt khoỏ K K , ta xỏc nh: : K K e x x PC õy ( )KC biu th tp cỏc bn mó cú th nu K l khúa. Khi ú vi mi C y , ta cú: PTIT [...]...Chương 1: Nhập môn mật mã học pC y pK K pP dK y K :yC K (1.4) Nhn thy rng, vi bt kỡ y C v x P , cú th tớnh c xỏc sut cú iu kin pC y x (Tc l xỏc sut y l bn mó vi iu kin bn rừ l x ): pC y x pK K (1.5) K :x dK... xỏc sut pC ta cú: pC (1) 1 8 pC (2) 3 8 1 16 7 16 pC (3) 3 16 1 16 1 4 pC (4) 3 16 Bõy gi ta ó cú th cỏc phõn b xỏc sut cú iu kin trờn bn rừ vi iu kin ó bit bn mó Ta cú: 9 Chương 1: Nhập môn mật mã học pP a |1 1 pP b |1 0 pP a | 2 1 7 pP b | 2 6 7 pP a | 3 1 4 pP b | 3 3 4 pP a | 4 0 pP b | 4 1 Bõy gi ta ó cú iu kin xỏc nh khỏi nim v mt hon thin Mt cỏch khụng hỡnh thc, mt hon... cỏc giỏ tr y K mod 26 s to thnh mt hoỏn v ca Z 26 v pP l mt phõn b xỏc sut Bi vy ta cú: pP y K K Z 26 K Z 26 Do ú: pC y 1 26 vi bt k y Z 26 Tip theo ta cú: 10 pP y 1 Chương 1: Nhập môn mật mã học pC y x pK y x mod 26 1 26 Vi mi x , y vỡ vi mi cp x , y khúa duy nht K (khoỏ m bo eK (x ) y ) l khoỏ K y x mod 26 Bõy gi s dng nh lý Bayes, ta cú th d dng tớnh: pC x y pP x pC y... trờn, vi mi x P v y C , phi cú ớt nht mt khoỏ K sao cho eK (x ) y Bi vy ta cú bt ng thc: C eK x : K K K Tuy nhiờn, ta gi s rng C K , bi vy ta phi cú: e x : K C K K 11 Chương 1: Nhập môn mật mã học Tc l õy khụng tn ti hai khoỏ K 1 v K 2 khỏc nhau eK 1 (x ) eK 2 (x ) y Nh vy ta ó chng t c rng, vi bt k x P v y C cú ỳng mt khoỏ K eK (x ) y Ký hiu n K Gi s P x i :1 i n v c nh... mỡnh vi hy vng rng nú s cú ng dng thng mi rng rói ỏng tic l cú nhng nhc im quan trng i vi cỏc h mt an ton khụng iu kin, chng hn nh OTP iu kin K P cú ngha l lng khúa (cn c thụng 12 Chương 1: Nhập môn mật mã học bỏo mt cỏch bớ mt) cng ln nh bn rừ Vớ d , trong trng hp h OTP, ta cn n bit khoỏ mó hoỏ n bit ca bn rừ Vn ny s khụng quan trng nu cú th dựng cựng mt khoỏ mó hoỏ cỏc bn tin khỏc nhau; tuy nhiờn,... 1 +1/4 2 + 1/4 2 = 3/2 Cỏc vớ d trờn cho thy rng, mt bin c xy ra vi xỏc sut 2 n cú th mó hoỏ c bng mt xõu bit cú di n Tng quỏt hn, cú th coi rng, mt bin c xy ra vi xỏc sut 13 Chương 1: Nhập môn mật mã học p cú th mó hoỏ bng mt xõu bit cú di xp x log 2 p Nu cho trc phõn b xỏc sut tu ý p1 , p 2 , , pn ca bin ngu nhiờn X, khi ú o thụng tin l trng s trung bỡnh ca cỏc lng log 2 pi iu ny dn ti nh... mó v bn rừ Vớ d 1.2: (tip) Ta cú: H P 1 4log 2 1 4 3 4log 2 3 4 1 4 2 3 4 log 2 3 2 2 3 4log 2 3 0,81 bng cỏc tớnh toỏn tng t, ta cú H (K ) 1,5 v H (C ) 1,85 14 Chương 1: Nhập môn mật mã học 1.4.2.1 Cỏc tớnh cht ca Entropy Trong phn ny s chng minh mt s kt qu quan trng liờn quan n Entropy Trc tiờn ta s phỏt biu bt ng thc Jensen õy l mt kt qu c bn v rt hu ớch Bt ng thc Jensen cú liờn... ngu nhiờn cú phõn b xỏc sut p1 , p 2 , , pn trong ú pi 0; 1 i n Khi ú H (X ) log 2 n Du "=" xy ra khi v ch khi pi 1 n , 1 i n Chng minh: p dng bt ng thc Jensen, ta cú: 15 Chương 1: Nhập môn mật mã học n n H (X ) pi log 2 pi pi log 2 (1/ pi ) i 1 i 1 n log 2 ( pi 1 / pi ) i 1 log 2 n Ngoi ra, du "=" ch xy ra khi v ch khi pi 1 n , 1 i n nh lý 1.6: H X ,Y H X H Y (1.13) ng thc... j ) i 1 m j 1 n n m ( rij log 2 pi rij log 2 q j ) i 1 j 1 m j 1 i 1 n rij log 2 piq j i 1 j 1 m Mt khỏc: n H (X ,Y ) rij log 2 rij i 1 j 1 Kt hp li ta thu c kt qu sau: 16 Chương 1: Nhập môn mật mã học m n m n H (X ,Y ) H (X ) H (Y ) rij log 2 (1 / rij ) rij log 2 piq j i 1 j 1 m i 1 j 1 n log 2 piq j i 1 j 1 log 2 1 0 ( õy ó ỏp dng bt ng thc Jensen khi bit rng cỏc rij to nờn mt phõn... (x | y ) (1.15) x Entropy cú iu kin o lng thụng tin trung bỡnh v X do Y mang li Sau õy l hai kt qu trc tip ( Bn c cú th t chng minh) nh lý 1.7: H X ,Y H Y H X |Y 17 (1.16) Chương 1: Nhập môn mật mã học H qu 1.2 H X |Y H X Du bng ch xy ra khi v ch khi X v Y c lp 1.4.2.2 Cỏc khoỏ gi v khong duy nht Trong phn ny chỳng ta s ỏp dng cỏc kt qu v Entropy trờn cho cỏc h mt Trc tiờn s ch ra mt quan . cỏch lm nh trờn, mi bc ta luụn nhn c s cc i trong s nhng s ó xột. Bc tip theo l so sỏnh nú vi nhng s ng trc hoc kt thỳc thut toỏn trong trng hp khụng cũn s no ng trc nú. 1.3.1.2. Thut toỏn. trờn cỏc vớ d c th sau õy: Cho n s 1 , 2 , ,X X X n ta cn tỡm m v j sao cho: 1 max k n m X j X k V j l ln nht cú th. iu ú cú ngha l cn tỡm cc i ca cỏc s ó cho v ch s ln. giỏ tr [ ]X n . Bc th nht, vỡ mi ch cú mt s ta cú th tm thi xem [ ]m X n v j n . Tip theo ta so sỏnh [ ]X n vi [ 1]X n . Nu [ ]X n khụng nh hn [ 1]X n thỡ ta gi nguyờn, trong trng