N G U Y ỄN MINH T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ô n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Nguyễn Minh Tiến 1/ Phép Dời Hình ………………………………………………………………………. trang 2 2/ Phép Tịnh Tiến trang 5 3/ Phép Đối Xứng Trục……………………………………………………………… trang 10 4/ Phép Đối Xứng Tâm……………………………………………………………… trang 18 5/ Phép Quay trang 22 6/ Hai hình bằng nhau………………………………………………………………… trang 30 7/ Phép Vị Tự…………………………………………………………………………. trang 32 8/ Phép Đồng Dạng…………………………………………………………………… trang 38 - 1 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phép biến hình.  ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất điểm M ′ của mặt phẳng. Điểm M ′ gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.  Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M ′ là ảnh của M qua phép f . Ta viết: ( ) M f M ′ = hay ( ) f M M ′ = hay :f M M ′ a hay f M M ′ → . Lưu ý : + Điểm M gọi là tạo ảnh, M ′ là ảnh. + f là phép biến hình đồng nhất ( ) ,f M M M H⇔ = ∀ ∈ . Điểm M gọi là điểm bất động, điểm kép, bất biến. + 1 2 ,f f là các phép biến hình thì 2 1 f fo là phép biến hình.  Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm ( ) M f M ′ = , với M H∈ , tạo thành hình H ′ được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: ( ) H f H ′ = . 2/ Phép dời hình. Phép dời hình là phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là với hai điểm bất kì ,M N và ảnh ,M N ′ ′ của chúng, ta ln có: M N MN ′ ′ = .(Bảo tồn khoảng cách) 3/ Tính chất (của phép dời hình):  ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm khơng thẳng hàng thành ba điểm khơng thẳng hàng.  HQ: Phép dời hình biến: + Đường thẳng thành đường thẳng. + Tia thành tia. + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. + Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm → trực tâm, trọng tâm → trọng tâm,…) + Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm: ,I I R R ′ ′ → = ) + Góc thành góc bằng nó. B . BÀI TẬP ′  − ′ →  ′  − − ′ ′ x = 2x 1 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) M = f(M) = . y = y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = I − ′ − ′  − + ′ →  ′ −  − − f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 1 2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2; I ′ ′ − − ′ − − ′ → 4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời hình hay k I hông ? - 2 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i ′ → ′ → 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I ′ ′ − + − − + − ′ ′ ≠ ≠ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình . (Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) . ′ ′ → → 4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? HD : I I ′ ′ ≠ ≠ ′ → − 1 2 a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) b) I ′ → ≠ 1 g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giải : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì y y I ′ ′ ≠ 2 thì M N MN ) ′ → − + ∆ − − 6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′  − ′   − = ′ → ⇔   ′ = +   ′ = −  ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − = ∈ ∆ ≠ x x = 2x x Ta có f : M(x;y) M = f(M) = 2 y y 1 y y 1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . + M I ′ ∈ ∆ → = = − ′ ∈ ∆ − − → = = ( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1) + N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = ⇒ ∆ + − =  ′ ′ − = −  uuuuur Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ): x 6y 2 0 6 1 VTCP : M N (6; 1) ′ → + + ′ − → 2 2 7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x I I − − 2 2 2) + (y 3) = 4 ′ → − + ∆ − 8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x I − 2 2 + 1) + (y 2) = 2 . 2 2 x y d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 . 3 2 - 3 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i ′ → − + ′ → − + ′ ′ 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1) Ta có : M N = ( I I − + − 2 2 2 1 2 1 x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( I ′ ∆ + − =) : x 2y 4 0 ∈ ∆ ≠ ′ ∈ ∆ → = = ′ ∈ ∆ → = = Cách 2: Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . + M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) + N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  ′ ∆ uuuuur Qua M (2;1) x 2 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ) : x 2y 4 0 2 1 VTCP : M N ( 2;1) Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng ( ∆ ∆ ′ ∈ ∆ → = = ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ⇒ ∆ + ≠ − ∆ ∋ ⇒ − ⇒ ∆ + − = ) // ( ) . + Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) + Vì ( ) // ( ) ( ):x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ∈ − ⇔ + + − = ⇔ ′ ′ ′ ⇔ ∈ 2 2 2 2 x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2 M (x ;y ) I ′ + + − = ′   − − = − ′ ′ → → + + − =   ′ + +   2 2 f 2 2 (C ) : (x 4) (y 3) 2 + Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3) Cách 2: (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2 ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   d) Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 I ′ ′ − − ′ ′ ′ ′ ∈ ⇔ ⇔ ∈ 2 2 2 2 2 2 x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1) Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 3 2 3 2 3 2 ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1) ′ → −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? I ∈ A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 - 4 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i → ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai . ′ ′ → − → − − − 1 1 2 2 1 2 12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) . Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì I I ′ ′′ − → − → − 1 2 2 1 f f m f [f (A)] . ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I ′ → − ∈ x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? 2 A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì I ′ ∈ ′ ′ ∈ ∈ − − ảnh A = f(A) Ox . C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) ′ − ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ r u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M ′ sao cho uMM ′ = uuuuur r . ′ ′ = ⇔ = uuuuur r r r g Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u u u Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó . = ∀ r r g Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất . o o 2/ Biểu thức tọa độ: Cho r u = (a;b) và phép tịnh tiến r T u . ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I 3/ Tính chất: g g ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Biến một tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho . → → Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I ′ ′ → 8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: khơng đổi) 1/ Lấy ′ ′ ∈ → ∈M (H) M (H )I 2/ ′ ≡ → ≡g (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương - 5 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i ′   + + ′ ′ ′ ≡ → ≡   ′   g Tâm I Tâm I (H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) . + bk : R + bk : R = R II ′ ′ ′ ′ ′ ∈ → ∈ Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ . Cách 3 : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I B. BÀI TẬP ′ − ′ ′   − = = ′ ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔   ′ ′ + = = −   r uuuuur r r 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải x 3 2 x 5 Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1) u y 2 1 y 1 ′ ⇒ − − r r M (5; 1) 2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A( 1;1) , u = (3;1) ′ ⇒ − r A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) ′ ⇒ − ′ − − ⇒ r B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = r uuur uuuur r r 3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , A B . Giải Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B) u u ′ ′ ′ ′ = = = = = = ⇔ = = ⇔ = uuur uuuur r r r r r r uuuuur uuuuuuur r r r 1 2 1 2 (4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 . 4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) . 1 2 1 u 2 u 1 2 v Giải Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M 1 u 1 1 2 u 1 1 2 = ⇔ = ⇒ = = + = = r uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuuur r r r r r r r r u . 2 Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u 2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ′ ∆ − ∆ ∆ − r 5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) . ′ ′ = = − = = ′  −  = + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′   r r g r uuuuur g Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) . u u qua A (1; 1) x 1 t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 1 2t VTCP : A B = (1;2) ′ ∆ ∆ ∆ − − ′ = = − r r 6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) . Giải Vì : A T (A) (0; 2) , u ′ = = − ′  −  = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′ −   r g r uuuuur g B T (B) ( 1;1) . u qua A (0; 2) x t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 2 3t VTCP : A B = ( 1;3) ′ ∆ − − ⇒ ∆ − + = ∆ + − − − r r 7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) ′ ⇒ ∆ + + = : 3x y 2 0 - 6 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i + − = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ −   r r 2 2 8 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) . Giải x = x + 1 x = x 1 Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 3 y = y + 3 V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ + − = ⇔ + + = ⇔ ∈ + + = ′ + + = 2 2 2 2 2 2 ì : M(x;y) (C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4 ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x ′ → − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. f là 1 phép dời hình B. I ∈ Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t →rục tung C sai . − + + = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ + −   r r 2 2 9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) . x = x 2 x = x + 2 Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 4 y = y 4 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − = ′ − + − = 2 2 2 2 2 2 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1 ′ − + + = ⇒ − + − = ′ + − + − = − r r 2 2 2 2 BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) + + − − = 2 2 : x y 2x 2y 7 0 − − g 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) . Giải Gọi C(x;y) .Ta = − − = = −   − = = ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =   ⇔ = uur uur uur g uur uur uur g uur uur có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I là trung điểm của AC nên : x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4) AI y 2 2 y 4 Vì I là trung điểm của AC nên : D = T (I) ID BI   − = =   ⇔ ⇔ ⇒   − = =     uur x 1 2 x 3 D D BI D(3;4) y 2 2 y 4 D D − ⇒ −Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d ′ . Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d ′ . Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế? - 7 - T u+ v r r N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i ′ ′ ∈ ∈ ′ ′ ∈ ⇔ = ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒ uuuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB MA M B M B/ /MA M d d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇔ ′ uur tiến biến d thành d . 12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) thành (I ,R ) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) M II ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒ ′ uuuuur uur uuur uuuur uur M II IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC. Giải Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d = uuur uur uur uur ễ thấy J cố đònh và IM JB . Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là JB ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB ′ r 2 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − − ′ ′   − − ′ ⇔ ⇔   ′ ′ − −   ′ ′ ′ ∈ = ⇔ − − ⇔ r uuuuur uuuuur r g uuuuur r u (P ) . Giải : T M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n 2 2 Mà : M(x;y) (P): y ax y n = a(x m) y = I ′ ′ ′ ′ ′ − + ⇔ ∈ − + ′ − + ⇔ − + + ∆ − ≠ ∆ ∆ r r r r 2 2 a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n 2 2 2 Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n . u 15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = − ⇒ − − − r r r r r r ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3) u chọn u = (1; 3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi r r r r ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v u v để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ? Giải − → → − r r u v T T A( 5;2) B C( 1;0)I I . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = − uuur uuur uuur uuur uuur r r r r − − − →  → r r r r r r u v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T . u v T T HD: Gỉa sử : A(x;y) BI I ′ ′  = = ⇒ = + = + = ′ ′   − = = ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   + ′ ′ − = =   ′ ′ uuur uuur uuur uuur uuur r r r r uuuur r r C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x 1 1 x 2 Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) . u v y 2 5 y 7 Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . ∆ − − ∆ ′ ≠ r r r 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) . u - 8 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i ′ ′ ′ → − → ′ ′   + = − = − ′ ′ = − = = ⇔ ⇔ ⇒ −   ′ ′ − = =   ′ − + + = r r uuur uuuur r r u u Giải T T A(3;0) G( 1;3) G (x ;y ) x 1 4 x 5 Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6). y 3 3 y 6 2 2 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,( I I + − + + = ′ ′ ′ ′ − − ′ r 2 2 C ): x y 10x 4y 25 0. Có hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) . HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 . Ta thấy : R = ′ − ∈∆ − − r R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C ) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải = = − ⇒ = − ′ ′   − = = − ′ ′ → = ⇔ ⇔   ′ ′ − = − = +   ′ ′ ′ ′ ∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ r uuur uuur r r g uuur r g g u Vì OABC là hình bình hành nên : BC AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1) u T x x 2 x x 2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u y y 1 y y 1 B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ; I ′ ∈∆ − − ∆ y ) : 2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I 1 1 1 1 2 3 1 2 3 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường trò ∆ = ∆ → → → ⇒ ∆ →∆ uuur uuur 1 AB 2 n nội tiếp của ba tam giác AB C , 1 1 BC A , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I . 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 HD : Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A . 1 1 1 1 AB 2 T AB C C BA ;O 1 1 1 1 I I I I w → → ⇒ = ⇒ = = = uuur uuur uuuuuur uuuur uuur uuur uuuuuur uuuur uuuuuur 1 1 AB AB 2 2 T T O ;I I . 1 2 1 2 O O I I O O I I . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra : 1 1 BC CA 2 2 O O I I và O O I 2 3 2 3 3 1 3 I I w ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆ uuuur I O O I I ,O O I I O O O I I I (c.c.c). 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 µ µ µ · = = = = → ⇔ = = uuur o o o uuuur uuur BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 . Tính độ dài các cạnh BC và DA . HD : T Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw µ = o o 0 (vì B 150 ) · · = − + + = ⇒ = ∆ = + − = + − = ⇒ ⇒ ∆ o o o o o o o Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 . Đònh lý hàm cos trong MCD : 3 2 2 2 2 2 MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác 2 · · · · · ⇒ ∆ ⇒ = = = = = ⇒ ∆ o o o đều MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 . Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M . - 9 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i ⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ = o 6 3 Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A . KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN1:Điểm M ′ gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM ′ Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mo ′ ′ ′ = ⇔ = − uuuuuur uuuuuur a o o o ãi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng a . Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a . Khi đó : ∈ =g a Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động ) ′ ′ ∉ = ⇔ g a M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM a a Đ (M) M thì Đ (M ) M ′ ′ = =g a a Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H . ′ ′ ′ = =g ⇔ =g g d ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó . Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng . 2/ Biểu thức tọa độ: ′ ′ ′ → = = d M(x;y) M Đ (M) (x ;y )I ′ ′   − ≡ ≡   ′ ′ −   x = x x = x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y 3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình. g 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. HQ : → → Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường I I ′ ′ →tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 7. Góc thành góc bằng nó . I a PP : Tìm ảnh M = Đ (M) 1. (d) M , d a 2. H = d a 3. H là trung điểm của MM M ? ′ • ∋ ⊥ ∩ ′ ′ → ′ ∆ ∆ ∆ ∈ ∆ ≠ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∋ ∆ → ∆ a a ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( ) TH1:( )// (a) 1. Lấy A,B ( ) : A B 2. Tìm ảnh A = Đ (A) 3. A , //(a) w - 10 - [...]... Dùng hình thoi Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với nhau Lấy điểm M bất kỳ thuộc (H) và M1 = Đa (M) , M2 = Đb (M1) Khi đó , theo đònh nghóa M1,M2 ∈ (H) - 20 - NGUYỄN MINH TIẾN – GV Trường THPT Tơn Đức Thắng – Đồng Nai · · Gọi O = a ∩ b , ta có : OM = OM1 và MOM1 = 2AOM1 · · OM1 = OM2 và M1OM2 = 2M1OB · · · · Suy ra : OM = OM2 và MOM1 + M1OM2 = 2(AOM1 +M1OB) · hay MOM1 = 2 × 90o = 18 0o... , ta có :  1 ⇒ ∆OO1O 2 là tam giác đều · o  MON = 60  Vì O1B + O2 B = R + R = 2R = O1O2 nên B là trung điểm O1O2 Suy ra :∆ABC ; ∆OO1O2 (Vì cùng đồng dạng với ∆BMN) Vì ∆OO1O2 là tam giác đều nên ∆ABC là tam giác đều Vấn đề 5 : PHÉP QUAY A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố đònh và góc lượng giác ϕ Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho OM = OM′ và (OM;OM′)... nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng 31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn C Vì : ∆ đều có 3 trục đối xứng C ∆ đều 32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều... (1) , (2) suy ra : MN = PK Lí luận , tương tự : MK = PN ⇒ MKNP là hình bình hành - 28 - NGUYỄN MINH TIẾN – GV Trường THPT Tơn Đức Thắng – Đồng Nai 31 Cho ∆ABC Về phía ngoài tam giác , dựng ba tam giác đều BCA1,ACB1,ABC1 Chứng minh rằng : AA1,BB1,CC1 đồng quy HD : Q Q (B;60o) (B;60o) Gỉa sử AA1 ∩ CC1 = I Xét : A1 I C,A I C1 → → Q (B;60o) · · ⇒ A1A I CC1 ⇒ (A1A;CC1) = 60o ⇒ AJC1... Dùng phép quay Q(I;90o) : B I C Vì ∆I1BA = ∆I3CD → · · ⇒ CI3 = BI1 và DCI3 = ABI1 = 45o Mà DC // AB ⇒ CI3 ⊥ BI1 Q (I;90o) Vậy : I3 I I1 ⇒ I2 I1 = I2I3 và I2 I1 ⊥ I2I3 → Lý luận tương tự , ta có : I1I2I3I 4 là một hình vuông Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐL : Nếu ABC và A′B′C′ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ 2 Tính chất : 1 Nếu... Tính chất : 1 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia B BÀI TẬP 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm một phép dời hình biến ∆AEI thành ∆FCH HD : uu ur Thực hiện liên tiếp phép tònh tiến theo AE và phép đối xứng qua đườ ng thẳng IH ur ur... Thắng – Đồng Nai µ µ µ 28 Cho ∆ABC có A = 11 0o Tính B và C để ∆ABC có trục đối xứng µ µ µ µ A B = 50o và C = 20 o B B = 45o và C = 25o µ µ C B = 40o và C = 30o HD : Chọn D Vì : ∆ABC có trục đối xứng khi ∆ABC cân hoặc đều µ Vì A = 11 0o > 90o ⇒ ∆ABC cân tại A , khi đó : o µ o o µ = C = 18 0 − A = 18 0 − 11 0 = 35o µ B 2 2 29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình. .. 4 6 [CB-P23] Trong mpOxy cho các điểm A( − 3;2),B( − 4;5) và C( − 1; 3) a) Chứng minh rằng : Các điểm A′(2;3),B′(5;4) và C′(3 ;1) theo thứ tự là ảnh của A,B và C qua Q (O;− 90o) b) Gọi ∆A1B1C1 là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép - 30 - NGUYỄN MINH TIẾN – GV Trường THPT Tơn Đức Thắng – Đồng Nai Q và phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ các đỉnh của ∆A1B1C1 (O;− 90o)... A ′M1 ⊥ BC → → Như thế : M1 ≡ M′ ⇒ A,M,M′ thẳng hàng ( vì A,M,M1 thẳng hàng ) 17 Cho ∆ABC Gọi A1, B1,C1 tương ứng là trung điểm của BC,CA, AB Kẻ A1x,B1y,C1z lần lượt song song với các đường phân giác trong của các góc A,B,C của ∆ABC Chứng minh : A1x, B1y,C1z đồng quy HD : 1 Xét phép vò tự tâm G , tỉ số − G là trọng tâm ∆ABC , 2 I là tâm đường tròn nôïi tiếp ∆ABC Ta có : AJ I A1x , BI I B1y... minh b) w Phép quay : Q ( ∆ABC) = ∆A′B′C′ , ĐOx (∆A′B′C′) = ∆A1B1C1 (O;− 90o)  x A = x A′ = 2  Khi đó :  1 ⇒ A1(2; −3).Ttự : B1(5; −4),C1(3; 1) y A1 = y A′ = −3  7 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y = 2x2 , (P2 ) : y = 2x 2 − 4x − 1 Khẳng đònh nào sau đây sai ? A) y = 2x 2 − 4x − 1 ⇔ y = 2(x − 1) 2 − 3 B) Tònh tiến sang trái 1 đơn vò rồi xuống dưới 3 đơn vò ta được (P2 ) C) (P1) và (P2 ) . ắ n g – Đồ n g N a i PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Nguyễn Minh Tiến 1/ Phép Dời Hình ………………………………………………………………………. trang 2 2/ Phép Tịnh Tiến trang 5 3/ Phép Đối Xứng Trục………………………………………………………………. , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I . 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 HD : Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A . 1 1 1 1 AB 2 T AB C C BA ;O 1 1 1 1 I I I I w → → ⇒ = ⇒ = = = uuur uuur uuuuuur. Phép Đồng Dạng ………………………………………………………………… trang 38 - 1 - N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vần đề