Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghóa H ÌNH H ỌC 11 Ch ương QUAN HỆ SONG SONG www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song MỤC LỤC §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A.Tóm tắt giáo khoa B.Giải toán Dạng : Xác định mặt phẳng :dùng điều kiện xác định mặt phẳng Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Dạng : Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng Dạng : Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Dạng : Tập hợp giao điểm M đường thẳng a b di động Dạng 7: Thiết diện ( mặt cắt) hình (H) cắt mp(P) 5 8 10 C.Bài tập rèn luyện 10 D.Hướng dẫn giải 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 A Tóm tắt giáo khoa 14 B.Giải toán 14 C.Bài tập rèn luyện 15 D Hướng dẫn giải 15 §3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 16 A.Tóm tắt giáo khoa 16 B Giải toán 17 C Bài tập rèn luyện 18 D Hướng dẫn giải 19 §4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 19 A Tóm tắt giáo khoa 19 B.Giải toán 22 C Bài tập rèn luyện 24 D Hướng dẫn giải 25 www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song §5 PHÉP CHIẾU SONG SONG 26 A Tóm tắt giáo khoa 26 B Giải toán 27 C Bài tập rèn luyện 28 D.Hướng dẫn giải 28 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CUỐI CHƯƠNG 29 Bảng trả lời 31 Hướng dẫn giải 31 www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG §1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng A.Tóm tắt giáo khoa Mở đầu hình học không gian Hình học không gian môn học nghiên cứu tính chất hình không nằm mặt phẳng Đối tượng hình học không gian :điểm ,đường thẳng ,mặt phẳng a A P Điểm A thuộc mp(P) : A ∈ mp(P) Điểm A không thuộc mp(P) : A ∉ mp(P) Các tính chất thừa nhận hình học không gian Tính chất thừa nhận : Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất thừa nhận : Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tính chất thừa nhận : Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Tính chất thừa nhận : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng đó,đđường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất thừa nhận : Trên mặt phẳng ,các kết biết hình học phẳng Định lí : Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng Điều kiện xác định mặt phẳng a) Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm không thẳng hàng b) Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng c) Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng cắt b A A P O a C B P a P Hình chóp hình tứ diện Hình chóp : Cho đa giác phẳng A1A2 An điểm S không thuộc mặt phẳng đa giác Hình gồm n tam giác SA1A2 , , SAnA1 đa giác phẳng A1A2 An gọi hình chóp kí hiệu S.A1A2 .An • S đỉnh Đa giác A1A2 An mặt đáy Các cạnh mặt đáy cạnh đáy www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song • • Các đoạn thẳng SA1, SA2 , ,SAn cạnh bên Các tam giác SA1A2 , , SAnA1 mặt bên S S S A5 A A D B A1 C C Hình chóp tam giác A4 A2 B Hình chóp tứ giác A3 Hình chóp ngũ giác Hình tứ diện : Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD BCD gọi hình tứ diện hay tứ diện kí hiệu ABCD • Tứ diện coi hình chóp tam giác bốn cách,mặt mặt đáy • Tứ diện có bốn mặt tam giác gọi tứ diện B.Giải toán Dạng : Xác định mặt phẳng :dùng điều kiện xác định mặt phẳng Ví dụ 1: Cho điểm A,B,C,D không đồng phẳng Chứng minh điềm không thẳng hàng Giải Nếu điểm chẳng hạn A,B,C thẳng hàng điểm D đường thẳngABC xác định mặt phẳng ,điều trái với giả thiết điểm A,B,C D không đồng phẳng Ví dụ : Cho ba đøng thẳng a,b,c không đồng phẳng cắt đôi Chứng minh chúng đồng qui Giải Gọi O giao điểm hai đường thẳng a b Đường thẳng c phải qua O c không qua O c cắt a tai A khác O cắt b B khác O c nằm mp(a,b)vì c có hai điểm A B thuộc mp(a,b).Điều trái với giả thiết a,b,c không đồng phẳng Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Ta tìm hai điểm chung A, B Giao tuyến đường thẳng AB Để tìm điểm chung A α β , ta chọn đường thẳng a α đường thẳng b β cho a b cắt A (Điều kiện cần a b nằm mặt phẳng thứ ba) www.saosangsong.com.vn b a Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song Tìm giao tuyến : a) Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) b) Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) c) Hai mặt phẳng (MBC ) (SAN) với M trung điểm SA N trung điểm BC Giải a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD mặt đáy ABCD : O thuộc AC nên O thuộc mp(SAC) O thuộc BD nên O thuộc mp(SAD) Do hai mặt phẳng (SAC) (SBD) có hai điểm chung S O Vậy SO = (SAC) ∩ (SBD) b) Theo giả thiết hai cạnh đối AB CD cắt E Do hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có hai điểm chung S E Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD) c) M trung điểm SA nên M ∈ mp(SAN) M ∈ mp(MBC) N trung điểm BC nên N ∈ mp(MBC) N ∈ mp(SAN) Vaäy MN = (MBC) ∩ (SAN) S A M M B A N N O D C E B D O C E Ví dụ : Cho thứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh cạnh AC cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tai E.Gọi O điểm tam giác BCD a) Tìm giao tuyến hai mp(OMN) mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(OMN) mp(ACD) Giải a) E ∈ BC nên E ∈ mp(BCD) E ∈ MN nên E ∈ mp(OMN) O điểm chung thứ hai hai mặt phẳng Vậy OE = mp(OMN) ∩ mp(BCD) b) Hai mặt phẳng (OMN) mp(ACD) có N chung N ∈ AC Đường thẳng OE cắt BD F Đường thẳng MF cắt AD I nằm mp(ABD) giả sử không song song I ∈ MF nên I ∈ mp(OMN) I ∈ AD nên I ∈ mp(ACD) Vậy NI = mp(OMN) ∩ mp(ACD) www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Hoặc : OE cắt CD K NK = mp(OMN) ∩ mp(ACD) Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng • • a Muốn tìm giao điểm đường thẳng a với mặt phẳng (P) ta tìm giao điểm đường thẳng a với đường thẳng b nằm mp(P) Đường thẳng b phải tìm thường giao tuyến (P) mặt phẳng (Q) chứa a (P) Q b Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AC BC O điểm tam giác BCD.Tìm giao điểm : a) CD mp(OMN) b) AD mp(OMN) Giải a) NO CD nằm mp(BCD) giả sử cắt tai E Vậy CD ∩ mp(OMN) = { E} b) Ta coù mp(OMN) ∩ mp(ACD) = ME Trong mp(ACD) , AD ME cắt tai F Vaäy AD ∩ mp(OMN) = { F } A S M M F E D I C D B O O N A N B C Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành.Gọi M trung điểm SC , a) Tìm giao điểm I AM với mp(SBD) tính IA IM b) Gọi N trung điểm AB Tìm giao điểm E MN với mp(SBD) Chứng minh EM = EN c) Tìm giao điểm SD với mp(ABM) Giải a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD.Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM SO giao I Mà I ∈ SO SO nằm mặt phẳng SBD nên I ∈ mp(SBD) Vậy AM ∩ mp(SBD) = { I } I trọng tâm tam giác SBD nên IA =2 IM b) Ta thấy BI = mp(SBD) ∩ mp(ABM) Do BI cắt MN F Vậy MN ∩ mp(SBD) = { E} www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Xét tam giác AMN ta có IA = IM (chứng minh trên) Do gọi F trung điểm AI NF song song với BI (đường trung tam giác ABI.Trong tam giác MNI ta có EI song song với NF I trung điểm MF nên E trung điểm MN c) Trong tam giác SBD đường thẳng BI cắt SD H H ∈ mp(ABM) Vậy SD ∩ mp(ABM) H Dạng : Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng Ta chứng minh chúng ba điểm chung hai mặt phẳng phân biệt cắt Ví dụ : Cho tứ diện ABCD.Lần lượt lấy cạnh AB,AC,AD điểm M,N,P cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC A’, đường thẳng NP cắt đường thẳng CD B’ đường thẳng MP cắt đường thẳng BD C’ Chứng minh ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng Giải Ta có A’ ∈ MN nên A’ ∈ mp(MNP) A’ ∈ BC nên A’ ∈ mp(BCD) Tương tự B’ C’ điểm chung hai mp(MNP) mp(BCD) Vậy ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng giao tuyến hai mặt phẳng MNP vaø BCD A A M P D B C' Gb G D N B C Ga A' M B' C Dạng : Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Có cách : • • chứng minh đường thẳng không đồng phẳng cắt đôi chứng minh đường thẳng cắt giao điểm chúng đừơng thẳng thứ ba Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD Gọi Ga , Gb , Gc trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABC Chứng minh AGa BGb cắt Suy ba đường thẳng AGa , BGb CGc đồng qui Giải Gọi M trung điểm CD BM trung tuyến tam giác BCD nên trọng tâm Ga ∈ BM AM trung tuyến tam giác ACD nên trọng tâm Gb ∈ AM Trong tam giác ABM hai đoạn AGa BGb cắt G Chứng minh tương tự ba đường thẳng AGa , BGb CGc không đồng phẳng cắt đôi ,vậy chúng đồng qui G www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A’, B’ ,C’, D’ Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng A’C’, B’D’ SO đồng qui Giải Trong mặt phẳng (P) hai đường chéo A’C’ B’D’ cắt O’ Ta có : (SAC) ∩ (SBD) = SO Maø O’ ∈ A’C’ A’C’ nằm mp(SAC) nên O’ ∈ mp(SAC) O’ ∈ B’D’ B’D’ nằm mp(SBD) nên O’ ∈ mp(SBD) Vậy O’ ∈ SO giao tuyến hai mặt phẳng Suy A’C’ , B’D’ So đồng qui M a b Dạng : Tập hợp giao điểm M đường thẳng a b di động • Tìm mặt phẳng (P) cố định chứa a mặt phẳng (Q) cố định chứa b M di động giao tuyến d (P) v (Q) Xét giới hạn có • • Ví dụ 10: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d1 d2 cắt O.Điểm M di động đường thẳng d không nằm mặt phẳng (P) không quaO Tập hợp đường thẳng OM làmặt phẳng cố định nào? Giải Điểm O cố định đường thẳng d cố định không qua O xác định mặt phẳng (O,d) Điểm M ∈ d nên OM nằm mặt phẳng cố định (O,d) A MM d E D O P N O D B I F M C Ví dụ 11 : Cho tứ diện ABCD Gọi E F hai điểm cố định cạnh AB AC cho EF không song song với BC.Điểm M di động cạnh CD a) Xác định giao điểm N mp(MEF) với BD b) Tìm tập hợp giao điểm I EM FN Giải a) EF không song song với BC nên cắt BC K.Trong tam giác BCD đường thẳng KM cắt BD N.Vậy N giao điểm mp(MEF) với BD b) Ta có I ∈ EM EM nằm mp(ECD) cố định nên I ∈ mp(ECD) I ∈ FN FN nằm mp(FBD) cố định nên I ∈ mp(FBD) Vậy I ∈ giao tuyến hai mp(ECD) (FBD) Gọi G giao điểm BF CE I ∈ DK giao tuyến hai mp(ECD) vàmp(FBD) Giới hạn : M di động đoạn CD I di động đoạn DG Phần đảo : Gọi I điểm tùy ý đoạn DG EI cắt CD M FI cắt BD N Vậy I giao www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 10 điểm EM FN P Dạng 7: Thiết diện ( mặt cắt) hình (H) cắt mp(P) • Thiết diện phần chung mp(P) hình (H) • Xác định thiết diện xác định giao tuyến mp(P) với mặt hình (H) Thường ta xác định giao tuyến (P) mặt ( tìm điểm chung) Sau kéo dài giao tuyến ta tìm điểm chung khác với mặt khác Từ tìm giao tuyến Đa giác giới hạn đoạn giao tuyến khép kìm thành thiết diện cần tìm L M N Trong hình bên, tam giác MNL thiết diện mặt phẳng (P) hình chóp Ví dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểm A’ cạnh SA Xác định thiết diện mp(A’CD) với hình chóp Giải Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD mặt đáy Trong tam giác SAC, SO cắt A’C O’.Trong tam giác SBD , DO’ cắt SB B’ Vậy thiết diện hình chóp với mp(A’CD) tứ giác A’B’CD S A' B' C.Bài tập rèn luyện D I A 2.1 Hình chóp có đáy lục giác có mặt bên cạnh 2.2 Cho tứ diện ABCD.Lần lượt lấy cạnh AB,AC BD điểm M.N,P cho MN cắt BC E AD cắt MP F a) Xác định giao tuyến hai mp(MNP) mp(BCD) Xác định giao tuyến hai mp(MNP) mp(ACD) b) Chứng minh CD, EP NF đồng qui O B C 2.3 Cho hình chóp S.ABCD ,giả sử AD BC cắt E Gọi I J trung điểm SA SB , điểm M lưu động cạnh SD a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) mp(SBC) Tìm giao tuyến hai mp(SAC) (SBD) b) Tìm giao điểm N SC với mp(MIJ) c) Tìm tập hợp giao điểm H IN JM 2.4 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB N cạnh AD cho MN BD không song song Gọi O điểm tam giác BCD.Tìm giao tuyến mp(OMN) với mp(BCD), mp(ABC) mp(ACD) 2.5 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm P đường thẳng BD không thuộc đoạn BD Trong mp(ABD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh AB AD E F Trong mp(BCD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh BC CD M N a) Bốn điểm E,F,M,N có thuộc mặt phẳng không? www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 19 b) Gọi M N trọng tâm tam giác ABD ABE.Chứng minh MN song song với mp(CEF) D Hướng dẫn giải A 2.15 a) Gọi M trung điểm CD E ∈ AM F ∈ BM Theo tính chất trọng tâm ta có : ME MF = = Vậy EF // AB MA MB Suy EF song song với mp(ABD) mp(ABC) b) Mặt phẳng (P) qua EF // mp(ABC) neân (P) ∩ (ABC) = HJ // AB // EF Tương tự (P) ∩ (ABD) = IK // AB// EF Vậy thiết diện hình thang HIKJ I E H D K B F M J C 2.16 Mặt phẳng (P) qua M song song với AB neân (P) ∩ (ABC) = MN//AB A (P) ∩ (ABD) = HK // AB Mặt phẳng (P) // CD neân (P) ∩ (BCD) = MK // CD H (P) ∩ (ACD) = NH // CD Vaäy MN // HK // AB vaø N MK // NH //CD Suy thiết diện MNHK hình D K bình hành B S H A M N K D M B C C 2.17 a) mp(P) // BC nên mp(P) cắt hai mặt phẳng (ABCD) (SBC) theo hai giao tuyến MN HK song song với BC.Mặt phẳng (P) // SA nên (P) ∩ (SAB) = NH // SA Thiết diện hình thang MNHK b) Đường thẳng MN cắt đường thẳng AD E Hai mặt phẳng (P) (SAD) có E chung SA // mp(P) nên giao tuyến đường thẳng d qua E song song với SA 2.18 a) OO’ đường trung bình tam giác BDF nên OO’//DF Vậy OO’ // mp(ADF) CDFE hình bình hành nên CE // DF OO’ // CE Vậy OO’ // mp(BCE) b) Gọi H trung điểm AB M trọng tâm tam giác ABD nên M ∈ DH N tâm tam giác ABE nên N ∈ EH ta có : HM FN = = Do MN // DE mà DE nằm mp(CEF) HD FE Vậy MN // mp(CEF) §4 Hai mặt phẳng song song A Tóm tắt giáo khoa Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt Cho hai mặt phẳng phân biệt ta có hai trường hợp : www.saosangsong.com.vn F E O' N A H B M O D C Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 20 a) (P) (Q) có điểm chung chúng cắt theo đường thẳng b) (P) (Q) điểm chung ta nói chúng song song với (hoặc song song) ,kí hiệu (P) // (Q) hay (Q) // (P) Định nghóa : Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung P P Q Q Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí : Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) b b a a P P b' Q Q a' Tính chất Tính chất : Qua môt điểm nằm mặt phẳng,có môt mặt phẳng song song với mặt phẳng Hệ : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) qua a có mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) Hệ : Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Tính chất : Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R ) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song a a' R A P A' P a P B B1 Q Q a" b B' Q C R R www.saosangsong.com.vn C1 C' Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 21 Định lí Ta-lét (Thalès) không gian Định lí (Định lí Ta-lét) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lí : (Định lí Ta-lét đảo) Giả sử hai đường thẳng chéo a a’ lấy điểm A,B,C A’,B’,C’ cho AB BC CA Khi ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ nằm ba mặt phẳng song = = A ' B ' B 'C ' C ' A ' song,tức chúng song song với mặt phẳng Hình lăng trụ hình hộp Định nghóa hình lăng trụ : Cho hai mặt phẳng (P) (P’) song song.Trên (P) cho đa giác AB D Qua đỉnh A , B , , D , ta vẽ đường thẳng song song với nhau, cắt mp(P’) A’, B’, , D’ Ta hình lăng trụ , kí hiệu AB D A’B’ .D’ Nếu đáy hình lăng trụ tam giác ,tứ giác,ngũ giác v.v .thì lăng trụ tương ứng gọi lăng trụ tam giác,lăng trụ tứ giác , lăng trụ ngũ giác v.v… A’ • C’ B’ A • • C B Lăng trụ tam giác Trong lăng trụ , cạnh bên AA’, BB’ song song Các mặt bên ABB’A’, BCC’B’ hình bình hành Hai đáy AB D A’B’ D’ có cạnh tương ứng Lăng trụ tứ giác Hình hộp : Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình hộp có: • mặt hình bình hành, mặt đối diện song song • 12 cạnh chia làm nhóm, nhóm cạnh song song • đường chéo cắt trung điểm đường A S D B D' C A' O A' B' B' D' C' C' D A B C Hình chóp cụt Định nghóa : Cho mặt phẳng (P) không qua đỉnh hình chóp song song với mặt phẳng đáy cắt cạnh bên hình chóp Hình giới hạn (P) mặt phẳng đáy gọi hình chóp cụt Tính chất : • Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song • • 22 Các mặt bên hình thang Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng qui điểm B.Giải toán Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Ví dụ : Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD Qua A,B,C,D vẽ nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt song song với nằm phía mặt phẳng (P).Mặt phẳng (Q) cắt Ax, By, Cz, Dt taïi A’, B’, C’, D’ a) Chứng minh mp(Ax,By) song song với mp(Cz,t) b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành c) Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Giaûi a) Ta có Ax // Cz (giả thiết) AB // CD ( cạnh đối hình bình hành) Vậy mp(Ax,By) // mp(Cz,Dt) b) mp(Q) cắt hai mặt phẳng songsong (Ax,By) (Cz,Dt) theo hai x D' tuyến A’B’ // C’D’ z Tương tự mp(By,Cz) // mp(Ax.Dt) Do mp(Q) cắt hai mặt y A' t O' theo hai giao tuyến B’C’ // A’D’ C' Vậy tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành B' c) Gọi O O’ tâm hai hình bình hànhABCD A’B’C’D’ Ta AA '+ CC ' (đường trung bình hình thang ACC’A’) BB '+ DD ' OO’ = (đường trung bình hình thang BDD’B’) A coù : OO’ = D O B C Vaäy AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi E F trung điểm SA CD a) Chứng minh mp(OEF) song song với mp(SBC) b) Gọi M trung điểm SD N trung điểm OE Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBC) Giải a) Ta có OF // BC ( đường trung bình tam giác BCD) OE // SC ( đường trung bình tam giác SAC) Vaäy mp(OEF) // mp(SBC) S M E A N D F O B b) Ta có EM // AD (đường trung bình tam giác SAD) EM//OF Suy MN nằm mặt phẳng (OEMF) Mà mp(OEMF) // mp(SBC) Vậy MN // mp(SBC) C www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 23 Ví dụ : Cho hai nửa đường thẳng Ax By chéo Hai điểm C D di động Ax By cho AC = BD a) Chứng minh CD luôn song song với mặt phẳng cố định b) Trung điểm M cũa CD chạy đường nào? Giải a) Kẻ Bt // Ax lấy điểm H Bt cho BH = AC Ta có AC // BH AC = BH nên tứ giác ABHC hình bình hành Do CH // AB Mặt khác BH = BD nên tam giác BDH cân B, DH song song với phân giác Bz Vậy mp(CDH) // mp(ABz) Mà CD nằm mặt phẳng (CDH) nên CD // mp(ABz) cố định b) Gọi O trung điểm AB N là trung điểm DH Ta có MN // OB MN = OB nên OMNB hình bình hành, suy OM // BN Vì tam giác BDH cân nên trung tuyến BNcũng phân giác góc yBt , N di động tia phân giác Bz’của góc yBt cố định Vậy M di động tia Ou // Bz’ A x C O M H B t N z D y Ví dụ : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M trung điểm B’C’ a) Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC N AN//A’M b) Chứng minh đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (AB’C’) (A’BC) Giải A C N b) Ta có AN // A’M NC’ // BM Do mp(ANC’) // mp(BA’M) Vaäy AC’ // mp(BA’M) B O' O C' A' a) Hai mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) song song cắt mặt phẳng (AA’M) theo hai giao tuyền AN // A’M , N trung điểm BC c) Gọi O tâm hình bình hành ABB’A’ O’ tâm hình bình hành ACC’A’ Hai mặt phẳng (AB’C’) (A’BC) có hai điểm chung O O’ nên giao tuyến chúng OO’ M B' Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh bốn đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường b) Chứng minh tổng bình phương đường chéo hình hộp tổng bình phương tất cạnh hình hộp đo.ù Giải a) Ta có AA’ // CC’ AA’ = CC’ nên tứ giác ACC’A’ hình bình hành, hai đường chéo AC’ A’C cắt trung điểm đường Tương tự tứ giác ABC’D’ ADC’B’ hình bình hành www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 24 Vậy bốn đường chéo AC’, A’C, BD’ B’D giao trung điểm O đường b) Ta chứng minh tính chất : Trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo tổng bìng phương cạnh A Xét hình bình hành ABCD, theo định lí hàm cos ta coù : 2 AC = AB + BC – 2AB.BC.cosB BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos A mà góc A góc B bù nên cosA = - cosB B C Vậy AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2 ) p dụng tính chất vào hình hành: A' ACC’A’ ⇒ AC’2 + A’C2 = 2(AC2 + AA’2) D' 2 2 BDD’B’ ⇒ BD’ + B’D = 2(BD + BB’ ) Vaäy AC’2 + A’C2 + BD’2 + B’D2 = 4AA’2 + 2(AC2 + BD2 ) C' (vì AA’ = BB’) B' 2 = 4AA + 4( AB + BC ) S Ví dụ : Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’.Gọi S giao điểm đường thẳng chứa cạnh bên G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng tỏ AG // A’G’ Giải Gọi M M’ trung điểm BC B’C’ trọng tâm G thuộc AM trọng tâm G’ thuộc A’M’.Hai mặt phẳng song song (ABC) (A’B’C’) cắt mặt phẳng AGA’ theo hai giao tuyến AG // A’G’ D A' C' G' M' B' C A G M B C Bài tập rèn luyện 2.19 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có cạnh chung AB không nằm mặt phẳng a) Chứng minh mp(CBE) // mp(ADF) b) Lấy điểm M đừờng chéo AC với MC = 2AM điểm N đường chéo BF với NF = 2BN Các đường song song với AB kẻ từ M,N cắt AD AF M’ N’.Chứng minh mp(DEF) // mp(MNN’M’) 2.20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành.Gọi O tâm hình bình hành , M N trung điểm SC SD a) Chứng minh mp(OMN) song song với mp(SAB) b) Gọi E F trung điểm CD ON Chứng minh EF song song với mp(SBC) 21 Cho tứ diện ABCD.Gọi M N hai điểm di động hai đường thẳng AB CD Chứng tỏ điểm I nằm mặt phẳng cố định 2.22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M N trung điểm cạnh AA’ AC a) Dựng thiết diện hình lăng trụ với mặt phẳng (MNB’) b) Dựng thiết diện lăng trụ với mp(MNP) với P trung điểm B’C’ 23 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh mp(BDA’) song song với mp(B’D’C) b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 G2 hai tam giác BDA’ B’D’C AG1 = G1G2 = G2C’ www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 25 D Hướng dẫn giải 2.19 a) Ta có BC // AD BE // AF Vậy mp(CBE) // mp(DAF) b)MM’ // DC nên theo định lí Ta-lét tam giác ACD ta có F E N' N A AM ' AM : = = AD AC B M' AN ' BN NN’ // AB neân ta coù : = = AF BF AM ' AN ' Do : ⇒ M’N’ // DF = AD AF M D C Ta coù EF // NN’ ( song song với AB) DF // M’N’ Vậy mp(DEF) // mp(MNN’M’) S 2.20 a) Ta coù MN // CD AB // CD nên MN // AB Ta có MO // SA Vậy mp(OMN) // mp(SAB) b) Ta có OE // BC ON // SB Vậy mp(OEN) // mp(SBC) Suy EF // mp(SBC) N M F A 2.21 Gọi E F trung điểm AD BC IM EA Ta có : = =1 IN ED IM IN hay = EA ED A M E y I D B x N F D E O B C Do theo định lí Ta-lét đảo ba đường thẳng EI , AM , DN song song với mặt phẳng Nếu kẻ Ex // AB Ey // DC EI nằm mặt phẳng (xEy) cố định C 2.22 K N A Q B M E HC a) Đường thẳng MN cắt đường thẳng CC’ K Đường thẳng BK cắt BC Q Vậy thiết diện hình lăng trụ với mặt phẳng (MNB’) tứ giác MNQB’ b) Đường thẳng PK cắt BC H đường thẳng MN AC E Đường thẳng PE A’B’ R Vậy thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNP) ngũ giác MNHPR C' A' R P B' www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 26 2.23 a) Ta có BD // B’D’ BA’ // CD’ Vậy mp(BDA’) // mp(B’D’C) b) Gọi O O’ M tâm hình bình hànhABCD,A’B’C’D’ ACC’A’ Trong hình bình hành ACC’A’,đường chéo AC’ cắt A’O G1 cắt CO’ G2 Ta có AO // A’C’ A’C’ = 2AO A Do hai tam giác G1A’C’ đồng dạng với tam giác G1OA ,ta có : G1 A ' A ' C ' = = Vậy G1 trọng tâm tam giác BDA’ G1O AO O A’O trung tuyến tam giác Tương tự B G2C AC = = nên G2 trọng tâm tam giác B’D’C G2O ' C ' O ' C G1 M G2 A' Mặt khác ta có OG1 // CG2 O trung điểm AC nên AG1 = G1G2 Tương tự O’G2 // A’G1 nên C’G2 = G1G2 D D' O' C' B' §5 Phép chiếu song song A Tóm tắt giáo khoa Định nghóa phép chiếu song songTrong không gian cho mặt phẳng (P) đường thẳng d cắt mp(P) Với điểm M không gian ,vẽ đường thẳng qua M song song với d trùng với d Đường thẳng cắt mp(P) M’ Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M’ mp(P) gọi phép chiếu song song lên mp(P) theo d M phương d, mp(P) gọi matë phẳng chiếu, đường thẳng d gọi D phương chiếu M’ gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) điểm M qua phép chiếu song song • Nếu M vạch hình (H) hình chiếu M’ vạch hình M' (H’) (H’) gọi hình chiếu song song hình (H) P • Nếu M thuộc mặt phẳng chiếu (P) hình chiếu song song M M Tính chất Tính chất : Hình chiếu song song đường thẳng đường thẳng Hệ : Hình chiếu song song đoạn thẳng đoạn thẳng, tia tia M a Q N R d a' a' b' M' P b Q a M d M' N' P Tính chất : Hình chiếu song song hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song trùng www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 27 Tính chất : Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song A A B d C D d B C D D A' B' C' D A' D' P C' B' D' P Hình biểu diễn hình không gian Định nghóa : Hình biểu diễn hình (H) không gian hình chiếu song song hình (H) mặt phẳng hình đồng dạng với hình chiếu Người ta chứng minh :Hình chiếu song song đường tròn đường elip đường tròn (đặc biệt đoạn thẳng).Vì ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn đường tròn ,tâm elip biểu diễn cho tâm đường tròn B Giải toán Ví dụ : Cho tứ diện ABCD.Gọi G trọng tâm tam giác ACD a) Chứng minh hình chiếu song song G’của điểm G mặt phẳng (BCD) theo phương AB trọng tâm tam giác BCD b) Gọi E,F,H trung điểm AB,AC,AD.Hình chiếu tam giác EFH hình gì? Giải a) Gọi M trung điểm CD G ∈ AM GA = 2GM Hình chiếu song song AM theo phương AB mp(BCD) BM Do hình chiếu song song điểm G A mp(BCD) theo phương AB điểm G’ ∈ BM G’B = 2G’M (tính chất 3) Vậy G trọng tâm tam giác BCD Hình chiếu điểm E theo phương AB mp(BCD) B Hình H E chiếu trung điểm F AC theo phương AB mp(BCD) trung điểm K BC hình chiếu trung điểm H AD trung F G điểm N BD.Vậy hình chiếu tam giác EFH theo phương AB N D mp(BCD) tam giác BKN B G' K M C Ví dụ : Cho đoạn AB song song với mp(P) Gọi A’ B’ hình chiếu song song A B mp(P) theo phương đường thẳng d cho trước Chứng minh A’B’ = AB.Phần đảo có không? Giải Ta có AB // mp(P) A’B’ = (ABB’A’) ∩ (P) www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 28 A’B’ // AB Ta có AA’ // BB’ // d Vậy ABB’A’ hình bình hành Suy A’B’ = AB Phần đảo sai lấy điểm C đường thẳng BB’ với AC = AB hình chiếu AC A’B’ = AC AC không song song với mp(P) B A d D B' A' P C Bài tập rèn luyện 2.24 Chứng minh hình chiếu song song hình bình hành mp(P) theo phương d cho trước thường hình bình hành 2.25 Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) A Gọi a’ hình chiếu song song a mp(P) theo phương d cho trước a) Chứng tỏ a’ qua A b) Lấy hai điểm B C a gọi B’ , C’ hình chiếu song song B C mp(P) theo phưong d Chọn phương d cho B’C’ = BC 2.26 Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng (P).Giả sứ BC song song với (P) AB AC cắt (P) D E.Hãy chọn phương chiếu d cho hình chiếu tam giác ABC (P) theo phương d tam giác D.Hướng dẫn giải 2.24 Theo tính chất hình chiếu song song hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song trùng nhau.Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song nên hình chiếu song song mặt phẳng chiếu (P) thường hính bình hành Nếu phương chiếu d song song với mặt phẳng hình bình hành hình chiếu hình bình hành đoạn a B A C C d D d B B' A' D' P a' C' A B' C' P 2.25 a) Ta có điểm A ∈ a điểm A ∈ mp(P) ,do hình chiếu song song A mp(P) theo phương d điểm A.Mà hình chiếu song song đường trẳng a mp(P) a’ ,Vậy A ∈ a’ b) Nếu B’C’ = BC tứ giác BCC’B’ hình thang cân cạnh đáy BB’và CC’.Do AB’ = AB Lấy điểm B’ mp(P) cho AB’ = AB chọn phương d song song với BB’ 2.26 Ta có BC // mp(P) nên BC //DE // B’C’ Do tam giác A’B’C’ tam giác tam giác A’DE tam giác Vậy mặt phẳng (P) ta dựng tam giác A’DE biết cạnh DE cho trước Chọn phương d // AA’ A d A' B' D P www.saosangsong.com.vn C B C' E Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 29 Câu hỏi trắc nghiệm cuối chương Câu : Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? a) Hai đường thẳng điểm chung chéo b) Hai đường thẳng không song song chéo c) Không có đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo d) Hai đường thẳng chéo chúng không nằm mặt phẳng Câu : Trong mệnh đề sau mệnh đề ? a) Cho đường thẳng a // mp(P) đường thẳng b nằm mp(P) a song song với b b) Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng chúng song song c) Có mặt phẳng qua điểm đường thẳng không chứa điểm d) Cả ba câu sai Câu : Cho tứ diện ABCD.Các mệnh đề sau mệnh đề đúng: a) Có ba cặp đường thẳng chéo AB CD, AD BC ,AC BD b) Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối đồng qui c) Các đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện đồng qui d) Cả ba câu Câu : Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC E Lấy điểm O tam giác BCD.Các kết luận sau kết luận đúng? (I) mp(OMN) ∩ mp(BCD) = OE (II) Giao điểm mp(OMN) với đường thẳng BD giao điểm BD với đường thẳng OE (III) Giao điểm mp(OMN) với đường thẳng CD giao điểm CD với đường thẳng ON a) (I) b) (I) (II) c) (II) d) ba (I) (II) (III) Câu : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O.Gọi M trung điểm SC.Các kết luận sau kết luận đúng? (I) Giao điểm I đường thẳng AM với mp(SBD) thuộc SO IA = 2IM (II) (III) Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) mp(SCD) đường thẳng qua S song song với AB a) ba câu (I),(II),(III) b) (I) c) (I) (III) d) (I) (II) Câu : Cho tứ diện ABCD Gọi E F trung điểm AB CD G tâm tam giác BCD.Giao điểm đường thẳng EG mp(ACD) : a) Điểm F b) Giao điểm đường thẳng EG đường thẳng AF c) Giao điểm đường thẳng EG đường thẳng AC d) Giao điểm đường thẳng EG đường thẳng CD Câu : Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB AC.Điểm P tuỳ ý cạnh AD Thiết diện hình tứ diện ABCD với mp(MNP) : a) Thường hình bình hành b) Một tam giác c) Một hình thang d) Môt ngũ giác Câu : Cho tứ diện ABCD có cạnh a.Lấy điểm M AB với AM = a Diện tích thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng qua M song song với mp(BCD) : www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song a2 a) 12 a2 b) 18 a2 c) 24 30 a2 d) 36 Câu : Cho tứ diện ABCD có cạnh a.Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác BCD ACD đoạn G1G2 bao nhiêu? a) a b) a c) 2a d) đáp số khác Câu 10 : Cho hai tia Ax By nằm hai đường thẳng chéo nhau.Điểm M di động Ax điểm N di động By cho BN = AM.Trên tia Bz // Ax lấy điểm M’ cho BM’ = AM Gọi I trung điểm MN.Câu sau đúng? a) M’N song song với đường thẳng cố định b) MN song song với mặt phẳng cố định c) I chạy tia Ot với O trung điểm AB d) Cả ba câu Câu 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AD//BC).Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) : a) Đường thẳng qua S trung điểm AB b) Đường thẳng qua S song song với AD c) Đường thẳng qua S song song với AB d) Đường thẳng qua S giao điểm O AC BD Câu 12 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M N trung điểm BC CC’.Mặt phẳng (A’MN) cắt AB H a) b) HA : HB c) ½ d) tỉ số khác Câu 13 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi H trung điểm A’B’.Mặt phẳng (BCH) cắt A’C’ K tỉ số a) A' K : A 'C ' b) ½ c) d) Câu 14 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’.Mặt phẳng (BCH) cắt AE : AC ' 1 b) c) AC’ E tỉ số a) d) Câu 15 : Cho tứ diện ABCD có cạnh a.Gọi G trọng tâm tam giác BCD.Cắt tứ diện mặt phẳng (ABG) diện tích thiết diện baèng : a) a2 b) a2 2 c) a2 d) a2 Caâu 16 : Cho tứ diện ABCD M trung điểm CD.Lấy điểm O BM với BO = OM.Đường song song với AB kẻ từ O cắt mp(ACD) A’ tỉ số OO ' : AB www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan heä song song a) b) c) d) 31 Caâu 17 : Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang ABCD (AD//BC) Gọi M N trung điểm SB SC Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) : a) Đường thẳng AD b) Đường thẳng song song với MN c) Đường thẳng AM d) Đường thẳng BN Câu 18 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng (P) qua điểm M cạnh SA song song với AC SB cắt AB, BC, SC , BD SD N,Q,R,E F.Các mệnh đề sau mệnh đề đúng? a) MNPR hình bình hành b) MN,QR EF song song với SB c) MQ, NR EF đồng qui d) Cả ba câu Câu 19 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Lấy điểm M AB với AB = 4AM, điểm N DD’ với ND = 3ND’ điểm P B’C’ với B’C’ = B’P Các mệnh đề sau mệnh đề ? a) mp(MNP) song song với mp(AB’D’) b) mp(MNP) song song với mp(AC’D’) c) MN song song với AP d) Cả ba câu sai Câu 20 : Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? (I) Một đường thẳng trùng với hình chiếu song song (II) Tam giác ABC có hình chiếu song song tam giác A’B’C’ trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu trọng tâm tam giác A’B’C’ (III) Một đường thẳng cắt hình chiếu a) Chỉ (I) b) (I) (II) c) (III) d) ba (I) (II) (III) Bảng trả lời 1d 11b 2c 12a 3d 13b 4b 14a 5a 15c 6b 16b 7c 17b 8d 18d 9b 19a 10d 20b A Hướng dẫn giải 1d 2c 3d M 4b (I) hai mặt phẳng (OMN) (BCD) có hai điểm chung O E Vậy mp(OMN) ∩ mp(BCD) = OE (II) OE BD nằm mặt phẳng (BCD) nên cắt F F giao điểm BD với mp(OMN) (III) sai CD ON không cắt 5a www.saosangsong.com.vn B N O C E D Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 32 • AM SO hai trung tuyến tam giác SAC giao trọng tâm I ,mà SO nằm mp(SBD) nên AM cắt mp(SBD)tại I SO • (II) I trọng tâm tam giácSAC • (III) hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có S chung AB//CD S x M I A D O B C b F trung điểm CD nên BF trung tuyến tam giác BCD.Do G thuộc BF.Vậy tam giác ABF, EG AF cắt H H giao điểm EG mp(ACD) 7c MN // BC ,do mp(MNP) cắt mp(BCD) theo giao tuyến PQ // BC// MN Vậy thiết diện MNPQ hình thang a a2 Vậy diện tích thiết diện S = 36 9b Gọi M trung điểm CD G1 ∈ BM G2 ∈ AM MG1 MG2 Ta coù : = = Do ñoù G1G2 // AB MB MA GG a Vaäy = Suy G1G2 = AB 3 8d Thiết diện tam giác cạnh 10d Ta có BN = BM’ = AM Do tam giác BNM’ cân nên cạnh NM’ // với phân giác Bu góc yBz Ta có MM’ // AB NM’ // Bu nên mp(MNM’) // mp(ABu) E Vậy MN // mp(ABu) cố định A Gọi O trung điểm AB J trung điểm NM’ OI // BJ Vậy I thuộc tia Ot // pnân giác Bv góc yBz M H 11b Hai mặt phẳng (SAD) (SBC) có điểm S chung chứa AD BC song song Vậy giao tuyến chúng đường thẳng qua S song song với AD 12a Đường thẳng MN cắt đường thẳng BB’ E Đường thẳng A’E cắt AB H H giao điểm mp(A’MN) với AB M trung diểm BC nên BE = CN = Vậy CC’mà BB’ = CC’ AB = A’B’ HB EB = = A ' B ' EB ' B N B' C Suy HA = HB B K A' H B' www.saosangsong.com.vn C' A' A 13c Ta coù BC // B’C’ Do mp(BCH) cắt mp(A’B’C’) theo giao tuyến HK // B’C’ C C' Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 33 H trung điểm A’B’.Vậy K trung điểm A’C’ Suy A'K = A 'C ' 14a AC’ cắt CK E E giao điểm mp(BCH) với AC’ AE = AC ' Vậy 15c Mặt phẳng (ABG) cắt CD trung điểm M.Vậy thiết diện tam giác ABM cân M với AB = a MA= MB = Vậy S = a a ,đường cao MH tam giác baèng 2 a2 A 16b Trong tam giác ABM, đường song song với AB kẻ từ O cắt AM A’ Ta có : OA ' MO = = AB MB A' 17b Ta có MN // BC (đường trung bình tam giác SBC Hai mặt phẳng (SAD) (SBC) có S chung chứa AD // BC //MN Vậy giao tuyến chúng đường thẳng qua S song song với MN 18d D B O M C • S M F R A D N mp(P) qua M // với SB AC nên mp(P) ∩ (SAB) = MN //SB • mp(P) ∩ mp(ABC) = NQ // AC • mp(P) ∩ mp(MAC) = MR // AC • mp(P) ∩ mp(SBC) = QR // SB • mp(P) ∩ mp(SBD) = EF // SB Vậy tứ giác MNQR hình bình hành Ta có MN // QR // EF // SB Vì NQ // AC nên E trung điểm NQ EF // MN Vậy EF qua giao điểm hai đường chéo MQ NR E B 19a Ta coù : Q C MA ND ' = = MB ND A Do theo định lí Ta-lét đảo MN, AD’và BD song song với mặt phẳng hay MN // mp(AB’D’) Ta có D M B MA PB ' = = nên MP , AB’ BC song song với MB PC C N A' D' mặt phẳng hay MP // mp(AB’D’) Vậy mp(MNP) // mp(AB’D’) 20b (I) (II) B' www.saosangsong.com.vn P C' ... nằm mặt phẳng, có môt mặt phẳng song song với mặt phẳng Hệ : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) qua a có mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) Hệ : Hai mặt phẳng phân biệt song song... giải 31 www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG §1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng A.Tóm tắt... P Hệ : Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng Hệ : Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng