Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Phần I.Lý thuyết: 1.Các hệ thức lượng giác cơ bản: sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α cot α = 1 tan α = sin α cos α  α = π 2 + k2π, k ∈ Z  cot α = cos α sin α (α = kπ.k ∈ Z) 1 cos 2 α = tan 2 α + 1  α = π 2 + kπ, k ∈ Z  1 sin 2 α = cot 2 α + 1(α = kπ, k ∈ Z) 2.Công thức lượng giác thường gặp. sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a Công thức cộng: cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan(a ± b) = tan a ± tan b 1 ∓ tan a tan b sin(2a) = 2 sin a cos b Công thức nhân: cos(2a) = 2 cos 2 a − 1 = 2 sin 2 x − 1 = cos 2 x − sin 2 x sin 3x = 3 sin a − 4 sin 3 a cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a tan 3a = 3 tan a − tan 3 a 1 − 3 tan 2 a sin a sin b = − 1 2 [cos(a + b) −cos(a − b)] Tích thành tổng: cos a cos b = 1 2 [cos(a + b) + cos(a − b)] sin a cos b = 1 2 [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a − b 2 Tổng thành tích: cos a − cos b = −2 sin a + b 2 sin a − b 2 sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a − b 2 sin a − sin b = 2 cos a + b 2 sin a − b 2 tan a ± tan b = sin(a ± b) cos a cos b Công thức hạ bậc: sin 2 a = 1 2 (1 − cos 2a) cos 2 a = 1 2 (1 + cos 2a) Biểu diễn các hàm số lượng giác theo: t = tan a 2 , sin a = 2t 1 + t 2 , cos a = 1 − t 2 1 + t 2 3.Phương trình lượng giác cơ bản. ∗ sin u = sin v ⇐⇒  u = v + k2π u = π −v + k2π (k ∈ Z) ∗ cos u = cos v ⇐⇒ u = ±v + k2π (k ∈ Z) ∗ tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ, (k ∈ Z) ∗ cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ (k ∈ Z) 1 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. 4.Một số phương trình lượng giác thường gặp: 1.Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Để giải các phương trình này ta dùng công thức lượng giác để đưa về phương trình lượng giác cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Phương trình loại này có dạng a sin 2 x+b sin x+ c = 0 hoặc (a cos 2 x + b cos x + c = 0, a tan 2 x + b tan x + c = 0, a cot 2 x + b cot x + c = 0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm lượng giác (chú ý đến điều kiện của t) 2.Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x có dạng: a sin x + b cos x = c (a 2 + b 2 = 0) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c 2 Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho √ a 2 + b 2 ta được : a √ a 2 + b 2 sin x + b √ a 2 + b 2 cos x = c √ a 2 + b 2 ⇐⇒ sin x cos α + cos x sin α = c √ a 2 + b 2 ⇐⇒ sin(x + α) = c √ a 2 + b 2 (phương trình lượng giác cơ bản.) Trong đó α là góc lượng giác thỏa mãn tan α = b a . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x: Dạng: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 Cách 1: • Kiểm tra với x = π 2 + kπ, (k ∈ Z) • Giả sử cos x = 0 chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được a tan 2 x + b tan x + c = 0 Chú ý: 1 cos 2 x = tan 2 x + 1, x = π 2 + kπ, (k ∈ Z) Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. Chú ý: • Cách giải 1 được áp dụng cho phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x • Phương trình chỉ chứa sin x và cos x mà mỗi đơn thức trong đó có bậc cùng chẵn hoặc cùng lẻ được gọi là phương trình đẳng cấp( nhờ hệ thức sin 2 x + cos 2 x = 1) 4.Phương trình đối xứng với sin x và cos x: Dạng : a(sin x ±cos x) + b sin x cos x = c. Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x. Điều kiện |t| ≤ √ 2 Lưu ý các công thức: sin x ± cos x = √ 2 sin  x ± π 4  = ± √ 2 cos  x ∓ π 4  Chú ý: Với t = sin x + cos x thì S 3 = sin 3 x + cos 3 x = −t 3 + 3t 2 ; S 4 = sin 4 x + cos 4 x = −t 4 + 2t 2 + 1 2 ; S n = sin n x + cos n x = S n−1 t − S n−2 t 2 − 1 2 5.Phương trình đối xứng đối với tan x và cot x Phương trình được đưa về phương trình đại số thông thường nhờ phép đặt: t = tan x + cot x = 2 sin 2x . 2 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. Điều kiện: |t| ≥ 2. Khi đó: S 2 = tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2; S 3 = tan 3 x + cot 3 x = t 3 − 3t S 4 = tan 4 x + cot 4 x = t 4 − 4t 2 + 2; S n = tS n−1 − S n−2 Chú ý : Nếu phương trình cần đặt t = tan x −cot x = −2 cot 2x thì không cần điều kiện cho t và khi đó S 2 = tan 2 x + cot 2 x = t 2 + 2 Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1 Dùng các phương trình lượng giác để đưa về dạng tích. Ví dụ 1: Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x(1) Giải: Phương trình (1) tương đương với : 1 − cos 2x 2 + 1 − cos 6x 2 = 1 + cos 4x 2 + 1 + cos 8x 2 ⇐⇒ cos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0 ⇐⇒ (cos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x) = 0 ⇐⇒ 2 cos 5x cos x + 2 cos 5x cos 3x = 0 ⇐⇒ 2 cos 5x(cos 3x + cos x) = 0 ⇐⇒ 4 cos 5x cos 2x cos x = 0 ⇐⇒   cos 5x = 0 cos 2x = 0 cos x = 0 ⇐⇒      5x = π 2 + k2π 2x = π 2 + k2π x = π 2 + k2π ⇐⇒      x = π 10 + k 2π 5 x = π 4 + kπ x = π 2 + k2π k ∈ Z Kết luận: Phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:      x = π 10 + k 2π 5 x = π 4 + kπ x = π 2 + k2π k ∈ Z Phương pháp 2 Đặt thừa số chung: Những phương trình dạng này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiêm nhận dạng để định hướng cho phép giải dưới đây tôi chỉ nêu lên một vài kinh nghiêm . Trước hết ta cần nắm được những họ có các biểu thức chung thường gặp sau: f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sin x sin 2x, sin 3x, tan x, tan 2x, tan 3x cos x sin 2x; cos 3x; tan 2x; cot x; cot 3x 1 + cos x cos 2 x 2 ; cot 2 x 2 ; sin 2 x; tan 2 x 1 − cos x sin 2 x 2 ; tan 2 x 2 ; sin 2 x; tan 2 x 1 + sin x cos 2 x, cot 2 x, cos 2  π 4 − x 2  ; sin 2  π 4 + x 2  1 − sin x cos 2 x, cot 2 x, cos 2  π 4 + x 2  ; sin 2  π 4 − x 2  sin x + cos x cos 2x; cot 2x; 1 + sin 2x; 1 + tan x; 1 + cot x; tan x −cot x cos x − sin x cos 2x; cot 2x; 1 − sin 2x; 1 − tan x; 1 −cot x; tan x − cot x 3 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. Ví dụ 2: Giải phương trình: a sin x + b sin 2x + c sin 3x = 0 (a, b, c ∈ R) Hướng dẫn: a sin x + b sin 2x + c sin 3x = 0 ⇐⇒ a sin x + 2b sin x cos x + c(3 sin x −4 sin 3 x) = 0 ⇐⇒ sin x(a + 2b cos x + 3c − 4c sin 2 x) = 0 Ví dụ : Giải phương trình: 1 + tan x 1 − tan x = 1 + sin 2x Hướng dẫn: Điều kiện: 1 + tan x 1 − tan x = 1 + sin 2x ⇐⇒ sin x + cos x (1 − tan x) cos x = (sin x + cos x) 2 ⇐⇒ (sin x + cos x)  sin x + cos x − 1 (1 − tan x) cos x  = 0 Và còn nhiều phương pháp khác liên quan đến khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức để đánh giá. Phần III.PHƯƠNG TRÌNH XUẤT HIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI CHÍNH THỨC. 1.Khối A-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình: 5  sin x + cos 3x + sin 3x 1 + 2 sin 2x  = cos 2x + 3 Đáp số: x = π 3 ; x = π 3 2.Khối A-2003: Giải phương trình: cot x − 1 = cos 2x 1 + tan x + sin 2 x − 1 2 sin 2x Đáp số: x = π 4 + kπ k ∈ Z 3.Khối A-2005: Giải phương trình: cos 2 3x cos 2x − cos 2 x = 0 Đáp số: x = k π 2 k ∈ Z 4.Khối A-2006: Giải phương trình: 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x √ 2 − 2 sin x = 0 Đáp số: x = 5π 4 + k2π 5.Khối A-2007: Giải phương trình (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2x Đáp số: x = − π 4 + kπ; x = π 2 + k2π; x = k2π k ∈ Z 6.Khối A-2008: Giải phương trình 1 sin x + 1 sin  x − 3π 2  = 4 sin  7π 4 − x  Đáp số:x = − π 4 + kπ; x = − π 8 + kπ; x = 5π 8 + kπ k ∈ Z 7.CĐ khối A-2008:Giải phương trình sin 3x − √ 3 cos 3x = 2 sin 2x Đáp số:x = π 3 + k2π; x = 4π 15 + k 2π 5 k ∈ Z 8.Khối A-2008: Giải phương trình (1 − 2 sin x) cos x (1 + 2 sin x)(1 −sin x) = √ 3 Đáp số: x = − π 18 + k 2π 3 (k ∈ Z) 9.CĐ khối A-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x) 2 cos x = 1 + sin x + cos x 4 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. Đáp số:x = − π 2 + k2π; x = π 12 + kπ; x = 5π 12 + kπ (k ∈ Z) 10.Khối B-2002: Giải phương trình sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x Đáp số:x = k π 9 ; x = k π 2 (k ∈ Z) 11.Khối B-2003:Giải phương trình cot x −tan x + 4 sin 2x = 2 sin 2x Đáp số: x = ± π 3 + kπ (k ∈ Z) 12.Khối B-2004:Giải phương trình 5 sin x −2 = 3(1 −sin x) tan 2 x Đáp số:x = π 6 + k2π; x = 5π 6 + k2π (k ∈ Z) 13.Khối B-2005:Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 Đáp số:x = − π 4 + kπ; x = ± 2π 3 + k2π (k ∈ Z) 14.Khối B-2006: Giải phương trình cot x + sin x  1 + tan x tan x 2  = 4 Đáp số:x = π 12 + kπ; x = ± 5π 12 + kπ (k ∈ Z) 15.Khối B-2007: Giải phương trình 2 sin 2 2x + sin 7x −1 = sin x Đáp số:x = π 8 + k π 4 ; x = π 18 + k 2π 3 ; x = 5π 18 + k 2π 3 (k ∈ Z) 16.Khối B-2008: Giải phương trình sin 3 x − √ 3 cos 3 x = sin x cos 2 x − √ 3 sin 2 x cos x Đáp số:x = π 4 + k π 2 ; x = − π 3 + kπ (k ∈ Z) 17.Khối B-2008: Giải phương trình sin 3x − √ 3 cos 3x = 2 sin 2x Đáp số:x = π 3 + k2π; x = 4π 15 + k 2π 5 (k ∈ Z) 18.Khối B-2009: Giải phương trình sin x + cos x sin 2x + √ 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin 3 x) Đáp số:x = − π 6 + k2π; x = π 42 + k 2π 7 (k ∈ Z) 19.CĐ khối B-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x) 2 cos x = 1 + sin x + cos x Đáp số:x = − π 2 + k2π; x = π 12 + kπ; x = 5π 12 + kπ (k ∈ Z) 20.Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng của phương trình: cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x −4 = 0 Đáp số:x = π 2 ; x = 3π 2 ; x = 5π 2 ; x = 7π 2 21.Khối D-2003: Giải phương trình sin 2  x 2 − π 4  tan 2 x − cos 2 x 2 = 0 Đáp số:x = π + k2π; x = − π 4 + kπ (k ∈ Z) 22.Khối D-2004: Giải phương trình (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x −sin x Đáp số:x = ± π 3 + k2π; x = − π 4 + kπ (k ∈ Z) 23.Khối D-2005: Giải phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos  x − π 4  sin  3x − π 4  − 3 2 = 0 Đáp số:x = π 4 + kπ (k ∈ Z) 24. Khối D-2006: Giải phương trình cos 3x + cos 2x −cos x −1 = 0 Đáp số:x = kπ; x = ± 2π 3 + k2π (k ∈ Z) 25.Khối D-2007: Giải phương trình  sin x 2 + cos x 2  2 + √ 3 cos x = 2 Đáp số:x = π 2 + k2π; x = − π 6 + k2π (k ∈ Z) 26. Khối D-2008: Giải phương trình 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x Đáp số:x = π 2 + k2π; x = − π 6 + k2π (k ∈ Z) 5 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. 27.CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin 3x − √ 3 cos 3x = 2 sin 2x Đáp số:x = π 3 + k2π; x = 4π 15 + k 2π 5 (k ∈ Z) 28.Khối D-2009: Giải phương trình √ 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x −sin x = 0 Đáp số:x = π 18 + k π 3 ; x = − π 6 + k π 2 (k ∈ Z) 29.CĐ A-2010: Giải phương trình 4 cos 5x 2 cos 3x 2 + 2(8 sin x −1) cos x = 5 Đáp số: x = π 12 + kπ; x = 5π 12 + kπ k ∈ Z 30.Khối D-2010: Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x −cos x −1 = 0 Đáp số: x = π 6 + k2π; x = 5π 6 + k2π k ∈ Z 31.Khối B-2010: Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x˘ sin x = 0 Đáp số: x = π 4 + k π 2 (k ∈ Z) 32.Khối A-2010: Giải phương trình (1 + sin x + cos 2x) sin  x + π 4  1 + tan x = 1 √ 2 cos x Đáp số: x = − π 6 + k2π; x = 7π 6 + k2π (k ∈ Z) 33.CĐ khối A-2011 Giải phương trình cos 4x + 12 sin 2 x − 1 = 0 Đáp số: x = kπ (k ∈ Z) 34.Khối D-2011: Giải phương trình sin 2x + 2 cos x −sin x −1 tan x + √ 3 = 0 Đáp số:x = π 3 + k2π k ∈ Z 35.Khối B-2011: Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x Đáp số: x = π 2 + k2π; x = π 2 + k 2π 3 (k ∈ Z) 36.Khối A-2011: Giải phương trình 1 + sin 2x + cos 2x 1 + cot 2 x = √ 2 sin x sin 2x Đáp số: x = π 2 + kπ; x = π 4 + k2π (k ∈ Z) Phần IV.PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI DỰ BỊ 37.Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình 2 sin x + cos x + 1 sin x − 2 cos x + 3 = a a) Giải phương trình khi a = 1 3 b)Tìm a để phương trình có nghiệm. 38.Dự bị II A-2002: Giải phương trình tan x + cos x −cos 2 x = sin x  1 + tan x. tan x 2  39.Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình tan 4 x + 1 = (2 − sin 2 2x) sin 3x cos 4 x 40.Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình sin 4 x + cos 4 x 5 sin 2x = 1 2 cot 2x − 1 8 sin 2x 41.Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình  1 8 cos 2 x = sin x 42.Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình 2(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4x + 2 sin 2x −m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  0; π 2  43.Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình cos 2x + cos x(2 tanx − 1) = 2 44.Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình 3 −tan x(tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0 45.Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 3 cos 4x −8 cos 6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0 46.Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình (2 − √ 3) cos x − 2 sin 2  x 2 − π 4  2 cos x − 1 = 1 6 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. 47. Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình cos 2 x(cos x − 1) sin x + cos x = 2(1 + sin x) 48. Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình cot x = tan x + 2 cos 4x sin 2x 49. Dự bị I A-2004: Giải phương trình 4(sin 3 x + cos 3 x) = cos x + 3 sin x 50. Dự bị II A-2004: Giải phương trình √ 1 − sin x + √ 1 − cos x = 1 51. Dự bị I B-2004: Giải phương trình 2 √ 2 cos  x + π 4  + 1 sin x = 1 cos x 52. Dự bị II khối B-2004 Giải phương trình sin 4x sin 7x = cos 3x cos 6x 53. Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình 2 sin x cos 2x + sin 2x cos x = sin 4x cos x 54.Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình sin x + sin 2x = √ 3(cosx + cos 2x) 55.Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 2 √ 2 cos 3  x − π 4  − 3 cos x −sin x = 0 Đáp số: x = π 2 + kπ; x = π 4 + kπ (k ∈ Z) 56.Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình tan  3π 2 − x  + sin x 1 + cos x = 2 57.Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x −2 = 0 58. Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình 4 sin 2 x 2 − √ 3 cos 2x = 1 + 2 cos 2  x − 3π 4  Đáp số: x 1 = 5π 18 ; x 2 = 17π 18 ; x 3 = 5π 6 59.Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình sin x cos 2x + cos 2 x(tan 2 x − 1) + 2 sin 3 x = 0 60.Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình tan  π 2 + x  − 3 tan 3 x = cos 2x − 1 cos 2 x 61. Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình cos 3x cos 3 x − sin 3x sin 3 x = 2 + 3 √ 2 8 62. Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình 2 sin  2x − π 6  + 4 sin x + 1 = 0 63. Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình (2 sin 2 x − 1) tan 2 2x + 3(2 cos 2 x − 1) = 0 64.Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 65. Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x + 2 sin 2 x = 1 66. Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình 4 sin 3 x + 4 sin 2 +3 sin 2x + 6 cos x = 0 67. Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình sin 2x + sin x − 1 2 sin x − 1 sin 2x = 2 cot 2x 68. Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình 2 cos 2 x + 2 √ 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + √ 3 cos x) 69. Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình sin  5π 2 − π 4  − cos  x 2 − π 4  = √ 2 cos 3x 2 70. Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình sin 2x cos x + cos 2x sin x = tan x − cot x 71. Dự bị I khối D-2007 : Giải phương trình 2 √ 2 sin  x − π 2  cos x = 1 72. Dự bị II khối D-2007 : Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x 73. Dự bị I khối A-2008 : Giải phương trình tan x = cot x + 4 cos 2 2x 74. Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình sin  2x − π 4  = sin  x − π 4  + √ 2 2 75. Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình 2 sin  x + π 3  − sin  2x − π 6  = 1 2 76. Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 4 sin x cos 2 x 2 77. Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình 4(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4x + sin 2x = 0 79. Dự bị I khối D-2010: Giải phương trình 2 sin 2 2x + sin 6x = 2 cos 2 x 80. Dự bị II khối D-2010: Giải phương trình 2 √ 3(cos x − 2) sin x + 4(cos x −1) cos x 7 c  Lê Sỹ Giảng GVT THPT Nguyễn Thị Bích Châu sưu tầm và biên soạn . Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Để giải các phương trình này ta dùng công thức lượng giác để đưa về phương trình lượng giác cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng. tầm và biên soạn Phương trình lượng giác qua các năm thi đại học, cao đẳng. 4.Một số phương trình lượng giác thường gặp: 1 .Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương. IV.PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI DỰ BỊ 37 .Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình 2 sin x + cos x + 1 sin x − 2 cos x + 3 = a a) Giải phương trình khi a = 1 3 b)Tìm a để phương trình có nghiệm. 38.Dự