http://mathblog.org Chương 7 Tích phân 7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)  Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F ′ (x) = f(x) với mọi x ∈ K Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng F(x) = 4 sin x + (4x + 5)e x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4 cos x + (4x + 9)e x . 2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 1 + |x| . 3. Chứng minh rằng F(x) = x 2 2 ln x − x 2 4 + 1 khix > 0 1 khix = 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xln x khix > 0 0 khix = 0 trên [0;+∞). Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax 2 + bx + c) √ 3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x √ 3 − 2x. Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x 2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x − 3 x 2 − 3x + 4 . 2. Cho hàm số f(x) = −xe x và F(x) = (ax + b)e x . Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản  Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau 149 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. 0 dx = C; dx = 1 dx = x + C; 2. x α dx = x α+1 α + 1 + C; (ax + b) α dx = 1 a . (ax + b) α+1 α + 1 + C (với α  −1, a  0); 3. 1 x dx = ln |x|+ C; 1 ax + b dx = 1 a ln |ax+ b|+C (a  0); 4. Với a là hằng số khác 0 (a) sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) a + C; (b) cos(ax + b) dx = sin(ax + b) a + C; (c) e (ax+b) dx = e (ax+b) a + C; (d) α x dx = α x ln α + C (với 0 < α  1); 5. (a) 1 cos 2 x dx = tan x + C; (b) 1 sin 2 x dx = −cot x + C. Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 1. x + √ x + 1 3 √ x ; 2. √ x + 1 x − √ x + 1 ; 3. 1 sin 2 x cos 2 x ; 4. cos 2x sin x + cos x ; 5. x 3 + 1 1 − x 2 ; 6. 1 (1 + x)(1 −2x) ; 7. 2 x − 1 e x ; 8. e 3−2x ; 9. x(x + 1)(x + 2); 10. 1 √ x − 1 3 √ x ; 11. 1 − x 2 x 2 ; 12. 3x 2 + 3x + 3 x 3 − 3x + 2 ; 13. 1 x(1 + x) 2 ; 14. x 4 − 2 x 3 − x ; 15. sin x − π 4 (1 + sin 2x); 16. sin x sin 2x cos 5x; 17. sin 6 x + cos 6 x; 18. 1 √ 2 + sin x − cos x ; 19. sin x cos 2 x. Vấn đề 3 : Tìm hằng số C Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x −1 x 2 + 2x + 1 , biế t rằng F(1) = 1 3 . 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 + sin x 1 + cos x , biết rằng F(0) = 2. Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau : 1. f ′ (x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5); 2. f ′ (x) = 2 − x 2 và f(2) = 7 3 . Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f(x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′ (x) = ax + b x 2 , ở đây f(1) = 4 và f ′ (1) = 0. Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần  Công thức u dv = uv − v du. Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem ph ầ n phương pháp tích phân từng phần. Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau : T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 150 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. (1 −2x)e 3x dx; 2. (x 2 + 2x −1)e x dx; 3. x sin(2x + 1) dx; 4. (x 2 − 1) sin x d x; 5. x ln(1 − x) dx; 6. √ x ln 2 x dx; 7. e x cos x dx; 8. e x sin x dx; 9. e 3x sin 5x dx; 10. e 3x cos7x dx; 11. xe x cos x dx; 12. xe 2x sin(2x + 1) dx; 13. x sin x 2 dx; 14. x 2 cos x dx; 15. √ x ln x dx; 16. x 2 e x dx; 17. 3 x cos x dx; 18. xe x sin 2x dx; 19. 1 + sin x 1 + cos x e x dx; 20. sin(ln x) dx; 21. ln x + √ 1 + x 2 dx; 22. xln 1 + x 1 − x dx; 23. cos ( ln(tan x) ) dx; 24. x cos x sin 2 x dx; 25. x2 x dx; 26. xe −x dx; 27. 25e 3x cos4x dx. Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số  Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức f(u) du = F(u) + C thì f [u(x)] u ′ (x) dx = F [u(x)] + C. Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân. Bài 7. 9 : Tìm các ngu yên hàm sau : 1. 2(4x − 1) 6 dx; 2. 7 4 − 3x dx; 3. 3 √ 2x + 1 dx; 4. e −4x + 5 √ 3x + 2 dx; 5. cos π 2 x − 2 6x + 5 dx; 6. (2x + 1) 4 dx; 7. 2x(x 2 + 1) 3 dx; 8. x 2 √ x 3 − 4 dx; 9. x √ x −1 dx; 10. 2x √ x 2 + 1 dx; 11. 3x 2 √ x 3 + 1 dx; 12. 2x 3 √ 4 − x 4 dx; 13. 3x 2 x 3 + 1 dx; 14. x (3x 2 + 9) 4 dx; 15. 2x √ e x 2 +4 dx; 16. 2x + 4 x 2 + 4x − 5 dx; 17. x 3 √ 2 − t 2 dx; 18. cos xe sin x dx; 19. e x e x + 1 dx; 20. cos x sin 4 x dx; 21. x √ x + 1 dx; 22. cos x 1 + sin x dx; 23. x x 2 + 4 dx; 24. (x + 1) √ x −1 dx; 25. tan x sin 2 x dx; 26. 4x (1 −2x 2 ) dx; 27. 4x (1 −2x 2 ) 2 dx; 28. ln x x dx; 29. e −x 1 + e −x dx; 30. 1 x ln x dx. Bài 7. 10 : Tính các nguyên hàm sau : 1. (2x + 1) 20 dx; 2. x x 2 + 1 dx; 3. x 2 √ x 3 + 5 dx; 4. e 3 cos x sin x dx; 5. ln 4 x x dx; 6. e 2x √ e x + 1 dx; 7. 3x √ 7 − 3x 2 dx; 8. 9x 2 √ 1 − x 3 dx; 9. 1 √ x(1 + √ x) 3 dx; 10. x √ 2x + 3 dx; 11. x (1 + x 2 ) 2 dx; 12. dx e x − e −x ; 13. ln 2 x x dx; T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 151 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14. 3 √ 1 + ln x x dx; 15. cos xsin 3 x dx; 16. cos x + sin x √ sin x −cos x dx; 17. sin x cos x √ a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x , (a 2  b 2 ); 18. dx cos xsin 2 x ; 19. x √ 1 + x 2 dx; 20. sin 2 x cos 3 x dx; 21. e 3sin x cos x dx; 22. (3x + 2) 10 dx. Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau : 1. x 3 e −x 2 dx; 2. sin √ x dx; 3. ln(ln x) x dx; 4. cos 2 (ln x) dx; 5. e √ x dx; 6. sin(ln x) dx; 7. cos 2 √ x dx; 8. 1 ln 2 x − 1 ln x dx; 9. x cos x sin 2 x dx; 10. sin √ x + 1 dx; 11. ln ( tan x ) cos 2 x dx; 12. sin 5 x 3 cos x 3 dx; 13. 1 x 2 sin 1 x cos 1 x dx; 14. dx 3 + 5 cos x ; 15. dx sin x + cos x ; 16. dx 8 − 4 sin x + 7 cos x ; 17. 4 sin x + 6 cos x + 5 sin x + 2 cos x + 2 dx. 7.2 Các dạng toán tích phân Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản  Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì b a f(x) dx = F(x) b a = F(b) − F(a). Bài 7.12 : Tính các tích phân sau : 1. 2 0 x(x + 1) 2 dx; 2. π 2 0 ( 2 cos x −sin2x ) dx; 3. 2 1 2 1 x(x + 1) dx; 4. ln 2 0 e 2x+1 + 1 e x dx; 5. π 2 0 2x 2 + cos x dx; 6. π 6 0 (sin 6x sin 2x − 6) dx; 7. 8 1 4x − 1 3 3 √ x 2 dx; 8. 1 0 3x − e x 4 dx; 9. 4 1 dx x 2 (x + 1) ; 10. π 3 π 6 sin 3 x 1 − cos x dx; 11. 2 0 √ x 3 − 2x 2 + x d x; 12. π 3 π 6 dx sin 2 x cos 2 x ; 13. π 4 0 dx (1 + tan 2 x) cos 4 x ; 14. π 2 − π 2 cos 2 2x dx; 15. π 2 − π 2 sin 2x sin 6x dx; 16. π 6 0 tan x dx. Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đố i  1. Công thức tách cận tích phân b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx. 2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối b a |f(x)| dx (giả sử a > b). (a) Giải phương trình f(x) = 0, được các nghiệ m x i ∈ [a;b], giả sử a ≤ x 1 < x 2 < ··· < x n ≤ b. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 152 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (b) Dùng công thức tách cận b a |f(x)| dx = x 1 a |f(x)| dx + x 2 x 1 |f(x)| dx + ···+ b x n |f(x)| dx = x 1 a f(x) dx + x 2 x 1 f(x) dx + ···+ b x n f(x) dx . Chú ý : Sau khi tách cậ n chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối r a ngoài tích phân. Bài 7. 13 : 1. Cho 5 0 f(t) dt = −3 và 7 0 f(u) du = 4, tính 7 5 f(x) dx. 2. Xác định hàm số f(x) = A sinπx + B, b iế t rằn g f ′ (1) = 2 và 2 0 f(x) dx = 4. Bài 7. 14 : 1. Cho hàm số f(x) = a.3 x + b, b iết rằng f ′ (0) = 2 và 2 1 f(x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b. 2. Cho hàm số f(x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′ (0) = 4 và 2π 0 f(x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b. Bài 7. 15 : 1. Cho 4 0 f(x) dx = 1 và 6 0 f(t) dt = 5. Tính tích phân I = 6 4 f(x) dx. 2. Cho a ∈ π 2 ; 3π 2 và thoả mãn 1 0 cos(x + a 2 ) dx = sin a. Tính giá trị của a. Bài 7. 16 : Tính các tích phân sau : 1. 2 0 |1 − x| dx; 2. 2 0 |x 2 − x| dx; 3. 2π 0 √ 1 − cos 2x dx; 4. √ 3 0 |1 − x 2 | 1 + x 2 dx; 5. 2 0 |x − 2| dx; 6. 3 −3 |x 2 − 1| dx; 7. 4 1 √ x 2 − 6x + 9 dx; 8. 5 −2 ( |x + 2|−|x −2| ) dx; 9. 3 0 √ x 3 − 4x 2 + 4x dx; 10. 2 0 |x 2 + 2x −3| dx; 11. 3 0 |2 x − 4| dx; 12. 1 −1 √ 4 − |x| dx; 13. π −π √ 1 − sin x dx; 14. π 3 π 6 √ tan 2 x + cot 2 x −2 dx; 15. π 0 √ 1 − sin 2x dx; 16. 2π 0 √ 1 + cos x dx; 17. π 2 − π 2 cos x √ cos x − cos 3 x dx; 18. π 2 − π 2 |sin x| dx; 19. π 0 √ 1 + cos 2x dx; 20. 2π 0 √ 1 + cos x dx. Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần  b a u dv = uv b a − b a v du. Dùng phư ơng p háp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chỉ chứa hàm lô ga), hàm lượng g iác, hoặc chứa hàm vô tỉ. Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đ a thức và dv là phần còn lại. Chú ý : • Tích phân I = e x sin x dx đặ t u = e x và dv = sin x dx . . .; • Trước k hi dùng tích phân từng p hần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được b ằng phương pháp đổi biến số không đã; T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 153 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phầ n còn lại dễ xác định nguyên hàm. Bài 7.17 : Tính các tích phân sau : 1. ln 2 0 xe 2x dx; 2. 1 0 (2x 2 + x + 1)e x dx; 3. π 2 0 (1 − x) sin x cos x dx; 4. π 4 0 x sin x dx; 5. 3 1 2xln x dx; 6. e 1 x 3 ln 2 x dx; 7. π 2 0 e 2x sin 3x dx; 8. π 0 e x cos 2x dx; 9. 1 0 (x 2 + 1)e 2x dx; 10. 1 0 (2x −1)e −2x dx; 11. 3 0 √ x + 1e √ x+1 dx; 12. 1 0 2 √ x dx; 13. π 0 (x 2 + 2x + 3) cos x dx; 14. π 2 0 (x −1) sin x dx; 15. π 2 0 x cos xsin 2 x dx; 16. π 2 π 3 x − sin x 1 + cos x dx; 17. 5 2 2xln(x −1) dx; 18. e 1 x ln 2 x dx; 19. 1 0 x ln x + √ 1 + x 2 dx; 20. 3 2 ( ln(x −1) −ln(x + 1) ) dx; 21. π 0 e x cos 2 x dx; 22. 1 0 e x sin 2 (πx) dx; 23. π 2 0 x 2 cos x dx; 24. π 3 0 (2 − x) sin x dx. Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số  1. Phương pháp đổi biến số đơn giản (a) f(ax + b) dx = 1 a f(ax + b) d(ax + b); VD : (2x −3) 2 dx = 1 2 (2x −3) 2 d(2x −3) = 1 2 (2x −3) 3 3 + C. Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = 1 a d(ax + b). (b) f(x n+1 )x n dx = 1 n + 1 f(x n+1 ) d(x n+1 ), đặt t = x n+1 ; VD : I = (4x 3 + 1) 2 x 5 dx = (4x 3 + 1) 2 x 3 .x 2 dx. Đặt t = 4x 3 + 1 ⇒ dt = 12x 2 dx và x 3 = 1 − t 4 . Vậy I = t 2 1 − t 4 3 dt 12 = ··· (c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mấ t căn; nếu biểu thức tro ng các hàm sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó. VD : i. I = x 2 √ 2x 3 + 1 dx, đặt t = √ 2x 3 + 1 ⇒ t 2 = 2x 3 + 1 ⇒ 2t dt = 6x 2 dx ⇒ x 2 dx = t dt 3 , nên I = t. t dt 3 = ··· ii. I = x 3 .e x 2 +1 dx, đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2x dx và x 2 = t−1, nên I = x 2 .e x 2 +1 x dx = (t −1)e t dt 2 rồi dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. iii. I = 1 x 2 sin 1 x cos 1 x dx, đặt t = 1 x ⇒ dt = − dx x 2 , nên I = − sin t cost dt = − 1 2 sin 2t dt. 2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác Tích phân chỉ chứa các hàm số lư ợng g iác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về mộ t trong các dạng sau : T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 154 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (a) f(sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos 2 x = 1 −sin 2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cos x đều đưa được về sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ). (b) f(cos x)sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin 2 x = 1 −cos 2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sin x đều đưa được về cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = −sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ). (c) f(tan x) dx cos 2 x , đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos 2 x (tức là tích phân có lũy thừa của sin x và cos x cù ng tính chẵn lẻ). Trường hợp đặc b iệ t, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos2x cũng đặ t t = tan x, khi đó sin 2x = 2t 1 + t 2 , cos 2x = 1 − t 2 1 + t 2 . (d) f(cot x) dx sin 2 x , đặt t = cot x ⇒ dt = − dx sin 2 x . (e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx ho ặc sin x + π 4 dx đ ặt t = sin x − cos x. (f) Tích phân chứa (sin x −cos x) dx hoặc sin x − π 4 dx đ ặt t = sin x + cos x. VD : I = dx cos x = cos x dx cos 2 x = 1 cos 2 x cos x dx = 1 1 − sin 2 x cos x dx, đặt t = sin x. 3. Phươ ng pháp đổi biến với tích phân chứa √ ax 2 + bx + c (a) Nếu chứ a √ a 2 − x 2 đặt x = a sint, − π 2 ≤ t ≤ π 2 . (b) Nếu chứa √ x 2 − a 2 đặt x = a sin t , − π 2 ≤ t ≤ π 2 và t  0. (c) Nếu chứ a √ x 2 + a 2 đặt x = a tan t, − π 2 < t < π 2 . VD : (a) I = dx √ 2 − x 2 , đặt x = √ 2 sint (− π 2 ≤ t ≤ π 2 ) ⇒ dx = √ 2 cost dt. Ta được : √ 2 − x 2 = √ 2 − 2 sin 2 t = √ 2 cos 2 t = √ 2 cost, và I = √ 2 cost dt √ 2 cost = dt = t + C. (b) I = √ x 2 + 1 dx, đặt x = tant, − π 2 < t < π 2 , nên dx = dt cos 2 t và √ x 2 + 1 = 1 cos t . Ta được : I = dt cos 3 t = d(sin t) (1 −sin 2 t) 2 = 1 2 (sin t + 1) − (sin t −1) (sin t + 1)(sint −1) 2 d(sin t) = . . . (c) I = dx √ x 2 + a 2 , đặt x = tan t và ta được I = ln |x + √ x 2 + a 2 | + C. (d) Một cách tổng quát tích phâ n chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan x 2 . 4. Phươ ng pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn : (a) I = e x e x + 1 dx, đặt t = e x ⇒ dt = e x dx = t dx ⇒ dx = dt t , vậy thì I = t t + 1 dt t = . . (b) J = dx 2 x + 1 , đặt t = 2 x ⇒ dt = 2 x ln 2 dx = t ln 2 dx ⇒ dx = dt t ln 2 , vậy thì J = dt t ln2 t + 1 = . . . 5. Phươ ng pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức I = f(ln x). dx x , đặt t = ln x, ta đư ợc dt = dx x . VD : Tính I = ln x + 1 x dx, đặt t = ln x + 1 ⇒ dt = dx x , vậy I = t dt. Bài 7. 18 : Tính các tích phân sau : T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 155 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. 22 3 0 3 √ 3x + 5 dx; 2. 1 0 x 3 (1 + x 4 ) 3 dx; 3. 1 0 x 2 e 3x 3 dx; 4. π 2 0 sin x 1 + cos x dx; 5. a 2 0 dx √ a 2 − x 2 , (a > 0); 6. a 0 dx a 2 + x 2 , (a > 0); 7. 1 0 dx x 2 + x + 1 ; 8. 2 1 x(1 − x) 5 dx; 9. 1 0 x 3 + 2x 2 + 10x + 1 x 2 + 2x + 9 dx; 10. π 3 0 x + 1 3 √ 3x + 1 dx; 11. √ 3 0 x 5 √ 1 + x 2 dx; 12. π 2 0 sin 2x dx 4 − cos 2 x ; 13. 2 1 2x √ 1 + x 2 dx; 14. e 1 ln 2 x x dx; 15. ln 2 0 √ e x − 1 dx; 16. e 1 √ 1 + ln x x dx; 17. 8 3 √ 1 + x x dx; 18. 1 0 x 2 √ 2 − x 2 dx; 19. 1 0 √ 1 + 4 sin x cos x dx; 20. π 2 0 sin 2x √ cos 2 x + 2 sin 2 x dx; 21. π 4 0 dx (sin x + 2cos x) 2 ; 22. π 2 0 e sin x + cos x cos x dx; 23. π 2 4 0 cos x dx; 24. e 5 e 2 ln(ln x) x dx; 25. 1 0 x 3 e x 2 dx; 26. e 1 cos(ln x) dx; 27. e 1 1 + x ln x x dx; 28. π 2 π 4 cos xln(sin x) dx ; 29. π 4 0 x dx 1 + sin2x ; 30. ln 3 0 xe x √ e x + 1 dx; 31. 1 0 e x ln(e x + 1) dx; 32. π 4 0 x sin x dx cos 3 x ; 33. π 3 0 x dx cos 2 x ; 34. π 2 0 ln (1 + sin x) 1+cos x 1 + cos x dx; 35. π 2 0 (x + sin 2 x) cos x dx; 36. π 2 0 e sin x + cos x cos x dx; 37. π 3 π 4 sin xln(tan x) dx; 38. 1 0 x dx x 4 + x 2 + 1 ; 39. ln π 2 0 e 2x sin 2 (e x ) dx; 40. π 0 xe x cos x dx; 41. e 2 e ln(ln x) x dx. Bài 7.19 : Tích phân cá c hàm số lượng giác 1. π 0 sin 4 x cos 4 x dx; 2. π 3 0 cos3x tan x dx; 3. π 0 sin xsin 2x cos5x dx; 4. π 3 0 cos 10 x + sin 10 x −sin 4 x cos 4 x dx; 5. π 0 cos 4 x dx; 6. π 2 0 sin 6 x + cos 6 x dx; 7. π 3 π 6 √ tan 2 x + cot 2 x −2 dx; 8. π 2 0 4 sin 3 x 1 + cos x dx; 9. π 2 − π 2 sin 2x sin 5x dx; 10. 5π 12 π 12 dx sin2x + 2 √ 3 cos 2 x + 2 − √ 3 ; 11. π 3 0 √ 2 sin x − π 4 cos x dx; 12. π 3 − π 2 cos3x cos 5x dx; 13. π 4 0 dx 1 + cos2x ; 14. π 2 0 4 sin 3 x 1 + cos x dx; 15. π 2 0 cos x √ 1 + cos 2 x dx; 16. π 4 0 tan 2 x + tan 4 x dx; 17. π 4 0 dx (sin x + 2cos x) 2 ; 18. π 2 0 sin x + 7 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 dx; 19. π 2 0 9 sin x −2cos x cos x + 2sin x + 1 dx; 20. π 2 0 sin x 3 + cos 2 x dx; 21. π 4 0 sin 2 x cos 4 x dx; 22. π 2 − π 2 cos x √ cos x −cos 3 x dx; 23. π 2 0 dx 1 + sin x + cos x ; 24. π 4 0 3 sin2x + 4 cos2x + 5 3 cos2x −4 sin 2x + 5 dx; 25. π 2 0 3 cos x + sin x + 2 2 sin x + cos x + 1 dx; 26. π 6 0 tan 4 x cos2x dx; 27. π 4 0 dx cos 4 x ; 28. π 2 0 sin 3 x cos 2 x dx; 29. π 4 0 sin 5 x cos 7 x dx; 30. π 6 0 dx cos xcos x + π 4 ; 31. π 4 0 dx √ 2 + sin x −cos x ; 32. π 4 0 sin x dx 1 + sin2x ; 33. π 2 π 3 dx sin2x −2sin x . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 156 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7. 20 : Tích phân hà m vô tỉ 1. 3 0 dx √ x + 1 + (x + 1) 2 ; 2. 2 1 x + 3 x √ 2x + 3 dx; 3. 7 0 x dx 3 √ x + 1 ; 4. 7 0 x dx 1 + √ 2 + x ; 5. 64 1 dx √ x + 3 √ x ; 6. 1 0 dx 1 + 3 √ x ; 7. 1 0 1 − x 1 + x dx; 8. 2 1 dx √ x + 1 + √ x − 1 ; 9. 1 0 (x 2 + x) √ x + 1 dx; 10. 3 4 0 x dx √ 1 − x ; 11. 2 1 x dx 1 + √ x −1 ; 12. 16 1 dx √ x + 9 − √ x ; 13. 1 0 x dx √ 1 + x ; 14. 3 0 √ x 3 − 2x 2 + x dx; 15. 1 0 2x 2 √ 1 + x dx; 16. 9 1 x 3 √ 1 − x dx; 17. 1 0 dx 1 + 4 √ x ; 18. a 0 x 2 √ a 2 − x 2 dx, với a > 0; 19. 1 0 x √ 3 + x 2 dx; 20. 2 √ 2 dx √ x 2 − 1 ; 21. 1 0 (1 − x) x 2 − x dx; 22. 1 0 x − √ x 2 − 2x + 2 x + √ x 2 − 2x + 2 . dx x 2 − 2x + 2 ; 23. 4 2+ √ 2 dx (x − 1) √ x 2 − 4x + 3 ; 24. 0 −1 x 2 √ 4 − x 2 ; 25. 0 −1 √ −x(x + 2) dx; 26. 1 0 √ 2x − x 2 dx; 27. 2 1 x 2 √ 4 − x 2 dx; 28. 1 0 dx 1 + x + √ x 2 + 1 ; 29. 2 1 x + 1 √ x 2 − 2x + 2 dx; 30. 1 0 x 2 − 2x + 5 √ 3 + 2x − x 2 dx; 31. 1 0 dx (x 2 + 8) 3 dx; 32. 1 −1 dx √ 4 − x 2 ; 33. 1 2 − 1 2 x 3 − x 5 √ 1 − x 2 dx; 34. 1 2 0 1 + x 1 − x dx; 35. 1 0 x 1 − x 1 + x dx; 36. 1 0 2x − 3 √ x 2 + x + 1 dx; 37. 5 4 x 2 + 1 √ x 2 − 4x + 3 dx; 38. 1 0 x 1 + 3 √ x dx; 39. 2 √ 3 √ 5 dx x √ x 2 + 4 ; 40. 1 1 3 1 + x x 3 dx; 41. √ 3 0 x 3 √ x 2 + 1 dx; 42. 3 1 x 3 √ 1 − x 2 dx; 43. 3 √ 2 5 1 3 √ 5 x 5 3 (2 −5x 3 ) 2 dx; 44. 1 0 dx (1 + x n ) n √ 1 + x n , n ∈ N; 45. 1 0 x 7 7 √ 8x 4 + 1 dx; 46. 1 0 x 15 √ 1 + 3x 8 dx. Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ  Xét tích phân dạng P(x) ax 2 + bx + c dx, với P(x) là một đa thức nào đó. VD : Tính I = 2x 3 + 3x 2 − x x 2 + 2x + 2 dx. • Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu ), đượ c I = (2x −1) dx + −3x + 2 x 2 + 2x + 2 dx vấn đề là cần tính I 1 = −3x + 2 x 2 + 2x + 2 dx. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 157 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Tách tử theo đạo hà m của mẫ u : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + 2 = −3 2 (2x + 2) + 5, vậy : I 1 = − 3 2 (2x + 2) dx x 2 + 2x + 2 + 5 dx x 2 + 2x + 2 . – Với (2x + 2) dx x 2 + 2x + 2 = d(x 2 + 2x + 2) x 2 + 2x + 2 = ln|x 2 + 2x + 2| + C. – Với dx x 2 + 2x + 2 , ta nhận thấy mẫu x 2 + 2x + 2 vô nghiệm, nên x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 + 1 (tổng quát : ax 2 + bx + c = a x + b 2a 2 + ∆ 4a ) và ta được dx x 2 + 2x + 2 = dx (x + 1) 2 + 1 đặt x + 1 = tant ⇒ dx = dt cos 2 t và (x + 1) 2 + 1 = tan 2 t + 1 = 1 cos 2 t , thay vào ta được dx x 2 + 2x + 2 = dt cos 2 t 1 cos 2 t = dt = t + C. Dạng tổng quát : dx x 2 + a 2 , đặt x = a tant. Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt. VD : Tính I = 2x 3 − x 2 + x − 4 2x 2 − 3x + 1 dx và biến đổi như trên ta đ ược : I = (x + 1) dx + 3x − 5 2x 2 − 3x + 1 dx = (x + 1) dx + 3 4 4x − 3 2x 2 − 3x + 1 dx − 11 4 dx 2x 2 − 3x + 1 • Với 4x − 3 2x 2 − 3x + 1 dx = d(2x 2 − 3x + 1) 2x 2 − 3x + 1 = ln|2x 2 − 3x + 1| + C. • Với dx 2x 2 − 3x + 1 , nhận thấy mẫu 2x 2 − 3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và 1 2 , nên 2x 2 − 3x + 1 = 2(x −1) x − 1 2 . Ta biến đổi 1 2x 2 − 3x + 1 = 1 2 . 1 (x −1) x − 1 2 = 1 2 .(−2). (x − 1) − x − 1 2 (x −1) x − 1 2 = − 1 x − 1 2 − 1 x −1 . Ta được : dx 2x 2 − 3x + 1 = − dx x − 1 2 − dx x −1 = − d x − 1 2 x − 1 2 − d(x − 1) x −1 = − ln x − 1 2 − ln |x −1| + C. Và cuối cù ng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép. VD : Tính dx 2x 2 − 4x + 2 = 1 2 dx (x + 1) 2 = 1 2 d(x + 1) (x + 1) 2 = − 1 2 . 1 x + 1 + C. Chú ý rằng : • Nếu ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ax 2 + bx + c = a(x − x 1 )(x − x 2 ). • Nếu ax 2 + bx + c có nghiệm kép x = x 0 thì ax 2 + bx + c = a(x − x 0 ) 2 . • d(x + a) = dx với mọi số thực a. Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau : 1. dx 3x + 1 ; 2. x 2 + 3x −1 −2x + 3 dx; 3. dx −2x 2 − x + 1 ; 4. dx x 2 − 4x + 4 ; 5. x 3 + 5x 2 + 3x − 7 x 2 + 6x + 9 dx; 6. x 2 − 6x + 10 x 2 − 6x + 8 dx; 7. dx x 2 (x + 1) ; 8. 2x −7 x 2 − 3x + 2 dx; T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 158 [...]... 343 Trang 162 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH 1 Ê   Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I = ¡ e−2x + x e x dx 0 1 Ê 2x − 1 Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I = dx x+1 0 Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3 √ 2Ê 3 Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I = √ 5 2 Ê Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I = 1 π dx √ x x2 +... (D06) : Tính tích phân : I = (x − 2)e2x dx 0 Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I = e Ê x3 ln2 x dx 1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 163 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 Ê ln x Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I = x3 1 3 Ê Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I = 1 Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I = e Ê 1 dx dx ex − 1 2x − 3 x dx 7.6 Bài tập tổng hợp Bài 7.64 : Tính tích phân : I =... Bài 7.65 : Tính tích phân : I = ln 3 Ê e x dx (e x + 1)3 Ô 0 Bài 7.66 : Tính tích phân : I = 0 Ê x 22x + √ 3 x + 1 dx −1 π x dx 1 + cos 2x 0 Bài 7.68 : Tính tích phân : I = 1 Ê 0 Bài 7.69 : Tính tích phân : I = √ x3 1 − x2 dx ln 5 Ê ln 2 Bài 7.70 : Tính tích phân : I = 1 Ê e2x dx √ ex − 1 x3 e x dx 2 0 Bài 7.71 : Tính tích phân : I = e Ê x2 + 1 x 1 ln x dx π Bài 7.72 : Tính tích phân : I = Ê3 sin2... tan x dx 0 Bài 7.73 : Tính tích phân : I = 7 Ê x+2 √ 3 0 e Ê x+1 dx x2 ln x dx ht tp Bài 7.74 : Tính tích phân : I = :// m at hb lo g or g Bài 7.67 : Tính tích phân : I = Ê4 1 π Ê4 Bài 7.75 : Tính tích phân : (tan x + esin x cos x) dx 0 e Ê 3 Bài 7.76 : Tính tích phân : I = 1 ln2 x √ dx x ln x + 1 π Ê2 Bài 7.77 : Tính tích phân : I = (2x − 1) cos2 x dx 0 Bài 7.78 : Tính tích phân : I = 6 Ê 2 dx √ 2x... quanh trục Ox π Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I = Ê4 3 Ê 3 + ln x (x + 1)2 1 Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I = e Ê 1 Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I = 2 Ê 3 Ê 2 dx |x2 − x| dx ln(x2 − x) dx π Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I = dx ln x dx x(2 + ln x)2 0 Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I = π 4 sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) 0 Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I = sin x − Ê2   ¡ esin x + cos... diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1 Bài 7.80 : Tính tích phân : I = √ Ê e 3 − 2 ln x 2 Bài 7.81 : Tính tích phân : I = 10 Ê 5 π Ê2 √ dx x 1 + 2 ln x dx √ x−2 x−1 Bài 7.82 : Tính tích phân : I = (x + 1) sin 2x dx 0 2 Ê Bài 7.83 : Tính tích phân : I = (x − 2) ln x dx 1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 164 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC... 7.42 (A05) : Tính tích phân : I = dx √ 1 + 3 cos x 0 π Ê2 sin 2x √ dx 2 x + 4 sin2 x 0 cos Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x :// m at hb lo g or g Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I = π Ê6 tan4 x Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I = cos 2x 0 dx π Ê2   Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I = 0 Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I = ¡ cos3 x... dụng kết quả khẳng định trên 2 Tích phân kết hợp giữa hàm chẵn và hàm mũ Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] Khi đó : a −a a f (x) dx = mx + 1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 f (x) dx 0 Trang 159 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3 Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau Ta có hệ thức : b Ê a f (a + b − x) dx = b Ê f (x) dx a 4 Tích phân hàm tuần hoàn Nếu hàm... Bài 7.84 : Tính tích phân : I = 4 Ê 0 √ 2x + 1 √ dx 1 + 2x + 1 x(1 − x) x2 + 1 √ Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2 − x2 Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y = Bài 7.87 : Tính tích phân : I = 1 Ê x(x − 1) x2 − 4 0 Bài 7.88 : Tính tích phân : I = 2 Ê dx x2 cos x dx 0 3x x2 và y = 4 x+1 √ Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn... (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I = √ 1 + 3 ln x ln x dx x e Ê 1 4− x2 x2 và y = √ 4 4 2 π Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I = Ê2 sin 2x cos x 1 + cos x 0 ln 5 Ê dx e x + 2.e−x − 3 ht tp Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I = ln 3 dx Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn . Tính tích phân I = e 1 ln x x(2 + ln x) 2 dx. Bài 7. 56 (D03) : Tính tích phân : I = 2 0 |x 2 − x| dx. Bài 7. 57 (D04) : Tính tích phân : I = 3 2 ln(x 2 − x) dx. Bài 7. 58 (D05) : Tính tích phân. 163 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I = 2 1 ln x x 3 dx. Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I = 3 1 dx e x − 1 . Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I = e 1 2x − 3 x dx. 7.6. : Tính tích phân : I = 2 0 x 3 dx x 2 + 1 . Bài 7.65 : Tính tích phân : I = ln 3 0 e x dx (e x + 1) 3 . Bài 7.66 : Tính tích phân : I = 0 −1 x 2 2x + 3 √ x + 1 dx. Bài 7.67 : Tính tích phân :