MATHVN.COM | www.MATHVN.com BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN THEO TỪNG DẠNG DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức 1 a2  P=    a  a  a3 a) Rút gọn P b) Tìm Min P Bài 2: Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x  y  xy Tính giá trị biểu thức : P = xy -     Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x-y xy Biết x2 -2y2 = xy x ≠ 0; x + y ≠ Bài 4: Cho biểu thức P = 15 x  11  x   x  x 3 x  x  1- x a) Tìm giá trị x cho P = b) Chứng minh P ≤ 2 Bài 5: Cho biểu thức 3a  9a  a 1 a 2   P= a a 2 a  1 a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức P= a 4 a -4  a 4 a -4 16 1-  a a2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a (a >8) để P nguyên Bài 7: Cho biểu thức  a    :    P=   a  a  a   a  a  1     a) Rút gọn P www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) Tính giá trị P a = + 2 c) T ìm giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức  x 8x   x   :    P=  2 x 4x x2 x x     a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức  y - xy   x y x  y :  P=  x      xy  y x y  xy  x xy    a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm giá trị P với x = 3, y = + Bài 10: Cho biểu thức P=  x  x - x  4x   x  2007        x 1 x 1 x x 1    a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Bài 11: Rút gọn P   2 2 2 P =  a  a  b  a  a  b : a  a b    a  a  b2  a  a  b2   b2 Với | a | >| b | > Bài 12: Cho biểu thức  x 2 x   1 x  .   P=   x 1 x  x  1      a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức 2x x 1 x  10 P=   x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Không phụ thuộc vào biến số x Bài 14: Chứng minh giá trị biểu thức P = x     x    x Không phụ thuộc vào biến số x www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 15: Cho biểu thức x2  x x2  P=  x  x 1 x  x  x 1 x 1 Rút gọn P với ≤ x ≤ Bài 16: Cho biểu thức P= x  x x 2x  x 2(x  1)   x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P c) Tìm x để biểu thức Q = x nhận giá trị số nguyên P Cho biểu thức  2x x  x  x x  x  x 1 x   P=    x   2x  x  x  x x 1   a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN Bài 17: Bài 18: Rút gọn biểu thức 3 3 P=  10   10   Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 4  4 b) B =  10    10  c) C =  15   15   Bài 20: Tính giá trị biểu thức P= Bài 21: x  24  x   x   x  1 Với ≤ x ≤ Chứng minh rằng:   13  48 6 số nguyên Bài 22: Chứng minh đẳng thức: P= www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán MATHVN.COM | www.MATHVN.com 3 1 1 2  1 3 1 1 1 1 2 Bài 23: Cho x =    Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x  xy  xy Bài 24:  Cho E = xy xy Tính giá trị E biết: x= y= Bài 25: Bài 26: P=       12  20 18  27  45 2 2007  2007 Tính P =  2007 20082 2008 Rút gọn biểu thức sau: + 1 1 + + 5 2001  2005 Tính giá rẹi biểu thức: Bài 27: P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết x = 33 2 3 32 y = 17  12  17  12 Bài 28:  a 1  a 1    a  a  Cho biểu thức A =    a 1  a 1 a   a) Rút gọn A b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - )  15 Bài 29: Cho biểu thức A= x  4 x  1  x  4 x  1    1    x 1 x  4 x  1 a) x = ? A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 30: Cho biểu thức P= 1 1 x 1 x  1 x  1 1 x 1 x  1 x  1 x a) Rút gọn P b) So sánh P với www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán Bài 31: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Cho biểu thức P=   x 1 x x 1 x  x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức a 9 a  a 1   P= a 5 a 6 a 2 3 a a) Rút gọn P b) a = ? P < c) Với giá trị nguyên a P nguyên Cho biểu thức Bài 33: x x 1 x   P= xy  y x  x  xy  y  x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 34: Cho biểu thức x x 1 x   P= xy  y x  x  xy  y  x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 35: Cho biểu thức  1      P =   y x y x  x   1 : y  x3  y x  x y  y xy  x y a) Rút gọn P b) Cho xy = 16 Tìm Min P www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán MATHVN.COM | www.MATHVN.com DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab P = a b Tính giá trị biểu thức: a b Bài 2: Cho x > y > 2x +2y = 5xy Tính giá trị biểu thức E = x  y x y Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: yz xz xy M=   x y z 3 Bài 4: Cho a + b + c = 3abc Tính giá trị biểu thức:   a  b  b  c  c a P = 1  1  1   Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 xy x3 y3 x y  2 Tính  Bài 8: Cho   a b ab a b Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức P= 1  2  2 b  c  a a  c  b a b  c x4 y   Bài 10: Cho ; x2 + y2 = Chứng minh rằng: a b ab a) bx2 = ay2; www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán MATHVN.COM | www.MATHVN.com y x b) 1004  1004  a b ( a  b)1004 Bài 11: Chứng minh xyz = thì: 2008 2008 1 =1    x  xy  y  yz  z  xz Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đơi khác Tính giá trị biểu thức: P= a2 b2 c2   (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a ) (c  b)(c  a ) Bài 14: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác cho tam giác Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: bc cb ab 2      (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng: 1 1 abc     p  a p  b p  c p p( p  a )( p  b)( p  c) Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : a b 2(ab  2)   2 b 1 a 1 a b  x y z a b c Bài 18: Cho       a b c x y z x2 y z2 Tính giá trị biểu thức A =   a b c a b c   0 Bài 19: Cho a, b, c đôi khác bc ca ab a b c   Tính giá trị P = 2 (b  c ) (c  a) ( a  c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) khác Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh: c = d Bài 23: Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 Tính giá trị biểu thức: A = x y x y Bài 24: Cho x, y số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Tốn MATHVN.COM | www.MATHVN.com Tính giá trị phân thức A = xy  x  xy  y 2 Bài 25: Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007 ax  by  cz P= bc ( y  z )2  ac( x  z )  ab( x  y ) Tính giá trị biểu thức: Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức: P= Bài 27: x3 y3 z3   ( x  y )( x  z ) ( y  x)( y  z ) ( z  y )( z  x) x  y  z   Cho  x  y  z  x3  y  z   Tính giá trị biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 Bài 28: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: P= a   (b  c )2 (a  b  c ) ( a  b  c) ( a  c)  b  2  2 Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b2c2 Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác P < Bài 30: Cho số dương x, y ,z thỏa mãn:  xy  y  z    yz  y  z   zx  x  z  15  Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z Bài 31: Cho số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: 2  x  y  z   x  y3  z3   Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2 3 6 84 2 3 x y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = Biết x2 – 2y2 = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a b + c b) So sánh a3 b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2) Tính A = 20  14  20  14 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22  10 c  Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện:  c  a   ab  bc  2ac Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln ln có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai  x1  x  nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  3  x1  x  35 Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = ln có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a  0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a  0) có nghiệm 2b c  4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x 12 - x 22 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị biểu thức: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 MATHVN.COM | www.MATHVN.com S= 1  3 x1 x Bài 12: Cho phương trình : x2 - x + = Có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: A= x12  x1 x  x x1 x  x13 x Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1) 1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 3) Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm GTNN M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1   a b CMR hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = x2 + bx + a = Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1) a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1) a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1) 1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22  10 3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương CMR: a2 + b2 hợp số www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 10 MATHVN.COM | www.MATHVN.com DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 x + 2 Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + = Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + = x 8  x 9 1 Bài 10: Bài 11: Bài 12: 2x 7x  1 3x  x  3x  5x  4x x2 +  12  x  2 2 Bài 13: Bài 14: Bài 15: x 2 x2   x  2 0 20    5    48 x 1  x 1   x 1  3x 7x   4 a) x  3x  x  x  x  10 x  15 4x  b) x  x  15 x  12 x  15 x  3x  x  x  c)   x  4x  x  6x  81x a) x2 +  40 x  2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 11 MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) x2 + x  15 x  12 Bài 16: x 1  x 1  40 a)        x   x 2 2 x 2  x 2 x2  b)  0      x2 1  x 1   x 1  8 x 8 x c) x x   15 x 1  x 1  Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Bài 33: Bài 34: x 1 x +   = 8( Đề thi HSG V1 2004)  x  x   x   3x  2 x 1   x  x  x 1  x  x 1  3x2 + 21x + 18 + x 7 x   a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + = (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + = b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = x 48 x   10  x 3 4 0 x a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x  ( Đề thi HSG 1998) x 5  x  14 3 3 x 5 x4 - x -5 = ( Đề thi HSG 2000) x4   5x  ( Đề thi HSG V2 2003) x2  a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + = 2 x  b) x  = 2x2 - 6x + c)  x  2 x 3 2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 12 MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 35: Bài 36: 3 x 1  x   x   Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - = Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = Bài 40: x2 + 9x + 20 = 3x  10 Bài 41: x2 + 3x + = (x + 3) x 1 Bài 42: x2 + x  2006 =2006 DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1) Với a, b > ab  ab Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 2) CMR với số a, b, x, y ta có: (a  b )( x  y )  (ax + by) Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > Cm: ab  cd  a  c b  d  Bài 4) CM bất đẳng thức: a2  b2  c2  d  a  c 2  b  d 2 Bài 5) Cho a, b, c số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc    bc ca ab Bài 6) CM với n nguyên dương thì: 1 1     n 1 n  2n Bài 7) Cho a3 + b3 = Cmr: a + b  Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) 4 CMR số a, b, c thuộc đoạn  ;0 biễu diễn trục số     Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2  Bài 10) Cho a, b hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = CM: a2 + 4b2  Dấu đẳng thức xảy nào? (Đề thi HSG 2003) Bài 11) Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2  (Đề thi HSG 2001) Bài 12) Chứng minh: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 13 MATHVN.COM | www.MATHVN.com a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2 b)  x    x  2 2 Bài 13) Cho a, b, c > Cm: Bài 14) Cho S    a b c    bc ca ab   100 CMR: S không số tự nhiên 1 Dấu xảy nào?   x y x y abc b) Tam giác ABC có chu vi P  1 1 1    2    Cm: pa pb pc a b c Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? x Bài 16) a) CM x > ta có: 2 x 1 a2 b2  b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: P  b 1 a 1 Bài 17) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 1 Bài 18) CMR a, b, c > a + b + c =        a b c Bài 19) CMR a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005) Bài 21) Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b  10 Bài 22) Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab CMR:  a2  b2  Dấu xảy nào? Bài 23) CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: 1   3 a b ab Bài 24) CMR nếu: a)  a  a    a  10 b) a + b  0; b   0; a  b  a   b   2 Bài 25) Cho biểu thức P  CMR:  P  x  x  x 1  x  x  x 1  x  x  x  x2  x  32 với x  1 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 14 MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 26) a) Cho a, b, k số dương a a ak  1.Cmr :  b b bk b) Cmr a, b, c độ dài cạnh tam giác thì: a b c   < bc ca ab Bài 27) Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng: 1  1       a   b (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y số thực khác 0:  x y x2 y2    3    y x y x   DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x + y   Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN P =         x y   x  x  1   Bài 3) Cho P = x2  Tìm GTNN, GTLN P giá trị tương ứng x Bài 4) Tìm GTLN GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 6) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = Bài 7) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x2  x 1 x2  x  Bài 8) Tìm GTLN A = x +  x Bài 9) Tìm GTLN P = x y z   với x, y, z > y z x Bài 10) Tìm GTLN P = ( x  1990)2  ( x  1991)2 Bài 11) Cho M = a   a   a  15  a  a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1    Tìm GTNN P = x.y.z 1 x 1 y 1 z Bài 13) Tìm GTNN P =  1 x x Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + 2y Bài 15) Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 15 MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y  Tìm GTNN biểu thức P= + + 4xy x y xy x2  x  với x x2  Bài 18) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y  Tìm GTNN biểu thức A= 2 x y xy Bài 17) Tìm GTLN GTNN của: P =  1 Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P =  x     y     x  y  Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy  1 Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P =    1      x  y  Bài 22) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 =  1 Tìm GTNN biểu thức P =  x     y     y  x  Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 2 1 E = a   b   c         a b c       Bài 24) Cho a, b hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a3 + b3 Bài 25) Cho a, b hai số dương thỏa a + b = Tìm GTNN P = 1  a 1 b 1 Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P = x2  y2 x y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x + y + Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + y = Bài 30) Tìm GTNN biểu thức P = x  x  2000 x2 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 16