chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Lời nói đầu Trong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh cha hình thành đợc những phơng pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức. Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan. Các bài tập ở đây với độ khó đợc nâng dần lên nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức. Nội dung của chuyên đề bao gồm: Phần I - Kiến thức cơ bản cần nắm: Đây là phần tóm tắt một số kiến thức lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng minh Bất đẳng thức. Phần II - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thờng dùng cho học sinh THCS. Với mổi phơng pháp có các kiến thức cần nắm, các ví dụ minh hoạ, bài tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành đợc t duy cảm nhận về phơng pháp đó. Phần III - ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày những ứng dụng phổ biến của chứng minh Bất đẳng thức. Phần IV - Hớng dẫn, giải các BT áp dụng: Đây là phần giải chi tiết của các BT áp dụng cho từng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở trên. Phần V - Bài tập tổng hợp tự giải: Bao gồm các bài tập tổng hợp cho tất cả các dạng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức. Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 1 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Cơ sở lý luận Thực tiễn Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhng để cho học sinh hình thành đợc phơng pháp chứng minh cũng nh ứng dụng Bất đẳng thức trong Toán học thì cha có. Số học sinh hiểu và đợc điểm khá của phần này rất thấp thậm chí không có, đa số các em chỉ đợc điểm Trung Bình hoặc Yếu. Ngoài ra, số lợng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức trong kiến thức của chơng trình THCS rất ít nên học sinh ít thời gian để ý đến các kiến thức mà giáo viên giảng trong phần này. Do đó học sinh không có hứng thú khi học sinh bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức này. Do thời gian nghiên cứu làm bài đề tài ngắn nên tôi không thể đa ra đợc số liệu điều tra cụ thể đợc nhng tôi mong rằng qua đề tài này tôi hi vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho những em có hứng thú học tập bộ môn Toán nói chung và chuyên đề Bất đẳng nói riêng. Phần I - kiến thức cơ bản I Một số bất đẳng thức cần nhớ: 2 0; 0;a a b b b o Bất đẳng thức Cô sy: n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++ Với 0> i a dấu bằng xảy ra khi 1 2 n a a a = = = o Bất đẳng thức Bunhiacopski: ( ) ( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 2 nnnn xaxaxaxxaaa +++++++++ Dấu đẳng thức xảy ra <=> 1 2 1 2 n n a a a x x x = = = o Bất đẳng thức Trê- b-sép: Nếu CBA cba 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ++ Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 2 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Nếu CBA cba 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ++ Dấu bằng xảy ra khi == == CBA cba II - Một số bất đẳng thức phụ đã đợc chứng minh là đúng. o xyyx 2 22 + o xyyx + 22 dấu( = ) khi x = y = 0 o ( ) xyyx 4 2 + o 2 + a b b a o 2 1 1 4 ( , 0) 1 2 ( 0) 1 4 ( , 0) ( ) Khi b c b c b c b khi x b Khi x y bc b c + > + + > > + III Các bất đẳng thức trong tam giác IV Các hàm l ợng giác thông dụng V Các tính chất cơ bản Tính chất 1: a > b <=> b < a Tính chất 2: a > b và b > c => a > c Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c Hệ quả : a > b <=> a - c > b c a + c > b <=> a > b c Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b d Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ . VI Các hằng đẳng thức đáng nhớ VII Các kiến thức về toạ độ vec tơ VIII Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 3 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán , , , , , a a a b c R a b a b c a c a a c c a b c d R b d b b d d + + > + + + + > > > + Phần II Các ph ơng pháp chứng minh Bất đẳng thức Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức vô cùng đa dạng ở đây tôi xin trình bày những dạng phơng pháp thông dụng nhất nh sau: Dạng 1 Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi t ơng đơng Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ. Dạng 3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng Dạng 5 Ph ơng pháp lợng giác Dạng 6 Ph ơng pháp chứng minh qui nạp Dạng 7 Ph ơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau Dạng 8 Ph ơng pháp dùng tam thức bậc hai Dạng 9 Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu Dạng 10 - Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác Dạng 11 Ph ơng pháp đổi biến số Dạng 12 Ph ơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng) Ngoài các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều các phơng pháp khác nh: Phơng pháp toạ độ vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nh ng do các kiến thức lý thuyết các em cha có nên tôi chỉ xin trình bày một số phơng pháp nh trên. Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 4 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tơng tơng đơng Đây là phơng pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức: 2 2 2 2 ( ) 0a ab b a b+ + = + 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0a b c ab ac bc a b c+ + + + + = + + Ph ơng pháp: Khi biến đổi tơng đơng ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong giả thiết nhằm áp dụng đợc điều kiện của giả thiết để chứng minh đợc bất đẳng thức đó là đúng. Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó ( 0; 0; 0; 0 ) < > Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để đợc điều phải chứng minh. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng với , 0a b thì: 2 ( )( ) ( ) (1)ax by bx ay a b xy + + + Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 ( 2 ) 0 ( ) 0 abx a xy b yx bay a xy abxy b xy ab x y xy ab x y + + + + + + Bất đẳng thức luôn đúng vì , 0a b . Ví dụ 2: Cho 0 a b c < Chứng minh rằng: a b c b c a b c a a b c + + + + Giải a b c b c a b c a a b c + + 2 2 2 2 2 2 1 ( )a c b a c b b c c a a b abc = + + Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 5 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b c a abc = + + 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) 1 ( )( )( ) 0 c a b ab b a c b a abc b a ca cb ab c abc b a c b c a abc = + + = + + = Vì 0 a b c < . Vậy a b c b c a b c a a b c + + + + Ví dụ 3: Với , , 0a b c > chứng minh: 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c + + + Giải 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c + + + 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 0) 2 2 2 0 a b c bc ac ba do abc a b c bc ac ab + + + > + + + 2 ( ) 0a b c + Hiển nhiên đúng. Vậy 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c + + + . Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì : 2 2 2 2 1 (1)a b c d a b c d+ + + + + + + Giải ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 + + + + + + + + + + + + + + a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d Vậy : 2 2 2 2 1a b c d a b c d + + + + + + + Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu: 2a b + thì 3 3 4 4 a b a b + + (1) Giải Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 6 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán 4 4 3 3 3 3 (1) 0 ( 1) ( 1) 0 a b a b a a b b + + 3 3 3 3 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0 a a b b a b a b a a b b a b a a a b b b a b + + + + + + + + + + + + + Suy ra điều phải chứng minh. Vì: 2 2 2 2 2 2 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 2 2 0 a a a a b b b b a b a b + + > + + + + Bài tập áp dung: Bài 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng: 4 4 2a b+ Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có: 1 1 1 2 2 3 2 ( 1)n n + + + < + Bài 3: Chứng minh m,n,p,q ta đều có m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n + p + q +1) Bài 4: Chứng minh rằng: 10 10 2 2 8 8 4 4 (a b )(a b ) (a b )(a b ) + + + + Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức : 3 33 22 + + baba Trong đó : a > 0 , b > 0 Bài 6: Chứng minh rằng: Với mọi số dơng a, b, c, d ta có: 2 dcba ad d dc c cb b ba a 22 3 22 3 22 3 22 3 +++ + + + + + + + Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ Đây là phơng pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức. Chúng ta dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phơng pháp cho thích hợp. Ngoài ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đ- ợc BĐT cần chứng minh. Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 7 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x,y,z ta có: 2 2 2 2 2 2 ( 3 3 ( )( ) 9 xyz x y z x y z x y z xy yz zx + + + + + + + + + + Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3( ) ( ) 3( 3 3 x y z x y z x y z x y z x y z xyz xy yz zx xyz + + + + + + + + + + + + Do đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) (( 3 1) ) ( )( ) ( )(3 3 1 3 1 1 3 3 3 3 9 3 xyz x y z x y z xyz x y z x y z xy yz zx x y z xyz xyz xyz + + + + + + + + + + + + + + + + + = Dấu = xảy ra khi x=y=z Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2000 2000 2000 1994 1995 1996 (1)+ < Giải 2000 2000 2000 1994 1996 1 (1) ( ) 1 ( ) (1 ) 1995 1995 1995 + < = + Theo bất đẳng thức Becnuli ta có: 2000 2000 1 2000 1994 (1 ) 1 1 ( ) 1995 1995 1995 > + > + Vì: 2000 2000 1994 1 ( ) 1995 1995 > > Ví dụ 3: Cho a b 2 + = Chứng minh rằng: 4 4 a b 2+ Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 8 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1.a 1.b) (1 1 )(a b ) (a b) 2(a b ) 4 2(a b ) 2 a b + + + + + + + áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a 2 ,b 2 ta có: + + + + + + + 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 (1.a 1.b ) (1 1 )(a b ) 2 (a b ) 2(a b ) 4 2(a b ) a b 2 Ví dụ 4: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c a b c + + + + Giải Ta có: 1 1 1 a a b b c c (a b c)( ) 1 1 1 a b c b c a c a b a b c a b c 3 ( ) ( ) ( ) 9 b a a c c b + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + Vì : a b 2 b a + c a 2 a c b c 2 c b + + Nên: a b c a b c 3 ( ) ( ) ( ) 9 b a a c c b + + + + + + Ví dụ 5: Cho 4 số dơng a,b,c,d chứng minh rằng: a b c d 2 b c c d a d a b + + + + + + + Giải áp dụng bất đẳng thức phụ: 2 1 1 (x,y> 0) xy (x y) + Ta có: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 9 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán 2 2 2 a c a(d a) c(b c) a c ad bc 4 b c d a (b c)(d a) (a b c d) + + + + + + + = + + + + + + + Tơng tự: 2 2 2 b d b d ab cd 4 c d a b (a b c d) + + + + + + + + + Cộng vế theo vế ta có: 2 2 2 2 2 a b c d a b c d ad bc ab cd 4 b c c d a d a b (a b c d) + + + + + + + + + + + + + + + + + Ta chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d ad bc ab cd 4 2 (a b c d) 4a b c d ad bc ab cd 2(a b c d) 2a 2b 2c 2d 4ac 4bd 0 (a c) (b d) 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x,y,z thoã mãn 4 x(x 1) y(y 1) z(z 1) 3 + + Chứng minh rằng: x y z 4 + + Bài 2: Cho a>b>c>0 và 1 222 =++ cba .Chứng minh rằng 3 3 3 1 2 a b c b c a c a b + + + + + Bài 3: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x 2 + y 2 = 22 11 xyyx + Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Bài 4: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng: 6+++++ accbba Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 3 (1)p p a p b p c p < + + Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + + + Bài 7 Cho ba số 0,, >cba .Thoả mãn abccabcab =++ Chứng minh rằng: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 10 [...].. .chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + 3 (*) ab bc ca Dạng 3 sử dụng bất đẳng thức Cauchy Đây là phơng pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT... Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 20 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Vì : Nên: 1 1 13 + + > k +1 2k 24 13 1 1 1 13 + + = đúng 24 2k + 1 2k + 2 k + 1 24 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trờng hợp tổng quát Với a1, a 2 a n R n , n 2 thì a1 + a2 + an n a a a 1 2 n n Giải: Với n =2 bất đẳng thức đả đợc chứng minh ở 1 (bất đẳng thức Ơclit) + x1 < x2 x1n1 < x2n1 ... vi bằng 2 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Dạng 10 Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác Đây là phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác làm các giả thiết để chứng minh các bất đẳng thức ở phơng pháp chứng minh này các bạn nên chú ý một số kiến thức cơ bản sau: Kiến thức: 1 Các bất đẳng thức trong tam giác: Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì a, b, c > 0 bc 4 4 4 Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 15 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành... âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng Thế thì nói riêng ta có: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 21 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán x n1 + x n1 + + xnn1 (n 1) x2 x3 xn 2 3 x n1 + x n1 + + xnn1 (n 1) x1x3 xn 1 3 x n1 + x n1 + + x n1 (n 1) x x x 1 2 n1 1 2 n1 Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cờng các bất đẳng. .. b+ca > 0 ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác ) 2 Tơng tự : p - b > 0 ; p- c > 0 Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c p-b+p-c=a p-c+p-a=b ta áp dụng tính chất của Bất đẳng thức: 1 1 4 + ta có: x y x+ y 1 1 4 4 + = c ( p a ) + ( p b) pb pa 1 1 + pc pb 1 1 + pa pc 4 a 4 b Cộng theo vế của bất đẳng thức ta có : 1 1 1 1 1 1 + + 2( + + ) pb pc pa a b c Dấu = xảy ra khi ABC đều Ví dụ 4: Cho a, b,... hình thức chứng minh bằng phản chứng: Dùng mệnh đề đảo Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 13 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b, c, d R và a + b = 2cd Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức. .. đúng c2 a, d 2 b Giải Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta đợc : 2 c2 < a và d < b c2 a < 0 và d 2 b < 0 c2 a + d 2 b < 0 c2 + d 2 (a + b) < 0 c2 + d 2 2cd < 0 Vì a+b =2cd (c d)2 < 0 Mâu thuẫn Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng Ví dụ 2: Cho 3 số dơng a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(2 a) > 1 b(2 . vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Lời nói đầu Trong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều. thú học tập bộ môn Toán nói chung và chuyên đề Bất đẳng nói riêng. Phần I - kiến thức cơ bản I Một số bất đẳng thức cần nhớ: 2 0; 0;a a b b b o Bất đẳng thức Cô sy: n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++