1 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II 1. Dạng 1: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ f(x, y) = 0 f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia) Phương pháp giải chung Cách giải 1 Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 3 3 x2xy (1) y2yx (2) ⎧ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎩ . Giải Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: 33 22 x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0−+−=⇔− +++= 2 2 y3y (x y) x 3 0 y x 24 ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ ⎟ ⎜ ⇔− + + +=⇔= ⎟ ⎜ ⎢⎥ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: 3 xx0x0+=⇔= Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0 y0 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ⎧ ⎪ ++ −= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ − = ⎪ ⎪ ⎩ Giải Điều kiện: 3 x4 2 3 x4 2 ⎧ ⎪ ⎪ −≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎩ . Trừ (1) và (2) ta được: ()() 2x3 2y3 4y 4x 0+− + + −− − = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0 2x3 2y3 4y 4x +− + −−− ⇔+= ++ + −+ − 21 (x y) 0 x y 2x3 2y3 4y 4x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔− + =⇔= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + −+ − . Thay x = y vào (1), ta được: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16++ −= ⇔ ++ + − = Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only. 2 2 2 9x 0 11 22x 5x129x x3x 9x 38x 33 0 9 ⎧ −≥ ⎪ ⎪ ⇔− ++=−⇔ ⇔=∨= ⎨ ⎪ −+= ⎪ ⎩ (nhận). Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 x x3 9 y3 11 y 9 ⎧ ⎪ ⎪ = ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎩ = ⎪ ⎪ ⎩ . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 3 x2xy (1) y2yx (2) ⎧ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎩ Giải Trừ và cộng (1) với (2), ta được: 322 322 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ⎧⎧ ⎪⎪ =+ − ++−= ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =+ + −+−= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ 22 2222 22 xy 0 xy 0 xy 0 x xyy 1 xy 0 xxyy 3xxyy 1 xxyy 3 ⎧ ⎧⎧ ⎧ ⎪ −= += ⎪⎪ −= + + = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔∨ ∨ ∨ ⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪ += −+= ++= −+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩⎩ ⎪ ⎩ + xy 0 x 0 xy 0 x 0 ⎧⎧ −= = ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ += = ⎪⎪ ⎩⎩ + 22 2 xy 0 y x x3x 3 xxyy 3 x 3 y3y 3 ⎧⎧ ⎧⎧ ⎪⎪ −= = ⎪⎪ ==− ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ∨ ⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ −+= = ==− ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎩⎩ + 22 2 xy 0 y x x1x1 y1 y 1 xxyy1 x1 ⎧⎧ ⎧⎧ += =− ⎪⎪ =− = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ ==− ++= = ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩ ⎩⎩ + 22 22 22 xy 1 xxyy1 xy 1 x1 x 1 xy 0 y 1 y1 xy2 xxyy 3 ⎧ ⎧ ⎧⎧⎧ ⎪ =− ⎪ ++= =− = =− ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⇔⇔⇔∨ ⎨⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ += =− = += −+= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩ ⎩ ⎪ ⎩ Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x0 x 1 x1 x 3 x 3 x0 y1 y 1 y3y 3 ⎧⎧ ⎧⎧ ⎧ ⎪⎪ ==−= = =− ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∨∨∨∨ ⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == =− ==− ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩ ⎪⎪ ⎩⎩ . Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ⎧ ⎪ ++ −= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ − = ⎪ ⎪ ⎩ Giải Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only. 3 Điều kiện: 3 x4 2 3 x4 2 ⎧ ⎪ ⎪ −≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎩ . Trừ (1) và (2) ta được: 2x 3 4 x 2y 3 4 y+− − = +− − (3) Xét hàm số 3 f(t) 2t 3 4 t, t ; 4 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =+−−∈− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , ta có: / 11 3 f(x) 0, t ; 4 2 2t 3 2 4 t ⎛⎞ ⎟ ⎜ =+>∀∈− ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ +− (3) f(x) f(y) x y⇒⇔ = ⇔=. Thay x = y vào (1), ta được: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16++ −= ⇔ ++ + − = 2 11 22x 5x129x x3x 9 ⇔− ++=−⇔=∨= (nhận). Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 x x3 9 y3 11 y 9 ⎧ ⎪ ⎪ = ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎩ = ⎪ ⎪ ⎩ . Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 3 3 x2xy y2yx ⎧ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎩ . Giải Xét hàm số 3/2 f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t=+⇒ = +>∀∈\ . Hệ phương trình trở thành f(x) y (1) f(y) x (2) ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . + Nếu x y f(x) f(y) y x>⇒ > ⇒>(do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn). + Nếu x y f(x) f(y) y x<⇒ < ⇒<(mâu thuẩn). Suy ra x = y, thế vào hệ ta được 3 xx0x0.+=⇔= Vậy hệ có nghiệm duy nhất x0 y0 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1! Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x2 3x y y2 3y x ⎧ ⎪ + ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ Giải Nhận xét từ hệ phương trình ta có x0 y0 ⎧ > ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ > ⎪ ⎩ . Biến đổi: Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only. 4 2 22 2 22 2 2 x2 3x 3xy x 2 (1) y 3yx y 2 (2) y2 3y x ⎧ ⎪ + ⎪ = ⎪ ⎧ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =+ + ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ Trừ (1) và (2) ta được: (x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).−++=⇔=++> Với 32 xy:(1) 3x x 20=⇔−−= 2 (x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.⇔− ++=⇔= Vậy hệ có 1 nghiệm x1 y1 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . 2. Dạng 2: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng Phương pháp giải chung Cách giải 1 Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 11 xy (1) xy 2x xy 1 0 (2) ⎧ ⎪ ⎪ −=− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −−= ⎪ ⎪ ⎩ . Giải Điều kiện: x0, y0≠≠. Ta có: 11 (1) (x y) 1 0 y x y . xy x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⇔− + =⇔=∨=− ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ + Với y = x: 2 (2) x 1 0 x 1⇔−=⇔=±. + Với 1 y x =− : (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x 1 y1 y 1 ⎧⎧ ==− ⎪⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ ==− ⎪⎪ ⎩⎩ . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x) f(y) x y=⇔= với hàm f đơn điệu. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 x y cos x cos y (1) xy 3y 18 0 (2) ⎧ −= − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ −−= ⎪ ⎩ . Giải Tách biến phương trình (1), ta được: (1) x cos x y cos y⇔− =− (3). Xét hàm số / f(t) t cos t f (t) 1 sin t 0, t=− ⇒ =+ > ∀∈\ . Suy ra (3) f(x) f(y) x y⇔=⇔=. Thay x = y vào (2), ta được: Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only. 5 32 x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.−−=⇔− ++=⇔= Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x3 y3 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . Chú ý: Cách giải sau đây sai: 2 11 xy (1) xy 2x xy 1 0 (2) ⎧ ⎪ ⎪ −=− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −−= ⎪ ⎪ ⎩ . Giải Điều kiện: x0, y0≠≠. Xét hàm số / 2 11 f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0} t t =− ∈ ⇒ =+ > ∀∈\\ . Suy ra (1) f(x) f(y) x y⇔=⇔=! Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 x3y20 y3x20 ⎧ ⎪ −+= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ −+= ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x1 x2 y1 y2 ⎧⎧ == ⎪⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⎩⎩ . 2) 2 2 xxyx2y yxyy2x ⎧ ⎪ +=+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ +=+ ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: 3 x x0 2 y0 3 y 2 ⎧ ⎪ ⎪ = ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎩ = ⎪ ⎪ ⎩ . 3) x1 y7 4 y1 x7 4 ⎧ ⎪ ++ − = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ − = ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x8 y8 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . 4) x1 y2 3 y1 x2 3 ⎧ ⎪ ++ − = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ − = ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x3 y3 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . 5) x3 2y 3 y3 2x 3 ⎧ ⎪ ++ −= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ −= ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x1 x 2 y1 y 2 ⎧⎧ ==− ⎪⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ ==− ⎪⎪ ⎩⎩ . 6) 3 3 xx2y yy2x ⎧ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x0 x 3 x 3 y0 y3y 3 ⎧⎧ ⎧ ⎪⎪ == =− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ∨∨ ⎨⎨ ⎨ ⎪⎪ ⎪ = ==− ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎩⎩ . 7) 2 2 3 2x y x 3 2y x y ⎧ ⎪ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x1 y1 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . 8) 2 2 1 2x y y 1 2y x x ⎧ ⎪ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x1 y1 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . 9) 22 22 xy 4 y xy 4 x ⎧ ⎪ −= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ −= ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x2 y2 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only. 6 10) 32 32 xxx12y yyy12x ⎧ ⎪ −++= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ −++= ⎪ ⎪ ⎩ . Đáp số: x1 x 1 y1 y 1 ⎧⎧ ==− ⎪⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ ==− ⎪⎪ ⎩⎩ . 11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003) 3 11 xy (1) xy 2y x 1 (2) ⎧ ⎪ ⎪ −=− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎩ . Hướng dẫn giải Điều kiện: x0, y0.≠≠ xy 1 1 (1) x y 0 (x y) 1 0 x y y . xy xy x ⎛⎞ − ⎟ ⎜ ⇔−+ =⇔ − + =⇔=∨=− ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ + Với xy= : (2) 15 x1x . 2 −± ⇔=∨= + Với 4 1 y:(2)xx20. x =− ⇔ + + = Xét hàm số 4/3 3 1 f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x . 4 − =++⇒ = +=⇔= 33 x 13 f2 0, lim f(x)0, x 444 →±∞ ⎛⎞ − ⎟ ⎜ =− > =+∞⇒ > ∀∈ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ \ 4 xx20⇒++= vô nghiệm. Cách khác: + Với 4 x1x20x x20<⇒ +>⇒ ++>. + Với 44 x1x x xx x20≥⇒ ≥ ≥−⇒ ++> . Suy ra (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt 15 15 xx x1 22 y1 15 15 yy 22 ⎧⎧ ⎪⎪ −+ −− ⎪⎪ == ⎪⎪ ⎧ = ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ∨∨ ⎨⎨ ⎨ ⎪⎪ ⎪ = −+ −− ⎪⎪ ⎪ ⎩ == ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ . 12) xsiny (1) ysinx (2) ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ Hướng dẫn giải Trừ (1) và (2) ta được: x y siny sinx x sinx y siny (3).−=−⇔+=+ Xét hàm số / f(t) t sint f (t) 1 cost 0, t=+ ⇒ =+ ≥ ∀∈\ . (3) f(x) f(y) x y (1) x sin x 0 (4).⇔=⇔=⇒⇔− = Xét hàm số / g(x) x sin x g (x) 1 cos x 0, x=− ⇒ =− ≥ ∀∈ ⇒\ (4) có không quá 1 nghiệm. Do g(0) 0 (4) x 0.=⇒ ⇔= Vậy hệ có 1 nghiệm x0 y0 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ . . Software Company ,20 05 -20 06 For Evaluation Only. 4 2 22 2 22 2 2 x2 3x 3xy x 2 (1) y 3yx y 2 (2) y2 3y x ⎧ ⎪ + ⎪ = ⎪ ⎧ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =+ + ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ Trừ (1) và (2) ta được: (x. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 3 x2xy (1) y2yx (2) ⎧ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎪ ⎩ Giải Trừ và cộng (1) với (2) , ta được: 322 322 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ⎧⎧ ⎪⎪ =+ − ++−= ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =+. = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0 2x3 2y3 4y 4x +− + −−− ⇔+= ++ + −+ − 21 (x y) 0 x y 2x3 2y3 4y 4x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔− + =⇔= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + −+ − . Thay x = y vào (1), ta được: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x