Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 15/11/10 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 20/11/10 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 1 11 13 33 3 Bất đẳng thức và cực trị đại số Buổi 1 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chức Tổ chức Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới I I I I - - Các phơng pháp Các phơng pháp Các phơng pháp Các phơng pháp Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 x y 2 + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x y + . Hớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên 1 1 0; 0; x 0; y 0 x y > > > > Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng 1 1 ; x y tìm đợc xy 4 Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng x và y Ta có: A x y 2 x . y 2 4 4 = + = = Dấu = xảy ra x = y = 4. Vậy Min A = 4 x = y = 4 Phơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó. *) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5 7 3x + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Hớng dẫn: ĐKXĐ: 5 7 x 3 3 Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 4 = + + + + = Dấu = xảy ra x = 2 Vậy Max A 2 = 4 => Max A = 2 x = 2 Phơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với cùng một số khác 0 *) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 9 A 5x = Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 9 ( ) x 9 x 9 1 .3 3 x 9 3 2 3 1 A 5x 5x 5x 30 + = = = Dấu = xảy ra x = 18 Vậy Max A = 1 30 x = 18 Phơng pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. 1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau *) Bài tập 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 3x 16 A x + = Hớng dẫn: 4 4 3 3 3 3x 16 16 x.x.x.16 A x x x 4 8 x x x + = = + + + = Dấu = xảy ra x = 2 Vậy Min A = 8 x = 2 2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số) *) Bài tập 5: Cho 9x 2 0 x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x x < < + Hớng dẫn: 9x 9x 9x 2 2 x 2 x A = 1 2. . 1 7 2 x x 2 x x 2 x x + = + + + = Dấu = xảy ra x = 1 2 Vậy Min A = 7 x = 1 2 Phơng pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho *) Bài tập 6: Cho ba số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 y x z P y z z x x y = + + + + + Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dơng 2 y z x và y z 4 + + Ta có 2 y z x + x y z 4 + + Tơng tự : 2 y z x + y z x 4 + + và 2 x y z + z x y 4 + + Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc P 1 Dấu = xảy ra x = y = z = 2 3 Vậy Min P = 1 x = y = z = 2 3 II II II II Luyện tập Luyện tập Luyện tập Luyện tập *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 1 x y + Hớng dẫn: 2 x y xy a xy a 2 + = => => 2 x y 2a 2 A xy a a + = = Dấu = xảy ra x = y = a Vậy Min A = 2 a x = y = a *) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 5 23 x = + Hớng dẫn: ĐKXĐ: 5 x 23 . Max A 2 = 36 Max A = 6 x = 14 *) Bài tập 3: Cho x + y = 15, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức B x 4 y 3 = + Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 4;y 3 ( ) ( ) ( )( ) 2 B x 4 y 3 2 x 4 y 3 8 2 x 4 y 3 8 B 8 = + + + => Dấu = xảy ra x 4 = 0 hoặc y - 3 = 0 Nếu x = 4 thì y = 11 và y = 3 thì x = 12 (vì x + y = 15) B 8 MinB 8 => = (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3) Max B 2 = 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7) *) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2x 6x 5 A 2x + = (x > 0) Hớng dẫn: 5 A x 3 10 3 2x = + . Dấu = xảy ra 1 x 10 2 = Vậy Min A = 10 3 1 x 10 2 = *) Bài tập 5: Tỡm giá trị lớn nhất ca biu thc a) A = 3 5 7 3 x x + b) B = 5 23 x x + Hớng dẫn Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu a) KX: 5 3 x 7 3 Ta có: A 2 = 3x - 5 + 7 - 3x + 2 (3 5)(7 3 ) x x = 2 + 2 (3 5)(7 3 ) x x p dng BT Cụ-si ta cú: A 2 2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4 Du = xy ra 3x - 5 = 7 - 3x x = 2 Vy Max A 2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2 b) Tơng tự câu a *) Bài tập 6: Hớng dẫn *) Bài tập 7: Hớng dẫn *) Bài tập 8: Hớng dẫn *) Bài tập 4: Hớng dẫn IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà - Xem lại các bài đã chữa, giải bài tập sau: Cho a, b, x là những số dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) x a x b P x + + = D/Bổ sung ***************************** Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 15/11/10 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 24/11/10 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 1 11 13 33 3 Bất đẳng thức và cực trị đại số Buổi 2 Luyện tập A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức cô - si để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chức Tổ chức Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ - HS1: Giải bài tập đã cho tiết trớc Cho a, b, x là những số dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) x a x b P x + + = KQ: ( ) ( ) 2 ab ab P x (a b) 2 x. a b a b x x = + + + + + = + Min P = ( ) 2 a b + x = ab - HS2: Cho x 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x 2x 17 Q 2(x 1) + + = + KQ: ( ) 2 x 1 16 8 8 x 1 x 1 Q 2 . 4 2(x 1) 2 x 1 2 x 1 + + + + = = + = + + + Min Q = 4 x = 3 III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới *) Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 6 x 34 M x 3 + + = + Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 0 ( ) 2 x 3 25 25 M x 3 2 25 10 x 3 x 3 + + = = + + = + + Min M = 10 x = 4 *) Bài tập 2: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 x 2000 N x + = Hớng dẫn: 2 2 2 3 2000 1000 1000 1000 1000 N x x 3 x . . 3.100 300 x x x x x = + = + + = = Min N = 300 x = 10 *) Bài tập 3: Cho x > 0 và y > 0; x + y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 16 12 P 5x 3y x y = + + + Hớng dẫn: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu ( ) ( ) 16 16 12 12 P 2 x y 3x y 12 2 3x. 2 y. 32 x y x y = + + + + + + + = Min P = 32 x = 2 và y = 4 *) Bài tập 4: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 x 1,2xy y Q x y + + = Hớng dẫn: ( ) 2 x y 3,2xy 16 Q x y 2 16 8 x y x y + = = + = Min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 và y = 1 hoặc x = - 1 và y = - 5) *) Bài tập 5: Cho x > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 25 A 4x x 1 = + Hớng dẫn: ( ) ( ) 25 25 A 4 x 1 4 2 4 x 1 4 24 x 1 x 1 = + + + = Min A = 24 x = 3,5 *) Bài tập 6: Cho 0 < x <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4 B 1 x x = + Hớng dẫn: Đặt 4b(1 x) 3 3ax 4 B c 1 x x 1 x x = + = + + Sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc a = b = 1; c = 7 Vậy ( ) ( ) 2 4 1 x 3x B 7 2 3 1 x x = + + + (theo cô-si) Min B = ( ) 2 2 3 + x = ( ) 2 3 1 *) Bài tập 7: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 2 2 x y z + + Hớng dẫn: a) 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy ;yz ;zx (theo cô-si) 2 2 2 + + + => ( ) ( ) 2 2 2 2 xy yz zx x y z x y z 2 xy yz zx + + + + = + + + + => A 2 a 3 . Max A = 2 a 3 x = y = z = a 3 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B x y z x y z 2 xy yz zx a 2 xy yz zx = + + = + + + + = + + B min (xy + yz +zx ) max xy + yz +zx = 2 a 3 (theo câu a) Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Khi đó Min B = 2 a a x y z 3 3 <=> = = = *) Bài tập 8: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y x z P y z x = + + Hớng dẫn: 2 2 2 2 2x y y 2y z 2z x x z P y z x z x y = + + + + + 2 2 2 4 x y x y x .x .y.z x z 4 4x y yz z z + + + = Tơng tự 2 y y z y z x 4y z x x + + + ; 2 z x z x z y 4z x y y + + + Do đó 2 P 36 => P 6 . Min P= 6 x = y = z = 4 *) Bài tập 9: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = ( ) ( ) a a a 1 1 1 x y z + + + Hớng dẫn: 2 2 4 2 x 2 yz 4 x yz x x y z a 1 x x x x + + + + + = Tơng tự: 2 2 4 2 y 2 xz 4 y xz y y x z a 1 y y y y + + + + + = ; 2 4 4 z yx a 1 z z + Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có ( ) 4 4 64 xyz Q 64 xyz = Min Q = 64 x = y = z = a 3 IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà - Xem lại các bài tập đã chữa - Giải bài tập sau: *) Bài tập 1 : Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 a 1 b 1 c A 1 a 1 b 1 c + + + = Hớng dẫn : a b c 1 1 a b c 0 + + = => = + > . Tơng tự 1 b > 0 và 1 c > 0 Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 b + 1 c ( )( ) 2 1 b 1 c Tơng tự : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b 2 1 a 1 c ;1 c 2 1 a 1 b + + Suy ra ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c + + + = Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Vậy 1 A 8. Min A = 8 <=> a = b = c = 3 *) Bài tập 2 : Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 - - 2012 2012 2012 2012 Cho hai số thực dơng x, y thoả mn: ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 4 4 0 x y xy x y x y x y x y + + + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y. Hớng dẫn: Đặt a = x+y = M; b = xy; 2 4 a b Từ giả thiết có: 3 2 2 2 3 3 3 6 4 4 a ab a b b ab b + + = 0 2 2 ( 2 )( 2 3 ) 0 + = a b a ab b b 2 2 2 2 3 0 = + = a b a ab b b +) Nếu a = 2b Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y) 2 4 xy nên (x+y) 2 2( ) x y + 2; " " : 1. = + = = = M x y khi x y (*) +) Nếu 2 2 2 3 0 a ab b b + = 2 2 2 ( 3) 0 + + = b a b a (1) Giả sử = (1) có nghiệm b thoả mn b 2 4 a thì b= 2 3 2 4 a a + 2 2 6 0 1 7;( : 0) a a a Do a + > và 2 2 3 ( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0 2 2 1 a a a a a a a+ + + + Vậy a 1 7 + (**) Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1. *) Bài tập 3 : Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 - - 2012 2012 2012 2012 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 1 4x 3x 2011 4x + + Hớng dẫn: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 M 4x 3x 2011 3 x x x 2010 4x 4 8x 8x 4 1 1 1 1 M 3 x x 2010 2 8x 8x 4 = + + = + + + + + + = + + + + + p dng cụ si cho ba s x x x 8 1 , 8 1 , 2 ta cú 4 3 8 1 . 8 1 .3 8 1 8 1 3 22 =++ xx x xx x Du = xy ra khi x = 1/2 m ( ) 2 1 x 0 2 Du = xy ra khi x = 1/2 Vy 20112010 4 1 4 3 0 =+++M Vy giỏ tr nh nht ca M bng 2011 khi x = 1/2 *) Bài tập 4 : Đề thi vào THPT tỉnh Hải Đề thi vào THPT tỉnh HảiĐề thi vào THPT tỉnh Hải Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011 - - 2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai Cho ba số x, y, z thoả mn 0 < x, y, z 1 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 (x 1) z + 2 (y 1) x + 2 (z 1) y Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Hớng dẫn: t 1 0; 1 0; 1 0 = = = a x b y c z 0 , , 1; 2 ; ; 0; 1 < + + = + + = x y z x y z a b c a b c 2 2 2 1 1 1 a b c A c a b = + + p dng bt ng thc Bunhiacoxki cho ba cp s ( ) 1 ; 1 ; 1 ; ; ; 1 1 1 a b c c a b c a b Ta cú : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 = + + + + + + + + a b c a b c a b c c a b A c a b c a b Vy Min 1 1 2 2 3 3 MinA a b c x y z = = = = = = = Cách khác: Sử dụng phơng pháp điểm rơi trong BĐT Côsi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 x y z A z x y = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 x y z z x y x y z z x y + + = + + + + + 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 x y z + + ( theo BĐT Cosi) =1-x+1-y+1-z - 1 2 = 3-(x+y+z) - 1 2 = 1 2 => Min A = 1 2 1 /2 1 / 2 1 / 2 2 x z z y y x x y z = = = + + = 2 2 2 2 2 2 2 x z z y y x x y z = = = + + = 2 3 2 x y z x x y z y z x y z = = = = = = + + = *) Bài tập 5: Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 - - 2012 2012 2012 2012 Cho hai s thc dng x, y tho món 2011 x;y 2012. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 2 2 (x y)(x y ) A xy + + = . Hớng dẫn: 2 2 3 3 2 2 2 2 (x y)(x y ) x y yx xy A xy xy + + + + + = = 2 2 x y x A 1 x y y = + + + t x t y = ta cú 2 1 A t t 1 A(t) t = + + + = Do 2011 x;y 2012 nờn 2011 2012 t 2012 2011 (theo t/ch t t s ) Xột 1 2 2011 2012 t t 2012 2011 < ta tớnh A(t 1 ) - A(t 2 ) = < 0 Do ú A(t 1 ) < A(t 2 ) . Nờn t 2011 2011 t A( ) A(t) 2012 2012 2011 16188554 min A A( ) 2012 4048144 = = khi 2011 t 2012 = Tr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Hay x = 2011, y = 2012. *) Bµi tËp 6 : §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 - - 2012 2012 2012 2012 Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: A = 2 2 x 2x 2011 x − + (v ớ i x ≠ 0) H−íng dÉn: Cách 1: V ớ i x ≠ 0 thì A = 2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011.2011 2010x (x 2.201 1x 2011.2011) x 2011x 2011x − + − + + − + = = 2 2 2010 (x 2011) 2010 2011 2011 2011x − = + ≥ V ậ y MinA = 2010 2011 <=> x – 2011 = 0 <=> x = 2011 * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số lớp 8) ( ) − + ≠   − ⋅ + ⋅ − ≠       − ⋅ ⋅ + + −       − + ≥ ⇔ ⇔ =     2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011 A = với x 0 x 1 1 1 = 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0) x x x 1 1 1 = 2011 t 2 t 1 2011 2011 2011 1 2010 2010 1 = 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho 2011 2011 2011 2011   ≠     õa x 0 2010 Vậy MinA = x = 2011. 2011 ⇔ * Cách 3: (Dùng kiến thức đại số 9) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x 2x 2011 A = với x 0 x A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x − + ≠ ⇒ = − + ⇔ − + − = 2011 Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1) 2 − ⇔ ⇔ Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai đối với ẩn x. − ≠ x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm. ( ) / / 2 0 1 2011 A 1 0 2010 b 1 1 A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2011 ; thõa x 0 (2) 2010 2011 a A 1 1 2011 ⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥     − − − ⇔ ≥ ⇔ = = = ≠   −   −   So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà: 2010 MinA = x = 2011. 2011 ⇔ [...]... b i ta có: 2 xy x 2 + y 2 8 xy 4 1 1 2 1 1 , ta có: + m : xy 4 x y x y xy 1 1 1 1 1 Nên: + 1 Vậy Amin = 1 = = x = y = 2 x y x y 2 áp dụng BDT Cosi với hai số: *) Bài tập 19 : Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2010 - 2011 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng Cho hai s th c dng x, y th a món 4xy = 1 2 x 2 + 2 y 2 + 12 xy Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c: A = x+ y Hớng dẫn:... 5 V y min F = 2 khi x = 2 *) Bài tập 27 : Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 - 2011 1) Tỡm 7 s nguyờn dng sao cho tớch cỏc bỡnh phng c a chỳng b ng 2 l n t ng cỏc bỡnh phng c a chỳng 2) Cho cỏc s th c khụng õm x y thay i v th a món x+y=1 Tỡm giỏ tr l n nh t v giỏ tr nh nh t c a: B=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng Hớng dẫn: 1) * Gọi 7 s nguyên... Tỡm giỏ tr l n nh t v nh nh t c a bi u th c : B = m + n + p Hớng dẫn: 3m 2 n 2 + np + p 2 = 1 (1) 2 ( m + n + p )2 + (m p)2 + (n p)2 = 2 (m p)2 + (n p)2 = 2 - ( m + n + p )2 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng (m p)2 + (n p)2 = 2 B2 v trỏi khụng õm 2 B2 0 B2 2 2 B 2 d u b ng m = n = p thay vo (1) ta cú m = n = p = 2 3 2 3 2 Min B = 2 khi m = n = p = 3 Max... (b+c)(c+a) a b + ab ab Do ú = a + c b + c ( Cụ si) c + ab (b + c)(c + a) 2 b c c a + + bc ca Tng t : b+c c+a ; c+a a+b a + bc 2 b + ca 2 a+c b+c a+b + + 3 V y P a+c b+c a+b = 2 2 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng Do ú: MinP = 3/2, x y ra khi a = b= c = 1/2 *) Bài tập 9 : Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2009 - 2010 Cho x, y thỏa m n: x + 2 y 3 = y + 2 x 3 Tìm giá trị... 1 1 ) ta cú: x+ y Do ú: A = 2 ( x + y ) + 4 x+ y V y Min A = 4 (x+y) = ( 1 x+ y (x+y)2 =1 K t h p v i i u ki n 4xy = 1 ta c x = y = - x + y = 1 1 1 ;x=y= 2 2 *) Bài tập 20 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 - 2011 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5 Hớng dẫn: Trớc hết chứng minh bất đẳng thức bunhia-côp-xki ( am + bn )2 ( a2 + b2 )( m2 + n2 ) ; đẳng... âm, đấu đẳng thức có khi a = b, 1 15 17 17 1 = Kết luận: Pmin = , đạt đợc khi m = n = 2 4 4 4 2 ta có: P + *) Bài tập 24 : Tỡm GTLN c a : a) A = x 1 + y 2 bi t x + y = 4 Hớng dẫn: Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng i u ki n : x 1 , y 2 B t a+b ab 2 ng th c Cauchy cho phộp lm gi m m t t ng : õy ta mu n lm tng m t t ng Ta dựng b t ng th c : a + b 2(a 2 + b 2 ) Ta có: A = x... x + y + z = 1 z = 1, lại k t h p v i /k: x 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y = 0 V y trong 3 s x,y,z ph i cú hai s b ng 0 v một s b ng 1 Nờn t ng S luụn cú giỏ tr b ng 1 *) Bài tập 26 : Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng 1) Cho biểu thức: A = Tìm x để A = 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 x +x x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 2 5 4050150 x+ y = a+b 2) Cho hệ phơng trình 2 2 2 2 x + y = a + b... thi vào THPT tỉnh Tây Nguyên năm học 2009 - 2010 Nguyên Cho x, y >0 v x + y 1 Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c: A = 1 1 + 2 x +y xy 2 Hớng dẫn: Vỡ a > 0, b > 0 ; Ta cú : a 2 + b 2 2 a 2 b 2 = 2ab (Bdt Cụ si) a 2 + b 2 + 2ab 4ab (a + b) 2 4ab (a + b)(a + b) a+b 4 a a 4 1 1 4 4 + + (*) ab ab a+b ab ab a + b a b a+b Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Năm học 2010 - 2011 Vì sự nghiệp giáo dục... (xy + )2 ( )2 = 1 4 4 16 xy 2 xy 16 4 xy = 1 289 1 16 xy x = y = Vậy min M = , đạt đợc khi 16 2 x = y áp dụng BĐT Côsi : xy + 2 ( A + B) b) áp dụng BĐT : A + B , ta có : 2 2 2 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng N=(x+ 1 1 2 ) + ( y + )2 x y (x + y + x+ y 2 ) xy 2 (1 + = 1 2 ) xy 2 Mặt khác : (x + y)2 4xy ( do ( x -y)2 0) 1 4xy xy 1 4 2 1 1 2 1 + 1 (1 + ) xy 4... (loại) + Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) của phơng trình l : (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1) b Ta có: 3( x 3) 2 + 1 + 4( x 3) 2 + 9 = 4 (x-3)2 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng Vì 3(x-3)2 0 nên 3( x 3) 2 + 1 1 Tơng tự : 4( x 3) 2 + 9 3 Do đó 3( x 3) 2 + 1 + 4( x 3) 2 + 9 1 + 3 = 4 Mặt khác : 4 (x - 3)2 4 Vậy vế trái = khi v chỉ khi . m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày so n Ngày so n Ngày so n Ngày so n : 15/11/10 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 20/11/10 Chủ. ( ) ( ) x a x b P x + + = D/Bổ sung ***************************** Ngày so n Ngày so n Ngày so n Ngày so n : 15/11/10 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 24/11/10 Chủ. Bài tập 20 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 - - 2011 2011 2011