Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 201 2 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 22/08/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 26/08/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 1 11 1 phân tích đa thức thành nhân tử Buổi 1 các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh nhớ lại và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử - Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử. Kĩ năng - Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử - Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: Ôn lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức - - sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ (5 phút) - HS: Nêu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em đã đợc học trên lớp ? - GV: Nhắc lại, bổ sung III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (170 phút) Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung 1. Lí thuyết: a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) Các bớc tiến hành: Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Trờn TrờnTrờn Trờng THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Bớc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = 2x 2 + x => A = x(2x + 1) B = 17x 3 y - 34x 2 y 2 + 51xy 3 B = 17xy( x 2 - 2xy + 3y 2 ) C = 16x 2 (x - y) -10y(y - x) C = (x - y)(16x 2 + 10y) D = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax - by) => D = 2x 2 (ax + 2by + ax - by) = 2x 2 (2ax + by). Bài 2: Phân tích A và B thành nhân tử: = + A 10a b 5a 5 a (a 0) = B x y y x (x 0;y 0) Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức 1. Lí thuyết: a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng 1) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 + + = + 2 a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 2) a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 + = 2 a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 3) a 2 b 2 = (a + b).(a b) 4) = + a b ( a b).( a b) (a,b 0) 5) a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 + + + = + 3 3 3 a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 6) a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 + = 3 3 3 a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 7) + = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) + = + = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) a n + b n =(a + b)(a n-1 - a n-2 b + - ab n-2 + b n-1 ) với n lẻ (n 3 , nguyên) 8) = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) = = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + + ab n-2 + b n-1 )với n lẻ (n 3 , nguyên) 9) a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c) 2 + + + + + = + + 2 a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0) 2 2 2 2 2 a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d) + + + + + + + + + = + + + 10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 201 2 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 0 1 2 2 2 (a b) 1 (a b) 1a 1b (a b) 1a 2ab 1b + = + = + + = + + 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (a b) 1a 3a b 3ab 1b (a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b (a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b + = + + + + = + + + + + = + + + + + Viết tam giác Pa xcan để khai triển n (a b) + nh sau: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Cách viết: + Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 + Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 2 - 4 = x 2 - 2 2 = (x - 2)(x + 2). b) x 2 + 2xy + y 2 - 25 = (x + y) 2 - 5 2 = (x + y + 5)(x + y - 5). Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P =(a 2 + 4) 2 - 16a 2 =(a 2 + 4) 2 - (4a) 2 = [(a 2 + 4) - 4a][(a 2 + 4) + 4a] = (a - 2) 2 (a + 2) 2 Q = (x + y) 2 - 2(x + y) + 1 = ( x + y - 1) 2 R = a 3 + 6a 2 + 12a + 8 = (a + 2) 3 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x - y) 2 - (y - z) 2 . b) 8x 3 - 36x 2 y + 54xy 2 - 27y 3 . c) 4a 2 b 2 - (a 2 + b 2 - c 2 ) 2 . Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử : M = 2 a 2 N = 9a 1 (a 0) P = + + x 1 2 x (x 0) Phơng pháp 3: Nhóm các hạng tử 1. Lí thuyết Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại Trờn TrờnTrờn Trờng THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm . Bớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Bớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) x 2 + y 2 - z 2 + 2xy + 2z - 1 = (x 2 + 2xy + y 2 ) - (z 2 - 2z + 1) = (x + y) 2 - (z - 1) 2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1). Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 5x 2 - 5xy - 10x + 10y. b) x 3 - x 2 y - x 2 z - xyz. c) 2x 2 + 2y 2 - x 2 z + z - y 2 z - 2. d) (a 2 + b 2 )xy + (x 2 + y 2 )ab. Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử : D = + a 2 a 1 b (a 0;b 0) E = + a b a 2 ab b b a (a 0,b 0) Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử 1. Lí thuyết *) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: *) Các trờng hợp: a, Trờng hợp đa thức dạng ax 2 + bx + c ( a, b, c Z; a, b, c 0) Tính : = b 2 - 4ac: - Nếu = b 2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc. - Nếu = b 2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất - Nếu = b 2 - 4ac > 0 +) = b 2 - 4ac = k 2 ( k Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q. +) = b 2 - 4ac k 2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R. b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên: - Nhẩm nghiệm của đa thức: +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 đa thức có nghiệm bằng 1. +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm bằng - 1. - Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p q thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất". Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 201 2 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố - Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc của đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x 2 + 6xy + y 2 . Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có: 5x 2 + 6xy + y 2 = (5x 2 + 5xy) + (xy + y 2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) = (5x + y)(x + y). Cách 2: Thêm 4x 2 vào 5x 2 rồi bớt 4x 2 ta có : 5x 2 + 6xy + y 2 = 9x 2 + 6xy + y 2 - 4x 2 = (9x 2 + 6xy + y 2 )- 4x 2 = (3x + y) 2 - (2x) 2 = (5x + y)(x + y). Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 3 + 3x 2 - 4 Cách 1: x 3 + 3x 2 - 4 = x 3 + 4x 2 - x 2 - 4x + 4x - 4 = x 2 (x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2) 2 Cách 2: x 3 + 3x 2 - 4 = x 3 - x 2 + 4x 2 4 = = (x - 1)(x + 2) 2 Cách 3: x 3 + 3x 2 - 4 = x 3 - 1 + 3x 2 3 = (x - 1)(x + 2) 2 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = 3x 3 + 2x 2 + 2x 1 b) B = x 4 + 4 c) C = x 2 - 6x + 8 Giải: a) Nhẩm đợc nghiệm x = 1 3 A = 3x 3 + 2x 2 + 2x 1 = 3x 3 - x 2 + 3x 2 + 3x - x - 1 = x 2 ( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) = x 2 (3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) = (3x - 1) ( x 2 + x + 1) b) B = x 4 + 4 = x 4 + 4 + 4x 2 - 4x 2 = (x 2 + 2) 2 - (2x) 2 = (x 2 + 2x + 2)(x 2 2x + 2) c) C = x 2 - 6x + 8 = x 2 - 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3) 2 - 1 = (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) Hoặc C = x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P = x 2 - 7xy + 12y 2 = x 2 - 3xy - 4xy + 12y 2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) Q = x 3 - 3x + 2 = x 3 - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x 2 + x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x 2 + x - 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q = x 4 + 64 = x 4 + 16x 2 + 64 - 16x 2 Trờn TrờnTrờn Trờng THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu = ( x 2 + 8) 2 - (4x) 2 = (x 2 + 8 - 4x)(x 2 + 8 + 4x) Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x 4 + 81 = 4x 4 + 36x 2 + 81 - 36x 2 = (4x 4 + 36x 2 + 81) - (6x) 2 = (2x 2 + 9) 2 - (6x) 2 = (2x 2 + 9 - 6x)(2x 2 + 9 + 6x) b) x 7 + x 2 + 1 = x 7 x + x 2 + x + 1 = (x 7 - x) + (x 2 + x + 1) = x(x 6 - 1) + (x 2 + x + 1) = x(x 3 - 1)(x 3 + 1) + (x 2 + x + 1) = x(x - 1)(x 3 + 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)[x(x - 1)(x 3 + 1) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 5 - x 4 + x 2 x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x 3m+1 + x 3n+2 + 1 đều chứa thừa số x 2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m, n. Chứng minh: Ta có x 3m+1 + x 3n+2 + 1 = x 3m+1 - x + x 3n+2 - x 2 + x 2 + x + 1 = x(x 3m - 1) + x 2 (x 3n - 1) + (x 2 + x + 1) Ta thấy x 3m - 1 và x 3n - 1 chia hết cho x 3 - 1 do đó chia hết cho x 2 + x + 1 Vậy x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4 3 x 5x 10x 4 + + b) 3 3 3 x y z 3xyz + + c) 8 x x 1 + + d) 5 4 x x 1 + + e) 10 5 x x 1 + + Hớng dẫn: a) Thêm bớt 2x 2 , đáp số: 2 2 (x 5x 2)(x 2) + + Hoặc nhóm: 4 3 4 3 2 2 2 x 5x 10x 4 (x 4) (5x 10x) (x 2)(x 2) 5x(x 2) + + = + + = + + + = b) Thêm bớt 3xy(x + y), ta đợc: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 x y + 3xy x y z -3xy x y 3xyz ( x y) z 3xy(x y z) (x y z)(x y z xy yz zx) + + + + = + + + + = + + + + c) Thêm bớt x 2 , ta có kết quả: 2 6 5 3 2 (x x 1)(x x x x 1) + + + + d) Thêm bớt x 3 , ta có kết quả: 2 3 (x x 1)(x x 1) + + + e) Thêm bớt 2 x x + Ta có: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 201 2 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố ( ) ( ) ( ) 10 5 10 5 2 2 3 3 2 3 2 3 6 3 2 3 2 2 6 3 2 2 8 7 5 4 3 x x 1 (x x) (x x ) (x x 1) x x 1 x x 1 (x x 1) x(x 1)(x x 1) x x 1 (x x 1) (x x 1) x(x 1)(x x 1) x (x 1) 1 (x x 1)(x x x x x x 1) + + = + + + + = + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + Bài 8: Cho x Z , chứng minh rằng: 200 100 4 2 x x 1 x x 1 + + + + Hớng dẫn: Thêm bớt 4 2 x x + ( ) ( ) 200 100 200 2 100 4 4 2 2 198 4 96 4 2 33 16 2 6 4 6 4 2 A x x 1 (x x ) (x x ) (x x 1) x (x 1) x (x 1) (x x 1) x x 1 x x 1 (x x 1) = + + = + + + + = + + + + = + + + + 2 6 4 6 4 2 6 2 4 4 2 x (x 1).B(x) x (x 1).C(x) (x x 1) (x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1) = + + + + = + + + + 3 3 2 4 4 2 (x 1)(x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1) = + + + + + ( ) 4 2 2 4 4 2 4 2 (x 1)(x 1)(x x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1) A x x 1 = + + + + + + + => + + Bài 9: Phân tích Q, K thành nhân tử : Q = + a 3 a 2 (a 0) K = + x 7 x 12 (x 0) IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung a) a 5 b 5 b) x(y + z) + 3(y + z) c) m(n - p) - n + p d) a(b - a)(a + b) - (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) e) x m + 2 - x m Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức a) 25a 2 + 10a + 1 Trờn TrờnTrờn Trờng THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu b) 9x 2 xy + 1 36 y 2 c) x 4 y 4 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các hạng tử a) 5a 2 5ax 9a + 9x b) ma mb + na nb pa + pb c) ax 2 + 5y bx 2 + ay + 5x 2 by Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử a) P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(a - c). b) Q = x 3 + 3x 2 - 4. Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử a) 9x 2 + 6x 8 b) 4x 2 3x 1 Ngà NgàNgà Ngày soạn y soạn y soạn y soạn : 25/08/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 30/08/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 1 11 1 phân tích đa thức thành nhân tử Buổi 2 các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Phơng pháp dùng phép chia đa thức; phơng pháp đặt ẩn phụ. - Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Phơng pháp hệ số bất định; Phơng pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam thức bậc hai; thấy đợc sự quan trọng của việc phân phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số bài toán thờng gặp Kĩ năng - Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử - Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chức Tổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 201 2 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ (15 phút) - HS1: Giải bài tập 1d đã cho tiết trớc - HS2: Giải bài tập 2b đã cho tiết trớc - HS3: Giải bài tập 4a đã cho tiết trớc III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (160 phút) Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) 1. Lí thuyết: - Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thơng của phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0 2. Bài tập: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 4 - 2x 3 + x 2 - 4. Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4. Ư(4) = { } 1; 2; 4 Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x 4 - 2x 3 + x 2 - 4= (x + 1)(x 3 - 3x 2 + 4x - 4). Mà g(x) = x 3 - 3x 2 + 4x - 4 có x = 2 là nghiệm . Do vậy g(x) = (x - 2)(x 2 x + 2). Với đa thức : x 2 x + 2 có = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không phân tích đợc trên R. Do vậy: x 4 - 2x 3 + x 2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x 2 x + 2). Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) 1. Lí thuyết: - Dựa vào đặc điểm của đa thức đ cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 . - Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . A = (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x -12 = (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) 2 - 12 Đặt (x 2 + x) 2 = X. Ta có: A = X 2 + 4X - 12 = X 2 + 4X + 4 - 16 = (X+ 2) 2 - 4 2 = (X + 6)(X - 2) Thay X = x 2 + x. Ta có: A = (x 2 + x + 6)(x 2 + x - 2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (2x 2 + 3x + 5) 2 + 5(2x 2 + 3x + 5) + 6. Đặt : 2x 2 + 3x + 5 = t ta có f(t) = t 2 + 5t + 6. Trờn TrờnTrờn Trờng THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng g THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có : f(x) = (2x 2 + 3x + 7)(2x 2 + 3x + 8) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9 = (x 2 + 8x + 7)(x 2 + 8x + 15) - 9 Đặt : x 2 + 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9. Suy ra f(t) = t 2 -16 - 9 = t 2 - 25 = (t - 5)(t + 5) Do vậy : f(x) = (x 2 + 8x + 6) (x 2 + 8x + 16). Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . a) P = (x 2 + x) + 3(x 2 + x) + 2 Đặt x 2 + x = y ta có: P = y 2 + 3 y + 2 = y 2 + y + 2y + 2 P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2) Thay x 2 + x = y ta có: P = (x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) b) Q = x 2 - 2xy + y 2 + 3x - 3y 10 = (x - y) 2 + 3(x - y) - 10 Đặt x - y = t ta có: Q = t 2 + 3t - 10 = t 2 - 2t + 5t - 10 = t(t - 2) + 5(t - 2) =(t - 2)(t + 5) Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5) Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) B = x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 Hớng dẫn: a) A =(x 2 + 10x)(x 2 + 10x + 24) + 128 Đặt x 2 + 10x + 12 = y => Đa thức có dạng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y 2 - 16= (y + 4)(y - 4) => A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x 2 + 10x + 16)(x 2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x 2 + 10x + 8) b) B = x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x + 1 = x 4 - 6x 3 - 2x 2 + 9x 2 - 6x + 1 B = x 4 + (6x 3 - 2x 2 ) + (9x 2 - 6x + 1) = x 4 + 2x 2 (3x - 1)+ (3x - 1) 2 Đặt y = 3x 1 => B = (x 2 ) 2 + 2x 2 y + y 2 = (x 2 + y) 2 Vậy B = (x 2 + 3x - 1) 2 Luyện tập Luyện tậpLuyện tập Luyện tập chung chung chung chung Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng phép chia đa thức a) 2x 3 - 5x 2 + 8x - 3. b) 2x 3 + 5x 2 + 5x + 2. c) 1 + 6x - 6x 2 - x 3 . Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24. Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ: [...]... dẫn: a) A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32 = a4 - a3 - 5a3 + 22a2 + 5a2 - 22a - 32a + 32 = a3(a - 1) - 5a2(a - 1) + 22a(a - 1) - 32(a - 1) = (a - 1)(a3 - 5a2 + 22a - 32) M a3 - 5a2 + 22a 32 = a3 - 2a2 - 3a2 + 6a + 16a - 32 = a2(a - 2) - 3a(a - 2) + 16a(a - 2) = (a - 2)(a2 - 3a + 16) Xét a2 - 3a + 16 có = 9 - 4.6= - 15 < 0 do đó a2 - 3a + 16 không phân tích đợc trên R Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a2 - 3a + 16)... Giải : Ta có M = m3(m2 - 7)2 - 36m = m {[m(m 2-7 )]2 - 62} = m[m(m 2-7 ) - 6] [m(m2 - 7) + 6] = m(m 3- 7m - 6)(m3 - 7m + 6) Ta có (m3 - 7m - 6)= m3 - 9m + 2m - 6 = m(m2 - 9) + 2(m - 3) = (m - 3)[m(m + 3) + 2] =( m - 3)(m2 + 3m + 2) = (m - 3)[m(m + 2) + (m + 2)] = (m+1)(m + 2)(m - 3) Tơng tự ta có: m3 - 7m + 6 = (m - 1)(m - 2)(m + 3) Vậy M = (m + 1)(m + 2)(m + 3)m(m - 1)(m - 2)(m - 3) Do m Z nên M l tích... (b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = (b2 + c2 - a2 - 2bc) (b2 + c2 - a2 + 2bc) = [(b2 - 2bc + c2) - a2][(b2 + 2bc + c2) - a2] = [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2 = (b c - a)(b c + a)(b + c - a)(b + c + a) Vậy A = ( b c - a)(b c + a)(b + c - a) (b + c + a) Do a, b, c l độ d i ba cạnh của một tam giác nên b-c-a0 b+c-a>0 A < 0 (ĐPCM) b+c+a>0 Bài 4: Chứng minh rằng: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9... - 5a + b + 2 P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2) P l tam thức bậc hai biến a = (b - 5)2 + 4.2(b2 - b - 2) = b2 -1 0b + 25 + 8b2 8b 16 = 9b2 18b + 9 = (3b - 3)2 b +1 ; a2 = 2 b Tam thức bậc hai P có nghiệm a1 = 2 P = 2(a - a1)(a - a2) = 2 a b + 1 (a 2 + b) = (2a b 1)(a + b 2) 2 Bài 2: Phân tích đa thức th nh nhân tử P = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y - 3 P = x2 - 2xy + 2x + y2 - 2y - 3 P = x2 -. .. 3 - Vậy nghiệm của bất phơng trình là x < - 3 hoặc x > - 2 B i 2: Giải bất phơng trình: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 < 0 Ta có : x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = x4 - 5x3 + 6x2 + x2 - 5x + 6 = x2(x2 - 5x + 6) + (x2 - 5x + 6) = (x2 - 5x + 6)(x2 + 1) Phân tích đa thức x2 - 5x + 6 th nh nhân tử ta đợc : (x2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3) Do đó bất phơng trình đ cho tơng đơng với bất phơng trình sau: (x - 2)(x - 3)(x2... 2xy + 2x + y2 - 2y - 3 P = x2 - 2(y - 1)x + (y2 - 2y - 3) '= b'2 - ac = [- (y - 1)]2 - (y2 - 2y - 3) = 4 Tam thức có hai nghiệm x1 = y + 1 , x2 = y - 3 P = (x - y - 1)(x - y + 3) Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng Trờng THCS Hồng Hng IV Luyện tập - Giải đề thi Bài 1: Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010 - 2011 Cho biểu thức : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36 Chứng minh... Từ (1) và (2)=> Q = P - 3xyz chia hết cho 6 B i 5: Chứng minh rằng : (n5 - 5n3 + 4n) chia hết cho 120 , n Z Hớng dẫn: Ta có: n5 - 5n3 + 4n = n(n4 - 5n2 + 4) = n[(n4 - 4n2) - (n2 - 4)] = n[n2(n2 - 4) - (n2 - 4)] = n(n2 - 4)(n2 - 1) = n(n -1 )(n - 2)(n + 1)(n + 2) Do n Z n(n- 1)(n - 2)(n + 1)(n + 2) l tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1 2.3.4.5 = 120 Vậy: n5 - 5n3 + 4n chia hết cho... (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6 x3 +12x2 -1 4x + 3 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 => a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = 3 bd = 3 m b,d Z => b {1; 3} Với b = 3 => d = 1 => a + c = - 6 ; ac = 8; a + 3c = -1 4 => a = - 2; c = - 4 Vậy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = 1 => x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Bài 4: Phân tích đa thức... 3(ac - bd)(b + d) Hớng dẫn: Từ giả thiết : a + b + c + d = 0 a + c = - (b + d) (a + c)3 = - (b + d)3 a3 + c3 + 3(a + c)ac = - b3 - d3 - 3(b + d)bd , thay a + c = - (b + d) ta đợc : a3 + c3 - 3(b + d)ac = - b 3- d3 - 3(b + d)bd Hay: a3 + b3 + c3 + d3 = 3ac(b + d )- 3(b + d)bd = 3(b + d)(ac - bd) IV Hớng dẫn về nhà - Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập đã chữa - Giải... Giải Ta phân tích đa thức P th nh nhân tử Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 P = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 9 = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + 9 = [(x2 - 7x + 9) - 3][ (x2 - 7x + 9) + 3] + 9 = (x2 - 7x + 9)2 9 + 9 = (x2 - 7x + 9)2 Do x Z nên (x2 - 7x + 9) Z => (x2 - 7x + 9)2 l bình phơng của một số nguyên Vậy P l số chính phơng x Z Bài 2: Chứng minh rằng với x , . xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) x 2 + y 2 - z 2 + 2xy + 2z - 1 = (x 2 + 2xy + y 2 ) - (z 2 - 2z + 1) = (x + y) 2 - (z - 1) 2 = (x + y -. 2) 2 - (2x) 2 = (x 2 + 2x + 2)(x 2 2x + 2) c) C = x 2 - 6x + 8 = x 2 - 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3) 2 - 1 = (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) Hoặc C = x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x. x( x - 2) - 4 ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P = x 2 - 7xy + 12y 2 = x 2 - 3xy - 4xy + 12y 2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)