Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình các cạnh trong tam giác khi biết trước 1 số yếu tố của tam giác là dạng toán hay và không quá khó trong chương trình lớp 10; để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác như: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc. Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn người học.
Sở giáo dục & đào tạo yên bái trờng thpT chu văn an -o0o - sáng kiến kinh nghiệm " Phân loại toán tìm toạ độ đỉnh, viết phơng trình cạnh tam giác " Họ tên: Phạm Đại An Ngày sinh: 11/08/1982 Tổ chuyên môn: Toán - Tin Văn Yên năm 2010 Môc lôc Trang Môc lôc: 02 Lý thùc hiÖn: 03 Ph¹m vi thùc hiÖn: 03 Thêi gian thùc hiÖn: 03 Quá trình thực hiện: 04 Néi dung: 05 Phần I - Nhắc lại kiến thức bản: 05 Phần II - Phơng pháp chung để giải toán: 07 Phần III - Các dạng tập thờng gỈp : 07 D¹ng 1: 07 D¹ng 2: 09 D¹ng 3: 11 D¹ng 4: 13 D¹ng 5: 15 D¹ng 6: 17 D¹ng 7: 18 D¹ng 8: 20 D¹ng 9: 22 D¹ng 10: 24 KÕt qu¶ thùc hiƯn: 25 KiÕn nghÞ sau thùc hiƯn: 26 Tµi liƯu tham kh¶o: 27 A - Lý chän ®Ị tài Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phơng trình cạnh tam giác biết trớc số yếu tố tam giác dạng toán hay không khó chơng trình lớp 10; để làm toán dạng đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ yếu tố tam giác điểm đặc biệt tam giác nh: Trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp Mức độ t lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc Những phát lời giải hay hấp dẫn ngời học Đây dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều phần phơng pháp toạ độ mặt phẳng đề thi vào đại học, cao đẳng Là giáo viên giảng dạy trờng THPH trực tiếp giảng dạy khối 10 thấy nhìn chung đối tợng học sinh mức trung bình khá, mức độ t vừa phải, em dễ nhầm lẫn giải toán dạng em học sinh hay nhầm lẫn yếu tố tam giác nên việc giải tập tìm tọa độ đỉnh viết phơng trình cạnh tam giác gặp nhiều khó khăn Để giúp học sinh không bị khó khăn gặp dạng toán đa phơng pháp phân loại tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bớc giúp học sinh hình thành lối t giải vấn đề Qua giúp em học tốt môn hình học lớp 10, tạo cho em tự tin làm tập Hình học tạo tâm lý không "bí" giải tập hình B - Phạm vi thực đề tài Đề tài đợc thực phạm vi lớp 10A2, 12A5 trờng THPH Chu Văn An C - Thời gian thực đề tài Là buổi phụ đạo sau học song chơng phơng pháp toạ độ mặt phẳng, tiết tập hình học, buổi ôn thi đại học năm học 2010 - 2011 d - trình thực đề tài Chuẩn bị trớc thực đề tài: - Hệ thống tập phơng giải dạng toán - Yêu cầu em học sinh thực làm số tập: Bài 1: (CĐ khối D - 2009) Tìm tọa ®é c¸c ®Ønh A, B cđa tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh C ( −1; −2 ) ; ®êng trung tuyÕn kẻ từ A có phơng trình: 5x + y = đờng cao kẻ từ B có phơng trình là: x + 3y = Bài 2: (ĐH S phạm Hà Nội - 1995) Lập phơng trình cạnh ABC cho C ( 4; ) đờng cao xuất phát từ A B có phơng trình lần lợt lµ 2x − y + = vµ 3x + 8y + 13 = Bài 3: (ĐH Văn hóa Hà Nội - 1998) Lập phơng trình cạnh cđa tam gi¸c ABC biÕt C ( 4; −1) ; đờng trung tuyến hạ từ A có phơng trình là: 2x + 3y = ; đờng cao hạ từ đỉnh A có phơng trình là: 2x 3y + 12 = Sè liƯu thĨ tríc thùc đề tài : Kết lớp 10A2 ( sĩ số 45) Làm Bài 25 Bài 20 Bài 20 Kết lớp 12A5 ( sÜ sè 45) Bµi Bµi Bµi Lµm sai 15 18 17 Không có lời giải Làm Làm sai Số h/s lời Lêi gi¶i 30 13 32 10 30 10 Nh với toán quen thuộc kết không cao; sau nêu lên lời giải phân tích bớc làm hầu hết em học sinh hiểu tỏ hứng thú với dạng tập E - Nội dung thực đề tài: Phần I: nhắc lại kiến thức có liên quan 1, Véc tơ phơng đờng thẳng d r r r Vectơ u có giá song song trùng với d u vectơ phơng d r r Nếu u vectơ phơng d k u vectơ phơng d ( k ) 2, Véc tơ pháp tuyến đờng thẳng d r r r Vectơ n có giá vuông góc với d n vectơ pháp tuyến d r r Nếu n vectơ pháp tuyến d k n vectơ pháp tuyến d ( k ) 3, Phơng trình đờng thẳng r Nếu ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm M ( x ; y ) có véc tơ phơng lµ u ( a;b ) víi a + b ≠ th×: x = x + at + Phơng trình tham số đờng thẳng d lµ : ( t ∈ R lµ tham số) y = y0 + bt + Phơng trình tắc đờng thẳng d : x x y − y0 ( a.b ≠ ) = a b Phơng trình tổng quát đờng thẳng d cã d¹ng: Ax + By + C = r Phơng trình đờng thẳng d qua M ( x ; y ) , có vectơ pháp tuyến n ( A;B ) víi A + B2 ≠ lµ: A ( x − x ) + B ( y y0 ) = Phơng trình ®êng th¼ng d qua M ( x ; y ) cã hÖ sè gãc k: y = k ( x − x ) + y Ph¬ng trình đờng thẳng qua điểm A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) cã d¹ng: x − x1 y − y1 = x x1 y y1 Phơng trình đoạn thẳng chắn trục tọa độ: x y + =1 a b (®i qua ®iĨm A ( a;0 ) ∈ Ox; B ( 0;b ) ∈ Oy ) Phơng trình đờng thẳng d song song với đờng th¼ng ∆ : Ax + By + C = cã d¹ng Ax + By + m = ( m C ) Phơng trình đờng thẳng d vuông góc với đờng thẳng : Ax + By + C = cã d¹ng Bx − Ay + m = 4, C¸c kiÕn thøc kh¸c Cho A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) uu ur - VÐc t¬ AB ( x B − x A ; y B − y A ) x + x B yA + yB - Toạ độ trung điểm I AB I A ; ữ 2 ur uu uu ur - Độ dài vectơ AB AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) - NÕu ®iĨm M ( x M ; y M ) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ th× x − kx B xM = A uu uu u u r ur 1− k MA = kMB ⇔ y = y A − ky B M 1− k uu ur u u x B − x A = k ( xC − x A ) ur - A, B, C thẳng hàng AB = kAC yB − yA = k ( yC − yA ) - NÕu A, B, C lµ đỉnh tam giác, gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có: x + x B + x C y A + yB + yC G A ; ÷ 3 r Quy ớc: Pháp tuyến đờng thẳng ký hiệu n r Chỉ phơng đờng thẳng ký hiệu u Phần II: Nêu phơng pháp chung để giải toán: Trong toán Viết phơng đờng thẳng d phơng pháp chung xác định véc tơ phơng vetơ pháp tuyến đờng thẳng toạ độ điểm mà đờng thẳng qua sau áp dụng dạng phơng trình đờng thẳng nêu để viết phơng trình đờng thẳng Phần III: dạng tập thờng gặp Các toán tam giác Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ đỉnh lại BM, CN Tìm toạ độ B; C, viết phơng trình cạnh tam giác Phơng pháp: Cách 1: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) ABC B2: Tham số hoá toạ ®é cña B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phơng trình BM, CN B3: Tìm toạ độ B, C: áp dụng công thức: xG = xA + xB + xC y + y B + yC ; yG = A 3 B4: Viết phơng trình cạnh Cách 2: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) cđa ABC B2: X¸c ®Þnh ®iĨm H ®èi xøng víi A qua G theo công thức trung điểm Khi tứ giác BGCH hình bình hành B3: Lập phơng trình đờng thẳng HC qua H vµ song song víi trung tun BM C giao điểm HC với CN B4: Lập phơng trình đờng thẳng HB qua H song song với trung tuyến CN B giao điểm HB với BM B5: Viết phơng trình cạnh ví dụ: 1, Cho tam giác ABC có A ( 1;3) hai ®êng trung tuyÕn BL: x − 2y + = vµ CK: y − = ViÕt phơng trình cạnh tam giác ABC Bài giải: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phơng trình: x 2y + = x = ⇔ ⇒ G ( 1;1) y − = y = Gọi G' điểm đối xứng với A qua G Ta cã: xA + xG ' x G = x G ' = 2x G − x A x G ' = ⇔ ⇔ ⇒ G ' ( 1; −1) y A + yG ' yG ' = 2yG − a A y G ' = −1 y = G Tứ giác BGCG' hình bình hành nên G'C // BL nên phơng trình G'C có dạng: x − 2y + m = G ' ∈ G 'C ⇒ − ( −1) + m = m = Phơng trình G'C lµ: x − 2y − = y − = x = Täa ®é ®Ønh C lµ nghiƯm cđa hƯ: ⇔ ⇒ C ( 5;1) x − 2y − = y = Lại có G'B // CK nên phơng trình G'B có dạng: y + n = mà G ' ∈ G 'B ⇒ + n = n = Phơng trình G'B là: y + = y + = x = Tọa độ đỉnh B nghiệm cđa hƯ: ⇔ ⇒ B ( −3; −1) x − 2y + = y = Khi đó: Phơng trình cạnh AB là: x y + = Phơng trình cạnh AC là: x + 2y = Phơng trình cạnh BC lµ: x − 4y − = 2, Cho tam giác ABC có A ( 2;3) hai ®êng trung tuyÕn BM: x − 2y + = vµ CN: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phơng trình: 2x − y + = x = ⇔ ⇒ G ( 1;3) x + y − = y = Vì B thuộc đờng thẳng BM nên giả sử B ( x B ; y B ) th×: x B − 2y B + = ⇔ y B = xB +1 x +1 ⇒ B x B; B ÷ 2 T¬ng tù C ( x C ;4 x C ) Mặt khác G ( 1;3) trọng tâm tam giác ABC nên ta có: −2 + xB + xC 1 = xB = xB + xC = ⇔ ⇔ xB + xB − xC = x = 13 + + − xC C 3 = 13 VËy B ; ÷; C ; − ÷ 6 3 BBTT: Cho tam giác ABC có A ( 3;1) hai ®êng trung tuyÕn BM: 2x − y − = vµ CN: x − = Lập phơng trình cạnh tam giác ABC Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A đờng cao BH, CK Tìm tọa độ đỉnh B; C, lập phơng trình cạnh tam giác ABC Phơng pháp: B1: Lập phơng trình cạnh AB qua A vuông góc với CK Lập phơng trình cạnh AC qua A vuông góc với BH B2: Tìm toạ độ điểm B, C B3: Lập phơng trình cạnh BC Ví dụ 1, Lập phơng trình cạnh ABC cho A ( 2; 1) đờng cao xuất phát từ B C có phơng trình lần lợt 2x y + = 3x + y + = Bài giải: Vì BH AC nên cạnh AC có phơng trình x + 2y + m = , AC qua A nªn − + m = ⇔ m = Phơng trình cạnh AC là: x + 2y = Vì CK AB nên cạnh AB có phơng trình x 3y + n = , AB qua A nªn + + n = n = Phơng trình cạnh AB là: x 3y = x=− x + 2y = Tọa độ điểm C nghiƯm cđa hƯ ⇔ ⇒ C − ; ÷ 5 3x + y + = y = 10 x=− x − 3y − = 11 Tọa độ điểm B nghiƯm cđa hƯ ⇔ ⇒ B − ;− ÷ 5 2 x − y + = y = − 11 u u 13 ur uu ur Khi BC = ; ữ = ( 4;13) nên vectơ pháp tuyến BC n BC = ( 13; −4 ) Ph5 8 11 ơng trình cạnh BC có dạng: 13 x + ÷− y + ÷ = ⇔ 13x − 4y + 12 = 5 5 2, Tam gi¸c ABC cã A ( 2;1) phơng trình hai đờng cao lần lợt BH: x + y + = vµ CK: 2x + y = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài giải: Cạnh AB qua A ( 2;1) vuông góc víi CK: 2x + y − = nªn AB có phơng trình: 1( x 1) ( y − ) = ⇔ x − 2y + = Tơng tự cạnh AC qua A ( 2;1) vuông góc với BH: x + y + = nên AC có phơng tr×nh: 1( x − 1) − 1( y − ) = ⇔ x − y + = x=− x − y + = Toạ độ ®iĨm B lµ nghiƯm cđa hƯ: ⇔ ⇒ B − ; ÷ 3 x + y + = y = x= x − y + = Toạ độ điểm C nghiệm cđa hƯ: ⇔ ⇒ C ; ÷ 3 3 2x + y − = y = BBTT: 1, Lập phơng trình cạnh ABC cho A ( 1; 3) đờng cao xuất phát từ B C có phơng trình lần lợt 5x + 3y 25 = vµ 3x + 8y − 12 = 2, Cho ABC có phơng trình cạnh AB: 5x 3y + = đờng cao xuất phát từ A B có phơng trình lần lợt lµ 4x − 3y + = vµ 7x + 2y − 22 = 13 uu uu uu r ur uu ur uu uu r Suy toạ độ điểm M trung điểm BC nhờ : AG = 2GM AM = AG Cách 1: B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phơng trình AB, AC B3: Tìm toạ độ B; C nhờ: x + xC xM = B y = y B + yC M B4: lập phơng trình BC Cách 2: B2: Viết phơng trình đờng thẳng MN qua M song song với AC với N trung điểm AB Tìm täa ®é ®iĨm N uu uu ur ur uu ur B3: Tõ AB = 2AN suy täa ®é ®iĨm B Phơng trình cạnh BC qua B nhận BM làm vectơ phơng Từ tìm tọa độ C Ví dụ: 1, Tam giác ABC biết phơng trình AB: 4x + y + 15 = ; AC: 2x + 5y + = trọng tâm G ( 2; 1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, viết phơng trình BC Bài giải Toạ ®é ®iĨm A lµ nghiƯm cđa hƯ: 4x + y + 15 = x = −4 ⇔ ⇒ A ( −4;1) 2x + 5y + = y = Gäi M ( x; y ) trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC nên: x M x A = ( x G − x A ) uu uu uu r ur x = −1 ⇔ M ⇒ M ( −1; −2 ) AM = AG ⇔ y M = −2 y − y = ( y − y ) A G A M Gäi N trung điểm AB Phơng trình đờng thẳng MN // AC cã d¹ng: 2x + 5y + m = §iĨm M ∈ MN ⇒ −2 − 10 + m = ⇔ m = 12 Ph¬ng trình MN là: 2x + 5y + 12 = 14 2x + 5y + 12 = x = − Täa ®é ®iĨm N lµ nghiƯm cđa hƯ ⇔ ⇒ N − ; −1 ÷ 4x + y + 15 = y = −1 u u u u x B − x A = ( x N − x A ) ur ur x = −3 Ta cã AB = 2AN ⇒ ⇔ B ⇒ B ( −3; −3) y B = −3 yB − yA = ( y N − yA ) uu ur §êng thẳng BC qua B nhận BM = ( 2;1) làm vectơ phơng có dạng: x+3 y+3 = x − 2y − = x − 2y − = x = Tọa độ điểm C nghiệm hệ: ⇒ C ( 1; −1) 2x + 5y + = y = −1 2, Tam gi¸c ABC biết phơng trình AB: x + y = ; AC: x − y + = trọng tâm G ( 1;2 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài giải Toạ ®é ®iĨm A lµ nghiƯm cđa hƯ: x + y + = x = −2 ⇔ ⇒ A ( −2;1) x − y + = y = Gäi M ( x; y ) trung điểm BC, G trọng tâm nên: x= uu ur uu u u 3 = ( x − 1) r ⇒ M 5; ⇔ AG = 2GM ⇔ ÷ 2 2 1 = ( y − ) y = Vì B thuộc AB nên toạ độ B ( x B ; y B ) víi x B + y B − = ⇔ y B = − x B nªn B ( x B ;1 − x B ) T¬ng tù C ( x C ; x C + 3) 5 5 Mµ M ; ữ trung điểm BC nên ta cã: 2 2 x + xC xB + xC xM = B 2 = x B + x C = x B = 2 ⇔ ⇔ ⇔ − x B + x C = x C = y = y B + yC = − xB + xC + M 2 15 nªn B ( 1;0 ) ; C ( 4;7 ) BBTT: Tam gi¸c ABC biết phơng trình AB: 2x 3y = ; AC: x + 9y + 28 = trọng tâm G ( 4; ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC trực tâm H Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, viết phơng trình cạnh BC Phơng pháp: B1: tìm toạ độ điểm A giao điểm AB AC B2: Tham số hoá toạ độ B(xB ; yB) theo AB B3: Tìm toạ độ B: uu uu ur ur uu ur Vì H trực tâm nên HB vectơ pháp tuyến AC Vậy HB.u AC = uu ur B4: Phơng trình cạnh BC qua B có HA véc tơ pháp tuyến Ví dụ: Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 5x 2y + = cạnh AC: 4x + 7y − 21 = vµ H ( 0;0 ) trực tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh BC Bài giải: Toạ độ A nghiệm hệ phơng tr×nh: 5x − 2y + = x = ⇔ ⇒ A ( 0;3) 4x + 7y − 21 = y = 5x B + 5x + ⇒ B x B; B ÷ 2 uu ur Mặt khác H trực tâm nên HB AC Suy HB vectơ pháp tuyến AC V× B ( x B ; y B ) ∈ AB ⇒ 5x B − 2y B + = ⇔ y B = uu uu ur ur 5x + Suy ra: HB.u AC = ⇔ 7x B − B = ⇔ x B = −4 ⇒ B ( −4; −7 ) uu ur Tơng tự, HA vectơ pháp tuyến BC Vậy phơng trình cạnh BC là: ( x + ) + 3( y + ) = ⇔ y + = 16 35 y + = x = 35 Täa ®é ®Ønh C lµ nghiƯm cđa hƯ: ⇔ ⇒ C ; −7 ÷ 4x + 7y − 21 = y = −7 BTTT: Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 3x 2y = cạnh AC: x + y − = vµ H ( 2;4 ) trực tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh BC Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC I tâm đờng tròng ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh BC Phơng pháp: B1: Tìm toạ độ điểm A giao AB AC Gọi M trung điểm cạnh AB Vì I trực tâm nên IM AB M Tìm toạ độ B nhờ M trung điểm AB B2: Gọi N trung điểm AC Vì I trực tâm nên IN AC N Tìm toạ độ C nhờ N trung điểm AC B3: Lập phơng trình cạnh BC Ví dụ: Tam giác ABc biết phơng trình c¹nh AB: x + y − = ; cạnh AC: 2x y = I ( 1;1) tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh Bài giải: x + y − = x = Täa ®é ®iĨm A lµ nghiƯm cđa hƯ ⇔ ⇒ A ( 1;0 ) 2x − y − = y = Gäi M ( x M ; y M ) trung điểm AB Ta cã x M + y M − = ⇔ y M = − x M ⇒ M ( x M ;1 − x M ) uu u u u ur r 1 1 V× IM ⊥ AB nªn IM.u AB = ⇔ −1( x M − 1) + ( − x M ) = ⇔ x M = ⇒ M ; ÷ 2 2 T¬ng tù N ( x N ;2x N − ) trung ®iĨm cđa AC ur u u u ur 7 4 Ta cã: IN.u AC = ⇔ 1( x N − 1) + ( 2x N − 3) = ⇔ x N = N ; ữ 5 Mặt khác M trung điểm AB nên suy B ( 0;1) 17 Tơng N trung điểm AC nên suy B ; ữ 5 Dạng 7: Tam giác ABC biết đỉnh A, hai đờng phân giác góc B góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Phơng pháp: B1: Tìm điểm A1 điểm đối xứng A qua đờng phân giác góc B Suy A1 thuộc đờng thẳng BC B2: Tìm điểm A2 điểm đối xứng A qua đờng phân giác cña gãc C Suy A2 thuéc BC B3: LËp phơng trình đờng thẳng BC qua A1;A B4: Tìm tọa độ B; C giao điểm BC với AB; AC Chú ý: Bài toán: Tìm điểm đối xứng M M qua đờng thẳng Phơng pháp: B1: Lập phơng trình d qua M d vuông góc với B2: Gọi I giao điểm d với Tìm đợc I B3: Gọi M điểm đối xứng với M qua Khi I trung điểm MM x + xM ' xI = M Vậy tìm đợc M nhờ: y = yM + yM ' I VÝ dô: Cho ∆ : x + 3y + = vµ M ( 1;3) Tìm điểm M đối xứng với M qua Bài giải: ur ur u u Gọi d đờng thẳng qua M vuông góc với ∆ Ta cã n d = u ∆ = (3; 1) phơng trình tổng quát d: ( x + 1) − 1( y − 3) = ⇔ 3x − y + = gäi I giao điểm d với , toạ ®é cđa I lµ nghiƯm cđa hƯ: x + 3y + = x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) 3x − y + = y=0 Gi¶ sư M ' ( x M ' ; y M ' ) lµ ®iĨm ®èi xøng víi M qua ∆ Ta cã: 18 x + xM' −1 + x M ' xI = M −2 = x = −3 2 ⇔ ⇔ M' ⇒ M ' ( −3; −3) yM + yM ' + yM ' y M ' = −3 y = 0 = I vÝ dơ : Tam gi¸c ABC biÕt A ( 2; 1) phơng trình hai đờng phân giác cđa gãc B lµ ( d B ) : x − 2y + = vµ cđa gãc C lµ ( d C ) : 2x − 3y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Bài giải: Gọi A1 điểm đối xứng A qua ( d B ) : x − 2y + = Vì AA1 qua A vuông góc với d B nên AA1 có phơng trình: ( x − ) + 1( y + 1) = ⇔ 2x + y − = Khi ®ã täa ®é giao ®iĨm I cđa d B vµ AA1 lµ nghiƯm cđa hƯ: 2x + y − = x = ⇔ ⇒ I ( 1;1) I trung điểm A A1 x − 2y + = y = Từ suy A1(0;3) Gọi A2 ®iĨm ®èi xøng cđa A qua ( d C ) : 2x − 3y + = Ph¬ng trình đờng thẳng AA2 qua A vuông góc với dC cã d¹ng: ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ 3x + 2y − = Khi ®ã täa ®é giao điểm J d C AA2 nghiệm cđa hƯ: 3x + 2y − = x = ⇔ ⇒ J ( 0;2 ) 2x − 3y + = y = Toạ độ A ( 2;5 ) Khi A1và A2 thuộc BC Vậy phơng trình cạnh BC: (A1A2) lµ: 1( x − ) − 1( y − 3) = ⇔ x − y + = x − y + = x = Suy toạ độ B nghiệm hÖ ⇔ ⇒ B ( −5; −2 ) x − 2y + = y = −2 x − y + = x = toạ độ C nghiệm hệ ⇔ ⇒ C ( −3;0 ) 2x − 3y + = y = 19 BTTT: Tam giác ABC biết A ( 2; 1) phơng trình hai đờng phân giác góc B ( d B ) : x − 2y + = vµ cđa gãc C lµ ( d C ) : x + y + = T×m tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đờng cao BH, đờng phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Phơng pháp: B1: Lập phơng trình cạnh AC vuông góc với BH qua A Suy toạ độ điểm C B2: Tìm điểm đối xứng A A qua đờng phân giác gãc C Suy A’ thuéc BC B3: LËp ph¬ng trình cạnh BC qua điểm C, A B4: Lập phơng trình cạnh AB Tìm B ví dụ 1, Cho tam giác ABC biết A ( 1;3) , đờng cao BH: x y = Đờng phân giác góc C nằm đờng thẳng : x + 3y + = T×m tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Bài giải: Theo AC vuông góc với BH Vậy phơng trình cạnh AC: 1( x + 1) + 1( y − 3) = ⇔ x + y − = x + 3y + = x = Toạ độ C lµ nghiƯm hƯ: ⇔ ⇒ C ( 4; −2 ) x + y − = y = Gọi A điểm đối xứng A qua đờng phân giác : x + 3y + = Phơng trình đờng thẳng AA: ( x + 1) − 1( y − 3) = ⇔ 3x − y + = Ta có trung điểm I AA giao AA víi ∆ 3x − y + = x = Tọa độ trung điểm I nghiƯm cđa hƯ: ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) x + 3y + = y = VËy I ( −2;0 ) nªn A ' ( 3; 3) A thuộc BC Vậy phơng trình BC phơng trình CA: 1( x + 3) − ( y + 3) = ⇔ x − 7y − 18 = 20 x − y = x = −3 ⇔ ⇒ B ( −3; −3) ≡ A ' x − 7y − 18 = y = −3 Suy to¹ độ B nghiệm hệ Phơng trình cạnh AB: 3x − y + = 2, Cho tam giác ABC biết B ( 2; 1) , đờng cao AH: 3x − 4y + 27 = Đờng phân giác góc C nằm đờng th¼ng ∆ : 2x − y + = Tìm tọa độ đỉnh C lập phơng trình cạnh BC, AC tam giác Bài giải: Theo BC vuông góc với AH Vậy phơng trình cạnh BC: ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ 4x + 3y − = 4x + 3y − = x = Toạ độ C nghiệm hệ: ⇔ ⇒ C ( −1;3) 2x − y + = y = Gọi K điểm đối xứng B qua đờng phân giác : 2x y + = Phơng trình đờng th¼ng BK: 1( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + 2y = Ta có trung điểm I BK giao cđa BK víi ∆ x + 2y = x = Tọa độ điểm I nghiƯm cđa hƯ ⇔ ⇒ I ( −2;1) 2x − y + = y = Vậy I ( 2;1) nên K ( 6;3) K thuộc AC Vậy phơng trình AC phơng trình CK: ( x + ) − ( y − 3) = ⇔ y − = BTTT: Lập phơng trình cạnh tam giác MNP biết N ( 2; 1) ; đờng cao hạ từ M xuống NP có phơng trình là: 3x 4y + 27 = ; đờng phân giác hạ từ đỉnh P có phơng trình là: x + 2y = Dạng 9: Tam giác ABC biết đỉnh A, đờng trung tuyến hạ từ đỉnh B, đờng phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Phơng pháp: B1: Tìm toạ độ A điểm đối xứng A qua đờng phân giác góc C B2: Tham số hoá toạ độ C ( x C ; y C ) theo đờng phân gi¸c cđa gãc C 21 ( ) Tham sè hoá toạ độ B1 x B1 ; y B1 theo đờng trung tuyến hạ từ B B3: Tìm toạ ®é cđa C nhê B lµ trung ®iĨm cđa AC vÝ dơ: 1, Tam gi¸c ABC biÕt A ( 4;4 ) ; trung tuyÕn BB1: x − 3y − = , đờng phân giác góc C có phơng trình: : x 2y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài giải: Gọi A điểm đối xứng A qua ∆ : x − 2y − = Phơng trình đờng thẳng AA' ( x − ) + 1( y − ) = ⇔ 2x + y − 12 = Trung điểm I AA' nghiệm hệ: 2x + y − 12 = x = ⇔ ⇒ I ( 5;2 ) Ta cã A ' ( 6;0 ) x − 2y − = y = Gi¶ sư C ( x C ; y C ) C nên: x C − 2y C − = ⇒ C ( 2y C + 1; y C ) ( ) ( Tơng tự điểm B1 x B1 ; y B1 thuéc BB1: x − 3y − = nªn B1 3y B1 + 2; y B1 ) Mµ B1 trung điểm AC nên: xA + xC + 2y C + x B1 = 3y B1 + = 6y B1 − 2yC = y B1 = − 2 ⇔ ⇔ ⇔ yA + yC + yC 2y B1 − y C = y = y = yC = −11 B1 B1 17 VËy B1 − ; ữ C ( 21; 11) 2 Phơng trình cạnh BC qua C A1 có d¹ng: ( x + 21) − ( y + 11) = ⇔ 3x − 5y + = 17 x=− x − 3y − = ⇒ B − 17 ; Tọa độ đỉnh B nghiƯm cđa hƯ: ⇔ ÷ 2 3x − 5y + = y = − 22 2, Tam gi¸c ABC biết C ( 4;3) ; đờng phân giác đờng trung tuyến góc A có phơng trình lần lợt x + 2y = 4x + 13y 10 = Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Bài giải: Ta có AD AM = { A} nên tọa độ điểm A nghiệm cđa hƯ: x + 2y − = x = ⇔ ⇒ A ( 9; −2 ) 4x + 13y − 10 = y = Phơng trình cạnh AC là: 1( x − ) + 1( y − 3) = ⇔ x + y − = Gäi N ( x1; y1 ) điểm đối xứng với C qua phân giác AD Suy N AB Phơng trình đờng thẳng CN là: 2x y = CN ∩ AD = { I} nªn tọa độ điểm I nghiệm hệ: 2x y − = x = ⇔ ⇒ I ( 3;1) x + 2y − = y = Vì I trung điểm CN nên N ( 2; 1) Phơng trình cạnh AB qua A N nên có phơng trình lµ: 1( x − ) + ( y + ) = ⇔ x + 7y + = x + xC xB + xM = B = 2 M lµ trung điểm BC nên y = y B + yC = yB + M 2 B ( x B ; y B ) AB M thuộc đờng trung tuyến nên ta có hệ phơng trình: x B + 7yB + = x + 7y B = −5 x = −12 ⇔ B ⇔ B ⇒ B ( −12;1) yB + xB + 4 ÷+ 13 ÷− 10 = 4x B + 13y B = −35 y B = Phơng trình cạnh BC là: 1( x − ) − ( y − 3) = ⇔ x − 8y + 20 = 23 BTTT: Lập phơng trình cạnh tam giác ABC biết C ( 1;3) ; đờng trung tuyến hạ từ A có phơng trình là: x + 2y = ; đờng phân giác hạ từ đỉnh A có phơng trình là: 4x + 13y 10 = Dạng 10: Tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao AH, đờng phân giác góc C Xác định tọa độ đỉnh viết phơng trình cạnh tam giác Phơng pháp: B1: Viết phơng trình cạnh BC qua B vuông góc với AH Suy C giao điểm BC với phân giác góc C B2: Gọi k hệ số góc cạnh AC, k1 hệ số góc phân giác ngoại góc C, k hệ số gãc cđa BC ¸p dơng k1 − k k − k1 = ⇒k + k1k + kk1 B3: Viết phơng trình cạnh AC qua C có hệ số góc k Suy A giao điểm AH AC B5: Viết phơng trình cạnh AB qua A B Ví dụ: Cho tam giác ABC biết B ( 2; 1) , phơng trình đờng cao AH: 3x − 4y + 27 = , ph¬ng trình đờng phân giác góc C: x + 2y = Tìm tọa độ đỉnh viết phơng trình cạnh tam giác Bài giải: Phơng trình cạnh BC qua B vuông gãc víi AH lµ: 4x + 3y − = Suy C giao điểm BC với phân giác góc C Tọa độ điểm C 4x + 3y − = x = −1 nghiƯm cđa hƯ ⇔ ⇒ C ( −1;3) x + 2y − = x =3 Gọi k hệ số góc cạnh AC, k1 = − k2 = − lµ hƯ sè góc phân giác ngoại góc C, k k2 k − k1 = ⇒k=0 lµ hƯ sè gãc cđa BC ¸p dơng 1 + k1k + kk1 24 Phơng trình cạnh AC qua C cã hƯ sè gãc k = lµ: y = Suy A giao điểm AH AC Tọa độ điểm A nghiệm cđa hƯ: y − = x = −5 ⇔ ⇒ A ( −5;3) 3x − 4y + 27 = x = Ph¬ng trình cạnh AB qua A B là: 4x + 7y − = -o0o F - kÕt qu¶ thùc hiƯn Gióp häc sinh tá say mê, hứng thú học tập coi thành công ngời giáo viên Kết thúc đề tài đà tổ chức cho em häc sinh líp 10A2 kiĨm tra 45 víi nội dung toán viết phơng trình đờng thẳng thuộc dạng có đề tài Kết đa số em đà nắm vững đợc phơng pháp giải dạng tập nhiều em có lời giải xác Với lớp 12A5, ôn lại đợc kiến thức lớp 10 giúp em nhận thức đợc phần kiến thức quan trọng thi đại học, cao đẳng; Các em co thêm hứng thú tự tin với thân chuẩn bị bớc vào kỳ thi quan trọng: Tốt nghiệp đại học, cao đẳng Nh chắn phơng pháp cụ thể mà nêu đề tài đà giúp em phân loại đợc tập nắm vững phơng pháp làm trình bầy bài; giúp em tự tin häc tËp cịng nh ®i thi G - kiến nghị sau trình thực đề tài 1, Kiến nghị với Sở GD&ĐT: Phổ biến rộng rÃi đề tài đợc giải để giáo viên tham khảo 2, Kiến nghị với nhà trờng: - Mở rộng khuyến khích việc mở lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh giá việc ôn luyện học sinh - Mong mn lín nhÊt cđa t«i thùc đề tài học hỏi, đồng thời giúp em học sinh trớc hết bớt khó khăn gặp toán tìm tọa độ đỉnh viết phơng trình cạnh tam giác, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh mối quan hệ đờng thẳng, từ em say mê học toán Đề tài hẳn tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy cô, ®ång nghiƯp cïng ®äc vµ ®ãng gãp ý kiÕn cho để đề tài đợc hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 25 Văn Yên, ngày 10 tháng 03 năm 2010 Ngời viết Phạm Đại An 26 H - tài liệu tham khảo 1, Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chơng trình 2, Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chơng trình nâng cao 3, Hớng dẫn thực Chuẩn kiến thức, kỹ môn Toán 4, Tuyển tập toán đờng thẳng mặt phẳng 5, Đề thi tốt nghiệp năm từ 2000 - 2010 6, Đề thi đại học cao đẳng năm từ 2002 - 2010 27 Nhận xét đánh giá Nhận xét đánh giá tổ chuyên môn: Nhận xét đánh giá Hội đồng khoa học nhà trêng: NhËn xét đánh giá Sở giáo dục đào tạo: ... = Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đờng cao BH, đờng phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phơng trình cạnh tam giác Phơng pháp: B1: Lập phơng trình cạnh. .. 27 A - Lý chän ®Ị tài Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phơng trình cạnh tam giác biết trớc số yếu tố tam giác dạng toán hay không khó chơng trình lớp 10; để làm toán dạng đòi hỏi phải nắm... − = Lập phơng trình cạnh tam giác ABC Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A đờng cao BH, CK Tìm tọa độ đỉnh B; C, lập phơng trình cạnh tam giác ABC Phơng pháp: B1: Lập phơng trình cạnh AB qua A vuông