BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN-TIN HOC NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo ứng dụng Mã số: CS.2005.23.77 Người thực hiện: PGS.TS Nguyễn Định Tp Hồ Chí Minh, 2/2006 TĨM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo ứng dụng Mã số: CS.2005.23.77 BÁO CÁO TỔNG QUAN Bổ đề Farkas đóng vai trị lí thuyết tối ưu tuyến tính tối ưu phi tuyến Trong thập niên vừa qua, Bổ đề Farkas mở rộng phát triển cho hệ tuyến tính (vơ hạn chiều), hệ phi tuyến hệ đa trị, dạng khác Cùng với mở rộng áp dụng vào lí thuyết quy hoạch lồi nửa vơ hạn, quy hoach lồi tổng quát, toán quy hoạch lồi nửa định (convex semi-definite programs (SDP)), toán tối ưu đa mục tiêu Kết nghiên cứu đề tài viết thành báo có đăng Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh gửi đăng tạp chí tốn quốc tế Các kết trình bày chương sau toàn văn báo đính kèm phần sau tập báo cáo nghiệm thu Chương trình bày tổng quan phát triển dạng mở rộng Bổ đề Farkas thập niên gần đây, bao gồm dạng không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều; dạng tiệm cận không tiệm cận thiết lập năm cuối kỉ 20 năm đầu kỉ 21, với áp dụng đa dạng dạng mở rộng lý thuyết tối ưu Chương kết đề tài, mở rộng Bổ đề Farkas cho hệ có chứa bất đẳng thức lồi bất đẳng thức DC Chương 3, trình bày áp dụng dạng mở rộng Bổ đề Farkas vào toán quy hoạch DC với ràng buộc lồi theo nón ràng buộc tập Chương I CÁC KẾT QUẢ DẠNG FARKAS MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG VÀO LÍ THUYẾT CÁC BÀI TỐN TỐI ƯU LỒI Giới thiệu Bổ đề Farkas cổ điển phát biểu sau: Bổ đề 1.1 Giả sử a1 , a2 , , am , c ∈ Rn Khi mệnh đề sau tương đương: (i) aT x ≥ 0, i = 1, 2, , m =⇒ cT (x) ≥ 0, i (ii) (∃λi ≥ 0, i = 1, 2, , m) c = m λi i=1 Dạng cổ điển đơn giản áp dụng cách hiệu để nghiên cứu nhiều lớp tốn tối ưu tuyến tính phi tuyến Điều động lực để nhà tốn học tìm kiếm dạng tổng qt nhằm mở rơng phạm vi áp dụng nó, chẳng hạn vào toán điều khiển tối ưu, tốn quy hoạch vơ hạn áp dụng vào lớp toán nửa xác định phát triển có nhiều ứng dụng năm gần Để trình bày mở rộng Bổ đề Farkas, trước hết ta nêu số khái niệm giải tích lồi mà sử dụng thường xuyên chương chương sau Cho f : X → R ∪ {+∞} Miền hữu hiệu f tập dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞} Hàm f gọi chân domf = ∅ Giả sử f : X → R ∪ {+∞} hàm lồi chân nửa liên tục (l.s.c.) Hàm đối ngẫu f , f ∗ : X ∗ → R ∪ {+∞}, định nghĩa f ∗ (v) = sup{v(x) − f (x) | x ∈ dom f } Epigraph f , kí hiệu epif , tập epi f = {(x, r) ∈ X × R | x ∈ dom f, f (x) ≤ r} Với ε ≥ 0, ε-dưới vi phân f a ∈ domf định nghĩa tập lồi đóng yếu∗ ∂ε f (a) := {v ∈ X | f (x) − f (a) ≥ v(x − a) − ε, ∀x ∈ dom f } Để ý ∂ε f (a) = ∅ > Khi = ta quay trở lại khái niệm vi phân hàm f a theo nghĩa thông thường giải tích lồi Trong trường hợp ta kí hiệu ∂f (a) (thay ∂0 f (a)) Dưới vi phân hàm lồi tập lồi, compact yếu∗ (có thể tập rỗng) 2 Các kết dạng Farkas mở rộng Sự thành công việc vận dụng Bổ đề Farkas toán tối ưu tuyến tính hữu ích việc nghiên cứu tốn tối ưu phi tuyến đẫ dẫn đến nhu cầu mở rộng bổ đề cho hệ tuyến tính vơ hạn chiều, hệ phi tuyến, hệ liên quan đến ánh xạ đa trị, Chúng ta đề cập số dạng mở rộng tiêu biểu Tuy nhiên, có số kết quan trọmg trình bày chi tiết • Bổ đề Farkas cho hệ tuyến tính vơ hạn chiều • Bổ đề Farkas cho hệ khơng trơn • Các kết qủa mở rộng dạng Farkas cho hệ lồi theo nón Trong mục điểm qua số kết qủa mở rộng Bổ đề Farkas công bố năm vừa qua, chủ yếu tác giả V Jeyakumar, G.M Lee, M.A Goberna, M.A Lopez Nguyễn Định (xem chi tiết [1]) Cho X, Z hai không gian định chuẩn, C tập lồi đóng X, S nón lồi đóng Z g : X → Z ánh xạ S-lồi, liên tục f : X → R hàm lồi lên tục Định lí 2.1 (Bổ đề Farkas dạng tiệm cận) Giả sử hệ x ∈ C, g(x) ∈ −S tương thích Khi với α ∈ R,các phát biểu sau tương đương: (i) inf{f (x) : g(x) ∈ −S, x ∈ C} ≥ α, ∗ (ii) (0, −α) ∈ epif ∗ + cl (∪λ∈S + epi(λg)∗ + epi(δC )) , + (iii) (∃(λn )n ⊂ S ) (∀x ∈ C) f (x) + lim inf λn g(x) ≥ α n Dạng tiệm cận Bổ đề Farkas sử dụng để thiết lập định lí điểm yên ngựa, định lí đối ngẫu mạnh cho tốn tối ưu lồi tổng quát với ràng buộc lồi theo nón dạng g(x) ∈ −S, cho tốn nửa xác định (SDP) Định nghĩa 2.1 Hệ x ∈ C, g(x) ∈ −S gọi thỏa mãn điều kiện quy dạng nón đóng (CCCQ) tập hợp ∗ epi(λg)∗ + epi δC ∗ đóng yếu λ∈S + Người ta chứng minh (xem [JDL]) điều kiện (CCCQ) yếu điều kiện dạng mở rộng điều kiện dạng Slater mở rộng (cũng thường gọi điều kiện điểm trong, thường sử dụng toán tối ưu lồi) Định lí 2.2 (Bổ đề Farkas dạng khơng tiệm cận) Giả sử tập C ∩ g −1 (−S) không rỗng α ∈ R Nếu điều kiện (CCCQ) thỏa mãn thi phát biểu sau tương đương: (i) g(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f (x) ≥ α, ∗ (ii) (0, −α) ∈ epi f ∗ + ∪λ∈S + epi (λg)∗ + epi δC , (iii) (∃λ ∈ S + )(∀x ∈ C) f (x) + λg(x) ≥ α • Các mở rộng Bổ đề Farkas cho hệ lồi vô hạn Trong mục chủ yếu nghiên cứu hệ (gồm số vô hạn bất đẳng thức lồi ràng buộc tập) sau σ := {ft (x) ≤ 0, t ∈ T ; x ∈ C}, T tập số tùy ý (có thể vơ hạn), C ⊂ X tập lồi đóng, X không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff ft : X → R ∪ {+∞} với t ∈ T Giả sử ft hàm lồi chân chính, nửa liên tục (l.s.c.), t ∈ T Gọi ∗ K := cone{ epift∗ } + epiδC t∈T Định nghĩa 2.2 Chúng ta nói hệ σ is Farkas-Minkowski (ngắn gọn FM) tập K đóng yếu∗ Liên quan đến hàm f hệ σ, ta sử dụng điều kiện sau: (CC) : The set epif ∗ + clK is weak∗ -closed Bây nêu Bổ đề Farkas dạng mở rộng khơng tiệm cận Định lí 2.3 Nếu σ FM, (CC) thỏa mãn α ∈ R, mệnh đề sau tương đương (i) f (x) ≥ α hệ σ; (ii) (0, −α) ∈ epif ∗ + K; (T ) (iii) tồn λ ∈ R+ cho λt ft (x) ≥ α, ∀x ∈ C f (x) + t∈T Một số áp dụng vào toán tối ưu Bài toán lồi với ràng buộc lồi theo nón Xét tốn tối ưu lồi tổng quát (P) Minimize f (x) với ràng buộc x ∈ C, −g(x) ∈ S, X, Y không gian định chuẩn thực, f : X → R hàm lồi, g : X → ánh xạ S-lồi, liên tục với S nón lồi đóng Y (khơng thiết có phần khác rỗng) C tập lồi đóng X Định lí 3.1 (Điều kiện tối ưu) [JDL] Xét toán (P) cho a ∈ C ∩ g −1 (−S) Giả sử điều kiện (CCCQ) thỏa mãn Khi a nghiệm (P) tồn λ ∈ S + cho ∈ ∂f (a) + ∂(λg)(a) + NC (a) λg(a) = 0, NC (a) nón pháp tuyến với tập C a Định lí 3.2 (Điều kiện tối ưu theo dãy I) Xét toán (P) Giả sử a ∈ C ∩ g −1 (−S) Khi điều kiện sau tương đương: (i) f (a) = inf{f (x) : x ∈ C, −g(x) ∈ S} (a ngiệm (P)), (ii) (∃ u ∈ ∂f (a) )(∃{λn } ⊂ S + )(∃{ n },{γn } ⊂ I + ) (∃{vn }, {wn } ⊂ X ) R cho ∈ ∂ n (λn g)(a), wn ∈ ∂γn δC (a), u + + wn →∗ 0, n → 0, γn → λn g(a) → n → ∞ Định lí 3.3 (Minimax Lagrange theo dãy) Đối với Bài toán (P), giả sử tập điểm ¯ chấp nhận không rỗng Khi tồn dãy (λn ) ⊂ S + cho inf sup lim inf L(x, λn ) = sup x∈C (λn )⊂S + n→∞ inf lim inf L(x, λn ) (λn )⊂S + x∈C n→∞ ¯ = inf lim inf L(x, λn ) = inf(P ) x∈C n→∞ Bài tốn lồi vơ hạn Xét tốn lồi vơ hạn (PI) Minimize f (x) với ràng buộc ft (x) ≤ 0, ∀t ∈ T, x ∈ C, X không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, C ⊂ X tập lồi đóng f, ft : X → R ∪ {+∞} hàm lồi chân chính, l.s.c., t ∈ T Gọi A := {x ∈ X | ft (x) ≤ 0, ∀t ∈ T, x ∈ C} Định lí 3.4 [DGLS] (Điều kiện tối ưu) Đối với toán (PI), giả sử điều kiện (CC) thỏa mãn, a ∈ A Nếu thêm σ FM a nghiệm (PI) tồn (λt )t ∈ Λ+ cho ∈ ∂f (a) + λt ∂ft (a) + NC (a), λt ft (a) = 0, t ∈ T (1) t∈T Sử dụng Bổ đề Farkas mở rộng thiết lập định lí đối ngẫu mạnh, điều kiện điểm yên ngựa cho toán (P1) Chương II BỔ ĐỀ FARKAS CHO HỆ BẤT ĐẳNG THỨC GỒM CÁC HÀM LỒI VÀ HÀM DC Giả sử Z không gian Banach, X không gian Banach phản xạ, f, g : X −→ R ∪ {+∞} hàm lsc, lồi, chân chính, h : X −→ Z ánh xạ Slồi liên tục S nón lồi đóng trongZ Trong suốt báo ta giả sử C ∩ h−1 (−S) ⊂ domg Hạn chế tính phản xạ khơng gian X để tránh việc sử dụng lưới (net) Các kết cịn khơng gian vectơ tơpơ tổng qt Gọi K nón lồi xác định ∗ K := ∪λ∈S + epi(λh)∗ + epiδC Chúng ta sử dụng điều kiện sau đây, liên quan đến hệ h(x) ∈ −S, x ∈ C hàm lsc, lồi, chân f : (CC1) epif ∗ + clK đóng yếu∗ (CC2) epif ∗ + K đóng yếu∗ Để ý điều kiện (CC1) thoả mãn f liên tục điểm C ∩ h−1 (−S) Các kết chương nêu lên sau Định lí (Bổ đề Farkas dạng tiệm cận) Cho α ∈ R Nếu điều kiện (CC1) thoả mãn mệnh đề sau tương đương (i) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f (x) − g(x) ≥ α, (ii) (0, −α) + epi g ∗ ⊂ epi f ∗ + clK, (iii) (∀x∗ ∈ domg ∗ )(∃(λn )n ⊂ S + )(∀x ∈ C) f (x) + lim inf λn h(x) ≥ (x∗ , x) − g ∗ (x∗ ) + α, n→∞ (iv) (∀ > 0) (∀x ∈ C ∩ domg) (∃(λn )n ⊂ S + ) f (x) + lim inf λn h(x) − g(x) ≥ α − n→∞ Định lí (Bổ đề Farkas dạng không tiệm cận) Cho α ∈ R Nếu điều kiện (CC2) thoả mãn mệnh đề sau tương đương (i) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f (x) − g(x) ≥ α, (ii) (0, −α) + epi g ∗ ⊂ epi f ∗ + K, (iii) (∀x∗ ∈ domg ∗ )(∃λ ∈ S + )(∀x ∈ C) f (x) + λh(x) ≥ (x∗ , x) − g ∗ (x∗ ) + α (iv) (∀ > 0) (∀x ∈ C ∩ domg) (∃λ ∈ S + ) f (x) + λh(x) − g(x) ≥ α − Để ý trường hợp g ≡ kết suy biến thành kết cho cac hệ lồi vừa thiết lập (Chương I) Hệ Giả sử C ∩ h−1 (−S) khác rỗng α ∈ R Nếu f liên tục điểm C ∩ h−1 (−S) mệnh đề sau tương đương (i’) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f (x) ≥ α, ∗ (ii’) (0, −α) ∈ epi f ∗ + cl (∪λ∈S + epi (λh)∗ + epi δC ), (iii’) (∃(λn )n ⊂ S + )(∀x ∈ C) f (x) + lim inf λh(x) ≥ α n→∞ −1 Hệ Giả sử C ∩ h (−S) khác rỗng α ∈ R Nếu f liên tục điểm C ∩ h−1 (−S) điều kiện K đóng yếu∗ mệnh đề sau tương đương: (i”) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f (x) ≥ α, ∗ (ii”) (0, −α) ∈ epi f ∗ + ∪λ∈S + epi (λh)∗ + epi δC , (iii”) (∃λ ∈ S + )(∀x ∈ C) f (x) + λh(x) ≥ α Tài liệu [1] Nguyễn Định, Các kết dạng Farkas mở rộng áp dụng vào lý thuyết toán tối ưu lồi, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh - Khoa học tự nhiên, 6(40), 2005, - 25 [2] Nguyễn Định Trần Thái An Nghĩa, Bổ đề Farkas cho hệ bất đẳng thức gồm hàm lồi hàm DC, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Khoa học tự nhiên, 6(40), 2005, 41 - 52 [3] N Dinh, Guy Vallet, and T.T.A Nghia, A new approach to DC-programs with cone convex constraints (bản thảo, 2005) Chương III BÀI TOÁN QUY HOẠCH DC VỚI RÀNG BUỘC LỒI THEO NÓN Giới thiệu Trong chương xét tốn tối ưu cực tiểu hóa phiếm hàm DC (hiệu hàm lồi) với ràng buộc lồi theo nón ràng buộc tập có dạng sau: (P) inf (f (x) − g(x)) subject to x ∈ C, h(x) ∈ −S X, Z không gian Banach, C tập lồi đóng X, f, g : X → R ∪ {+∞} hàm lồi, S nón lồi đóng Z (khơng thiết có phần khác rỗng), h : X → Z ánh xạ liên tục, S-lồi Chúng ta quy ước ∞ − ∞ = +∞ Trong suốt chương giả thiết A := {x ∈ X | x ∈ C, h(x) ∈ −S} = C ∩ h−1 (−S) = ∅ Lúc (P) viết lại (P ): inf f (x) − g(x) x∈A (P ): inf [(f (x) + δA (x)) − g(x)] x∈X Một điều kiện cần để điểm a ∈ A cực tiểu toàn cục (P) là: ∂g(x0 ) ⊂ ∂(f + δA )(x0 ) Dưới điều kiện quy đó, điều kiện vừa nêu viết lại là: ∂g(x0 ) ⊂ ∂f (x0 ) + NA (x0 ) (1) Bổ đề sau đóng vai trị quan trọng tồn nghiên cứu chương Nó thiết lập J B Hiriart-Urruty (2001) Bổ đề 1.1 x0 ∈ A nghiệm tối ưu toàn cục (P’) với ≥ 0, ∂ g(x0 ) ⊂ ∂ (f + δA )(x0 ) (2) Điều kiện tối ưu Kết chương điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn (P) Chúng tơi chứng minh kết sau: Định lí 2.1 Giả sử inf(P ) < +∞ điều kiện (CC2) thỏa mãn Khi x ∈ A ¯ ∗ nghiệm tối ưu toàn cục (P) với ≥ 0, với x ∈ ∂ g(¯), x tồn λ ∈ S + , , ≥ cho + + = + λh(¯) x x∗ ∈ ∂ f (¯) + ∂ (λh)(¯) + N (C, x) x x ¯ (3) Đặc biệt, x ∈ A nghiệm tồn cục (P) với x∗ ∈ ∂g(¯), tồn ¯ x λ ∈ S + cho x∗ ∈ ∂f (¯) + ∂(λh)(¯) + N (C, x), x x ¯ λh(¯) = x Trường hợp đặc biệt, khơng có mặt ràng buộc x ∈ C, điều kiện tối ưu cho dạng đơn giản sau: Hệ 2.1 Gỉa sử C = X inf(P ) < +∞ Nếu epif ∗ + λ∈S + epi(λh)∗ đóng yếu∗ x nghiệm tối ưu tồn cục (P ) với ≥ 0, ¯ ∂ g(¯) ⊂ x {∂ f (¯) + ∂ (λh)(¯)} x x λ∈S + (4) x + = +λh(¯) , ≥0 Đặc biệt, x nghiệm (P) ¯ ∂g(¯) ⊂ x {∂f (¯) + ∂(λh)(¯)} x x (5) λ∈S + λh(¯)=0 x Áp dụng Trong mục kết đạt Mục áp dụng để nghiên cứu lớp toán cụ thể, chẳng hạn, lớp toán DC với ràng buộc lồi, lớp tốn hàm g hàm đa diện (maximum họ hữu hạn hàm tuyến tính), tốn maximum phiếm hàm lồi tập lồi 3.1 Bài toán DC với ràng buộc lồi Xét toán: (PCI): f (x) − g(x), inf x∈C, hi (x)≤0, i∈I, I tập số tùy ý (có thể vơ hạn); hi : X −→ R, i ∈ I, hàm lồi, liên tục f, g : X → R ∪ {+∞} hàm lồi chân chính, nửa liên tục mục trước Gọi Z = RI khơng gian tích trang bị tơpơ tích Khi khơng gian đối ngẫu tơpơ Z ∗ Z R(I) , khơng gian gồm dãy suy rộng hữu hạn, nghĩa bao gồm hàm v : I → R với giá hữu hạn Đặt S = RI Khi nón đối ngẫu (dương) S + + (I) nón S R+ với (I) R+ := {(λi )i∈I | λi ≥ 0, i ∈ I, λi = voi moi i tru mot so huu han i ∈ I} Gọi A := {x ∈ C, hi (x) ≤ 0, ∀i ∈ I} Kí hiệu h := (hi ) Dễ dàng nhận thấy h : X −→ Z liên tục, S-lồi Bài tốn (PCI) viết lại dạng Bài toán (P) Giả sử A := h−1 (−S) ∩ C tập không rỗng X Điều kiện tối ưu cho (PCI) cho định lí sau: ∗ Định lí 3.1 Giả sử inf (PCI) < +∞ epif ∗ + cone i∈I epihi ∗ + epiδC tập đóng yếu∗ Khi đó, x nghiệm tối ưu tồn cục (PCI)nếu với ¯ (I) (I) ∗ ≥ 0, với x ∈ ∂ g(¯), tồn (λi ) ∈ R+ , ( i ) ∈ R+ , α, β ≥ cho x α+β+ i = + i∈I λi hi (¯), x i∈I x ∗ ∈ ∂α f (¯) + x ∂ i (λi hi )(¯) + Nβ (C, x) x ¯ i∈I Đặc biệt, x nghiệm tối ưu toàn cục (PCI) với x∗ ∈ ∂g(¯), tồn ¯ x (I) (λi ) ∈ R+ cho x∗ ∈ ∂f (¯) + x λi ∂hi (¯) + NC (¯), λi hi (¯) = x x x (6) i∈I 3.2 Bài toán (P) với g hàm đa diện Chúng ta xét trường hợp đặc biệt Bài toán (P) C = X g hàm có dạng g(x) = max{(a∗ , x) + bi }, i i∈I ∀x ∈ X (7) I = {1, 2, , n}, a∗ , a∗ , , a∗ ∈ X ∗ Hàm g gọi hàm lồi n đa diện Ta có epig ∗ = cl co ({a∗ } × [−bi , +∞)) i i∈I Điều kiện tối ưu cho (P) trường hợp cho định lí sau: Định lí 3.2 Đối với Bài tốn (P), giả sử C = X g hàm lồi đa diện xác định (7) Giả sử thêm {h(x) ∈ −S} = ∅ epif ∗ + λ∈S + epi(λh)∗ đóng yếu∗ Nếu inf(P ) < +∞ x nghiệm tồn cục (P) với i ∈ I, ¯ tồn λi ∈ S + cho a∗ ∈ i {∂ f (¯) + ∂ (λi h)(¯)} , x x (8) + =αi , ≥0 αi := λi h(¯) + g(¯) − gi (¯) ≥ x x x 3.3 Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi Xét tốn cực đại hóa hàm lồi sau: (PM): sup p(x) x∈C, h(x)∈−S p : X −→ R ∪ {+∞} hàm lồi chân chính, nửa liên tục dưới, h : X −→ Z ánh xạ liên tục, S-lồi Các không gian X, Z, tập C, nón S Mục Bài toán (PM) tương đương với toán sau: (PM1): inf −p(x) x∈C, h(x)∈−S Để ý sup(P M ) = −inf(P M 1) Điều kiện cần đủ tối ưu cho (PM) thiết lập nhờ vào Định lí 2.1 Mục ∗ Định lí 3.3 Giả sử sup (PM) > −∞ K := K := ∪λ∈S + epi(λh)∗ + epiδC ∗ đóng yếu TKhi x nghiệm tối ưu toàn cục (PM) với ≥ 0, ¯ ∗ x ∈ ∂ p(¯), tồn λ ∈ S + , ≥ thỏa mãn + = + λh(¯) x x x∗ ∈ ∂ (λh)(¯) + N (C, x) x ¯ (9) Đặc biệt, x nghiệm tồn cục (PM) với x∗ ∈ ∂p(¯) tồn λ ∈ S + ¯ x cho x∗ ∈ ∂(λh)(¯) + N (C, x) v λh(¯) = x ¯ x KẾT LUẬN Đề tài nêu lên tranh phát triển Bổ đề Farkas vài thập niên qua Qua nêu lên tầm quan trọng kết dạng lí thuyết tối ưu đại Thông qua việc phát triển, mở rộng kết quan trọng này, điều kiện quy (mà nhờ có điều kiện cần tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker thiết lập) làm yếu cách đáng kể Đề tài lần đề xuất dạng mở rộng Bổ đề Farkas cho hệ có chứa ràng buộc dạng DC Các kết có giá trị cách độc lập Nó dùng để thiết lập đặc trưng cho bao hàm thức tập lồi chứa tập DC Các kết mở rộng kết công bố gần chủ nhiệm đề tài với đồng nghiệp V jeyakumar, M.A Boberna, G.M Lee (2005, 2006) Với kết dạng Farkas mở rộng trên, đề tài đề xuất cách tiếp cận lớp toán quy hoạch DC, lớp toán khó mà nay, theo hiểu biết chúng tơi, kết nghiên cứu định tính thưa thớt Kết đạt đề tài xem khởi đầu cho cách tiếp cận nghiên cứu toán quy hoạch DC Rất nhiều điều cần phải tiếp tục nghiên cứu theo hướng này, chẳng hạn, kết đối ngẫu, ổn định với nhiễu, lớp toán Tài liệu [1] Nguyễn Định, Các kết dạng Farkas mở rộng áp dụng vào lý thuyết tốn tối ưu lồi, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh - Khoa học tự nhiên, 6(40), 2005, - 25 [2] Nguyễn Định Trần Thái An Nghĩa, Bổ đề Farkas cho hệ bất đẳng thức gồm hàm lồi hàm DC, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Khoa học tự nhiên, 6(40), 2005, 41 - 52 [3] N Dinh, Guy Vallet, and T.T.A Nghia, A new approach to DC-programs with cone convex constraints (bản thảo, 2006) Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 thàng 2, năm 2006 Chủ nhiệm đề tài CS.2005.23.77 PGS.TS Nguyễn Định PHẦN PHỤ LỤC CÁC CƠNG TRÌNH Thực khuôn khổ đề tài: CS.2005.23.77 [1 ] Nguyễn Định, Các kết dạng Farkas mở rộng áp dụng vào lý thuyết toán tối ưu lồi, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh - Khoa học tự nhiên, 6(40), 2005, - 25 [2 ] Nguyễn Định Trần Thái An Nghĩa, Bổ đề Farkas cho hệ bất đẳng thức gồm hàm lồi hàm DC, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Khoa học tự nhiên, 6(40), 2005, 41 - 52 [3 ] N Dinh, Guy Vallet, and T.T.A Nghia, A new approach to DC-programs with cone convex constraints (bản thảo, 2006) ... đa dạng dạng mở rộng lý thuyết tối ưu Chương kết đề tài, mở rộng Bổ đề Farkas cho hệ có chứa bất đẳng thức lồi bất đẳng thức DC Chương 3, trình bày áp dụng dạng mở rộng Bổ đề Farkas vào toán quy...TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo ứng dụng Mã số: CS.2005.23.77 BÁO CÁO TỔNG QUAN Bổ đề Farkas đóng vai trị lí thuyết tối ưu tuyến... tiết • Bổ đề Farkas cho hệ tuyến tính vơ hạn chiều • Bổ đề Farkas cho hệ khơng trơn • Các kết qủa mở rộng dạng Farkas cho hệ lồi theo nón Trong mục điểm qua số kết qủa mở rộng Bổ đề Farkas công