TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2 TỔ TOÁN  NGUYỄN VĂN XÁ  GIÁO ÁN PHỤ ðẠO MÔN TOÁN LỚP 11             2011 2011 2011 2011  2012 2012 2012 2012  Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 1 1 PHỤ ðẠO TOÁN 11 PHẦN I. ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH CHƯƠNG MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác ñịnh của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0 ≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0 ≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 − ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx= 1 x = 2 ; osx= -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm số y = tanx xác ñịnh khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác ñịnh khi x k π ≠ Bài 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4 x + 4) y = cos 2 3 2 x x − + 5) y = 2 os2x c 6) y = 2 sinx − 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osx c − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXð D ; Kiểm tra , x D x D x ∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch½n,kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 2 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3 x III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx ñồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π   − + π + π     Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k π π   + π + π     Hàm số y = cosx ñồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 k k −π + π π Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 k k π π + π Hàm số y = tanx ñồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k k π π   − + π + π     Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ; k k π π + π Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên ; 6 3 π π   −     2) y = cosx trên khoảng 2 3 ; 3 2 π π       3) y = cotx trên khoảng 3 ; 4 2 π π   − −     4) y = cosx trên ñoạn 13 29 ; 3 6 π π       5) y = tanx trên ñoạn 121 239 ; 3 6 π π   −     6) y = sin2x trên ñoạn 3 ; 4 4 π π   −     7) y = tan3x trên khoảng ; 12 6 π π   −     8) y =sin(x + 3 π ) trên ñoạn 4 2 ; 3 3 π π   −     Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Khoảng Hàm số 3 ; 2 π   π     ; 3 3 π π   −     23 25 ; 4 4 π π       362 481 ; 3 4 π π   − −     y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Chú ý Hsố y = f(x) ñồng biến trên K ⇒ y = A.f(x) +B ®ång biÕn trªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0    Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên ñoạn [ ] ; −π π 2) y = -2cos 2 3 x π   +     trên ñoạn 2 ; 3 3 π π   −     IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 − ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 3 3 4) y = 2 1 os(4x ) c+ - 2 5) y = 2 sinx 3 + 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3 x − 8) y = 2 4 3 os 3 1 c x − + Chú ý : Hàm số y = f(x) ñồng biến trên ñoạn [ ] ; a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a = = Hàm số y = f(x) nghịch biến trên ñoạn [ ] ; a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b = = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên ñoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên ñoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên ñoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên ñoạn 1 3 ; 4 2       B.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. 1. Phương trình lượng giác cơ bản u v k2 u v k2 1)sinu sin v (k ). 2)cosu cosv (k ). u v k2 u v k2 u v k u v k 3)tan u tan v (k,n ). 4)cot u cot v (k ,n ). u n u n 2 = + π = + π   = ⇔ ∈ = ⇔ ∈   = π − + π = − + π   = + π  = + π   = ⇔ ∈ = ⇔ ∈   π ≠ π ≠ + π    Các tr ườ ng h ợ p ñặ c bi ệ t 1)sinu 0 u k (k ). 2)sin u 1 u k2 (k ). 2 3)sinu 1 u k2 (k ). 4)cosu 0 u k (k ). 2 2 5)cosu 1 u k2 (k ). 6)cosu 1 π = ⇔ = π ∈ = ⇔ = + π ∈ π π = − ⇔ = − + π ∈ = ⇔ = + π ∈ = ⇔ = π ∈ = − ⇔ u k2 (k ). = π + π ∈ Học sinh cần nhớ bẳng các giá trị lượng giác của các góc ñặc biệt. 2. Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác a) Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác – Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), hoặc cosf(x), hoặc tanf(x), hoặc cotf(x). – Phương pháp: ðưa về phương trình lượng giác cơ bản. b) Phương trình lượng giác bậc nhất với hai hàm số lượng giác – Phương trình bậc nhất với sin và cosin: + Dạng: a.sinu + b.cosu = c. + ðiều kiện ñể phương trình có nghiệm: a 2 + b 2 2 c . ≥ + Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta ñưa về phương trình cơ bản. + Xét a 0,b 0 ≠ ≠ ta có thể giải theo các cách sau Cách 1 Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b + và ñặ t 2 2 2 2 b a sin ,cos , a b a b α= α= + + ta ñư a ph ươ ng trình v ề d ạ ng c ơ b ả n 2 2 c sin(u ) . a b + α = + Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 4 Cách 2 Chia hai vế phương trình cho a và ñặt b tan . a α = Cách 3 Xét u k2 . = π + π V ới u k2 ≠ π + π ta ñặt u t tan 2 = , ñưa PT ñã cho về dạng 2 (b c)t 2at c b 0. + − + − = Giải ra tìm t, rồi tìm ra u, từ ñó tìm nghiệm của phương trình. Chú ý Với phương trình a.sin u b.cosu c.sin v d.cosv + = + mà 2 2 2 2 a b c d 0 + = + > ta chia hai vế của phương trình cho 2 2 a b + và ñư a v ề ph ươ ng trình c ơ b ả n. V ớ i ph ươ ng trình d ạ ng a.sinu + b.cosu = 0 ta có th ể ñư a v ề ph ươ ng trình c ơ b ả n c ủ a tanu ho ặ c cotu. – Ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t v ớ i tang và cotang: + D ạ ng: a.tanu + b.cotu + c = 0. + Ph ươ ng pháp: ñặ t t = tanu. – Các ph ươ ng trình d ạ ng a.X + b.Y = 0 v ớ i X là sinu ho ặ c cosu, còn Y là tanu ho ặ c cotu, ta th ườ ng ñư a v ề ph ươ ng trình tích, ho ặ c ph ươ ng trình b ậ c hai ñố i v ớ i sin ho ặ c cosin. 3. Phương trình bậc hai với một hay nhiều hàm số lượng giác a) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác – D ạ ng: a.X 2 + b.X + c = 0, v ớ i X là sin ho ặ c cosin ho ặ c tang ho ặ c cotang. – Ph ươ ng pháp: ðặ t t = X, n ế u X là sin ho ặ c cosin thì có ñ i ề u ki ệ n 1 t 1. − ≤ ≤ b) Phương trình bậc hai với sin và cosin – Ph ươ ng trình thu ầ n nh ấ t b ậ c hai ñố i v ớ i sin và cosin + D ạ ng 2 2 a.sin u b.sin u.cosu c.cos u d. + + = + Ph ươ ng trình này còn ñượ c g ọ i là ph ươ ng trình ñẳ ng c ấ p b ậ c hai v ớ i sin và cosin. + Ph ươ ng pháp gi ả i: Cách 1 Tìm cách ñư a v ề ph ươ ng trình tích. Cách 2 Dùng công th ứ c h ạ b ậ c ñể ñư a v ề ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t ñố i v ớ i sin và cosin. Cách 3 Xét cosu = 0. Xét cosu 0 ≠ , chia hai v ề ph ươ ng trình cho cos 2 u và ñặ t t = tanu. Chú ý V ớ i ph ươ ng trình a.sin 3 u + b.sin 2 u.cosu + c.sinu.cos 2 u + d.cos 3 u + e.sinu + f.cosu = 0 ta làm t ươ ng t ự nh ư cách 3 nói trên. – PT ñố i x ứ ng ñố i v ớ i sin và cosin có d ạ ng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = 0. Ta ñặ t 2 t 1 t sinu cosu t 2, sinu.cosu . 2 − = + ⇒ ≤ = – Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường ñặt t sinu cosu = − 2 1 t t 2, sin u.cosu . 2 − ⇒ ≤ = 4. Các phương trình lượng giác khác • Ta có thể biến ñổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích. Muốn vậy cần nắm vững các công thức lượng giác, các hằng ñẳng thức, các phương pháp ñặt nhân tử chung … Chúng ta lưu ý một số kĩ thuật sau: ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x … ta có thể ñặt nhân tử chung là sinx. ☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x … ta có thể ñặt nhân tử chung là cosx. Ph ủo Toỏn 11 Nguyn Vn Xỏ T Toỏn Trũng THPT Yờn Phong s 2 Bc Ninh 5 5 Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha 2 2 2 2 x x cos ,cot ,sin x,tan x 2 2 ta cú th ủ t nhõn t chung l 1 + cosx. N u trong ph ng trỡnh l ng giỏc cú ch a 2 2 2 2 x x sin ,tan ,sin x,tan x 2 2 ta cú th ủ t nhõn t chung l 1 cosx. N u trong ph ng trỡnh l ng giỏc cú ch a 2 2 2 2 x x cos x,cot x,sin ( ),cos ( ) 2 4 4 2 + ta cú th ủt nhõn t chung l 1 + sinx. Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha 2 2 2 2 x x cos x,cot x,sin ( ),cos ( ) 4 2 2 4 + ta cú th ủt nhõn t chung l 1 sinx. Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, tanx + cotx ta cú th ủt nhõn t chung l sinx + cosx. Nu trong phng trỡnh lng giỏc cú cha cos2x, cot2x, 1 sin2x, 1 tanx, 1 cotx, tanx cotx ta cú th ủt nhõn t chung l sinx cosx. Ta cú th dựng cỏc cụng thc h bc, nhõn ủụi, bin tng thnh tớch, bin tớch thnh tng ủ bin ủi cỏc phng trỡnh lng giỏc v dng quen thuc ủó bit cỏch gii. Cú th dựng bt ủng thc ủ gii phng trỡnh lng giỏc. Nhiu phng trỡnh lng giỏc cn chỳ ý ủn ủiu kin xỏc ủnh. Bi tp. Bi 1. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: 1. 2sincos3 = xx , 2. 1sin3cos = xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 += , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx = , 6. tan 3cot 4(sin 3cos ) x x x x = + 7. 3(1 cos2 ) cos 2sin x x x = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x + = Baứi 2. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: 1. 2cos 2 x +5sinx 4 = 0 , 2. 2cos2x 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4 x x + = 10. 4 2 4sin 12cos 7 x x + = Baứi 3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: 1) 2sin 2 x 5sinx.cosx cos 2 x = - 2 2) 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3) 4sin 2 x +3 3 sin2x 2cos 2 x = 4 4) 6sinx 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. Phụ đạo Tốn 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trưòng THPT n Phong số 2 – Bắc Ninh 6 6 5) 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x + − = 6) cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 Bài 4. Giải các phương trình sau : 1) 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2) sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3) 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4) sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = x cos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 6. Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = x cos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 Bài 7. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ Ph ủo Toỏn 11 Nguyn Vn Xỏ T Toỏn Trũng THPT Yờn Phong s 2 Bc Ninh 7 7 6/ 3cos 4 x sin 2 2x + sin 4 x = 0 ẹS :x = 3 + k v x= 4 + 2 k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x 3 = 0 . 8/ 6sinx 2cos 3 x = 5sin 2x cosx Baứi 8. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx x x 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). Baứi 9. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx 4cosx 2/ sin 2x cos 2x = 3sinx +cosx 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 2sinx 6/ cos3x 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x cos 2 x = 1 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos 1 sincos = + 11/ sin 2 ) 4 2 ( x tan 2 x cos 2 2 x = 0 12/ cotx tanx + 4sinx = x sin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2 sin 2 1 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x cos 2 4x = sin 2 5x cos 2 6x 17 / cos3x 4cos2x +3cosx 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos x x x x + = 19/ tanx +cosx cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 20/ cotx 1 = 2 cos2 1 sin sin2 1 tan 2 x x x x + + Baứi 10. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: 2 2 1)sin (x ) cos (3x ). 4 2 = + x 2)tan(2x )tan( ) 1. 2 2 + = 2 1 3)sin2x sin x . 2 + = 3 2 2 2 4 4)8sin xcosx 3sin x 2sin xcos x cos x 1. + + = 5)sin6xcos7x sin8x cos5x. = 6)2sin xcos2x 1 2cos2x sinx 0. + = 2 2 2 2 7)sin x sin 2x sin 3x sin 4x. + = + 8) 2sinx 1 2 3sin x. = 9)2x sin x 0. = 3 3 10)cos x sin x cos2x. + = Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 8 8 5 1 11)sin( cos x) . 3 2 π π = x 3x x 3x 1 12)cosxcos cos sin xsin sin . 2 2 2 2 2 − = 13)tan2x 3tan x. = 14)2cot 2x 3cot3x tan2x. − = 2 15)tan2x cotx 8cos x. + = 2 16)2cos 4x sin10x 1. + = 2 2 2 4x 3x 5x 3x 17)cos sin 2sin cos . 3 2 6 2 + + = 4 6 18)cos2x 4sin x 8cos x. + = 4 4 3 cos6x 19)sin x cos x . 4 − + = 20)sin3x cos2x 2 0. + + = 2 2 21)sin 2x 1 cos 3x. + = 2 2 22)(cos2x cos4x) 4 cos 3x. − = + 5 8 23)2sin x 3cos x 5. + = 1 24) 3sin x cosx . cosx + = 4 4 10 10 2 2 2 sin x cos x 25)sin x cos x . cos 2x 2sin xcos x + + = + 26)sinx 3cosx 2sin4x. − = 27)cos2x 3sin3x 3sin 2x cos3x. + = − 28)sin x sin2x sin3x sin4x 0. + + + = 2 2 2 2 29)sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2. + + + = cosx cos5x 30) 8sin xsin3x. cos3x cosx − = 31) sin x cosx sin x cosx 2. − + + = x 32)tan cosx sin2x 0. 2 + = 3 1 3 1 33) 1. sin x cosx − + + = 2 3 34)sin x sin x cos x 0. + + = 1 tanx 35) 1 sin2x. 1 tan x + = + − 2 2 x 2cos 2 36)tan x . 1 sin x = − 37)sin6x sin8x sin16x sin18x 16sin3x 0. + + + + = 38)3(cot x cosx) 5(tan x sin x) 2. − − − = 3 39)2cos13x 3(cos3x cos5x) 8cosxcos 4x. + + = 2 40) sin x sin x sin x cosx 1. + + + = 41)sin x sin 2x 3(cosx cos2x). + = + 42)2sin xcos2x sin2x cos2x sin 4xcosx. + = 23 sin x 43)tan( x) 2. 2 1 cosx π − + = + 44)sin2x cos2x 3sin x cosx 2 0. + + − − = 4 4 sin x cos x cot2x 1 45) . 5sin 2x 2 8sin2x + = − 2 4 4 (2 sin 2x)sin3x 46)tan x 1 . cos x − + = 2 1 47) sin x. 8cos x = 48)3 tan x(tan x 2sin x) 6cosx 0. − + + = 2cos4x 49)cot x tanx . sin 2x = + 3 3 2 3 2 50)cos3xcos x sin3xsin x . 8 + − = 51)2sin(2x ) 4sin x 1 0. 6 π − + + = 3 3 2 52)cos x sin x 2sin x 1. + + = 3 2 53)4sin x 4sin x 3sin 2x 6cosx 0. + + + = 2 2 2 54)(2sin x 1)tan 2x 3(2cos x 1) 0. − + − = 55)cos2x (1 2cosx)(sinx cosx) 0. + + − = 56) 11 11 sin x cos x 2 cos(x ) 4 π − = + 57) 1 2tan x cot x 2sin 2x . sin 2x + = + 58) 2 cos (x ) 1 cos(2x ) 2 2 4 2 3 cos4x 4 4 2 ln16.ln(sin2x ) 2sin2x( sin xcos x 1). 2 3 π π − + + − − = + + − Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 9 9 59) 2 3 (2sin x 3)(4sin x 6sin x 3) 1 3 6sin x 4. − − + = + − 60)3sin5x 2cos5x 3. − = 61) sinx cosx 1 e e cos(x ).(2 2 sin 2x) cos2x. 4 2 π − = + + + + 4 4 x x 62)sin2x cos sin . 2 4 = − 63)cos( 5x) sin x 2cos3x. 2 π + + = 2 64)cos4xcos(2x 5 ) sin 2xcos( 4x) sin 4x. 2 2 π + π − − = 2 2 2 2 65)cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0. + − − = 0 0 0 66)tan(120 3x) tan(140 x) 2sin(80 2x). + − − = + 67)sin 2x cos2x 2 cos3x. + = 2 2 2 2 x x x x x x 68)tan sin tan cos cot cot sin x 4. 2 2 2 2 2 2 + + + + = 69)tan( cosx) cot( sinx). π = π 0 0 0 0 1 70)cos(22 x)cos(82 x) cos(112 x)cos(172 x) (si nx cosx). 2 − − + − − = + 2 0 2 0 0 0 1 71)sin (x 45 ) sin (x 30 ) sin15 cos(2x 15 ) sin6x. 2 + − − − + = 8 8 41 72)sin 2x cos 2x . 128 + = 2 sin2x 2cos x 1 73) cosx. cosx cos3x sin3x sin x + − = − + − 2 2 74) 1 4cos x 3 4sin x 4. + + + = 5 75)12cosx 5sin x 8 0. 5sin x 12cosx 14 + + + = + + + 4 3 4 3 76)cos x sin x sin x cos x. + = + 2 2 77)cos 3x cos x 1. − = 78)cosx cos2x sin x. + = 3 3 79)sin x cos x 1 sin2x. + = + 80)sin x cosx sin xcosx 1. + + = − 2 2 81)sin x sin x cosx sinxcosx cos x. + + + = − 1 82)sin xsin 2xsin3x sin4x. 4 = 2 2 83)2tan x 3tan x 2cot x 3cot x 2 0. + + + + = 84)cosx tan3x sin5x. = 1 1 85) sin3x sin5x. 3 5 = 2 2 1 1 86)sin x sin x . sin x sin x − = − 87)1 sin x cosx sin 2x 2cos2x 0. + − − + = 88)4sin3x sin5x 2sin xcos2x 0. + − = 4 89)8cos x 4cos2x sin4x 4. − + = 6 6 1 90)sin x cos x sin4x 0. 2 + + = CHƯƠNG HAI TỔ HỢP - XÁC SUẤT A. Lí thuyết I. Quy tắc ñếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi ñó, công việc ñược thực hiện theo n + m cách. Bản chất : n(A B) n(A) n(B) n(A B).      [...]... VD1 Cho đa th c f(x) = (1 + x – x12)2 011+ (1 – x + x11)2012 1 Tìm h s c a s h ng ch a x trong đa th c 2 Tính t ng t t c các h s b c l trong đa th c 3 Tính t ng các h s b c l n hơn hay b ng 2 trong đa th c HD 1 Ta có f '(x) = 2 011( 1 + x − x12 )2010 (1 − 12x11 ) + 2012(1 − x + x11 )2 011. (−1 + 11x10 ) ð cho ti n ta kí hi u f (x) = a 0 + a1x + + a n x n (v i n = 12×2 011 = 24132) H s c a s h ng ch a x trong... là 5 và tích số của chúng là 114 0 Bài 6: Tìm chi u dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25 Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là... Th c hi n phép hốn v Nguy n Văn Xá – T Tốn – Trưòng THPT n Phong s 2 – B c Ninh 11 Ph đ o Tốn 11 12 Phương pháp gi i: • S d ng phép x p đ t c a n ph n t có th t : Pn = n! = 1.2.3…n • Th c hi n quy t c c ng ho c quy t c nhân Bài 4: B n X m i hai b n nam và ba b n n d ti c sinh nh t B n đ nh x p nam, n ng i riêng trên các chi c gh , x p theo m t hàng dài H i X có bao nhiêu cách x p đ t? D ng 3: Th c hi... d = 3 Tính u20 và S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1 Tính d và S11 ĐS: d = − 18 5 3 ; 2 và S11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350 Bài 17: Cho c p s c ng có Sn là t ng c a n s h ng đ u tiên Bi t m, n là... = f ( x0 ) x → x0 Nguy n Văn Xá – T Tốn – Trưòng THPT n Phong s 2 – B c Ninh 22 Ph đ o Tốn 11 23 +) f(x) liên t c trên kho ng (a ; b) n u f(x) liên t c t i m i đi m thu c (a ; b) +)f(x) liên t c trên đo n [a ; b] n u f(x) liên t c trên kho ng (a ; b) và Lim = f (a ); Lim = f (b); + x→a x →b *Gián đo n: f(x)gián đo n t i x0 n u khơng tho mãn m t trong nh ng đi u ki n sau +) x0 khơng thu c t p xác đ... = 1; u 2 = −2; u n + 2 = u n +1 − 2u n , ∀n = 1, 2, 4) Cho dãy s (u n ) có u1 = 2;u 2 = 5; u n + 2 = 5u n +1 − 6u n , ∀n = 1, 2, Ch ng minh r ng u n = 2n + 3n v i m i n và tìm s dư khi chia u 2010 × u 2 011 cho 2 011 5) Cho dãy s (u n ) có u1 = 1;u n +1 = u n +1 + (n + 1).2n , ∀n = 1, 2, Ch ng minh r ng u n = 1 + (n − 1).2n 6) Xác đ nh s h ng t ng qt c a dãy s (u n ) có u1 = 1; u n +1 = 1 u n + 1,... n 10 2 Cho C0 + C1 + Cn = 211 Tính t ng S = n n 11 2 n Tìm s ngun dương n tho mãn C1 + 3Cn + 32 C3 + + 3n −1Cn = n n 12 0 99 100 Ch ng minh r ng 100.C100 ( )99 − 101.C1 ( )100 + − 199.C100 ( )198 + 200.C100 ( )199 = 0 100 13 Cho 1 2 1 + 1 + 1 + + 1 2 2 2 A 2 A3 A 4 An 2 c a đa th c f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n = A1 1 + A1 2 + A1 3 + + 1 2 1 2 A1 +1 n 2200 − 1 3 1 2 2 011 , n ∈ , n ≥ 2 Tính t ng t... n −1 (r < n, r < m) + + C m m +1 r a) r ∑ Ck + k = Cn + r +1 n k =0 n d) + C (m < n) ∑ kCk = n.2n −1 n k =1 m m n +5 b) Cm− 11 = n m m C n (m ≤ n) n m n e) C m + n = C n + m −1 + C n + m −1 m g) Crn Cm = C m C rn− m (n ≥ r ≥ m) r n −m 4) Ch ng minh v i n ∈ thì: a) 2 > n 2 + 11n + 28; b) 3n +3 > (n + 4)(n + 6) D ng 8 Tính xác su t Bài 16 : Hai h p ch a các qu c u, h p I ch a 3 qu đ và 2 qu xanh, h... , trong đó có ph n t a S t p con có k ph n t c a A là C k n N u B là t p con g m k ph n t c a A thì x y ra các kh năg sau: k Nguy n Văn Xá – T Tốn – Trưòng THPT n Phong s 2 – B c Ninh 10 Ph đ o Tốn 11 11 - T p B khơng ch a ph n t a, thì B là t p con g m k ph n t c a t p A\{a}, có C k −1 t p B n như th - T p B có ch a a, t c là B\{a} là t p con có k – 1 ph n t c a t p A\{a}, có Ck −1 t p B như n −1... b) sao cho: f(c) = M 1.Xét tính liên t c c a hàm s f(x) t i x0 Phương pháp: +) Lim f ( x) = f ( x0 ) ⇒ f(x) liên t c t i x0( hay f liên t c t i x0) x → x0 +) Lim f ( x) ≠ f ( x0 ) ⇒ f(x) gián đo n t i x0( hay f gián đo n t i x0) x → x0 *Ví d áp d ng: VD1: Xét tính liên t c c a hàm s f(x) t i đi m x0 khi bi t:  x2 −1 khi x ≠ -1  a) f ( x) =  x3 + 3x + 2 và x0=-1  −2 khi x=-1   x+8 −3 khi x ≠ 1 . THÔNG YÊN PHONG 2 TỔ TOÁN  NGUYỄN VĂN XÁ  GIÁO ÁN PHỤ ðẠO MÔN TOÁN LỚP 11             2 011 2 011 2 011 2 011  2012 2012. 2 011  2012 2012 2012 2012  Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 1 1 PHỤ ðẠO TOÁN 11 PHẦN I. ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH CHƯƠNG. ph ầ n t ử c ủ a A thì x ả y ra các kh ả n ă g sau: Phụ ñạo Toán 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 11 11 - Tập B không chứa phần tử a, thì B là tập con