Chuyên đề 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số - 3 dạng quan trọng Đ ÌNH THỦY Giới thiệu - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ bản khi nghiên cứu về hàm số. Việc viết phương tr ình tiếp tuyến trước nay mới chỉ dừng lại ở những đồ thị hàm số hết sức cơ bản ví dụ như parabol, hyperbol… nhưng khi chúng ta đ ã biết đến đạo hàm thì việc viết phương trình tiếp tuyến đã được mở rộng thêm cho nhiều hàm số phức tạp hơn, và đây cũng chính là một trong những ứng dụng quan trọng của đạo hàm với việc cho biết hệ số góc của tiếp tuyến. Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu về vấn đề này. Các bài toán mẫu Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc. - Trước khi đi vào các ví dụ chúng tôi xin nhắc lại tính chất sau: cho hai đường thẳng   1 1 1 d : y k x b   và   2 2 2 d : y k x b   . +     1 2 d d  thì 1 2 k k 1   . +     1 2 d d  thì 1 2 k k  . Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 3 2 1 y x 5x 20x 19 3     , biết đường thẳng đó vuông góc với đường thẳng 1 y x 2 4   . Lời giải: - TXĐ:  - Ta có: 2 y f (x) x 10x 20       - Phương trình tiếp tuyến là:       0 0 0 d : y f x x x y     , trong đó 0 0 (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm. + Tiếp tuyến vuông góc với 1 y x 2 4   nên:     0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 f x . 1 4 f x 4 x 10x 24 0 7 x 4, y 3 x 6, y 7                     Vậy phương trình tiếp tuyến là:   1 7 31 d : y 4(x 4) 4x 3 3          2 d : y 4(x 6) 7 4x 17        Chiến thuật - Các bước giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong   y f x  khi biết hệ số góc: + Tính   f x  . + Áp d ụng công thức phuơng trình tiếp tuyến: 0 0 0 y f (x ).(x x ) y     , 0 0 (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm  Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến rồi giải phương trình 0 f (x ) k   , từ đó giải ra 0 x và tìm phương trình tiếp tuyến. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm Ví dụ 1:. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 2 x 3x 1 y x 1     tại điểm có hoành độ 0 x 2  . Lời giải: + TXĐ:   \ 1  . + 0 0 x 2 y 3     + Phương trình tiếp tuyến tai tiếp điểm   2; 3  là:   y y (2). x 2 3     Ta có:       2 2 x 2x 4 y x x 1 y 2 4         Vậy phương trình tiếp tuyến là     d : y 4 x 2 3 4x 11      . Chiến thuật: - Các bước giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong y f (x)  tại tiếp điểm   0 0 x ; y + Tính 0 f (x) f (x )    + Thay vào:     0 0 0 y f x x x y     . Chú ý: Tiếp tuyến tại tiếp điểm chỉ có một. - Một trường hợp đặc biệt là tiếp tuyến tại giao điểm   1 1 x ; y của đường cong     u x y v x  với trục Ox thì hệ số góc của tiếp tuyến là     1 1 u x k v x   . CM: G ọi   1 1 x ; y là giao điểm của hàm số với trục Ox 1 u(x ) 0    hệ số góc của tiếp tuyến tại đó:           1 1 1 1 2 1 u x v x u x v x k v x     , mà   1 u x 0   1 1 u (x ) k v(x )   (đpcm).  Khi dùng ta phải chứng minh, công thức này hết sức quan trọng trong một số bài toán. Ví dụ 2: Cho hàm số 2 2 x 3x m y x 2     . Tìm m để hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với Ox vuông góc v ới nhau. Lời giải: - TXĐ:   \ 2   - Ta thấy:   2 2 2 2 x 3x m y 0 x 3x m 0 * x 2          Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt do 2 9 m 0 m         . - H ệ số góc của hai tiếp tuyến tai giao điểm với trục hoành: 1 1 1 2x 3 k x 2    và 2 2 2 2x 3 k x 2    , trong đó 1 2 x , x là hoành độ hai tiếp điểm 1 2 2 1 2 x x 3 x x m         Để hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì:     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 k k 1 2x 3 2x 3 . 1 x 2 x 2 5x x 4 x x 13 0 5 m 4.3 13 0 1 m 5 1 m 5                         Vậy 1 m 5   . Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước và sự tiếp xúc của hai đường cong. - Hai đường cong bất kì   y f x  và   y g x  muốn tiếp xúc với nhau thì phải thỏa mãn hệ phương trình sau có nghi ệm: 0 0 0 0 f (x ) g (x ) f(x ) g(x )        , ( 0 x là hoành độ tiếp điểm) - Từ trên ta ứng dụng vào sự tiếp xúc giữa đường thẳng vào đường cong. Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3x x 1 y x 2     đi qua điểm   A 2;0 . Lời giải: + TXĐ:   \ 2  + Phương trình tiếp tuyến đi qua   A 2;0 là   y k x 2                   0 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 k y x x là hoành ti p i m k x 2 y x 3x 12x 1 k x 2 3x x 1 k x 2 x 2 3x 12x 1 3x x 1 x 2 x 2 x 2 x 0 1 k 2                                       ®é Õ ® Ó Vậy tiếp tuyến là 1 y x 1 2    . Chiến thuật: - Các bước giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm   1 1 A x ; y cho trước với đường cong   y f x  : + Ti ếp tuyến có dạng:   1 1 y k x x y    + Giải hệ:       0 0 1 1 0 k f x k x x y f x         , ( 0 x là hoành độ tiếp điểm) , từ đó giải ra x và tìm ra k. Chú ý: - Những bài toán có tham số, tìm tham số để   f x có tiếp tuyến qua điểm nào đó thì ta đặt điều kiện để hệ trên có nghiệm. - Ti ếp tuyến của một đường cong đi qua một điểm A (có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong) cho trước có thể có một hoặc nhiều tiếp tuyến. Vì vậy khi làm bài ta cần phân biệt rõ "tại" hay "qua". Bài tập đề nghị: Viết phương trình tiếp tuyến của các hàm số sau thỏa mãn điều kiện: 1, 3 2 y x 3x 2    , vuông góc với: 3x 5y 4 0    . ĐS: 45x 27y 29 0    và 45x 27y 61 0    . 2, 2 2x 7x 7 y x 2     , song song với: y x 4   . ĐS: x y 1 0    và x y 3 0    . 3, 2 x 2x 3 y 2x 1     , tại điểm có hoành độ x 1  . ĐS: y 4x 6    . 4,   3m 1 x m y x m     , tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm với Ox song song với đường thẳng 16x 3y 1 0    . ĐS: 1 m 1; 7         . 5, 2 x 2x 1 y x 2     , qua điểm   M 6; 4 . ĐS: y 4  và 3 1 y x 4 2   . 6, 3 y x 3x m    , tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox. ĐS: m 2   . * Trên đây chúng tôi đã giới thiệu đến các bạn 3 dạng viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong. Mở rộng thêm còn những bài toán nghiên cứu về sự tiếp xúc của hai đường cong bất kì, tuy nhiên rất ít khi gặp, chúng tôi chỉ xin lưu ý các bạn 3 dạng toán trên sẽ xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi. Để làm t ốt các bạn nên nhớ các bước giải mà chúng tôi đã giới thiệu, chúc các bạn thành công. ©2008-thithu.org-ĐÌNH THỦY