THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 1 Đ Đ Ư Ư Ờ Ờ N N G G T T H H Ẳ Ẳ N N G G & & M M Ặ Ặ T T P P H H Ẳ Ẳ N N G G T T R R O O N N G G K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . … …   Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G   … … § § 1 1 . . Đ Đ Ạ Ạ I I C C Ư Ư Ơ Ơ N N G G V V Ề Ề Đ Đ Ư Ư Ờ Ờ N N G G T T H H Ẳ Ẳ N N G G & & M M Ặ Ặ T T P P H H Ẳ Ẳ N N G G . . 1) CÁC KHÁI NIỆM:  Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước trong chậu, … cho ta một phần của mặt phẳng trong không gian.  Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng chữ cái để đặt tên mặt phẳng đó chẳng hạn (P), (Q), (), (), …  Điểm A thuộc mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa điểm A, ta ghi A(P) hoặc (P)A.  Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa d, ta ghi d(P) hoặc (P)d. d p p A 2) CÁC TÍNH CHẤT:  Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt  Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.  Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy, đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.  Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. 3) CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG:  Qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định mặt phẳng (ABC).  Qua một đường thẳng d và một điểm M không thuộc đường thẳng d xác định mặt phẳng (d, M).  Qua hai đường thẳng song song d, d xác định mặt phẳng (d, d).  Qua hai đường thẳng cắt nhau a, b xác định mặt phẳng (a, b). 4) HÌNH CHÓP & TỨ DIỆN: a) Hình chóp, tứ diện:  Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt (EFGH) là mặt đáy, IE, IF, IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là các tam giác IEF, IFG, IGH, IHE. Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, … thì gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, …  Tứ điện ABCD là hình tạo bởi 4 mặt (ABC), (ACD), (ABD), (BCD). b) Hình chóp đều:  Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …  Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. 7 7 d d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Ký hiệu d = (P)  (Q) Q p A F G I E H B D C A THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 2  Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.  Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.  Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là 4 tam giác đều. 5) CÁC DẠNG TOÁN: a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm hai điểm chung, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy.  1 Vd Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: (SAB) và (SBC); (SAC) và (SBD) Giải: Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) có S là điểm chung thứ nhất và B là điểm chung thứ hai. Vậy (SAB)  (SBC) = SB. Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = BD  AC          maø BD SBD O SBD O BD O AC AC SAC O SAC                     (SAC)  (SBD) = SO. b) Tìm giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng (): Tìm đường thẳng b trong mặt phẳng () cắt đường thẳng a đã cho.  2 Vd Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M là một điểm phân biệt nằm trên đoạn SD. Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC). Giải: Gọi O = AC  BD          maø BD SBD O SBD O BD O AC AC SAC O SAC                     (SBD)  (SAC) = SO. Trong mp(SBD) gọi I = SO  BM      maø SO I SAC I SO SAC I BM I BM               I = BM  (SAC) c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng đồng quy: Ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.  3 Vd Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB và BC, gọi H  AD sao cho DH= 1 3 DA và G  CD sao cho DG = 1 3 DC. Chứng minh ba đường thẳng BD, FG, EH đồng quy. Giải: Theo giả thiết 1 3 DH DG DA DC    HG // AC và HG = 1 3 AC mà EF // AC và EF = 1 2 AC  HG // EF và HG = 2 3 EF  EF và HG đồng phẳng. Để chứng minh ba đường thẳng BD, FG, EH đồng quy ta chứng minh B, D, I thẳng hàng. Gọi I = FG  EH          maø FG BCD I BCD I FG I EH EH ABD I ABD                    , mặt khác     B BCD B ABD       và     D BCD D ABD        B, D, I cùng nằm trên đường thẳng chung của hai mặt (BCD) và (ABD)  B, D, I thẳng hàng  BD, FG, EH đồng quy. d) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng: Là đa giác thu được khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng. Phương pháp là tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp. THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 3  4 Vd Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E lần lượt là ba điểm lấy trên đoạn AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE). Giải: Đường thẳng MN cắt BD tại I, cắt BC tại K, cắt AB tại H. Trong mặt phẳng (SBD), IE cắt SB tại Q. Trong mặt phẳng (SBC), KQ cắt SC tại P. Trong mặt phẳng (SAB), QH cắt SA tại R. Vậy ngũ giác MNPQR là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (  ) chứa BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC). b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).  Hướng dẫn: a)     E ABC E AB F AC F ABC              EF  (ABC) b) I = EF  BC     I DEF I EF I BC I BCD               I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF). 2) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (  ). Chứng minh M là điểm chung của (  ) với một mặt phẳng bất kỳ chứa d.  Hướng dẫn: M = d  (  )   M d M          , Gọi     d  M      M là điểm chung của (  ) với    . 3) Cho ba đường thẳng 1 d , 2 d , 3 d không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.  Hướng dẫn: 1 d  (  ), 2 d     , 3 d     . Gọi I = 1 d  2 d , ta chứng minh I 3 d . Thật vậy: Ta có (  )  ( 1 d , 2 d ),     ( 2 d , 3 d ),     ( 1 d , 3 d ). I = 1 d  2 d mà 2 d      I    mà     ( 2 d , 3 d )  I 3 d . 4) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi , , , A B C D G G G G lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh , , , A B C D AG BG CG DG đồng quy. THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 4  Hướng dẫn: Gọi L là trung điểm CD, B G AL, A G BL. Ta có 1 3 B A LG LG LA LB    A B G G // AB  3 A B A B AG BG AB GG GG G G    . Gọi K là trung điểm BC, D G AK, A G DK. Ta có 1 3 D A KG KG KA KD    D A G G // AD. Gọi 1 G = A AG  D DG  1 3 A D A D AG DG AD GG GG G G     1 G  G Tương tự , , , A B C D AG BG CG DG đồng quy tại G 5) Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (  ) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (  ) và M là trung điểm đoạn SC. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.  Hướng dẫn: Trong mp(ABCD), gọi E = AB  CD      E MAB E AB E CD E SCD              ME = (MAB)  (SCD) Trong mg(SCD), gọi N = ME  SD    1 N ME N SD        N  ME mà ME  (MAB)  N (MAB) (2). Từ (1) và (2)  N = SD  (MAB) Trong mp(BEM), gọi I = BN  AM  I BN I AM      Mà BN  (SBD), AM  (SAC), SO = (SBD)  (SAC)  I  SO 6) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)  Hướng dẫn: Trong mp(BCD), gọi E = NP  CD    1 E NP E CD        mà      2 E NP E MNP NP MNP          . Từ (1) và (2)  E = CD  (MNP) (MNP)  (ACD) = ME 7) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD). b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN) THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 5  Hướng dẫn: IAD  I(KAD)  I(IBC)(KAD) KBC K(IBC) K(IBC)(KAD) IK=(IBC)(KAD) Trong mp(ABD) gọi J = DM  BI      J DMN J DM J BI J IBC             . Trong mp(ACD) gọi H = CI  DN      H IBC H CI H DN H DMN              JH = (IBC)  (DMN) 8) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP với đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (PMN).  Hướng dẫn: a) Ta có E = MP  BD      E PMN E MP E BD E BCD              EN = (PMN)  (BCD) b) Trong mp(BCD) gọi Q = EN  BC      Q PMN Q EN Q BC PMN Q BC Q BC                . 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành , d cắt đoạn BC tại E. Gọi C là một điểm nằm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm M của đường thẳng CD và mặt phẳng (CAE) b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE)  Hướng dẫn: a) Trong mp(ABCD) gọi M = AE  CD    ' M C AE M AE M CD M CD               ' M CD C AE    b) Trong mp(SCD) gọi F = MC  SD      ' F C AE F SCD        CF = (CAE)  (ACD)  thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE) là tứ giác AECF 10) Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là điểm thuộc miền trong của  SCD. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM) b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC) d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mp(SCD) và (ABM). e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM)  Hướng dẫn: a) Trong mp(SCD) gọi N = SM  CD    N SBM N SM N CD N CD              N = CD  (SBM); (SBN)  (SBM). THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 6 b) Trong mp(ABCD) gọi O = AC  BN      O SAC O AC O BN O SBN              SO = (SAC)  (SBN) c) Trong mp(SBN) gọi I = BM  SO, SO  (SAC)  I = BM  (SAC) d) Trong mp(SAC) gọi P = SC  AI  mà AI  (ABM)  P = SC  (ABM); Trong mp(SCD) gọi K = PM  SD     K ABM K PM K SD K SCD              PK = (ABM)  (SCD) e) Tứ giác ABPK là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(ABM). 11) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.  Hướng dẫn: AB  (P) = D, AC  (P) = E, BC  (P) = F              ; ; D P E P F P D ABC E ABC F ABC                      D, E, F  d với d = (P)  (ABC)  D, E, F thẳng hàng. 12) Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và đường thẳng c cắt mặt phẳng (a, b) ở điểm I khác O. Gọi M là điểm di động trên c và khác I. Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng (M, a), (M, b) nằm trên một mặt phẳng cố định.  Hướng dẫn: (P)  (a, b), OM = (M, a)  (M, b). Vì M  c  OM  (O,c) cố định. 13) Cho hình bình hành ABCD nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O. a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (CMN); b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN); c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN).  Hướng dẫn: a) Trong mp(ABCD) Gọi O = AC  BD  O AC O BD           O SAC O SBD        SO = (SAC)  (SBD) . Trong mp(SAC) gọi I = SO  CM    I SO I SO I CMN I CM              I = SO  (CMN) b) Trong mp(SBD) gọi K = NI  SD  THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 7     K CMN K NI K SD K SAD              MK = (SAD  (CMN) c) Tứ giác CKMN là thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mp(CMN). 14) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABC)  Hướng dẫn: Gọi O = AC  BD, O = AC  SO, D = BO SD. Nếu D thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác ABCD Nếu D nằm trên phần kéo dài của SD, gọi E = CD  CD, F = AD  AD thì thiết diện là ngũ giác ABCEF 15) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong SCD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC) c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)  Hướng dẫn: a) Trong mp(SCD) gọi N = SM  CD    N SBM N SM N CD N CD             , (SBN)  (SBM). Gọi O = AC  BN      O SAC O AC O BN O SBN              SO = (SAC)  (SBN) b) Trong mp(SBN) gọi I = BM  SO    I BM I BM I SAC I SO              I = BM  (SAC) c) Trong mp(SAC) gọi P = AI  SC      P ABM P AI P SC P SCD              PM = (ABM)  (SCD). Trong mp(SCD) gọi Q = PM  SD. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM) là tứ giác ABPQ. 16) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E là điểm thuộc đoạn AN không là trung điểm AN và Q là điểm thuộc đoạn BC. a) Tìm giao điểm của EM với mặt phẳng (BCD); b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EMQ) và (BCD); (EMQ) và (ABD); c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp(EMQ).  Hướng dẫn: a) Trong (ABN) gọi I = EM  BN  I EM I BN      mà BN  (BCD)    I EM I BCD         I = EM  (BCD) b) Ta có I  EM  I  (EMQ). Trong mặt phẳng (BCD) gọi P = IQ  CD  P IQ P CD           P EMQ P BCD       với THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 8     Q EMQ Q BCD        PQ = (EMQ)  (BCD). c) Trong mặt phẳng (ACD) gọi F = PE  AD      F EMQ F PE F AD F ABD             với     M EMQ M ABD        MF = (EMQ)  (ABD). Tứ giác PQMF là thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(EMQ). 17) Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy điểm M, trong tam giác SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC); b) Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN); c) Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).  Hướng dẫn: a) Gọi M = SM  BC, N = SN  CD Gọi O = AC  MN ' ' O AC O M N        SO = (SAC)  (SMN). Trong (SMN), gọi I = SO  MN   I SAC I SO I MN I MN               I = MN  (SAC) b) Ta có I  MN  I  (AMN) Trong mp(SAC), gọi K = AI  SC   K AMN K AI K SC K SC               K = SC  (AMN) c) Trong (SCD) gọi L = KN  SD. Trong (SBC) gọi J = KM  SB  Tứ giác AJKL là thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN). 18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, AD. Đường thẳng BN cắt CD tại I a) Chứng minh M, I và trọng tâm G của SAD thẳng hàng. b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CMG). Chứng minh trung điểm của SA thuộc thiết diện này. c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AGM).  Hướng dẫn: a) Gọi G là trọng tâm SAD  G SN và SG = 2GN. Xét BIC có ND = 1 2 BC và ND // BC  N trung điểm IB. Xét SIB có SN  IB = G  G trọng tâm tam giác SIB  SG = 2GN  G  G  I, G, M thẳng hàng. b) Ta có DG = (CMI)  (SAD). Trong mp(SAD) gọi A = DG  SA  Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt cắt (CMG) là tứ giác CMAD. Vì DA qua trọng tâm G của SAD nên A trung điểm SA. c) Trong mp(SAD) gọi D = AG  SD  AD = (AGM)  (SAD)Trong mp(ABCD) gọi K = BI  AC  SK = (SBI)  (SAC). Trong mp(SBI) gọi J = IM  SK      J AGM J IM J SK J SAC             . Trong mp(SAC) gọi C = AJ  SC      ' ' ' ' C AGM C AJ C SC C SBC              MC = (AGM)  (SBC)  Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt cắt (AGM) là tứ giác AMCD. THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 9 § § 2 2 . . H H A A I I Đ Đ Ư Ư Ờ Ờ N N G G T T H H Ẳ Ẳ N N G G C C H H É É O O N N H H A A U U & & S S O O N N G G S S O O N N G G . . 1) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:  Hai đường thẳng a, b gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Ta có a // b    ,a b a b           Hai đường thẳng c, d gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng và không có điểm chung. 2) CÁC TÍNH CHẤT:  Định lý 1: Qua một điểm A cho trước không nằm trên đường thẳng b cho trước có một và chỉ một đường thẳng a song song đường thẳng b.  Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.              ; ; a, b, c ñoàngquy c b a a b c                    Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có song song với hai đường thẳng đó.  Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. 3) CÁC DẠNG TOÁN: a) Chứng minh hai đường thẳng song song: Thường sử dụng hệ quả, định lý 3. Định lý Talét trong mặt phẳng hay các phương pháp trong hình học phẳng.  1 Vd Cho tứ diện ABCD. Gọi F, G lần lượt là trọng tâm ABC và ABD. Chứng minh FG // CD. Giải: Gọi E là trung điểm AB  CE, DE là hai trung tuyến của ABC và ABD  F EC và 1 2 EF FC  ; G ED và 1 2 EG GD  Theo định lý Talét trong CDE  FG // CD. b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung và đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.  2 Vd Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDC) Giải: a) Trong (ABCD) gọi E = AD  BC      E SAD E AD E BC E SBC              SE = (SAD)  (SBC). b)     AB SAB CD SCD AB CD         (SAB)  (SCD) = Sx thì Sx // AB // CD. b a d c Q P THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N 1 1 1 1 – – Q Q U U A A N N H H Ệ Ệ S S O O N N G G S S O O N N G G . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 10 B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì: a) Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng quy; b) Ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy.  Hướng dẫn: a) Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (  ) nào đó. Xét 3 mặt phẳng (  ), (ABC), (ACD). Ta có: PQ = (  )  (ABC), RS = (  )  (ACD), AC = (ABC)  (ACD). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng  PQ, AC, RS đôi một song song hoặc đồng quy. b) Tương tự câu a) 2) Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây: a) PR song song AC; b) PR cắt AC.  Hướng dẫn: a) Nếu PR //AC và (PRQ)  (ACD) = Qx thì Qx // PR //AC ( hai mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó)  S = Qx  AD b) Trong mp(ABC) gọi I = PR  AC      I PRQ I PR I AC I ACD             . Trong mp(ACD) gọi S = IQ  AD    S PRQ S IQ S AD S AD             S = AD  (PRQ). 3) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; G là trung điểm đoạn MN. a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN. c) Chứng minh GA = 3GA.  Hướng dẫn: [...]... ABCD là hình bình hành khi () // SFvà () // SE Gv: Lê Hành Pháp Trang 21 THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG §5 PHÉP CH IẾU SONG SONG 1) PHÉP CHIẾU SONG SONG:  Cho mặt phẳng () và đường thẳng  Với mỗi điểm A trong không gian, đường thẳng qua A và song song  cắt () tại A Điểm A được gọi là hình chiếu song song của điểm A trên () 2) BIỂU DIỄN CÁC HÌNH THƯỜNG... chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật Gv: Lê Hành Pháp Trang 17 HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG THPT Tân Bình – Bình Dương  Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là hình lập phương E' I' A' H' M' D' B' C' I E A H F C L M D B K' J' G' F' L' G J K 5) HÌNH CHÓP CỤT: S E' C' D' P B' A' A... phẳng song song 4) HÌNH LĂNG TRỤ & HÌNH HỘP: a) Hình lăng trụ và hình hộp: E' I' A' H' D' B' C' G' F' I E A H D B C F G  Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có (ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy; AA// = BB// = CC// = DD// = EE gọi là các cạnh bên; các mặt bên (ABBA), (BCCB), (CDDC), (DEED), (EAAE) là những hình bình hành  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình. .. bất kỳ là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước có thể là  thường,  đều,  cân,  vuông  Hình bình hành bất kỳ là hình biểu diễn của một hình bình hành có dạng tùy ý cho trước có thể là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông  Hình thang bất kỳ là hình biểu diễn của một hình thang có dạng tùy ý cho trước có thể là hình thang thường, thang cân, thang vuông  Hình elíp... diện của một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng song song chắn bởi một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng song song với nhau  Vd 2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O và AC = a, BD = b SBD là tam giác đều Một mặt phẳng () di động song song mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng...  Sx hay K  SJ với SJCB là hình bình hành Gv: Lê Hành Pháp Trang 12 HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG THPT Tân Bình – Bình Dương §3 ĐƯỜNG THẲN G & MẶT PHẲNG SON G SON G 1) ĐỊNH NGHĨA:  Đường thẳng a và mặt phẳng () gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung Ta có: a // ()  a  () =  2) TÍNH CHẤT: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm... cạnh tương ứng song song và các tỷ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau  Các mặt bên là những hình thang  Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm 6) CÁC DẠNG TOÁN: a) Chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia  Vd1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành... chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia  a, b  ( P )   ( P ) / /(Q) a  b  I  a / /(Q), b / /(Q)  P a b I Q a ( P) / /(Q)  a / /(Q )   a  ( P) P Q R ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì... diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành  Hướng dẫn: Gv: Lê Hành Pháp Trang 11 THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ SONG SONG  IJ  AB  a) Ta có:  IJG   IJ Với G  (IJG)  (SAB)   SAB   AB  (IJG)  SAB) = Gx thì Gx // IJ // AB Trong mp(SAB) gọi B = Gx  SB và A = Gx  SA  AB = (SAB)  (IJG) b) ABJI là thiết diện của hình chóp... trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)  d  ( P)   d / / a  d / /( P )  a  ( P)  d a (P) (Q) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a  a / /( P )   d / /a  a  (Q ) ( P)  (Q)  d  HQ: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó ( . ba mặt phẳng song song. 4) HÌNH LĂNG TRỤ & HÌNH HỘP: a) Hình lăng trụ và hình hộp:  Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có (ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt phẳng song song gọi là. (EAAE) là những hình bình hành.  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành. b) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương: . phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.  1 Vd Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình