Mẫu các dạng bài toán ôn tập môn toán A 1 (Tài liệu này chỉ mang tính chất tham khảo, không phải bài giải của thầy Phan Dân) Bài 1. Tính định thức Cách thực hiện như sau: Theo quy tắc Sarrus, ta ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình. A= Det(A)=a.e.i + b.f.g + c.d.h - c.e.g - a.f.h - b.d.i Ví dụ: Tính định thức 221 413 132 =A Giải Theo quy tắc Sarrus ta có 1318-16-1-61242.3.32.4.21.1.12.3.11.4.32.1.2 21 13 32 221 413 132 )( −=++=−−−++==ADet Bài 2: Giải hệ phương trình tuyến tính      −=+− =+− =−+ 122 022 122 321 321 321 xxx xxx xxx Để giải dạng này đơn giản nhất thì ta nên lập ma trận hệ số bổ sung, rồi biến đổi thành ma trận dạng bậc thang quy gọn, 3 số hạng nằm bìa phải tương ứng là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Giải Lập ma trận hệ số của hệ là: + - + -           − − − = 122 221 212 A Ma trận hệ số bổ sung của hệ là:           −− − − = 1 0 1 122 221 212 A A  →← ↔ 21 dd           −− − − 1 1 0 122 212 221 313 212 )2( )2( ddd ddd →−+ →−+  →←           −− − − 1 1 0 320 650 221  →← →       22 5 1 dd           −− − − 1 5 1 0 320 5 6 10 221 323 121 )2( )2( ddd ddd →−+ →+  →←                 −− − − 5 7 5 1 5 2 5 3 00 5 6 10 5 2 01  →← →       − 33 3 5 dd                 − − 3 7 5 1 5 2 100 5 6 10 5 2 01 232 131 5 6 5 2 ddd ddd →       + →       +  →←               3 7 3 3 4 100 010 001 Vậy nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên là        = = = 3 7 3 3 4 z y x Bài 3: Xác định hạng của ma trận           −= 4451 3021 1432 A Để xác định hạng của ma trận, ta thực hiện: - Biến đổi ma trận A về dạng ma trận bậc thang w - Đếm số dòng khác 0 của w, số này chính là hạng của w và cũng chính là hạng của A           − →← ↔ 1432 3021 4451 31 dd A 313 212 )2( ddd ddd →−+ →+  →←           −−− 7470 7470 4451  →← → 22 7 1 dd           −−− 7470 1 7 4 10 4451 323 121 7 )5( ddd ddd →+ →−+  →←                 − 0000 1 7 4 10 1 7 8 01 w = w có dạng bậc thang và 2)()( == wranAran Bài 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:           − − = 120 032 201 A Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp Lập 1 ma trận ghép B=[A|I] (I=I n thuộc M n (R) là ma trận đơn vị) Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng trên B sao cho nửa bên trái (phần A chiếm chỗ ban đầu) trở thành I Khi đó ở khối bên phải ta nhận được A -1 B=[A|I] ~ [ | ] ~….~[I|A -1 ] Giải           − − = 100 010 001 120 032 201 ]|[ 3 IA  →← →− 11 )1( dd           − − − 100 010 001 120 032 201  →← →−+ 212 )2( ddd           − − − 100 012 001 120 430 201  →← →       22 3 1 dd           − − − 100 0 3 1 3 2 001 120 3 4 10 201  →← → + 323 2 ddd                 −− 1 3 2 3 4 0 3 1 3 2 001 3 11 00 3 4 10 201  →← →       33 11 3 dd                 −− 11 3 11 2 11 4 0 3 1 3 2 001 100 3 4 10 201 232 131 3 4 2 ddd ddd →       − →+ +  →←                 − − 11 3 11 2 11 4 11 4 11 1 11 2 11 6 11 4 11 3 100 010 001 Vậy ma trận nghịch đảo là:                 − − 11 3 11 2 11 4 11 4 11 1 11 2 11 6 11 4 11 3 Bài 5: Xác định tọa độ của vectơ Trong không gian R 3 cho hệ cơ sở u 1 =(1,-1,1) u 2 =(-1,1,0) u 3 =(1,0,0) Hãy xác định tọa độ của vectơ u=(1,1,0) đối với cơ sở đã cho. Giải Tọa độ (α 1 ,α 2, α 3 ) của u đối với cơ sở đã cho chính là nghiệm của phương trình U= α 1. u 1 + α 2. u 2 + α 3. u 3 (1) 1  α 1. (1,-1,1) + α 2. (-1,1,0) + α 3. (1,0,0)=(1,1,0) (α 1 ,-α 1 ,α 1 ) + (-α 2, α 2 ,0) + (α 3 ,0,0)=(1,1,0) (α 1 -α 2 +α 3 ,-α 1 +α 2 ,α 1 )=(1,1,0)      = =+− =+− ⇔ 0 1 1 1 21 321 α αα ααα      = = = ⇔ 2 1 0 3 2 1 α α α Bài 6: Xác định sự phục thuộc tuyến tính & độc lập tuyến tính Cho các hệ vectơ trong R 3 . Hãy xác định sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ này a) u 1 =(2,1,-3) u 2 =(3,1,2) u 3 =(5,2,-1) b) v 1 =(3,2,-2) v 2 =(-2,1,2) v 3 =(2,2,-1) *Phương pháp: Hệ vectơ v 1 , v 2 ,…, v k thuộc không gian vectơ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình θααα =+++ kk vvv 2211 ( v θθ = ) Chỉ có nghiệm duy nhất là 0 21 ==== k ααα Một hệ vectơ v 1 , v 2 ,…, v k được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không phải là hệ độc lập tuyến tính. Giải a Xét phương trình )0,0,0( 332211 ==++ θααα uuu (1) (1) )0,0,0()1,2,5()2,1,3()3,1,2( 321 =−++−⇔ ααα )0,0,0(),2,5()2,,3()3,,2( 333222111 =−++−⇔ ααααααααα )0,0,0()23,2,532( 321321321 =−+−++++⇔ ααααααααα      =−+− =++ =++ ⇔ 023 02 0532 321 321 321 ααα ααα ααα ⇒ Hệ vô nghiệm  Đây là hệ phụ thuộc tuyến tính b Xét phương trình )0,0,0( 332211 ==++ θααα uuu (2) (2) )0,0,0()1,2,2()2,1,2()2,2,3( 321 =−+−+−⇔ ααα )0,0,0(),2,2()2,,2()2,2,3( 333222111 =−+−+−⇔ ααααααααα )0,0,0()22,22,223( 321321321 =−+−+++−⇔ ααααααααα      =−+− =++ =+− ⇔ 022 022 0223 321 321 321 ααα ααα ααα      = = = ⇔ 0 0 0 3 2 1 α α α  Đây là hệ độc lập tuyến tính Bài 7: Chứng minh ánh xạ tuyến tính Hãy chứng minh rằng ánh xạ 23 ),2(),,( : RR T zyzyxzyx +−+ → là một ánh xạ tuyến tính *Phương pháp: Để chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính ta phải chỉ ra rằng:    = +=+ )(.).( )'()()'( uTuT uTuTuuT αα 3 ',; RuuR ∈∈∀ α Giải Với    = = )',','(' ),,( zyxu zyxu là các phần tử bất kì trong R 3 và R∈ α tùy ý Ta có: )',','()',','(),,(' zzyyxxzyxzyxuu +++=+=+ )',','()'( zzyyxxTuuT +++=+ ( ) )'()'(),'(2)'()'( zzyyzzyyxx ++++−+++= ( ) '','2''2 zyzyzyxzyx +++−++−+=  Ta lại có: )',','(),,()'()( zyxTzyxTuTuT +=+ )'','2''(),2( zyzyxzyzyx +−+++−+= ( ) '','2''2 zyzyzyxzyx +++−++−+=  So sánh  và  ta nhận thấy 2 vế phải bằng nhau Cuối cùng ),,().( zyxTuT αααα = ( ) zyzyx ααααα +−+= ,2 )(),2( uTzyzyx αα =+−+=  T là ánh xạ tuyến tính Bài 8: Xác định nhân Ker(T) và ảnh Im(T) Hãy xác định Ker(T), Im(T) (nhân & ảnh) của ánh xạ tuyến tính 23 ),2(),,( : RR T zyxzyxzyx −−++ → *Phương pháp Tìm Im(T): chọn hệ cơ sở e 1 , e 2 ,…, e n trong V n ∑ = =⇒ n j jj eTT 1 )(.)Im( α Tìm Ker(T): giải phương trình θ = )(uT Giải Ánh xạ T hoàn toàn xác định bởi ảnh của 1 cơ sở trong R 3 . Vậy ta chọn cơ sở chính tắc      = = = )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( 3 2 1 e e e Và xét ảnh của cơ sở      −=−−++== −=−−++== =−−++== )1,1()100,100.2()1,0,0()( )1,1()010,010.2()0,1,0()( )1,2()001,001.2()0,0,1()( 3 2 1 TeT TeT TeT Giả sử 3 Rv ∈ ta có biểu thức v bằng cách biểu diễn tọa độ theo cơ sở e 1 , e 2 , e 3 332211 eeev ααα ++= R j ∈ α ) ()( 332211 eeevT ααα ++= )(.)(.)(. 332211 eTeTeT ααα ++= )1,1()1,1()1,2( 321 −+−+= ααα ),(),(),2( 332211 αααααα −+−+= ),2( 321321 αααααα −−++= Xác định Ker(T) { } 0),,(),,()( 321321 == αααααα TTKer { } )0,02,,( 321321321 =−−=++= ααααααααα Vậy Ker(T) là tập hợp các phần tử có tọa độ thỏa mãn hệ    =−− =++ 0 02 321 321 ααα ααα Ma trận hệ số           − − = 12 11 11 A 313 212 )2( )1( ddd ddd →−+ →−+  →←           − 30 00 11  →← ↔ 32 dd           − 00 30 11  →← →       22 3 1 dd           − 00 10 11 Hạng của ma trận A=2  Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất là )0,0,0(),,( 321 = ααα { } )0,0,0()( =⇒ TKer và T là đơn cấu ( ) 1)( =⇒ TKerDim (Theo định lí về số chiều) ( )( ) 2 )Im(213Im RTTDim =⇒=−=⇒ Kết luận { } )0,0,0()( = TKer 2 )Im( RT = Bài 9: Giá trị riêng của ma trận Hãy xác định giá trị riêng của các ma trận sau: a)           − = 615 143 314 A b)           −= 312 110 004 B *Phương pháp 0=− IA λ { }( ) n λλλλ , ,, 21 ∈ Với j λ là 1 giá trị riêng thực Giải a Phương trình đặc trưng của ma trận A là: 0=− IA λ 0 100 010 001 615 143 314 =           −           − ⇔ λ 0 615 143 314 = − − −− ⇔ λ λ λ 0 15 43 14 615 143 314 =− −− − − −− ⇔ λ λ λ λ λ 0)6.(3).1(1.1).4(5).4.(31.3.35.1).1()6).(4).(4( =−−−−−−−+−+−−−⇔ λλλλλλ 0)6(3)4()4(1595)6).(816( 2 =−+−−−−+−−+−⇔ λλλλλλ 0)6(3)4(16481664896 322 =−+−−+−+−+−⇔ λλλλλλλ 03181664481664896 322 =−++−+−+−+−⇔ λλλλλλλ 0545114 23 =+−+−⇔ λλλ      = = = ⇒ 2 3 9 3 2 1 λ λ λ Phương trình đặc trưng có 3 nghiệm      = = = 2 3 9 3 2 1 λ λ λ và đây chính là 3 giá trị riêng của ma trận A b Phương trình đặc trưng của ma trận B là: 0=− IB λ 0 100 010 001 312 110 004 =           −           −⇔ λ 0 312 110 004 = − −− − ⇔ λ λ λ 0 12 10 04 312 110 004 =− − − −− − ⇔ λ λ λ λ λ 0)3.(0.01).1).(4(2).1.(01.0.02).1.(0)3).(1).(4( =−−−−−−−+−+−−−⇔ λλλλλλ 0)4()3).(44( 2 =−+−+−−⇔ λλλλλ 0444331212 3222 =−+−++−+−−⇔ λλλλλλλλ 016208 23 =+−+−⇔ λλλ    = = ⇒ 2 4 2 1 λ λ Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm    = = 2 4 2 1 λ λ và đây chính là 2 giá trị riêng của ma trận B Bài 10: Giá trị riêng & vectơ riêng Xác định giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng với mỗi giá trị riêng đó của ma trận:           −= 312 110 004 B *Phương pháp Lập phương trình đặc trưng 0=− IA λ 0 21 22221 11211 = − − − λ λ λ nnnn n n aaa aaa aaa (lấy các giá trị trên đường chéo chính trừ đi λ )  Giải phương trình  theo ẩn λ (vế trái là đa thức của A) Giả sử  có các nghiệm thực: k λλλ , ,, 21 [...]... riêng là: Bài 11: Chéo hóa ma trận Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận đối xứng − 2 2  A=   2 − 5 0 t 1    −1 t ≠ 0   hay , *Phương pháp f ( x1 , x 2 , , x n ) Cho dạng toán phương với ma trận là A xác định với các giá trị riêng của A Với mỗi giá trị riêng, tìm tìm không gian con riêng tương ứng rồi dùng thuật toán Gram − Schmidt để trực chẩn hóa hệ vectơ này P = P1 P2 Pn... tìm không gian con riêng tương ứng rồi dùng thuật toán Gram − Schmidt để trực chẩn hóa hệ vectơ này P = P1 P2 Pn [ ] Ghép tất cả các vectơ riêng này theo thứ tự từ trái sang phải P là ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A [ x] = P[ x '] Dùng phép biến đổi tọa độ at có dạng toàn phương chính tắc Giải Lập phương trình đặc trưng của A để tìm các giá trị riêng của A 2  − 2 − λ ⇔ =0 det( A − λI ) =... hạng tương ứng với bậc 2 của biến) Giải 2 f ( x1 , x 2 ) = x12 − 2 x2 + 3 x1 x2 a Ta có 2 2 2 = x12 + 3x1 x2 − 2 x2 = ( x1 + x2 ) − 3x2 + x1 x2 ( ) […] Bài 13: Trực giao hóa hệ vectơ Hãy dùng thuật toán Gram-Schmidt để trực giao hóa hệ vectơ u1 = (2,1,−2,0) u2 = (1,2,0,0) u3 = (2,0,0,0) […] ... λ ) = 0 ⇔ 12 − 12λ − 3λ + 3λ2 − 4λ + 4λ2 + λ2 − λ3 + 4 − λ = 0 ⇔ −λ3 + 8λ2 − 20λ + 16 = 0 λ = 4 ⇒ 1 λ2 = 2 Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm  λ1 = 4  λ2 = 2 và đây chính là 2 giá trị riêng của ma trận B λ1 = 4 Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng ta giải phương trình  x1  0 ( B − λ1 I )  x 2  = 0      x 3  0       0 0   x1  0   x1  4 − 4 0 0  0   x  = 0 ⇔... hóa vectơ này ta có 1 v2 =    − 2  1   1  1  1   5 1 1 P2 = v2 =   =   =   v2 5  − 2  − 2  12 + (−2) 2 − 2  5     P = [ P1 P2 ] =     2 5 1 5 1  5  − 2 5  Vậy ma trận P cần tìm là: Bài 12: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Cho các dạng toàn phương 2 f ( x1 , x 2 ) = x12 − 2 x2 + 3 x1 x2 a) 2 2 g ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − x2 + x3 − x1 x3 + 2 x2 x3 + 3x1 x2...λ = λj Để tìm vectơ riêng ứng với Giải ta giải phương trình  x1   0    0 ( A − λ j I )  x2  =            xn   0  B − λI = 0 Phương trình đặc trưng của ma trận B là: 4−λ 0 0 4 0 0  1 0 0 0 1 − 1 − λ 0 1 0 = 0 ⇔  ⇔ 0 1− λ −1 = 0    2 1 3  0 0 1  2 1 3−λ     4−λ 0 ⇔ 0 1− λ 2 1 0 4−λ 0 −1 0 1− λ = 0 3−λ 2 1 ⇔ (4 − λ ).(1 − λ ).( 3 − λ . Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:           − − = 120 032 201 A Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp Lập 1 ma trận ghép B=[A|I] (I=I n thuộc M n (R) là ma trận. 11: Chéo hóa ma trận Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận đối xứng       − − = 52 22 A *Phương pháp Cho dạng toán phương ( ) n xxxf , ,, 21 với ma trận là A xác định với các giá. phải tương ứng là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Giải Lập ma trận hệ số của hệ là: + - + -           − − − = 122 221 212 A Ma trận hệ số bổ sung của hệ là:           −− − − = 1 0 1 122 221 212 A A 