Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ 1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi (Fibonacci - là dãy số có dạng u 1 =1; u 2 = 1; u n+1 = u n + u n-1 (n = 1, 2, 3…) Ta có công thức tổng quát: n n n 1 1 5 1 5 u 2 2 5       + −  ÷ = −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       - Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS. Bấm 1 SHIFT STO A 1SHIFT STO B+ Và lặp lại dãy phím: ALPHA A SHIFT STO A+ ALPHA B SHIFT STO B+ Bằng phím ∆ = Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u 2 = 1 vào A Khi bấm 1SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 2 = 1 với u 1 = 1 được u 3 = 2 và ghi vào B . Khi bấm ALPHA A SHIFT STO A+ cộng u 3 = 2 với u 2 = 1 được u 4 = u 3 + u 2 = 3 và ghi vào A . Khi bấm ALPHA B SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 4 = 3 với u 3 = 2 trong B được u 5 = u 4 + u 3 = 5 và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị u n bằng cách bấm liên tiếp phím ∆ = ta sẽ được u 6 = 8; u 7 =13; u 8 = 21 - Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS + Quy trình 1: Bấm 1 SHIFT STO A 1SHIFT STO B+ Và lặp lại dãy phím: ALPHA A SHIFT STO A+ ALPHA B SHIFT STO B+ Bằng phím COPY = Giải thích: Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u 2 = 1 vào A Khi bấm 1SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 2 =1 với u 1 =1 được u 3 = 2 và ghi vào B . Khi bấm ALPHA A SHIFT STO A+ cộng u 3 = 2 với u 2 = 1 được u 4 = u 3 + u 2 = 3 và ghi vào A . Khi bấm ALPHA B SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 4 = 3 với u 3 = 2 trong B được u 5 = u 4 + u 3 = 5 và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị u n bằng cách bấm liên tiếp phím COPY = ta sẽ được u 6 = 8; u 7 =13; u 8 = 21 Quy trình 2: Bấm 1 SHIFT STO A 1SHIFT STO B+ ALPHA A SHIFT STO A+ ALPHA B SHIFT STO B+ SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Giải thích: Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u 2 = 1 vào A GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Khi bấm 1SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 2 =1 với u 1 =1 được u 3 =2 và ghi vào B . Khi bấm ALPHA A SHIFT STO A+ cộng u 3 = 2 với u 2 = 1 được u 4 = u 3 + u 2 = 3 và ghi vào A . Khi bấm ALPHA B SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 4 = 3 với u 3 = 2 trong B được u 5 = u 4 + u 3 = 5 và ghi vào B . Khi bấm SHIFT∆ COPY lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím = . Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi u n trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm: ( ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X ( (1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X 5 ÷ − − ÷ ÷ + Bấm CALC máy hiện X ? Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u n tương ứng. Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u tương ứng. 2. Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với u 1 = a; u 2 = b; u n+1 = u n + u n-1 với mọi n ≥ 2 a và b là hai số nào đó. Quy trình 1: Bấm b SHIFT STO A . a SHIFT STO B+ và lặp lại dẫy phím ALPHA A SHIFT STO A+ . ALPHA B SHIFT STO B+ Bằng phím COPY = . Giải thích Bấm b SHIFT STO A nghĩa là đưa u 2 = b vào A . Bấm a SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 2 =b với u 1 =a được u 3 =a + b và ghi vào B . Khi bấm ALPHA A SHIFT STO A+ cộng u 3 = a + b với u 2 = b được u 4 = u 3 + u 2 = a + 2b và ghi vào A . Khi bấm ALPHA B SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 4 = a + 2b với u 3 = a + b trong B được u 5 = u 4 + u 3 = 2a + 3b và ghi vào B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị u n bằng cách bấm liên tiếp phím COPY = ta sẽ được u 6 ; u 7 ; u 8 Quy trình 2: : Bấm b SHIFT STO A a SHIFT STO B+ ALPHA A SHIFT STO A+ ALPHA B SHIFT STO B+ SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Giải thích: Khi bấm b SHIFT STO A đưa u 2 = 1 vào A Khi bấm 1SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 2 =1 với u 1 =1 được u 3 =2 và ghi vào B . Khi bấm ALPHA A SHIFT STO A+ cộng u 3 = 2 với u 2 = 1 được u 4 = u 3 + u 2 = 3 và ghi vào A . GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Khi bấm ALPHA B SHIFT STO B+ nghĩa là cộng u 4 = 3 với u 3 = 2 trong B được u 5 = u 4 + u 3 = 5 và ghi vào B . Khi bấm SHIFT∆ COPY lấy lại quy trình và tính tiếp u n nhờ phím = . Ví dụ 1: Cho dãy số u 1 = 8; u 2 =13; u n+1 = u n + u n-1 ( n = 2, 3, 4…). 1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u n+1 với mọi n ≥ 2. 2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u 13 ; u 17 . Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS. Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13 Sử dụng quy trình trên để tính u n+1 với mọi n ≥ 2 như sau: 13 SHIFT STO A (gán u 2 = 13 vào A ) 8 SHIFT STO B+ (gán u 3 = 21 vào B ) ALPHA A SHIFT STO A+ (gán u 4 = 34 vào A ) ALPHA B SHIFT STO B+ (gán u 5 = 55 vào B ) SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Để tính tiếp u 13 ta ấn tiếp liên tiếp phím = 8 lần được số 2584 nghĩa là u 13 = 2584. Sau khi tính được u 13 để tính tiếp u 17 ta ấn tiếp 4 phím = được số 17711 nghĩa là u 17 =17711. Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS. 13 SHIFT STO A (gán u 2 = 13 vào A ) 8 SHIFT STO B+ (gán u 3 = 21 vào B ) ALPHA A SHIFT STO A+ (gán u 4 = 34 vào A ) ALPHA B SHIFT STO B+ (gán u 5 = 55 vào B ) Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ∆ = ta được các u n tương ứng. Ví dụ 2: Cho dãy số u 1 = 144; u 2 = 233; u n+1 = u n + u n-1 (n = 2, 3, 4 ) a) Lập một quy trình bấm phím để tính u n+1 . b) Tính u 12 ; u 20 ; u 25 , u 30 . c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số: 3 6 2 4 1 2 3 5 u u u u u u u u . Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS. 233 SHIFT STO A (gán u 2 = 233 vào A ) 144 SHIFT STO B+ (gán u 3 = 377 vào B ) ALPHA A SHIFT STO A+ (gán u 4 = 610 vào A ) ALPHA B SHIFT STO B+ (gán u 5 = 987 vào B ) Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ∆ = ta được các u n tương ứng. Để tính u 12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím ∆ = được u 12 =28657 Để tính tiếp u 20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím ∆ = nữa được u 20 = 1346269 GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Để tính tiếp u 25 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím ∆ = nữa được u 25 = 14930352 Để tính tiếp u 30 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím ∆ = nữa được u 30 = 165580141. Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS: 233 SHIFT STO A (gán u 2 = 233 vào A ) 144 SHIFT STO B+ (gán u 3 = 377 vào B ) ALPHA A SHIFT STO A+ (gán u 4 = 610 vào A ) ALPHA B SHIFT STO B+ (gán u 5 = 987 vào B ) SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Lặp lại phím = ta tính tiếp được u 6 = 1597; u 7 = ; 2584 Đến đây dễ dàng tính được các tỉ số theo yêu cầu của đề bài: 3 2 1 2 6 4 3 5 u u 233 377 1,61805; 1,61802 u 144 u 233 u u 610 1597 1,61803; 1,61803 u 377 u 987 = ≈ = ≈ = ≈ = ≈ 3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u 1 =a; u 2 = b; u n = au n + bu n-1 . - Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS: + Quy trình 1: b SHIFT STO A a b a SHIFT STO B× + × Lặp lại dãy phím a ALPHA A b SHIFT STO A× + × a ALPHA B b SHIFT STO B× + × Giải thích: Bấm b SHIFT STO A a b a SHIFT STO B× + × đưa b = u 2 vào ô nhớ A , tính u 3 = au 2 + bu 1 và gán u 3 vào ô nhớ B . Dãy phím a ALPHA A b SHIFT STO A× + × tính u 4 = au 3 + bu 2 và gán u 3 vào ô nhớ A , còn trong ô nhớ B là u 3 . thực hiện a ALPHA B b SHIFT STO B× + × ta có u 5 trên màn hình và trong ô nhớ B . Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của u n+1 =au n + bu n-1 + Quy trình 2: b SHIFT STO A a b a SHIFT STO B× + × a ALPHA A b SHIFT STO A× + × a ALPHA B b SHIFT STO B× + × SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím SHIFT∆ COPY để lặp lại quy trình. Ví dụ 1: Cho dãy u 1 = 2, u 2 = 20, u n+1 = 2u n + u n-1 ( n = 2, 3, ….) a) Tính u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 . b) Viết quy trình bấm phím để tính u n . GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS: 20 SHIFT STO A 2 2 SHIFT STO B× + (gán u 3 = 42 vào B ) 2 ALPHA A SHIFT STO A× + (gán u 4 = 104 vào A ) 2 ALPHA B SHIFT STO B× + (gán u 5 = 250 vào B ) Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u 6 = 604, u 7 = 1458 Hướng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS: 20 SHIFT STO A 2 2 SHIFT STO B× + (gán u 3 = 42 vào B ) 2 ALPHA A SHIFT STO A× + (gán u 4 = 104 vào A ) 2 ALPHA B SHIFT STO B× + (gán u 5 = 250 vào B ) SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn liên tiếp phím = , còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím ∆ = . Ví dụ 2: Cho dãy số n n n (2 3) (2 3) u 2 3 + − − = a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy. b) Lập một công thức truy hồi để tính u n+2 theo u n + 1 và u n . c) Lập một quy trình để tính u n ? Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS: a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát ( ( 2 3 ) ^ 1 ( 2 3 ) ^ 1 ) 2 3+ − − ÷ × = (u 1 = 1) Sử dụng phím REPLAY để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trí số mũ là 1 sửa thành số mũ là 2 rồi bấm = , tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3 ta sẽ tìm được 8 số hạng đầu của dãy. b) Đặt a (2 3); b (2 3) = + = − ta có a+ b = 4 và ab = 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n a b (a b)(a b ) a b ab u 2 3 − − − − − + − − + = = n 1 n 1 n 2 n 2 n 4(a b ) ab(a b ) u 2 3 − − − − − − − = n 1 n 1 n 2 n 2 n 4(a b ) (a b ) u 2 3 2 3 − − − − − − = − =4u n-1 - u n-2 Vậy u n = 4u n- 1 - u n-2 hay u n+2 =4u n+1 - u n c) Lập quy trình tính u n . Có u 1 = 1, u 2 = 4 4 SHIFT STO A (gán u 2 = 4 vào A ) × 4 − 1 SHIFT STO B (tính và gán u 3 = 15 vào B ) 4 ALPHA A SHIFT STO A× − (gán u 4 = 56 vào A ) 4 ALPHA B SHIFT STO B× − (gán u 5 = 209 vào B ) GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u 6 = 780, u 7 = 2911 Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát ( ( 2 3 ) ^ ALPHA X ( 2 3 ) ^ ALPHA X ) 2 3− − ÷+ Bấm CALC máy hiện X ? Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các u n tương ứng. u 1 = 1, u 2 = 4, u 3 = 15, u 4 = 56, u 5 = 209, u 6 = 780, u 7 = 2911, u 8 = 10864. c) Lập quy trình tính u n . 4 SHIFT STO A (gán u 2 = 4 vào A ) × 4 − 1 SHIFT STO B (tính và gán u 3 = 15 vào B ) 4 ALPHA A SHIFT STO A× − (gán u 4 = 56 vào A ) 4 ALPHA B SHIFT STO B× − (gán u 5 = 209 vào B ) SHIFT∆ COPY Lặp lại phím = Tìm được các u n tương ứng 4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba Dạng u 1 = u 2 = 1, u 3 = 2, u n+1 = u n + u n-1 + u n-2 (n=3, 4, 5, ) - Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C+ + Lặp lại dãy phím ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A+ + ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B+ + ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C+ + Bằng cách bấm tiếp: SHIFT∆ COPY và bấm liên tiếp phím = Giải thích: Bấm: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B nghĩa là gán u 1 = 1 vào A , gán u 3 = 2 vào B . Bấm: ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C+ + tính u 4 và gán vào C ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A+ + tính u 5 và gán vào A ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B+ + tính u 6 và gán vào B ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C+ + tính u 7 và gán vào C Ta được dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 5. Dãy phi tuyến dạng: u 1 =a, u 2 = b, u n+1 = 2 2 n n-1 u + u - Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS: Bấm: b SHIFT STO A 2 2 x a x SHIFT STO B+ Lặp lại dãy: 2 2 x ALPHA A x SHIFT STO A+ 2 2 x ALPHA B x SHIFT STO B+ Bằng cách phím SHIFT∆ COPY và bấm liên tiếp phím = GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio - Giải thích: Bấm b SHIFT STO A gán u 2 = b vào A 2 2 x a x SHIFT STO B+ tính u 3 = b 2 + a 2 và gán vào B Lặp lại dãy: 2 2 x ALPHA A x SHIFT STO A+ tính u 4 = 2 2 3 2 u + u và gán vào A 2 2 x ALPHA B x SHIFT STO B+ tính 2 2 5 4 3 u = u + u và gán vào B 6. Một số dãy số khác Bài 1: Cho dãy số 3 n n 1 n 1 3 n a a a 3 a 1 a + + = = + a) Lập quy trình bấm phím tính a n+1 b) Tính a n với n = 2, 3, 4, , 10 Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS a) Bấm 3 ( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )= + ÷ + Lặp lại phím = ta được : 0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838; 0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424; 0,760897424,0,760897424 Giải thích: Bấm 3 = gán a 1 = 3 vào ô nhớ Ans Bấm ( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )+ ÷ + tính a 2 Bấm = gán u 2 vào ô nhớ Ans (Mỗi lần bấm phím = thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ Ans ) Bài 2:Cho dãy số n n 1 n 3x 1 x , n 1,2,3 x 3 + − = = + a) Hãy tính x n với n = 1, 2, , 15 với x 0 = 1; x 0 = 3 b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x 0 cho trước bất kỳ, tức là tồn tại mọt số N nguyên dương sao cho với mọi x 0 dãy {x n } xác định như trên ta có: x n+N =x n với mọi n= 1, 2, 3, Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS: a) Khai báo giá trị đầu: x 0 = 1 Bấm: 1 = Khai báo công thức n n 1 n 3x 1 x x 3 + − = + Bấm tiếp: ( 3 Ans 1 ( Ans 3 )× − ÷ + (1) Liên tiếp bấm phím = được x n . Khai báo lại giá trị đầu x' 0 = 3 Bấm 3 = GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Dùng phím V để đưa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím = được x' n x 1 = 0,267949192 x' 1 = 0,886751345 x 2 = - 0,267949192 x' 2 = 0,204634926 x 3 = - 1 x' 3 = - 0,333333333 x 4 = - 3,732050808 x' 4 = - 1,127711849 x 5 = 3,732050808 x' 5 = - 4,886751346 x 6 = 1 x' 6 = 3 x 7 = 0,267949192 x' 7 = 0,886751345 x 1 = - 0,267949192 x' 8 = 0,204634926 . . . . . . . . . . . Tính theo công thức truy hồi ta được: 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 4 5 6 0 0 0 3x 1 x 3 1 x ;x ; x x x 3 3x 1 x 3 3x 1 x ;x ; x x 1 3x 3 x − − = = = − + + + + = = = − − Vậy {x n } tuần hoàn chu kỳ là N = 6 III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải Bài 1: Biết dãy só {a n } xác định như sau: a 1 = 1; a 2 = 2; a n+2 =3a n+1 +2a n với mọi n nguyên dương. Tính a 15 . Bài 2: Cho dãy số u 1 = 1, u 2 = 2, u n+1 = 2003u n + 2004u n-1 ( n = 2, 3, 4, ) a) Tính u 4 , u 5 , u 6 . b) Lập quy trình tính u n+1 . Cho dãy số u n =(3 + 7 ) n +(3 - 7 ) n (n = 0, 1, 2,…) Lập công thức tính u n+2 theo u n và u n+1 Lập quy trình tính u n , n=5,…,10 Kết quả : u 2 = 32; u 3 = 180; u 4 = 1016; u 5 = 5736; u 6 = 32384; u 7 = 182832; u 8 = 1032224; u 9 = 5827680; u 10 = 32901632; Bài tập 3: Cho dãy số n n n (10 3) (10 3) u 2 3 + − − = a) Tính các giá trị u 1 , u 2 ; u 3 , u 4 . b) Xác định công thức truy hồi tính u n+2 theo u n+ 1 và u n . c) Lập quy trình tiên tục tính u n+2 theo u n+ 1 và u n rồi tính u 5 , u 6 , u 16 . Bài 4: Cho dãy số {u n } xác định bởi: u 1 = 1; u 2 = 3; u n =3u n-1 khi n chẵn và u n =4u n-1 + 2u n-2 khi n lẻ. a) Lập quy trình bấm phím liên tục tính u n b) Tính u 10 , u 11 , u 12 , u 14 , u 15 . Hướng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS: 1 2 3 4 SHIFT STO A× + × GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio Lặp lại dãy phím 3 4 ALPHA A 2 SHIFT STO A× = × + × nhờ ∆ = Tính trên máy Casio fx - 570 MS: 1SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 4 ALPHA B 2 ALPHA A SHIFT STO A 3 ALPHA A SHIFT STO B SHIFT COPY + =V Kết quả: u 10 = 115548; u 11 = 537824; u 12 = 1613472; u 13 = 7529536; u 14 = 22588608 ; u 15 = 105413504. Bài 5: Một học sinh đã viết liên tiếp các tổng sau: S 1 = 1 + 2; S 2 = (1 + 2) + 4 + 5; S 3 = (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9: Tính S 50 ; S 60 ; S 80 ; S 100 . Bài 6: Cho U 1 = 4, U 2 = 7, U n+1 = 3U n – 2U n-1 (n > 3) a) Viết quy trình bấm phím tính U n . (n > 3) b) Tính U 6 ; U 12 ? Bài 7: Cho dãy số 1 4 1 n n n x x x + + = + , với n ≥ 1. a) Lập một quy trình bấm phím tính x n+1 với x 1 = 1 và tính x 100 . b) Lập một quy trình bấm phím tính x n+1 với x 1 = - 2 và tính x 100 . Bài 8: Cho dãy số {U n } như sau. U n = ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 n n + + − với n = 1, 2, 3, 4,…… a) Tính U 1 ; U 2 , U 3 ; U 4 , U 5 ; U 6 . b) Viết công thức truy hồi để tính U n+2 theo U n+1 và U n . c) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính U n+2 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy) Bài 9: Cho dãy số {U n } như sau. U 0 = U 1 = 2; U n+2 = U n+1 .U n + 1 với n = 0, 1, 2, 3, 4,… a) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính U n với n ≥ 2.(nêu rõ loại máy) b) Tính U 2 , U 3 ; U 4 , U 5 ; U 6 . U 7 ; U 8 . Bài 10: Cho dãy số {U n } như sau. U n = ( ) ( ) 5 2 6 5 2 6 n n + + − với n = 1, 2, 3, 4,…… a) Chứng minh rằng U n+2 + U n = 10U n+1 với 1,2,3, n∀ = b) Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục để tính U n+2 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy) Bài 11: Cho dãy số {U n } như sau. U n = 3 5 3 5 2 2 2 n n     + − + −  ÷  ÷  ÷  ÷     , với n = 0,1,2,3,…. a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy? b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 . c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính U n+1 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy) Bài 12: Cho dãy số {U n } như sau. U n = (2 3) (2 3) 2 3 n n + − − , với n = 0,1,2,3,…. a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy? b) Lập công thức truy hồi tính U n+2 theo U n và U n+1 . c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính U n+1 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy) Bài 13: Cho dãy số {U n } như sau. U n = (5 7) (5 7) 2 7 n n + − − , với n = 0,1,2,3,…. a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy? GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 . c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính U n+1 với n ≥ 1.(nêu rõ loại máy) Bài 14: Cho dãy số: 2 1 2 4 1 n n n x x x + = + với n ≥ 1. a) Lập Quy trình tính x n , biết x 1 = 0,25 b) Tính x 100 . Bài 15: Cho dãy số: 1 2 3 n+3 n+2 n+1 n u = 2, u = 3; u = 4, u = 3u - 6u +12u với n = 1, 2, 3, a) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính n+3 u với n = 1, 2, 3, b) Tính các giá trị 14 18 u ; u . Bài 16: Cho dãy số được xác định bởi: 1 2 n+2 n+1 n u = 1, u 2 u = 3u + 4u + 5 ; n N* =    ∈   Hãy lập quy trình tính u n . Bài 17: Xét dãy số: 1 2 * 2 1, 3 2 1; n n n a a a a a n N + = =   = − + ∈  Chứng minh rằng số A = 4a n .a n+2 + 1 là số chính phương. Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (a n ) bằng quy trình: 3 SHIFT STO A × 2 - 1 + 1 SHIFT STO B × 2 - ANPHA A + 1 SHIFT STO A × 2 - ANPHA B + 1 SHIFT STO B SHIFT COPY∆ = = - Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số: 1 1(1 1) 1 2 a + = = 2 2(2 1) 3 2 a + = = ⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát: 3 3(3 1) 6 2 a + = = GV: Nguyễn Tiến Đào            ( 1) 2 n n n a + = (1) [...]... liệu ôn giải toán trên máy tính casio Chứng minh rằng: a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm b) a2002 chia hết cho 11 Bài 22: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 = a2 = 1  a2 + 2  an = n −1 ,  an −2  n ≥ 3, n ∈ N Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên Bài 23: Dãy số (an) được xác định theo công thức: ( ) n  2+ 3 n an =  2 + 3  , n ∈ N * ( )       là phần nguyên của số ; (kí hiệu  ( 2+... liệu ôn giải toán trên máy tính casio * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) đúng với mọi n ∈ N* Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 ⇒ A là một số chính phương Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy, ta thấy: - Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = 3... số: A = 1 ( a2n + 8) biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số 5 nguyên liên tiếp với mọi n ≥ 1 Bài 20: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo = 0, u1 = 1  un + 2 = 1999un +1 − un , n ∈ N Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố Bài 21: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 = 5, a2 = 11  an +1 = 2an − 3an−1 , n ≥ 2, n ∈ N GV: Nguyễn Tiến Đào Trường THCS Quảng Nghĩa Tài liệu ôn giải toán. .. (2a4 - 1)2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*) Bài 18: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2, ): ( 2 + 3) −( 2 − 3) = n un n 2 3 a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3 Bài 19: Cho dãy số (an) được xác định bởi: ao = 2   2 an +1 = 4an + 15an − 60 ,  n ∈N * a) Xác định công thức số. .. mọi n tự nhiên Bài 23: Dãy số (an) được xác định theo công thức: ( ) n  2+ 3 n an =  2 + 3  , n ∈ N * ( )       là phần nguyên của số ; (kí hiệu  ( 2+ 3 ) ) n Chứng minh rằng dóy (an) là dãy các số nguyên lẻ GV: Nguyễn Tiến Đào . Nghĩa Tài liệu ôn giải toán trên máy tính casio MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ 1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi (Fibonacci - là dãy số có dạng u 1 =1; u 2 = 1; u n+1 = u n + u n-1 (n = 1, 2, 3…) Ta. bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u tương ứng. 2. Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với u 1 = a; u 2 = b; u n+1 = u n + u n-1 với mọi. ôn giải toán trên máy tính casio Lặp lại quy trình trên bằng phím ∆ = ta tính được u 6 = 780, u 7 = 2911 Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo