DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN ———————– ĐỀ THI THỬ 05 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: tháng năm 2011 (Đề thi gồm có: 01 trang) ————————————— Câu 1: (3 điểm) Giải hệ phương trình:  14x 3 + 3y 2 + 1 = 0 4xy + 2y = 5x + 2y 2 + 2. Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC sao cho đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM bằng nhau. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: AM 2 = Scot A 2 . Câu 3: (3 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 5 n − 1 chia hết cho 2 2011 . Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số {u n } được xác định bởi:    u 1 = 3 u n+1 = u 2 n − 2 2u n − 3 (n ≥ 1) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số {u n }. Câu 5: (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 (n ∈ Z), ta luôn có: C 2 n (n − 1) 2 + 2C 3 n (n − 1) 3 + 3C 4 n (n − 1) 4 + + (n − 1)C n n (n − 1) n = 1 Câu 6: (3 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn a, b, c > 1 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng: (a 2 − 1)(b 2 − 1)(c 2 − 1) ≤ 8. Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : x 2 4 + y 2 1 = 1 và các đường thẳng d : ax − by = 0, d  : ax + by = 0. Gọi M, N là giao điểm của (E) với d và P, Q là giao điểm của (E) với d  . Tìm điều kiện của a, b để diện tích tứ giác MP NQ nhỏ nhất, lớn nhất. ———HẾT——— Copyright c  BOXMATH.VN Created by Pham Tuan Khai . BOXMATH.VN ———————– ĐỀ THI THỬ 05 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 -2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: tháng năm 2011 (Đề thi gồm. điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 5 n − 1 chia hết cho 2 2011 . Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số {u n } được xác định bởi:    u 1 = 3 u n+1 = u 2 n − 2 2u n − 3 (n ≥ 1) Tìm công thức số hạng. dãy số {u n }. Câu 5: (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 (n ∈ Z), ta luôn có: C 2 n (n − 1) 2 + 2C 3 n (n − 1) 3 + 3C 4 n (n − 1) 4 + + (n − 1)C n n (n − 1) n = 1 Câu 6: (3 điểm) Cho các số