Cơ sở Lý thuyết Truyền tin-2004 Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Hà Quốc Trung1 Khoa Công nghệ thông tin Đại học Bách khoa Hà nội 1/ 39 Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian Bộ lọc phối hợp tuyến tính Bộ xác định tối ưu Bộ xác định cực đại khả Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu 2/ 39 Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian Bài tốn Bộ tương quan tuyến tính Ví dụ Bộ lọc phối hợp tuyến tính Bộ xác định tối ưu Bộ xác định cực đại khả Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 3/ 39 1.1.Bài tốn Xét thiết bị truyền tin số M mức (M đơn vị tín hiệu dải hẹp sm (t), m = 1, M), đơn vị tín hiệu truyền thời gian T ≤ t ≤ T Tín hiệu truyền qua kênh bị nhiễu Tín hiệu nhận là: r (t) = sm (t) + n(t), ≤ t ≤ T n(t) nhiễu sinh kênh Giả thiết có nhiễu cộng Gaussian, mật độ công suất/tần số N0 (W /Hz) Mục tiêu : Thiết kế thu tối ưu, xác định tín hiệu M tín hiệu ban đầu gửi đi, với xác suất sai nhầm nhỏ Nguyên tắc: chia thiết bị thu làm thành phần: Giải điều chế: khai triển tín hiệu khơng gian giống khơng gian tín hiệu ban đầu r1 r2 rN Xác định tín hiệu Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 4/ 39 1.1.Bài tốn Bộ giải điều chế: chuyển đổi tín hiệu nhận thành tập số thực tọa độ tín hiệu nhận khơng gian đơn vị tín hiệu Bộ tương quan tuyến tính (Correlation Demudulator), lọc phối hợp tuyến tính (Matched Filter Demodulator) Bộ định: tọa độ thu không luôn trùng với đơn vị tín hiệu định nghĩa Bộ định cần phải xác định tín hiệu gửi cách gần đúng, cho sai số trung bình nhỏ nhất: Bộ định tối ưu, xác định cực đại khả Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 5/ 39 1.2.Bộ tương quan tuyến tính Khai triển tín hiệu thành tín hiệu trực giao sở tín hiệu truyền (xem lại thuật toán khai triển) Đảm bảo sai số nhỏ theo lượng tín hiệu Tín hiệu đầu tương quan tuyến tính T T [sm (t) + n(t)] fk (t)dt, ≤ k ≤ N r (t)fk (t)dt = 0 Có thể viết thành rk = smk + nk với T r (t)fk (t)dt, k = 1, 2, N Smk = T n(t)fk (t)dt, k = 1, 2, N nk = Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 6/ 39 1.2.Bộ tương quan tuyến tính (Tiếp) Tín hiệu truyền biểu diễn xác tín hiệu trực giao smk Tín hiệu thu biểu diễn thành phần rk (là giá trị vô hướng) với sai số n (t) thỏa mãn N r (t) = N smk (t)fk (t)+ k=1 N nk fk (t)+n (t) = k=1 rk (t)fk (t)+n (t) k=1 từ N n (t) = n(t) − nk fk (t) k=1 n (t) thành phần nhiễu không khai triển không gian tín hiệu Vậy bỏ qua n (t) q trình xác định tín hiệu Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 7/ 39 1.2.Bộ tương quan tuyến tính (Tiếp) Các thành phần cịn lại nhiễu có phân bố chuẩn Gaussian Giá trị trung bình T E [n(t)] fk (t)dt = E(nk ) = 0 Hàm tương quan chéo E(nk nm ) = N0 = N0 T T 0 T T E[m(t)n(τ )fk (t)fm (τ )dtdτ = 0 δ(t − τ )fk (t)fm (τ )dtdτ = N0 δmk = T fk (t)fm (t)dt = N0 δmk 1, Nếu m = k 0, Nếu m = k Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 8/ 39 1.2.Bộ tương quan tuyến tính (Tiếp) Vậy thành phần nhiễu không tương quan, sai phương chung σn = N0 , biến ngẫu nhiên độc lập thống kê Các tín hiệu đầu thu biến ngẫu nhiên gaussian độc lập thống kê, với giá trị trung bình smk , sai phương N0 Mật độ phân bố xác suất tín hiệu đầu N p(r |sm ) = p(r |smk ), m = 1, , M k=1 p(r |smk ) = √1 exp − N0 N k=1 (rk −smk )2 N0 Hay p(r |sm ) = √ N0 N exp − N/2 k=1 (rk − smk )2 , m = 1, , M N0 Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 9/ 39 1.2.Bộ tương quan tuyến tính (Tiếp) Có thể kiểm chứng lại khẳng định n (t) không liên quan đến rk E(n (t), rk ) = E(n (t), smk ) + E(n (t)nk ) = E(n (t)nk ) N E n(t) − nj fj (t) nk = j=1 T N E [n(t)n(τ )] fk (τ )dτ − E nj nk ff (t) j=1 = No fk (t) − No fk (t) = 2 Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu công Gaussian 10/ 39 Bộ xác định tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian Bộ lọc phối hợp tuyến tính Bộ xác định tối ưu Nguyên tắc Ví dụ Bộ xác định cực đại khả Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu 25/ 39 3.1.Nguyên tắc Căn vào vecto nhận r1 , r2 , rN xác định đầu vào thích hợp Nguyên tắc xác định theo xác suất hậu nghiệm P(sm |r ) cực đại Tiêu chuẩn cực đại xác suất xác định đúng, cực tiểu xác suất xác định sai Theo công thức Bayes P(sm |r ) = P(r |sm )P(sm ) P(r ) viết lại thành P(sm |r ) = Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu P(r |sm )P(sm ) M p(r |sm )P(sm ) m=1 26/ 39 3.1.Nguyên tắc (Tiếp) Mẫu số độc lập với tín hiệu truyền đi, với tín hiệu cụ thể, tốn chuyển tìm tín hiệu đầu vào cho p(r |sm ) cực đại Hàm số gọi hàm số khả Xác định cực đại hàm khả đơn giản so với xác định cực đại xác suất hậu nghiệm Hai kết giống tín hiệu đầu vào đẳng xác suất Với kênh có nhiễu Gaussian, xác suất tín hiệu đầu tính được: p(r |sm ) = √ N0 N exp − N/2 k=1 (rk − smk )2 , m = 1, , M N0 Lấy loga hai vế 1 ln p(r |sm ) = − N ln(πN0 ) − N0 Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu N (rk − smk )2 k=1 27/ 39 3.1.Nguyên tắc (Tiếp) Việc tìm cực đại xác suất tương đương với việc tìm cực tiểu N (rk − smk )2 D(r , sm ) = k=1 Đây khoảng cách tối thiểu giá trị thu tín hiệu ban đầu Tính tốn khoảng cách địi hỏi khối lượng tính tốn lớn (khơng có hàm khoảng cách, khơng có mạch tính khoảng cách) Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu 28/ 39 3.1.Nguyên tắc (Tiếp) Cần tìm khoảng cách khác dễ tính D(r , sm ) = |r |2 − 2rsm + |sm |2 Nếu tín hiệu đầu vào cơng suất, việc tìm D chuyển tìm max Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu T rsm = r (t)sm (t)dt 29/ 39 3.1.Nguyên tắc (Tiếp) Vậy xây dựng xác định tín hiệu Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu 30/ 39 3.2.Ví dụ Xét tín hiệu PAM s1 = −s2 = p, − p √ ζb có xác suất tiên nghiệm Tín hiệu nhân đầu sau giải điều chế vector chiều, với giá trị r = ± ζb + yn (T ) , với hai hàm mật độ xác suất √ (r − ζb )2 p(r |s1 ) = √ exp − 2 2σn 2πσn √ (r + ζb )2 p(r |s2 ) = √ exp − 2 2σn 2πσn Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu 31/ 39 3.2.Ví dụ (Tiếp) Xác suất r tín hiệu truyền s1 s2 √ p (r − ζb )2 PM(r , s1 ) = p.p(r |s1 ) = √ exp − 2 2σn 2πσn √ 1−p (r + ζb )2 PM(r , s2 ) = (1 − p).p(r |s1 ) = √ exp − 2 2σn 2πσn Nếu PM(r , s1 ) > PM(r , s2 ) chọn s1 không chọn s2 Điều kiện tương đương với PM(r , s1 ) >1 PM(r , s2 ) hay p (r − exp 1−p Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu √ ζb )2 − (r − 2σn √ ζb )2 >1 32/ 39 3.2.Ví dụ (Tiếp) Log hóa hai vế chuyển vế ζb r > 1−p σ ln n p 1−p σ2 r > √n ln p ζb Bài tốn chuyển so sánh tín hiệu nhận với giá trị trung gian, lớn hơn, chọn tín hiệu dương, khơng chọn tín hiệu âm Đặc biệt p = − p = 1/2, mốc để so sánh điểm Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định tối ưu 33/ 39 Bộ xác định cực đại khả Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian Bộ lọc phối hợp tuyến tính Bộ xác định tối ưu Bộ xác định cực đại khả Tín hiệu điều chế có nhớ Ngun tắc xác định tín hiệu Thuật tốn Viterby Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định cực đại khả 34/ 39 4.1.Tín hiệu điều chế có nhớ Điều chế tín hiệu thời điểm phụ thuộc vào việc điều chế tín hiệu thời điểm truớc Ví dụ: điều chế vi sai, điều chế NRZI Biểu diễn tín hiệu điều chế có nhớ: sơ đồ lưới giống Trellis Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định cực đại khả 35/ 39 4.2.Nguyên tắc xác định tín hiệu Xét ví dụ tín hiệu điều chế NRZI Tín hiệu đầu vào có chiều, tín hiệu đầu có chiều Để xác định chuỗi tín hiệu vào biết chuỗi tín hiệu ra, cần xác định chuỗi tín hiệu vào có khả lớn Đầu cho ký hiệu đầu vào rk = ± ζb + nk nk biến ngẫu nhiên chuẩn Gaussian, trị trung bình 0, phương sai σn = N0 với phân bố xác suất tín hiệu đầu p(rk |s1 ) = p(rk |s2 ) = √ exp 2πσn √ exp 2πσn √ (rk − σb )2 2σn √ (rk + σb )2 − 2σ2 n − Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định cực đại khả 36/ 39 4.2.Nguyên tắc xác định tín hiệu (Tiếp) Xác suất xuất chuỗir1 , r2 , rK p(r1 r2 rk |s(m) ) M = k=1 = √ 2πσn (m) p(rk |sk ) K K  − exp k=1  K = k=1 √ exp 2πσn  −  (m) rk −sk 2σn (m) rk −sk 2σn Cần xác định chuỗi đầu vào cho giá trị xác suất lớn Vậy cần xác định cực tiểu K (m) (rk − sk )2 D(r , s(m) ) = k=1 Đây đường ngắn nhât lưới từ thời điểm đến thời điểm K Để xác định đường ngắn nhất: dùng thuật toán Viterby Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định cực đại khả 37/ 39 4.3.Thuật tốn Viterby Để xác định đường ngắn ta xác định đường đoạn Vì nguồn có nhớ 1, nên ta xét đoạn đường có chiều dài Hệ thống xuất phát từ trạng thái S0 thời điểm Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định cực đại khả 38/ 39 4.3.Thuật toán Viterby (Tiếp) Tại thời điểm 2T, để có trạng thái S1 có hai đường Lấy đường có giá trị nhỏ hai đường √ √ D0 (0, 0) = (r1 + ςb )2 + (r2 + ςb )2 √ √ D0 (1, 1) = (r1 − ςb ) + (r2 + ςb )2 Tại thời điểm 2T, để có trạng thái S0 có hai đường Lấy đường có giá trị nhỏ hai đường √ √ D1 (0, 1) = (r1 + ςb )2 + (r2 − ςb )2 √ √ D1 (1, 0) = (r1 − ςb )2 + (r2 − ςb )2 Vậy hai đường từ trạng thái S0 Tiếp tục làm thời điểm 3T, 4T KT Bài tốn tìm đường ngắn giải thời gian đa thức Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ xác định cực đại khả 39/ 39 .. .Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian Bộ lọc phối hợp tuyến tính Bộ xác định tối ưu Bộ xác định cực đại khả Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu 2/ 39 Thu tối ưu. .. (t) = 2 Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian 10/ 39 1.2.Bộ tương quan tuyến tính (Tiếp) Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Thu tối ưu cho kênh có nhiễu cơng Gaussian... hàm tự tương quan s(t) Trong giải điều chế trên, có N lọc phối hợp với hàm sở fk (t) Chương 8: Cấu trúc thu tối ưu Bộ lọc phối hợp tuyến tính 16/ 39 2.1.Nguyên tắc (Tiếp) Chương 8: Cấu trúc thu