M ts v n ch n l c toán cho k s Nguy n Linh Giang Vi n CNTT&TT Ph n II Xác su t th ng kê ¸ Mơ t khóa h c ̈ Dành cho sinh viên ih c ̈ Xây d ng mơ hình xác su t c s th ng kê ̈ Phân tích s b t nh ̈ Suy di n th ng kê ̈ Phân tích s li u th c nghi m N i dung ¸ Ph n I Xác xu t tính tốn thu t tốn ¸ Ph n II Xác su t th ng kê ̈ Khái ni m xác su t bi n ng u nhiên ¸ Khái ni m xác su t ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Các bi n ng u nhiên c tr ng M t s hàm phân b xác su t quan tr ng nh lu t s l n Hàm c a bi n ng u nhiên Các nh lý gi i h n ̈ c l ng tham s cad sai s th ng kê ̈ C s th ng kê toán h c ̈ Các trình ng u nhiên Tài li u ¸ Papoulis, Probability, Random variable, Stochastic Processes ¸ Trossets M W, An introductions to statistical inference and data analysis ¸ J S Bendat, A G Piersol Random Data: analysis and measurement procedures II C s lý thuy t xác su t ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Khái ni m xác su t Các bi n ng u nhiên M t s phân b xác su t quan tr ng nh lu t s l n Phân b t nhiên ( phân b Gauss) Các nh lý gi i h n trung tâm 2.1 Khái ni m xác su t ¸ Khái ni m xác su t ̈ nh ngh a kinh i n c a Laplace v xác su t: P( A) ̈ NA , N nh ngh a xác su t theo tu n su t t P( A) nA lim n n ng i: 2.1 Khái ni m xác su t ̈ Phát bi u tiên c a Kolmogorov ¸ : khơng gian m u: t p h p t t c k t c c th c nghi m – không gian s ki n c s = { 1, 2, … k, …, n, … } ¸ S ki n – m t t p c a S t p c a không gian m u: 2n n u n < ¸ Tr ng- F c a t p c a ¸ P: o xác su t ph n t c a tr ng- F ̈ ̈ A – s ki n b t k tiên xác su t (i) P( A) (ii) P( ) (iii) If A B ¸ < , then P( A , F, P >: mơ hình xác su t B) P ( A) P ( B) 2.1 Khái ni m xác su t ̈ Các s ki n: A B ¸ Các s ki n l i tr : A ¸ Phân ho ch c a : B= A1 n B A A Ai B , and Aj Ai i ¸ Ví d : thí nghi m gieo hai ̈ Các s ̈ S A2 Aj ng xu ng th i ( N , S ), ki n c s : ( S , S ), ( S , N ), ki n A - t p c a A={ 1, 2, (N , N ) } Ai An 2.1 Khái ni m xác su t ¸ Xác su t có i u ki n s ki n ̈ N thí nghi m c l p, ̈ NA, NB, NAB : s l n xu t hi n c a s A, B AB ̈ V i s l n th c nghi m N l n P ( A) NA , P( B) N NB , P ( AB ) N P( A | B) N AB / N NB / N ki n N AB N ̈ Xác su t có i u ki n: P(A|B) N AB NB cl p P ( AB ) P(B) 2.1 Khái ni m xác su t ̈ Các tính ch t c a xác su t có i u ki n: ¸ P(A|B) i l ng không âm: P( A | B ) P ( AB ) P( B) 0, ¸ P( |B) = P( | B ) ¸ N uA B= P( A P( B ) P( B ) P( B ) P( B ) 1, , C | B) P ( A | B ) P (C | B ), 2.2 Các bi n ng u nhiên ¸ V i X( ) x 1, X( ) x B T H ¸ V i x 1, X( ) x X( ) x FX ( x | B ) x B FX ( x | B) T , , B P( B) P( B) {B} 2.2 Các bi n ng u nhiên ̈ Ví d : Cho FX(x), gi thi t B = { |X( ) a} Xác nh fX(x|B) ¸ u tiên, xác nh FX(x|B) t B: P FX ( x | B ) ¸ V i x a, X FX (x | B ) ¸ V i x a, X X x x P X X a P X P X x FX ( x | B ) x a X X a X a x FX (x) FX (a ) a (X a) 2.2 Các bi n ng u nhiên ¸ Nh v y: FX ( x | B ) ¸ Và: fX (x | B) d FX ( x | B ) dx FX ( x | B ) FX ( x ) , x FX (a ) 1, x fX (x) , FX (a ) 0, x a, a, a, otherwise f X ( x | B) f X (x) FX (x ) a (a) x a (b) x 2.2 Các bi n ng u nhiên ̈ Lu t Bayes v i hàm phân b xác su t có i u ki n: ¸ X bi n ng u nhiên A m t s f X |A ( x | A ) f X |A ( x | A ) ki n, P( A | X x) fX (x) P ( A) P( A | X x) fX (x) P( A | X x ) f X ( x ) dx 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ¸ K v ng – giá tr trung bình X X ̈ E( X ) x f X ( x )dx i v i bi n ng u nhiên r i r c X X E( X ) x pi ( x xi )dx i xi pi ( x xi )dx i xi P( X xi pi i xi ) i ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân b E(X ) x b a b a dx b b x a a b2 a2 2(b a ) u a b 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân b hàm m x E( X ) e x/ dx ye y dy , ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân bk Poissonk E( X ) kP( X k) ke k k! k k e k e k k k! i e (k 1)! i i! e e ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân b nh th c n E(X ) n kP ( X k) k k n k k (n n! k )! ( k n k n k p q n k k n k 1)! p q n k k np i n! pk qn ( n k )! k ! ( n 1)! piqn ( n i 1)! i! i k np ( p q)n np 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân b chu n Gauss: E( X ) 2 2 xe ye (x y2 / )2 / 2 dy dx 2 (y e y2 / )e dy y2 / 2 dy 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ¸ Sai ph ng ̈ Bi n ng u nhiên X v i tr trung bình ̈ Sai ph ng 2 E[ X X ̈ Ho c 2 (x X ) f X ( x )dx ̈ l ch chu n ̈ Quan h gi a sai ph Var ( X ) E[ X ] E X X E(X ) )2 ng tr trung bình 2 E[ E( X X E[ X E[2 X ] ] ] _ X ] E[ X E[ X ] X 2X E[ X ] ] 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ̈ Ví d sai ph ng ¸ Xét hai bi n ng u nhiên phân b Gauss: X1 ~ N(0, 1) X2 ~ N(0, 2) có giá tr trung bình = f X ( x2 ) f X ( x1 ) x2 x1 (a) (b) 10 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân b Poisson k P( X k) e _ 2 X X X k! ,k 0,1, , ̈ Ví d : bi n ng u nhiên phân b Gauss Var ( X ) E [( X x e (x )2 ] 2 f X ( x ) dx 2 e (x )2 / 2 e ¸ L y )2 (x e (x dx (x )2 / 2 dx )2 / 2 dx o hàm c hai v theo , ta có: )2 / 2 dx x 2 e (x )2 / 2 dx , 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ¸ Mô-men ̈ X – bi n ng _ nhiên u Xn mn E ( X n ), n ̈ Mô-men trung tâm n n E[( X ) ] ̈ Quan h gi a mô-men mô-men trung tâm n n E [( X n C nk m k ( ) ] k ̈ Giá tr trung bình ph )n ng sai: m1 , k 2.3 Các c tr ng c a bi n ng u nhiên ̈ Mô-men t ng quát c a X v i E[( X ̈ Mô-men t n a) ] ic aX n E [| X | ] l ch a 2.3 Các ¸ Hàm ̈ c tr ng c a bi n ng u nhiên c tính i v i bi n ng u nhiên liên t c X ( ) E e jX X ¸ Ta có: X e jx f X ( x)dx (0) 1, ¸ Và X ( ) ̈ i v i bi n ng u nhiên r i r c X e jk P ( X X ( ) k k ) 2.4 B t ng th c Chebychev nh lu t s l n ¸ B t ng th c Chebychev ̈ Xét kho ng có trung bình r ng P |X | i x ng quanh giá tr ? X X ̈ B t ng th c Chebychev P |X | 2 , 2.4 B t ng th c Chebychev nh lu t s l n ¸ nh lu t s l n y u ̈ Xi – bi n ng u nhiên phân b Bernoulli : P( X i ) p, P( X i ̈ k = X1 + X2 + + Xn – s l công n thí nghi m ̈ nh lu t s l n y u: P ¸ k n c l p p nh lu t s l n m nh: ng nh t có 0) p q, ng k t c c thành pq n ̈ T s k/n ti n t i p không ch theo xác su t mà v i xác su t b ng ... k e 1 12 n 12 ( n k ) 12 k ¸ Các h ng s c1 c2 g n 2 .1 Khái ni m xác su t ̈ Ví d : ¸ Gieo ng xu n l n Xác nh xác su t nh n c k l n xu t hi n m t ng a n l n gieo ¸ Gieo quân xúc x c u l n Xác. .. hai b lo i en” ̇ P(W1 B2) = ? ̈ Câu h i: hai s ki n W1 B2 có c l p khơng ? 2 .1 Khái ni m xác su t ¸ Ví d : hai h p B1 B2 l n l t ch a 10 0 200 bóng èn H p B1 có 15 bóng h ng B2 - Gi thi t, h p c... ( ) 1, ̈ P x1 X ( ) x2 f x ( x ) dx FX ( x2 ) x xi F X ( x1 ) f x (u )du 1, x2 x1 f X ( x ) dx 2.2 Các bi n ng u nhiên P x1 X( ) x2 FX ( x2 ) FX ( x1 ) FX (x) (a) x1 f X ( x )dx fX (x) x1 x2