1 Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ Transformations Le Tan Hung Email: hunglt@it-hut.edu.vn 2 Phép biến đổi - Transformations  Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: Mô hình, Tô trát và Hiên thị (modeling, rendering, displaying)  Với Modeling ( Mô hình hóa) :  Transformation: là phép ánh xạ tọa độ điểm hay vector thành tọa độ hay vector khác modeling coordinate Modeling transformation Viewing transformation world coordinate viewing coordinate (eye coordinate) 3 Phép biến đổi Transformations  Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations – build complex models by positioning simple components  Biến đổi tạo góc nhìn - Viewing transformations – placing virtual camera in the world – transformation from world coordinates to camera coordinates  Biến Phép chiếu – Projection Transform 4 Transformations - Modeling world 5 Phép biến đổi Affine Affine Transformations?  Phép biến đổi Affine là phép biến đổi tọa độ điểm đặc trưng của đối tượng thành tập tương ứng các điểm mới để tạo ra các hiệu ứng cho toàn đối tượng. – Ví dụ: phép biến đổi tọa độ với chỉ 2 điểm đầu cuối của đoạn thẳng tạo thành 2 điểm mới mà khi nối chúng với nhau tạo thành đoạn thẳng mới.  Các điểm nằm trên đoạn thẳng sẽ có kết quả là điểm nằm trên đoạn thẳng mới với cùng phép biến đổi thông qua phép nội suy. 6 Modeling Transformations Transform objects/points Transform coordinate system 7 Biểu diễn Ma trận  Việc biến đối các đối tượng làm thay đổi các điểm P thành các điểm Q theo thuật toán  Việc biến đổi P sử dụng tọa độ của P (P x ,P y ) ánh xạ thành các tọa độ mới Q (Q x ,Q y )  Việc biến đổi có thể biểu diễn thông qua hàm T, hàm ánh xạ của điểm: – T(P x ,P y ) = (Q x ,Q y ) – or: – T(P) = Q 8 Matrix Representation  Phép biến đổi đồ họa - affine transformation T ánh xạ tập P sang tập Q: – – – where a, b, c, d, tx and ty là các hệ số  Biểu diễn ma trận:  i.e.                                   y x y x y x t t P P dc ba Q Q xxxx t bP aP Q  yyyy t dP cP Q  Tr MP Q  9 Các phép biến đổi hình học hai chiều  Phương pháp biểu diễn đối tượng P = [ x y ]  Phép biến đổi vị trí điểm  Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng trên toàn bộ đối tượng        dc ba T               '' y dybx *y * xcyax dc ba xTX         y x z p M p W 10 Phép biến đổi  Phép bất biến  Phép biến đổi tỉ lệ - Scaling  A scaling changes the size of an object with two scale factors, S x and S y  Phép biến dạng  A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x or in the y direction        10 01 T             '' 10 0 ** yxyax a yxTX                   '' 10 1 ** yxdybx b yxTX         x z y [...]... hợp nhất của các phép biến đổi dưới phép nhân ma trận, hỗ trợ cho việc xử lý bằng cả phần cứng và phần mềm Kết hợp các các phép biến đổi tạo thành ma trận tích đơn giản duy nhất Tránh nhầm lẫn về thứ tự của các phép nhân khi sử dụng –  Cho phép kết hợp với cả các phép biến đổi đặc biệt không tuyến tính khác(non-affine) như: – – 21 Order matters: AB is generally not the same as BA Phép chiếu phối cảnh... Perspective projections! Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v Phép biến đổi với tọa độ đồng nhất  Ma trận biến đổi đồng nhất  Phép tịnh tiến [ x' (tx, ty, tz) 22  a b 0 [T ]   c d 0   m n 1   y ' 1]  [ x  1 0 0 y 1] 0 1 0  [ x  m   m n 1   y  n 1] Phép tỉ lệ [ x' 23 y ' 1]  [ x  S1 0 0  y 1] 0 S 2 0  [ x.S1 y.S 2 1]    0 0 1   Phép quay [ x' y ' 1]  [ x  cos  y 1]   sin... x Phép biến đổi tổng hợp 25 Ma trận biến đổi 3 chiều 3D Matrix Transformations    26 Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệscaling và quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở rộng trong không gian 3D Again, using homogeneous coordinates it is possible to represent each type of transformation in a matrix form In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix Các phép. .. biến đổi Composition of Affine Transforms   14 Any affine transformation can be decomposed into elementary transformations Mọi phép biến đổi phức tạp đều có thể tạo thành từ các phép biến đổi cơ sở như: – Dịch chuyển - Translation – Tỉ lệ - Scaling – Quay- Rotation – Biến dạng - Shearing Affine transformations preserve affine combinations   It is rare that we want to perform just one elementary transformation... other transformations, by simply multiplying the matrices together Tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform x' = ax + by + n – y' = cx + dy + m Phương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng nhất của các vector vị trí –   20 Với ứng dụng của phép chiếu hình học mà ở đó tọa độ điểm được mô tả dưới ma trận [ x* y* h] – với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là một số thực tuỳ ý Ưu điểm của Hệ tọa độ đồng... object, rotate it, and scale it, all in one move These individual transformations combine into one overall transformation This is called the composition of transformations The composition of two or more affine transformations is also an affine transformation Thuộc tính T  Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo thành phép biến đổi cho đối tượng   16 We have defined each transformation by.. .Phép quay- Rotation x =  cos , y =  sin  ; x’ =  cos ( + ), y’ =  sin ( + ) ; x’ =  ( cos cos - sin sin ) = x cos - y sin y’ =  ( sin cos + cos sin ) = x sin + y cos [x' y']= [xcos - ysin xsin + ycos] y ( x’, y’ )  ( x, y )    cos [T ]    sin  11 sin   cos    x Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi Affine Transformations  Preservation... polygons Affine transformations map lines to lines; Thuộc tính  Preservation of parallelism –  Preservation of proportional distances –  13 Preservation of parallelism guarantees that parallelograms will transform into parallelograms Preservation of proportional distances means that midpoints of lines remain mid-points Affine transformations change volume by | Det(M) |; Kết hợp các phép biến đổi Composition... transformation in a matrix form In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix Các phép biến đổi hình học 3 chiều   27 Biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều  [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ] [ T ]  [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ] Ma trận biến đổi a b c p  d e f q   [T ]   g i j r    l m n s Phép tịnh tiến 1 0 0 0 1 0 [T (dx, dy, dz)]   0 0 1  dx dy dz – – –  28 0 0 ... towards the origin y x z 30 y y x x z z Phép quay 3 chiều  Quay quanh các trục toạ độ   31 Quay quanh trục x Quay quanh trục z 0 1 0 cos [Tx]   0  sin   0 0  cos  sin  [Tz]    0   0 0 sin  0  cos 0  0 1 0 sin  cos 0 0 0 0 0 0  1 0  0 1 Quay quanh trục y cos  0 [Ty]    sin    0 32 0  sin  1 0 0 cos 0 0 0 0  0  1 Phép biến dạng (secondary translation) . học hai chiều  Phương pháp biểu diễn đối tượng P = [ x y ]  Phép biến đổi vị trí điểm  Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng trên toàn bộ đối tượng        dc ba T . độ điểm được mô tả dưới ma trận [ x* y* h] – với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là một số thực tuỳ ý