TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG : Phương pháp 1 : Giả sử có hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) lần lượt có phương trình như sau : M1 1M2 M3 xxat (d):yyat zzat  =+   =+   =+   và N1 2N2 N3 xxbt' (d):yybt' zzbt'  =+   =+   =+   Ø Lấy điểm M ∈ (d 1 ) ; N ∈ (d 2 ) M( M1 xat + ; M2 yat + ; M3 zat + ) N( N1 xbt' + ; N2 ybt' + ; N3 zbt' + ) Ø MN là đường vuông góc chung : 11 2 2 MN(d)MNa MN(d) MNa   ⊥⊥  ⇔  ⊥ ⊥    uuuur uuuur Ta có hệ phương trình sau : MN . 1 a = 0 MN . 1 a = 0 Ø Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào (d 1 ) có tọa độ của M, t’ thế vào (d 2 ) có tọa độ N. Ø Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm. Phương pháp 2 : Ø Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) : 1 a(a = ; 2 a ; 3 a ) b = ( 1 b ; 2 b ; 3 b ) Ø Viết phương trình mp(α) chứa (d 1 ) và đường vuông góc chung : mp(): na,u α   α   =    ⇒ MN = (* ) (d 1 ) M N Ÿ Ÿ (d 2 ) ⇒ 233112 233112 aaaaaa u;; bbbbbb     =     u là vectơ chỉ phương của đường qua điểm A ∈ α β d d A B Ÿ Ÿ u TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Ø Viết phương trình mp(β) chứa (d 2 ) và đường vuông góc chung : mp(): nb,u β   β   =    Ø Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp(α) và mp(β) . II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp 1 : Độ dài MN ở phần I chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2 : Ø Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và song song với (d 2 ) mp(P): na,b β     =    Ø Lấy điểm B ∈ (d 2 ) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì : ( ) ( ) 12 d,dB,(P) δ=δ = BH Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 () 000 0 222 AxByCzD M,() ABC +++ δα= ++ Phương pháp 3 : (d 1 ) đi qua A và có vectơ chỉ phương a 1 (d 2 ) đi qua B và có vectơ chỉ phương a 2 Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1 và d 2 được tính theo công thức : () 12 12 12 a,a.AB d,d a,a   δ=   BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D’ lần lượt có phương trình : qua điểm B ∈ qua điểm A ∈ P d d B Ÿ H Ÿ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - x2z20 (D): y30  +−=  −=  và x2t (D'):y1t z2t  =+  =−   =  1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ . (Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006) Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – y + 2z – 3 = 0 và 2 đường thẳng 1 x4y1z (d): 221 −− == − và 2 x3y5z7 (d): 232 ++− == − a) Chứng tỏ (d 1 ) song song với (α) và (d 2 ) cắt (α) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) c) Viết phương trình đường thẳng (∆) // với mp(α), cắt (d 1 ) và (d 2 ) lần lượt tại M, N sao cho MN = 3 (Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A 2007) Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x7y5z9 (d): 314 +−− == − và 2 xy4z18 (d): 314 ++ == − a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và (d 2 ) b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ) (Trích đề thi Đại Học Kiến Trúc Hà Nội 1998) Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x1y2z3 (d): 123 −−− == và 2 x2yz0 (d): 2xy3z50  +−=  −+−=  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x7y3z9 (d): 121 −−− == − và 2 x3y1z1 (d): 723 −−− == −− a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Lập phương trình đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đại học Y Dược 1998) Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - 1 x2y3z4 (d): 235 −−+ == − và 1 x1y4z4 (d): 321 +−− == −− a) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (d) của (d 1 ) và (d 2 ). b) Tìm tọa độ giao điểm H, K của (d) với (d 1 ), (d 2 ). (Trích đề thi đại học Quốc Gia TPHCM 1997) Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x1 (d):y42t z3t  =  =−+   =+  và 2 x3t' (d):y32t' z2  =−  =+   =−  a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đề thi đại học thương mại 1997) Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x1t (d):yt zt  =−  =   =−  và 2 x2t' (d):y1t' zt'  =  =−   =  a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau . b) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau, lần lượt chứa (d 1 ) và (d 2 ). c) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đề thi đại học Nông Lâm 1995) Bài 8 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x2t (d):y1t z2t  =+  =−   =  và 2 x2z20 (d): y30  +−=  −=  a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đề thi đại học Sư Phạm Hà Nội 1998) Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - 1 xy2z0 (d): xyz10  ++=  −++=  và 2 x22t (d):y5t z2t  =−+  =−   =+  a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau . b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). c) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M(1 ; 1 ; 1) và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) (Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 1997) Bài 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x8z230 (d): y4z100  −+=  −+=  và 2 x2z30 (d): y2z20  −−=  ++=  a) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần lượt chứa (d 1 ), (d 2 ). b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). c) Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). (Trích đề thi đại học Kinh Tế 1995) Bài 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x2t1 (d):yt2 z3t3  =+  =+   =−  và 2 xt'2 (d):y2t'3 z3t'1  =+  =−   =+  a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). (Trích đề thi đại học Tổng Hợp Hà Nội khối A 1994) Bài 12 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x3t7 (d):y2t4 z3t4  =−  =−+   =+  và 2 xt'1 (d):y2t'9 zt'12  =+  =−   =−−  a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. (Trích đề thi đại học Cảnh Sát Nhân Dân 2000) Bài 13 : Đường thẳng (d 1 ) qua điểm P 1 (1 ; 2 ; 1) có vectơ chỉ phương a 1 = (1 ; 0 ; 1), đường thẳng (d 2 ) đi qua điểm P 2 (0 ; 1 ; 2) có vectơ chỉ phương a 2 = (–1 ; –1 ; 0). Viết phương TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - trình đường vuông góc chung (d) của (d 1 ) và (d 2 ) (theo dạng giao tuyến của hai mặt phẳng). (Trích đề thi Cao Đẳng Công Nghiệp 4 – 2000) Bài 14 : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1). a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. (Trích đề thi Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế TPHCM – 1999) . - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG : Phương pháp 1 : Giả sử có hai đường thẳng (d 1 ),. (d 2 ) và đường vuông góc chung : mp(): nb,u β   β   =    Ø Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp(α) và mp(β) . II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. x2t (D'):y1t z2t  =+  =−   =  1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ . (Trích đề thi tuyển sinh