S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông luận văn thạc sỹ TOáN học THáI NGUYÊN - 2009 www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học *** nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60 . 46. 40 luận văn thạc sỹ TOáN học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Hoàng THáI NGUYÊN - 2009 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 www.VNMATH.com E i (i = 1, , k) k (i) (ii) E i n i k (n 1 + n 2 + + n k ) 18 12 18 + 12 = 30 E 10 F 10 E 4 F 4 2 E F 4 + 4 −1 = 7 E i (i = 1, , k) k E 1 n 1 E 2 n 2 E 1 E 3 n 3 E 1 E 2 E k n k k −1 k n 1 .n 2 .n 3 n k 6 8 10 (i) 6.8.10 = 480 3 www.VNMATH.com (ii) 6 + 8 + 10 = 24 1 8 3 8 3 8 = 6561 X n r n r X r n X n X X r n P (n, r) {2, 3, 4} {2, 4, 3} 3 X = {1, 2, 3, 4, 5} r X r X r n C(n, r) (i) P (n, r) = n! (n − r)! (ii) C(n, r) = P (n, r) r! = n! r!(n − r)! = C(n, n − r) m! ≡ (1).(2) (m) 0! ≡ 1 (i) n X r (n − 1) (n − 1) r www.VNMATH.com n(n − 1) r P (n, r) = n(n − 1) (n − r + 1) = n! (n − r)! (ii) C(n, r) r n X r X r r P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r) r X C(n, r) P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r! r X (n − r) C(n, r) = C(n, n − r) n P (n, n) = n! r n r n r n r n 12 12 10 11 9 10 4 12 4 11 3 10 C(12, 4) = 12! 4!8! = 495 www.VNMATH.com [...]... Chương 2 Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông Trong chương này tác giả xin trình bày 10 vấn đề: Chuyên đề 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân Chuyên đề 2: Hoán vị và tổ hợp Chuyên đề 3: Nguyên lý chuồng chim bồ câu Chuyên đề 4: Các số Ramsey Chuyên đề 5: Các số Catalan Chuyên đề 6: Các số Stirling Chuyên đề 7: Hoán vị và tổ hợp tổng quát Chuyên đề 8: Nguyên... do đó số hoán (n 1)! 2 Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n học sinh nữ và n học sinh nam quanh một bàn tròn biết rằng giữa hai học sinh nữ là một học sinh nam Giải: Có (n 1)! cách sắp xếp chỗ ngồi cho n học sinh nữ, bây giờ cứ giữa hai học sinh nữ đặt một cài ghế để cho một học sinh nam ngồi vào Vậy có n! cách sắp xếp chỗ ngồi cho n học sinh nam Kết quả: n!(n 1)! cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu... Bài toán 2.2.11 n học sinh nam (m < n) m học sinh nữ và xung quanh một chiếc bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau Giải: Đặt n chiếc ghế xung quanh cái bàn, sau đó sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh nam Có n (n 1)! cách sắp xếp cho n học sinh nam Tiếp đó cứ giữa hai học sinh nam ta thêm vào một chiếc ghế Có vào Sắp xếp chỗ ngồi cho m học sinh nữ vào n n chiếc ghế mới cần thêm chiếc... loại trừ Chuyên đề 9: Những sự xáo trộn và những sự sắp đặt trước Chuyên đề 10: Đại lượng bất biến Trong mỗi chuyên đề, các bài tập thường được dẫn dắt theo những chủ đề nhất định Qua đó học sinh tự tìm thấy cho mình những kiến thức liên quan đến chủ đề được nêu Đồng thời, mỗi bài đều có lời giải chi tiết, ngắn gọn, đầy sáng tạo và bất ngờ Các lời giải này ít gặp trong các tài liệu về tổ hợp có trên... sử cho N là một số palindrome có độ dài +) Nếu k = 1 thì (1) hiển nhiên đúng +) Nếu k 2 ta có: 18 2k www.VNMATH.com N = a2k1 102 k1 + a2k2 102 k2 + + ak 10k + ak 10k1 + + a2k2 101 + a2k1 100 = a2k1 (102 k1 + 100 ) + (a2k2 102 k2 + + a2k2 101 ) = a2k1 P + Q Trong đó: và P = 100 001 = 11 9090 9091 2k chữ số 2k2 Q = a2k2 10 + + Theo giả thiết quy nạp Bài toán 2.1.4 2k2chữ số a2k2 101 Q chia hết cho. .. Xem xét một nhóm gồm tắc nhân có m.n m học sinh nam và n học sinh nữ Bằng quy cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ Theo cách khác mà cũng đưa đến kết quả tương tự là có hai học sinh bất kỳ sau đó trừ đi C(m + n, 2) cách chon C(m, 2)và C(n, 2) số cách chọn ra hai học sinh cùng là nam hoặc cùng là nữ Sau đây ta chứng minh một số công thức quen thuộc về tổ hợp: Bài toán 2.2.13 công thức Pascal...www.VNMATH.com cách chọn 4 học sinh khối 12; C (10, 4) = 210 cách chọn 4 học sinh khối 11; C(9, 3) = 84 cách chọn 3 học sinh khối chọn ra ban đại diện trên là: 1.3 10 Bằng quy tắc nhân, số cách để 495. 210. 84 = 8731800 cách Nguyên lý chuồng chim bồ câu (Nguyên lý Dirichlet) Một số kết quả sâu sắc của lý thuyết tổ hợp xuất phát từ một mệnh đề đơn giản: Nếu n chuồng chim bồ câu là nơi... lập song ánh để giải một số bài toán tổ hợp mà một số sách đã nêu và cũng là chủ đề đầu tiên tác giả luận văn đưa ra trong vấn đề này Tiếp đến là một số bài toán về hoán vị vòng quanh Học sinh có thể thấy thích thú với sự xuất hiện hợp lý của những chiếc ghế trong những bài này Chủ đề thứ ba 23 www.VNMATH.com đề cập đến đó là phương pháp chứng minh bằng lý luận tổ hợp Các em có thể áp dụng phương pháp... lại n = 6, f (101 101) = f ( 0100 10) nên f là một hàm lôgíc tự đối ngẫu Bài toán 2.1.15 Giải: Có 4 Hãy liệt kê tất cả các hàm lôgíc tự đối ngẫu hai biến hàm lôgíc đối ngẫu từ tập hợp X = {00; 01; 10; 11} tới tập hợp Y = {0; 1} a)f1 (00) = f1 (11) = f1 (01) = f1 (10) = 0 b)f2 (00) = f2 (11) = f2 (01) = f2 (10) = 1 c)f3 (00) = f3 (11) = f3 (01) = f3 (10) = 1 d)f4 (00) = f4 (11) = f4 (01) = f4 (10) = 0 n biến... www.VNMATH.com Số cách xếp là: P (18; 4, 3, 5) = Giả sử rằng r X n là tập hợp 18! = 514594080 4!3!5!6! S phần tử và là một tập con bất kỳ của phần tử Một sự phân chia có quan tâm đến thứ tự của r -tổ hợp tổng quát của X Nếu r = n, S X có được gọi là một chúng ta có khái niệm tổ hợp tổng quát của X Số r -tổ ô chứa thứ đó hợp tổng quát của 2.; ; nk X có n1 phần tử ở ô chứa thứ phần tử ở ô chứa thứ n1 . http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐạI HọC THáI NGUYÊN Tr-ờng Đại học KHOA học nguyễn THị NGọC áNH Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông . Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60 . 46. 40 luận văn thạc sỹ TOáN học . r) n P (n, n) = n! r n r n r n r n 12 12 10 11 9 10 4 12 4 11 3 10 C(12, 4) = 12! 4!8! = 495 www.VNMATH.com 4 12 C (10, 4) = 210 4 11 C(9, 3) = 84 3 10 495. 210. 84 = 8731800 n (n + 1) 2 n = 3 n +