BÀI GIẢNG MÔN HỌC LÝ THUYẾT THÔNG TIN Trang 2 Mã vòng 13.1 Giới thiệu 13.2 Các tính chất của mã vòng 13.3 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã 13.4 Mã BCH Trang 3 Giới thiệu  Định nghĩa  Một mã tuyến tính C(n, k) được gọi là mã vòng nếu w = a0a1… an–2an–1 là một từ mã thì v = an–1a0a1…an–2 cũng là một từ mã.  Nghĩa là dịch vòng (sang trái hay phải) một từ mã thì kết quả cũng là một từ mã. Ở đây qui ước dịch phải.  Đa thức mã  Nếu w = a0a1…an–2an–1 là một từ mã thì w(x) = a0 + a1x + … + an–2xn - 2 + an–1xn - 1 là đa thức mã tương ứng với từ mã w.  Ví dụ  Bảng sau đây trình bày một mã vòng C(7, 4). Trang 4 Ví dụ m w w(x) m w w(x) 0000 0000000 0 0001 0001101 x3 + x4 + x6 1000 1101000 1 + x + x3 1001 1100101 1 + x + x4 + x6 0100 0110100 x + x2 + x4 0101 0111001 x + x2 + x3 + x6 1100 1011100 1 + x2 + x3 + x4 1101 1010001 1 + x2 + x6 0010 0011010 x2 + x3 + x5 0011 0010111 x2 + x4 + x5 + x6 1010 1110010 1 + x + x2 + x5 1011 1111111 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 0110 0101110 x + x3 + x4 + x5 0111 0100011 x + x5 + x6 1110 1000110 1 + x4 + x5 1111 1001011 1 + x3 + x5 + x6 Trang 5 Giới thiệu (tt)  w(i), w(i)(x)  w(i) là từ mã do dịch từ mã w i bit, và w(i)(x) là đa thức mã tương ứng của w(i). w(0) chính là w. i w(i) w(i)(x) 0 1101000 1 + x + x3 1 0110100 x + x2 + x4 = x * (1 + x + x3) = x * w(x) 2 0011010 x2 + x3 + x5 = x2 (1 + x + x3) = x2 * w(x) 3 0001101 x3 + x4 + x6 = x3 (1 + x + x3) = x3 * w(x) 4 1000110 1 + x4 + x5 = x4 + x5 + x7 mod 7 5 0100011 x + x5 + x6 = x5 + x6 + x8 mod 7 6 1010001 1 + x2 + x6 = x6 + x7 mod 7 + x9 mod 7 Trang 6 Giới thiệu (tt)  w(i)(x) = xi * w(x) tuy nhiên nếu w(i)(x) có xp với p ≥ n thì xp được thay bằng xp mod n.  Mặc khác trên trường GF(2) chúng ta có xn + j = xj * (xn + 1) + xj hay xn + j mod (xn + 1) = xj  Bổ đề 13.1 w(i)(x) = [xi * w(x)] mod (xn + 1) Trang 7 Các tính chất của mã vòng  Định lý 13.1  Đa thức mã khác 0 có bậc nhỏ nhất là duy nhất. Hay nói cách khác không tồn tại hai đa thức mã khác 0, khác nhau và cùng có bậc nhỏ nhất.  Chứng minh  Giả sử ∃ hai đa thức mã khác nhau, cùng có bậc nhỏ nhất là r, 0 < r < n. g(x) = g0 + g1x + … + gr–1xr - 1 + xr f(x) = f0 + f1x + … + fr–1xr - 1 + xr  Từ đây suy ra đa thức mã g(x) + f(x) có bậc nhỏ hơn r, mâu thuẫn. Chứng minh hoàn tất. Trang 8 Các tính chất của mã vòng (tt)  Kí hiệu đa thức mã có bậc nhỏ nhất là g(x) g(x) = g0 + g1x + … + gr–1xr - 1 + xr  Định lý 13.2  Hệ số tự do g0 của g(x) phải bằng 1.  Chứng minh  Giả sử g0 = 0. Suy ra g(x) = x * (g1 + … + gr– 1xr - 2 + xr - 1)  Đặt f(x) = (g1 + … + gr–1xr - 2 + xr - 1), suy ra f(x) cũng là một đa thức mã. Vì f(x) tương ứng với từ mã được dịch trái 1 bit hay dịch phải (n – 1) bit từ từ mã ứng với g(x).  Mà bậc của f(x) bằng r – 1 < r mâu thuẫn với định nghĩa của g(x). Trang 9 Các tính chất của mã vòng (tt)  Định lý 13.3  Một đa thức v(x) trên trường GF(2) có bậc ≤ n – 1 là đa thức mã nếu và chỉ nếu nó là một bội số của g(x). Tức là nó có thể viết v(x) = q(x) * g(x).  Chứng minh  Chiều thuận  Nếu v(x) = q(x) * g(x) và có bậc ≤ n – 1 thì v(x) là đa thức mã. với p là bậc của q(x) và p + r ≤ n – 1. Do xi * g(x) với 0 ≤ i ≤ p là đa thức mã, nên v(x) là đa thức mã vì nó là một tổ hợp tuyến tính của các đa thức mã. ( ) ∑∑ == =         == p i i i p i i i gqgqgqv 00 )(*)(*)(*)()( xxxxxxx Trang 10 Các tính chất của mã vòng (tt)  Chiều ngược  Nếu v(x) là đa thức mã thì chia v(x) cho g(x) v(x) = q(x) * g(x) + r(x) trong đó r(x) là đa thức dư và có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Đối với các đa thức trên trường GF(2) chúng ta có thể suy ra r(x) = q(x) * g(x) + v(x) Nên r(x) là một đa thức mã. Theo định nghĩa của g(x) suy ra r(x) = 0. Chứng minh hoàn tất.  Từ định lý này chúng ta gọi g(x) là đa thức sinh, vì từ g(x) có thể sinh ra tất cả các đa thức mã khác. [...]... trường GF(2m) để xây dựng mã vòng (tt)  Từ đây suy ra ma trận kiểm tra của mã vòng (5, 1) H 4×5 1 0 = 0  0 0 0 0 1 1 0 0 1  0 1 0 1  0 0 1 1 Mã BCH nhị phân    Do Bose, Chaudhuri và Hocquenghem sáng lập ra Là mã vòng có khả năng sửa được nhiều lỗi Đối với các số nguyên dương m và t bất kỳ chúng ta sẽ xây dựng một mã BCH nhị phân có các thông số sau: Độ dài từ mã: n = 2m –1 Số bit kiểm... dụng trường GF(2m) để xây dựng mã vòng  Định lý 13.7  Cho a là một phần tử khác 0 của trường GF(2m) có chu kỳ là n, đa thức tối thiểu f(x) của a có bậc là m Thì mã có ma trận sau làm ma trận kiểm tra là một mã vòng C(n, n – m), trong đó mỗi phần tử trong ma trận bên dưới được thay thế bằng vectơ m thành phần tương ứng của nó Hm×n = [1 a a2 … an – 2 an–1] Hơn nữa mã vòng này có đa thức sinh chính... sinh là g(x) = (1 + x + x3) Hãy mã hoá thông báo u = 1010 thành từ mã hệ thống dạng 2 u(x) = 1 + x2 Nhân u(x) với xn–k = x3 rồi chia cho g(x) chúng ta được x3 * (1 + x2) = x3 + x5 = x2 * (1 + x + x3) + x2  Từ đây suy ra w(x) = x2 + x3 + x5 w = 0011010 là từ mã hệ thống dạng 2 tương ứng với u Ma trận kiểm tra của mã vòng  Có một cách khác để tìm ma trận kiểm tra của mã vòng xn + 1 = g(x) * h(x)  h(x)...Các tính chất của mã vòng (tt)  Định lý 13.4   Đa thức sinh của một mã vòng C(n, k) có bậc r = n – k Chứng minh  Mỗi đa thức mã w(x) là một bội số của g(x) w(x) = q(x) * g(x) Có 2k từ mã nên có 2k đa thức q(x) Suy ra bậc của q(x) là ≤ k – 1 Suy ra bậc của g(x) là n – k  Từ định lý này đa thức sinh g(x) có thể được biểu diễn như sau g(x) = g0 + g1x... đa thức mã nên g(i)(x) là một bội của g(x), ⇒ xn + 1 là một bội của g(x) Chứng minh hoàn tất Các tính chất của mã vòng (tt)  Định lý 13 .6   Nếu g(x) là một đa thức có bậc (n – k) và là ước số của (xn + 1) thì g(x) sinh ra mã vòng C(n, k), hay nói cách khác g(x) là đa thức sinh của một mã vòng C(n, k) nào đó Chứng minh  Xét k đa thức g(x), x * g(x), …, xk – 1 * g(x) Các đa thức này đều có bậc ≤ n... dịch vòng k bit để biến đổi sang dạng hệ thống loại 2 và ngược lại 1 0 = 0  0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0  0  1 G ht ( 4×7 ) 1 0 = 0  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1  1  1 Mã hóa thành từ mã hệ thống  u(x) là thông báo, w(x) là từ mã hệ thống loại 2 tương ứng xn–k * u(x) = q(x) * g(x) + a(x) w(x) = xn–k * u(x) + a(x) = q(x) * g(x) Ví dụ  Cho mã vòng. ..    g n−k    Ví dụ   Tìm một mã vòng C(7, 4) Theo các tính chất của mã vòng suy ra đa thức sinh của mã có bậc bằng 3 và là một ước số của x7 + 1 Phân tích đa thức này ra thừa số chúng ta được Ví dụ x7 + 1 = (1 + x)(1 + x + x3)(1 + x2 + x3)  Chọn chẳng hạn g(x) = (1 + x + x3) G4×7 1 0 = 0  0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0  0  1 Mã vòng dạng hệ thống  G4×7  Từ dạng... Hamming: dmin ≥ 2t + 1 Định lý  Định lý 13.8  Cho a là một phần tử của trường GF(2m) có đa thức tối thiểu là một đa thức căn bản bậc m Thì mã có ma trận sau làm ma trận kiểm tra là một mã vòng có khoảng cách Hamming ≥ 2t + 1, trong đó mỗi phần tử trong ma trận bên dưới được thay thế bằng vectơ m thành phần tương ứng của nó 1 a  1 a3  H = 1 a 5    1 a 2t −1  a2 a6 a 10  a 2( 2t −1)  a n−2... một mã vòng có chiều dài từ mã là 24 – 1 = 15 và có khoảng cách Hamming d ≥ 5 Việc xây dựng sẽ dựa vào trường GF(24) Gọi a là phần tử có đa thức tối thiểu là đa thức căn bản bậc 4 sau f1(x) = 1 + x + x4 Đây chính là trường GF(24) trong ví dụ ở slide 250 a có chu kỳ n = 2m – 1 = 15 Chúng ta có ma trận kiểm tra của bộ mã như sau 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a10 a11 a12 a12 a14  H =  3 6 9 12... g(x) v(x) là một đa thức có bậc ≤ n – 1 và là bội số của g(x) Các tính chất của mã vòng (tt)  Có tất cả 2k tổ hợp tuyến tính v(x) khác nhau và tạo nên một không gian tuyến tính của các đa thức mã với g(x), x * g(x), …, xk – 1 * g(x) là các đa thức làm cơ sở Chúng ta chứng minh rằng bộ mã tương ứng với không gian này là mã vòng Gọi w(x) = b0 + b1x + … + bn – 1xn – 1 là một đa thức của không gian Chúng . BÀI GIẢNG MÔN HỌC LÝ THUYẾT THÔNG TIN Trang 2 Mã vòng 13.1 Giới thiệu 13.2 Các tính chất của mã vòng 13.3 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã 13.4 Mã BCH Trang 3 Giới. nghĩa  Một mã tuyến tính C(n, k) được gọi là mã vòng nếu w = a0a1… an–2an–1 là một từ mã thì v = an–1a0a1…an–2 cũng là một từ mã.  Nghĩa là dịch vòng (sang trái hay phải) một từ mã thì kết. x4 + x6 = x3 (1 + x + x3) = x3 * w(x) 4 1000110 1 + x4 + x5 = x4 + x5 + x7 mod 7 5 0100011 x + x5 + x6 = x5 + x6 + x8 mod 7 6 1010001 1 + x2 + x6 = x6 + x7 mod 7 + x9 mod 7 Trang 6 Giới