Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa GIẢI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Mục Lục CHƯƠNG DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG .3 - CẤP SỐ NHÂN §1 Phưong pháp quy nạp toán học .3 A Toùm Tắt Giáo Khoa B Giải Toán .3 C Bài Tập Rèn Luyện D.Hướng dẫn – Đáp soá §2 Dãy số .8 A Tóm Tắt Giáo Khoa B Giải Toán .8 C Bài Tập Rèn Luyện 10 D.Hướng dẫn – Đáp số 12 www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân CHƯƠNG DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN §1 Phưong pháp quy nạp toán học A Tóm Tắt Giáo Khoa Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n , ta thực hai bước sau : • Bước : Chứng minh A(1) • Bước : Với ∀ x ∈ Z+ , chứng minh A(k) A(k + 1) B Giải Toán Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương , ta coù : + + + + (2n − 1) = n (1) Giải : Chú ý vế trái (VT) có n số hạng n = : VT = , n = : VT = + • Với n = 1: (1) = 12 : mệnh đề Vậy (1) n = • Giả sữ (1) n = k + + + + (2k – 1) = k2 (2) , ta chứng minh (1) n = k +1 + + + + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = ( k + 1)2 (3) Thaät vaäy : VT(3) = VT(2) + [2(k+1) – 1] = VP(2) + [ 2k + 1] = k2 + 2k + = (k + 1)2 = VP(3) ( đpcm) Theo phưong pháp quy nạp , (1) với số nguyên dương n Ví dụ : Chứng minh số an = n 1 = (1) với số nguyên dương n + + + 1.2 2.3 n(n + 1) n + Giải : 1 = : Vậy (1) n = 1.2 + k 1 • Giả sữ (1) n = k ak = = (2) , ta chứng minh (1) + + + 1.2 2.3 k(k + 1) k + k +1 1 1 = n = k + ak+1 = + + + + 1.2 2.3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k + k Thaäy vaäy : ak+1 = ak + = ( theo giả thiết quy nạp (2) ) + (k + 1)(k + 2) k + (k + 1)(k + 2) k(k + 2) + k + 2k + (k + 1)2 = = = (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k +1 (đpcm) = k+2 Vậy (1) với số nguyên dương n • Với n = : (1) a1 = Ví dụ : Chứng minh số un = 13n – chia hết cho với số nguyên dương n (1) Giải : • Với n = : u1 = 131 – = 12 chia heát cho Vậy (1) n = www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân • Giả sữ (1) n = k uk = 13k – chia heát cho , ta chứng minh (1) n = k + k+1 uk+1 = 13 – chia hết cho Thật : uk+1 = 13k+1 – = 13.13k – = 13(13k – 1) + 12 = 13uk + 12 Vì uk chia hết cho 12 chia hết nên uk+1 chia hết cho ( tổng hai số chia hết cho số chia hết cho ) C Bài Tập Rèn Luyện 3.1 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có : n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) a) + + + n = b) 12 + 22 + + n2 = c) 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1) 3.2 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có : 1 n a) + + + = 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 1 b) 1.n + 2(n – 1) + + (n – 1).2 + n = n(n + 1)(n + 2) n n+2 c) + + + + n = − n 2 3.3 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có : a) (1 + x)n ≥ + nx với x > - n n an + b n ⎛ n +1⎞ ⎛a+ b⎞ c) ⎜ với a ≥ , b ≥ b) ⎜ ≤ n +1 ≤ ⎟ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ 1 13 + + + > c) n +1 n + 2n 24 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có : a) un = 62n + 10.3n chia heát cho 11 b) tích số nguyên dương liên tiếp chia heát cho 24 c) 6n + 8n chia hết cho 14 n lẻ d) un = 23n – + 33n – chia heát cho 19 3.5 Theo truyện cổ , hang động nơi , có vị thần thực công việc buồn tẻ sau Trước mặt ông ta ba mâm vàng Trên mâm thứ có tháp tạo 64 dóa kim cương có lỗ giữ Các dóa có kích thước khác đặt chồng lên xuyên qua ngọc cho dóa nhỏ dóa sát bên Mâm thứ hai mâm thứ ba có ngọc giũa Công việc vị thần dời tháp dóa kim cương từ mâm thứ sang mâm thứ ba theo quy tắc sau : • Mỗi lần dời dóa • Lúc dóa nhỏ diã bên • Có thể đặt dóa dời tạm mâm thứ hai , theo luật dóa nhỏ dóa Thí dụ với tháp dóa , gọi dóa dóa nhỏ , dóa dóa lớn , ta thực bươc sau : • Dời dóa vào mâm • Dời dóa vào mâm • Dời dóa từ mâm vào mâm Ta cần tất động tác để hoàn tất www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Mâm Mâm Mâm Chứng minh vị thần cần 264 - động tác để hoàn tất công việc Giả sữ động tác kéo dài giây , hỏi cần thời gian để chấm dứt công việc Truyền thuyết kể việc dời 64 dóa hoàn tất ngày tận lòai người D.Hướng dẫn – Đáp số 3.1 a) * Với n = : VT = VP = => mệnh đề n = k(k + 1) , : * Giả sữ : + + + k = k(k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) + k +1= + + + k + (k + 1) = 2 (k + 1)[(k + 1) + 1] => mệnh đề n = k + = 1(1 + 1)(2 + 1) =1 b) * Với n = : VT = 12 = , VP = k(k + 1)(2k + 1) * Giả sữ 12 + 22 + + k2 = k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 => 12 + 22 + + k2 + (k + 1)2 = k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)] = (k + 1)(2k + k + 6k + 6) = (k + 1)(2k + 7k + 6) = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] = => mệnh đề ñuùng n = k + 1 c) * Với n = : VT = = VP = 2.1 + * Giả sữ 1.4 + 2.7 + + k(3k + 1) = k(k + 1)2 => 1.4 + 2.7 + + k(3k + 1) + (k + 1)[3{k+1) + 1] = k(k + 1)2 +(k + 1) (3k + 4) = (k + 1)(k2 + k + 3k + 4) = (k + 1)(k + 2)2 => mệnh đề n = k + www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 1 = VP = 1.3 +1 1 k * Giả sữ + + + = 1.3 3.5 (2k − 1)(2k + 1) 2k + 1 1 k => + + + + = + 1.3 3.5 (2k − 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) 2k + (2 k + 1)(2k + 3) k(2k + 3) + = (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3k + (k + 1)(2k + 1) = = (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) k +1 = => mệnh đề n = k + 2(k + 1) + 1 b) * Với n = : VT = 1.1 = , VP = 1.2.3 = * Giả sữ 1.k + 2(k – 1) + + (k – 1).2 + k = k(k + 1)(k + 2) (1) Ta phải chứng minh : 1.(k+1) + k + 3.(k – 1) + + k + (k + 1).1 = (k + 1)(k + 2)(k + 3) (2) Lấy (2) – (1) vế với vế : (k+1) + k + (k – 1) + + +1 = 1 (k + 1)(k + 2)(k + 3) - k.(k + 1)(k + 2) (3) 6 (k + 1)(k + 2) VT(3) = ( theo baøi a) (k + 1)(k + 2) VP(3) = (k + 1)(k + 2)(k + − k) = Vậy ta coù ñpcm 3.2 a) * Với n = : VT = k k+2 + + + k = − k 2 k k +1 ⎛ k + ⎞ k +1 => + + + k + k +1 = ⎜ − k ⎟ + k +1 2 ⎠ ⎝ 2(k + 2) − (k + 1) =22 k +1 k+3 = - k +1 => mệnh đề n = k + 3.3 a) * Với n = : VT = VP = + x Vậy mệnh đề n = * Giả sữ (1 + x)k ≥ + kx (1) => (1 + x)k + = (1 + x) (1 + x)k ≥ (1 + x)(1 + kx) ( nhân hai vế (1) cho + x > ) Suy : (1 + x)k + ≥ + kx + x + kx2 ≥ + kx + x ( kx2 ≥ ) Hay (1 + x)k + ≥ + (k + 1)x => mệnh đề n = k + c) Giả sữ : b) * Với n = : VT = VP = => mệnh k ⎛ k +1⎞ * Giả sữ ⎜ ⎟ ≤ k + (1) ⎝ k ⎠ ⎛k+2⎞ => ⎜ ⎟ ⎝ k +1 ⎠ k +1 k ñề ñuùng n = ⎛ k + ⎞⎛ k + ⎞ ⎛ k + ⎞⎛ k + ⎞ =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ≤⎜ ⎟⎜ ⎝ k + ⎠⎝ k + ⎠ ⎝ k + ⎠⎝ k ⎠ k www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân k + k +1 ≤ k(k+2) ≤ (k + 1)2 ( ) k +1 k k +1 ⎛k+2⎞ ⎛k+2⎞ => ⎜ ⎟ ≤⎜ ⎟ (k + ) (do (1) ) ⎝ k +1 ⎠ ⎝ k +1 ⎠ ≤ k+2 Vậy mệnh đề n = k + k k +1 k ak + b k a+b⎛a+b⎞ a + b ak + b k ⎛a+b⎞ ⎛a+b⎞ c) Giả sữ ⎜ => ⎜ ≤ = ≤ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k +1 a k +1 + b k +1 + ab k + a k b ⎛a+b⎞ => ⎜ (1) ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Ta chứng minh : abk + akb ≤ ak + + bk + ak(a – b) + bk ( b – a) ≥ k k (a – b)(a – b ) ≥ Bất đẳng thức a ≥ b ≥ => ak ≥ bk Vaø ≤ a ≤ b => ak ≤ bk k +1 2(a k +1 + b k +1 ) ak +1 + b k +1 ⎛a+b⎞ ≤ ( ñpcm ) Vậy (1) thaønh : ⎜ = ⎟ ⎝ ⎠ a) * Với n = : u1 = 62 + 10 31 = 66 chia hết cho 11 * Giả sữ uk = 62k + 10.3k chia heát cho 11 , : uk+1 = 62(k+1) + 10.3k +1 = 36.62k + 30.3k = 3(62k + 10.3k ) + 33.62k = uk + 33.62k => uk + chia heát cho 11 tổng hai số chia hết cho 11 b) Ta chứng minh : un = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia heát cho 24 * u1 = 1.2.3.4 = 24 chia heát cho 24 * Giả sữ uk = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) chia heát cho 24 , : uk+1 = (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) = uk + 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) Ta biết tích ba số nguyên liên tiếp (k + 1)(k + 2)(k + 3) chí hết cho có chứa số chẵn số chia hềt cho Do uk+1 tổng hai số cho chia hết cho 24 nên chia heát cho 24 c) * Với n = : u1 = 61 + 81 = 14 chia heát cho 14 * Giả sữ uk = 6k + 8k chia hết cho 14 , số lẻ số k k + , ta có : uk+2 = 6k+2 + 8k + = 36.6k + 64.8k = 36(6k + 8k) + 28.8k = 36.uk + 14.2.8k => uk + chia hết cho 14 ví tổng hai số chia hết cho 14 d) * Với n = :u1 = 21 + 32 = 19 chia hết cho 19 * Giả sữ uk = 23k – + 33k – chia hết cho 19 , : uk+1 = 23k + + 33k + = 23 23k – + 33 33k – = 8.5.23k – + 27.33k- = 8(5.23k – + 33k- ) + 19.33k – = 8.uk + 19.33k – => uk+1 chia heát cho 19 tổng hai số chia hết cho 19 3.5 * Với n = : vò thần cần 21 – = động tác dời ( ) * Giả sữ vị thần cần 2k – động tác để dời k dóa , với k + dóa , ta dời sau : • Dời k dóa từ dóa đến dóa kế chót sang mâm thứ hai : cần 2k - động tác ( giả thiết phép quy nạp) • Dời dóa cuối lớn từ mâm thứ sang mâm thứ ba : động tác • Dời k dóa từ mâm thứ hai sang mâm thứ ba , dùng mâm thứ làm trung gian : cần 2k – động tác Vậy cần tất : 2k – + + 2k – = 2k + – động tác Suy đpcm www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Với 64 dóa , vị thần cần thực 264 – Máy tính bỏ túi không tính số , cho ta giá trị gần 18.446.744.070.000.000.000.000.000.000 ( 19 số ) Mời bạn đọc số ! Nếu động tác dời dóa giây xác từ tới , tù ngày qua ngày khác, từ năm qua năm tới … ( thần mà ! ) , phải cần 584.942.417.400 năm ! §2 Dãy số A Tóm Tắt Giáo Khoa Định nghĩa : Một hàm số u xác định tập hợp N* số nguyên dương gọi dãy số vô hạn Kí hiệu : số hạng tổng quát u(n) kí hiệu un : số hạng thứ n • Dãy số vô hạn u = u(n) kí hiệu (un) hay u1 , u2 , , un • Khi ≤ n ≤ m , ta có dãy số hữu hạn : u1 số hạng đầu , um số hạng cuối Cách cho dãy số : • Cách : Cho công thức số hạng tổng quát • Cách : Cho hệ thức truy hồi Dãy số tăng , giãm : • (un) dãy số taêng ∀n , un < un+1 ∀n , un > un+1 • (un) dãy số giãm u ∀n , un+1 – un > ∀n , n +1 > ( ∀n , un> ) Chú ý : 1) (un) tăng un u 2) 1) (un) giãm ∀n , un+1 – un < ∀n , n +1 < ( neáu ∀n , un> ) un Dãy số bị chận : ∃M , ∀n , un ≤ M • (un) bị chận ∃m , ∀n , un ≥ m • (un bị chận • (un) bị chận (un) bị chận chân B Giải Toán Dạng : Xác định số hạng dãy số : Dùng công thức un hệ thức truy hồi Ví dụ : n Tìm số hạng u3 , u4 2n b) Cho dãy số số dương chia cho dư xếp theo thứ tự tăng dần Tìm số hạng thứ 1000 a) Cho dãy số (un) với un = 3 4 = , u4 = = = 16 b) Dãy số 3, 8, 13 Số hạng tổng quát un = 5(n – 1) + = 5n – , ∀n ∈ N * Vậy số hạng thứ 1000 u1000 = 5000 – = 4998 Giaûi : a) u3 = ⎧ u1 = Ví dụ : Cho dãy số (un ) xác định : ⎨ Tìm số hạng u4 ⎩ un = 2un −1 − ; ∀n ≥ Giaûi : Ta coù : u2 = 2.u1 – = 10 – = , u3 = 2u2 – = 14 – = 11, u4 = 2u3 – = 22 – = 19 * Daïng : Xác định số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân • • Tính thử số hạng đầu , dự đóan hệ thức un = f(n) Chứng minh hệ thức với ∀n phưong pháp quy nạp Ví dụ : Cho dãy số (un ) xác định : u1 = vaø ∀n ≥ , un = 2un-1 – Tìm số hạng tổng quát un Giải : Từ caùc giaù trị u1 , u2 , u3 , u4 tính ví dụ , ta dự ñoùan : ∀n , un = 2n + (1) hệ thức n = , 2, 3, , nên ta hi vọng với n • u1 = 21 + = : • Giả sữ (1) n = k uk = 2k + , : uk+1 = 2uk – ( hệ thức truy hoài ) = 2( 2k + 3) – = 2k + + , chứng tỏ (1) n = k + Vậy (1) với n Dạng : Chứng minh dãy số tăng giãm ( xét tính đơn điệu ) : • Nếu dãy số xác định công thức sữ dụng định nghĩa phần ý lý thuyết • Nếu dãy số xác định hệ thức truy hồi , ta dùng định nghĩa + phép chứng minh quy nạp Ví dụ : Xét tính tăng giãm dãy số (un) sau : n 2n + n + 15 a) un = n b) un = c) un = n+2 n +1 Giaûi : n +1 un +1 3n +1 n + = = < , ∀n Vậy (un) dãy số giãm a) Ta có : ∀n , un > n un 3n 3n 2(n + 2) − 1 =2− ( đơn giản công thức dãy số ) b) Ta có : un = n+2 n+2 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − Suy , ∀n , un+1 – un = ⎜ − > nên dãy số (un) dãy số tăng ⎟ − ⎜2 − ⎟ = n+2 n+3 (n + 1) + ⎠ ⎝ n+2⎠ ⎝ (n − 1) + 16 16 = n −1+ n +1 n +1 16 ⎞ ⎛ 16 ⎞ 16 16 16 ⎛ => un+1 – un = ⎜ n + − =1− ⎟ − ⎜ n −1+ ⎟ =1+ n + n +1 (n + 1)(n + 2) n+2⎠ ⎝ n +1⎠ ⎝ Hieäu số âm n = dương n = , dãy số (un) không tăng không giãm 19 31 ; u3 = , u4 = có : u1 > u2 > Thật ta tính thử vài số hạng đầu tù công thức : u1 = , u2 = u3 < u4 Vậy dãy số không tăng không giãm c) Ta có : ⎧ u1 = ⎪ * Ví dụ : Cho dãy số (un) định hệ thức truy hồi ⎨ ⎪ u n +1 = u n + 3un , ∀n ≥ ⎩ Giải : Ta chứng minh un+1 – un > (1) , ∀n • u2 – u1 = (1 + 3) – = > => (1) n = • Giả sữ uk+1 – uk > (2) , : uk+2 – uk+1 = (u2k+1 + 3uk+1 ) - (u2k + 3uk) = (u2k+1 - u2k ) + 3(uk+1 – uk) = (uk+1 – uk)[ (uk+1 + uk ) + 3] Từ hệ thức truy hồi , chứng minh un > , ∀n , suy : www.saosangsong.com.vn Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhaân 10 uk+1 + uk + > , với (2) , ta : uk+2 – uk+1 > => (1) n = k + Vậy (1) với n dãy số (un) tăng Dạng : Xét tính bị chận • • Để chứng minh (un) bị chận , ta tìm hai số M m cho : m ≤ un ≤ M , ∀n Neáu (un) cho hệ thức truy hồi ta dự đóan số M, m chứng minh tính bị chận phưong pháp quy nạp Ví dụ : Chứng minh dãy số sau bị chận 3n + 14 1 a) un = b) un = + cos n c) u1 = , un+1 = un + , ∀n ≥ n+2 n 3(n + 2) + 8 =3+ n+2 n+2 8 17 ≤ , suy : ≤ un ≤ + = Vậy (un) bị chận Vì n ≥ neân < n+2 3 Ghi : Lẻ dó nhiên , ta viết “thóang ” : ≤ un ≤ + = 11 Giải : a) Ta có : un = 1 ≤ vaø − ≤ cos n ≤ , : – ≤ + cos n ≤ + n n tức : - ≤ un ≤ Vậy (un) bị chận 5 13 13 29 +2= , u4 = c) Ta tính thử vài giá trị dãy số : u1 = , u2 = + = , u3 = + = 2 4 8 Ta đoán un < , ∀n lẻ dó nhiên un > , ∀n 1) Chứng minh : un > , ∀n • u1 =1 > • Giả sữ uk > , : uk+1 = u k + > Vậy un > , ∀n (1) 2) Chứng minh un < , ∀n • u1 = < 1 • Giaû sữ uk < , : uk+1 = u k + < + = 2 Vậy un < , ∀n (2) Từ (1) (2) , ta có (un) bị chận b) Vì < C Bài Tập Rèn Luyện 3.6 Chọn câu : Số hạng thứ dãy số un = a) 1, 9b) 2, c) 2, d) 3, 2n + laø : n +1 ⎧ u1 = −15 ⎪ 3.7 Choïn câu : Cho dãy số ⎨ ⎪ u n = u n −1 + n ⎩ Số hạng dương dãy số số hạng thứ ? a) 15 b) c) 3.8 Chọn câu : Cho ba dãy số 2n + (II) un = (-1)n n2 (I) un = n +1 (III) un = d) 2n n +1 www.saosangsong.com.vn 10 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 11 Dãy số dãy số tăng ? a) Chæ (I) b) Chæ (II) c) Chæ (III) d) Có dãy số tăng ba dãy số 3.9 Chọn câu : Cho ba dãy số n−5 4n + 2n (II) un = n2 - 6n (III) un = n (I) un = 2n + − 2n Dãy số dãy số giãm ? a) Chỉ (I) (II) b) Chỉ (II) (III) c) Chỉ (I) (III) d) (I) , (II) (III) 3.10 Chọn câu : Cho ba dãy số 3n + (I) un = (II) un = 2sinn – n (III) un = (-1)n n2 n +1 Daõy số bị chận ? a) Chỉ (I) (II) b) Chỉ (II) (III) c) Chỉ (I) (III) d) Cả (I) , (II) (III) 3.11 Tìm số hạng dãy số sau : n(n + 1) 1 + + a) un = b) un = + n 2 −1 −1 n −1 nπ c) un = (-1)n cos d) un = (-1)1 + (-1)2 + + (-1)nn 12 Tìm số hạng dãy số sau suy công thức un = f(n) dãy số cho hệ thức truy hồi : b) u1 = , un+1 = 3.un - , ∀n ≥ a) u1 = , un+1 = un + , ∀n ≥ 1 + un −1 * 3.13 Cho dãy số (un ) định : u1 = - , un = , ∀n ≥ a) Tính 3số hạng dãy số b) Tìm công thức un theo n 3.14 Xét tính đơn điệu dãy soá (un ) sau : 3n + n2 2n − c) un = a) un = b) un = n +1 n+2 2n 3n e) un = - n – sin2 n f) un = n3 – 3n2 + 5n d) un = (n + 1)2 3.15 Xeùt tính đơn điệu dãy số (un ) sau : a) un = *c) un = 1 + + + n +1 n + 2n n +1 − n n +1 + n b) un = n + 2sinn d) un = sin n n π 3.16 Xét tính bị chận dãy số sau : www.saosangsong.com.vn 11 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 3n − 2n + b) un = n(n + 1) 2n + * d) un = - + - - + (-1)nn a) un = 12 * d) un = n +1 − n u n + , ∀n ≥ b) Chứng minh (un) bị chận * 3.17 Cho dãy số (un) định : u1 = , un+1 = a) Chứng minh (un) giãm * 3.18 Cho dãy số (un) định : u1 = , un+1 = 2un + , ∀n ≥ a) Chứng minh (un) dãy số tăng b) Tìm công thức un theo n * 3.19 Cho dãy số (un) định : u1 = , un+1 = a) Chứng minh ; un = tg + u2 n − , ∀n ≥ un −1 π , ∀n n +1 b) Suy tính đơn điệu bị chận (un) * 3.20 Cho dãy số (un) định : u1 = , u n +1 = n(n + 1) , ∀n 2n b) Xét tính đơn điệu bị chaän (un) (n + 2)un , ∀n ≥ 2n a) Chứng minh un = D.Hướng dẫn – Đáp số 19 = 1,9 10 3.7 (d) u2 = - 15 + = - 13 , u3 = - 13 + = - 10 , u4 = - 10 + = - , u5 = - + = - , u6 = - + = 3.6 (a) Thế n = vào công thức : u9 = Vậy số hạng dương số hạng thứ , => n lớn un nhỏ => (un) giãm n +1 * Xét (II) : u1 = - ; u2 = ; u3 = - => (un) không tăng , không giãm Vậy chon (III) u 2(n + 1) > => (un) tăng * Nếu xét (II) : n +1 = un n+2 3.8 (c) * Xeùt (I) : un = + 11 11 (1 − ) => n lớn nhỏ => (un) nhỏ => (un ) giãm 2n + 2n + * Xeùt (II) : u1 = - ; u2 = - ; u10 = 40 => (un) không tăng , không giãm 2n + * Xeùt (III) : un = n => n lớn un nhỏ => (un) giãm =1+ n −1 −1 3.9 (c) * Xeùt (I) : un = ≤ => (un) bị chận n +1 * Xét (II) : Vì – n ≤ - 2sin n ≤ nên un ≤ 1=> (un) bị chận * Xét (III) : Khi n số chẵn vô lớn un số vô lớn , (un) không bị chận 3 3.11 a) u1 = , u2 = , u3 = 2 3.10 (a) * Xeùt (I) : un = + www.saosangsong.com.vn 12 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 13 1 11 21 = , u2 = u1 + = = , u3 = u2 + 2 −1 3 − 24 − 40 Π π 3π c) u1 = (-1)cos = − , u2 = (1).cos = , u3 = ( −1) cos = 2 d) u1 = (-1) = - , u2 = u1 + (1).2 = , u3 = u2 + (-1)3 = - b) u1 = 3.12 a) u1 = , u2 = 11, u3 = 15 ( Nhận xét : Các số có tính chất chung chia cho dư số : u1 = 4.1 + , u2 = 4.2 + , u3 = 4.3 + ) Ta chứng minh : un = 4n + (1) • u1 = 4.1 + : (1) n = • Giả sữ uk = 4.k + , : uk+1 = uk + ( giả thiết quy nạp ) = (4k + 3) + = 4(k + 1) + : (1) n = k + Vậy (1) chứng minh b) u1 = , u2 = 3.4 - = 10 , u3 = 3.10 - = 28 Nhận xét : u1 = 31 + 1, u2 = 32 + 1, u3 = 33 + Ta chứng minh : un = 3n + (1) , ∀n • u1 = 31 + : (1) n = • Giả sữ uk = 3k + , : uk+1 = 3uk - ( giả thiết quy naïp ) = 3(3k +1) - = 3k + + : (1) n = k + Vậy (1) chứng minh 3.13 a) u1 = - , u2 = , u3 = Π π π b) Nhaän xeùt u1 = cos π , u2 = cos , u3 = Ta chứng minh : un = cos n −1 (1) , ∀n π • u1 = cos = cos π = - : (1) n = π • Giả sữ uk = cos k −1 , : + uk ( giả thiết quy naïp ) uk+1 = = + cos π k −1 = cos2 Π a k ( công thức + cosa = 2cos2 ) π : (1) n = k + 2k Vậy (1) chứng minh = cos 3.14 a) Ta coù : un = 3(n + 1) + 4 =3+ n +1 n +1 ⎞ ⎛ ⎞ −4 ⎛ Suy : un+1 – un = ⎜ + < , ∀n Vậy (un) dãy số giãm ⎟ − ⎜3 + ⎟= n+2⎠ ⎝ n + ⎠ (n + 2)(n + 1) ⎝ b) Ta coù : un = (n − 4) + 4 =n−2+ n+2 n+2 Suy : un+1 – un = [(n + 1) − + 4 −4 ] − [n − + ] =1+ > (n+3)(n+2) > , ∀n ≥ n+3 n+2 (n + 3)(n + 2) www.saosangsong.com.vn 13 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 14 Vậy (un) dãy số tăng 2n − =1- n n 2 c) Ta coù : un = Suy : un+1 – un = 1 − n +1 = n +1 > , ∀n n 2 d) Vì un > neân u n+1 un = 3(n + 1)2 >1 (n + 2)2 3(n + 1)2 > (n + 2)2 2n2 + 2n – > 2n2 + n + (n – 1) > : với ∀n ≥ Vậy (un) tăng e) Ta có : un+1 – un = un = [ - n - – sin2 (n + 1)] – [ - n – sin2n ] = - sin2 (n + 1) – (1 – sin2n) = - sin2 (n + 1) – cos2n < , ∀n Vậy (un) giaõm f) un + – un = [(n + 1)3 – n3] – 3[(n + 1)2 – n2 ] + 5[(n + 1) – n ] = (3n2 + 3n + ) – 3(2n + 1) + = 3n2 - n + = 3n(n – 1) + > , ∀n ≥ Vậy (un) giaõm 3.15 a) un tổng n số hạng , un + có n + số hạng 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ + + + + + + un + - un = ⎜ ⎟−⎜ ⎟ 2n + ⎠ ⎝ n + n + 2n ⎠ ⎝n+2 n+3 = 1 1 1 + − = >0 − = 2n + 2n + n + 2n + 2n + (2n + 1)(2n + 2) Vậy (un ) taêng b) Ta coù : u1 c) un = - 2,7 , u2 3,8 , u3 3,3 Vậy dãy số (un) không tăng không giãm n => un+1 = n +1 + n => un+1 – un = n n +1 + n n +1 n + + n +1 n(n + 2) − (n + 1)2 n +1 = ( n + n + 1)( n + + n + ) n + + n +1 Hiệu số âm n(n + 2) < (n + 1)2 Vậy (un) dãy số giãm , u4 = : (un) khoâng tăng không giãm 3 15 (2n + 1) − 3n − = − 15 3.16 a) Ta coù : un = = 2n + 2n + 2(2n + 1) 15 15 15 Vì n ≥ nên ≤ Suy : − ≤ un ≤ => (un) bị chận ≤ 2(2n + 1) Ghi : Ta giải “thoáng” sau : 4n + - 6(2n + 1) < 3n – < 4n + 26 ( hiển nhiên ! ) un < 2n + d) Ta coù : u1 = , u2 = , u3 = - www.saosangsong.com.vn 14 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 15 => - < un < b) Ta coù : < 2n2 + < 3n(n + 1) => < un < => (un) bò chận Ghi : Ta chia tử cho mẫu làm câu (a) c) Ta có un = n + − n > , ∀n => (un) bị chận Mặt khác : un = < n + + n > => (un) bị chận n +1 + n Suy (un) bị chận d) Nếu n = 2k : un = ( - + 2) + (- + 4) + + (- 2k + + 2k) = k ( toång k số hạng số hạng – 1) Nếu n = 2k – : un = - + (2 - ) +( - 5) + + ( 2k - - 2k + 1) = - – (k – 1) = - k Ví dụ : u1000 = 500 , u2007 = - 1003 Vậy (un) không bị chận trẹn không bị chận * 3.17 a) Có thể chứng minh un > , ∀n Ta chứng minh : un +1 – un > (1) , ∀n ≥ băng phưong pháp quy nạp • u2 – u1 = − > : (1) n = ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ • Giả sữ uk+1 – uk > , : uk+2 – uk+1 = ⎜ u k +1 + ⎟ − ⎜ u k + 1⎟ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ = (u k +1 − u k ) Vậy (1) , ∀n b) Nhận xét cách tính giá trị , ta chứng minh un < , ∀n phưong pháp quy nạp • u1 = < 1 • Giả sữ uk < , uk+1 = u k + < + < 3 Ghi : Ta chứng minh : un < * 3.18 a) Giải tương tự b) Ta chứng minh un = 2n – tương tự ví dụ * 3.19 a) un = tg • u1 = tg π (1) , ∀n n +1 π : (1) n = π • Giả sữ uk = tg = k +1 sin k +1 2sin 2sin π k +2 π 2k +2 cos π K +1 , : uk+1 = π k +1 = π − cos + tg2 π 2k +2 = tg π k +2 −1 = cos π −1 k +1 π 2tg k +1 Vậy (1) n = k + www.saosangsong.com.vn 15 Chương 3.Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhaân Vậy un = tg n +1 , ∀n π hàm số tg x đồng biến (0 ; π /4) nên dãy số (un) giãm bị chận số π tg0 = bị chận số tg = n(n + 1) 3.20 a) Chứng minh un = (1) , ∀n 2n 1(1 + 1) * u1 = = => (1) n = 21 k(k + 1) (k + 2) k(k + 1) (k + 1)(k + 2) = => uk+1 = * Giả sữ uk = k 2k 2k k +1 => (1) n + k + Vậy (1) , ∀n b) * u1 = ; u2 = u3 = => (un) không tăng , không giãm * Dễ thấy un > , ∀n Ta chứng minh un ≤ , ∀n • u1 = ≤ (k + 2) ≤ • uk ≤ => uk+1 ≤ 2k b) Vì < π π 16 n +1 < www.saosangsong.com.vn 16 ... 19 , : uk+1 = 23k + + 33 k + = 23 23k – + 33 33 k – = 8.5.23k – + 27 .33 k- = 8(5.23k – + 33 k- ) + 19 .33 k – = 8.uk + 19 .33 k – => uk+1 chia hết cho 19 tổng hai số chia hết cho 19 3. 5 * Với n = :... Với n = : u1 = 62 + 10 31 = 66 chia heát cho 11 * Giả sữ uk = 62k + 10.3k chia hết cho 11 , : uk+1 = 62(k+1) + 10.3k +1 = 36 .62k + 30 .3k = 3( 62k + 10.3k ) + 33 .62k = uk + 33 .62k => uk + chia hết... u1 = , u2 = 3. 4 - = 10 , u3 = 3. 10 - = 28 Nhaän xeùt : u1 = 31 + 1, u2 = 32 + 1, u3 = 33 + Ta chứng minh : un = 3n + (1) , ∀n • u1 = 31 + : (1) n = • Giả sữ uk = 3k + , : uk+1 = 3uk - ( giả