Bộ giáo dục và đào tạo TRờng đại học vinh CH TH KIM PHNG V M RNG PHN BC CA NHểM PHM TR BN Luận án tiến sĩ toán học NGH AN - 2014 Bộ giáo dục và đào tạo TRờng đại học vinh CH TH KIM PHNG V M RNG PHN BC CA NHểM PHM TR BN Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62. 46. 01. 04 Luận án tiến sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. NGUYN TIN QUANG 2. PGS. TS. NGễ S TNG NGH AN - 2014 i LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và các đồng tác giả. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Chế Thị Kim Phụng ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Tiến Quang và Thầy Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin cảm ơn NCS. Phạm Thị Cúc về sự cộng tác viết bài báo chung và thảo luận những bài toán có liên quan. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, các thành viên trong Bộ môn Đại số, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Sư phạm Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, - Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn, - Khoa Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp, đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Chế Thị Kim Phụng 1 MỤC LỤC Mục lục 1 Một số ký hiệu được dùng trong luận án 3 Bảng thuật ngữ 4 Sơ đồ mối liên hệ giữa các khái niệm 6 Mở đầu 7 1 Một số kiến thức chuẩn bị 16 1.1. Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Nhóm phạm trù phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Đối đồng điều của các Γ-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5. Nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc . . . . 26 1.6. Kết luận của Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Hệ nhân tử trong các phạm trù Picard phân bậc 30 2.1. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard  (M, N, h) . . . . . . . 35 2.3. Mở rộng Γ-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Kết luận của Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện 47 3.1. Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện . . . . . . . . . . 48 3.2. Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ . . . . . . . . . . . 55 3.3. Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4. Kết luận của Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 67 4.1. Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện . . . . 68 4.2. Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben . . . . . . . . . . . . 77 4.3. Kết luận của Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2 5 Mở rộng nhóm đẳng biến và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 85 5.1. Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2. Hạt nhân đẳng biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3. Phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến là mở rộng tâm . . . . . . . 90 5.4. Hợp thành của nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu . . . . . . 93 5.5. Kết luận của Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Kết luận chung 97 Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án 98 Tài liệu tham khảo 99 Chỉ mục 103 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ký hiệu Nghĩa AbCross phạm trù các môđun chéo aben BrCross phạm trù các môđun chéo bện Dis M phạm trù rời rạc ∆(F) mở rộng tích chéo của hệ nhân tử F Ext(Π, A) tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm của A bởi Π (F,  F , F ∗ ) hàm tử monoidal G nhóm phạm trù phân bậc  Γ (M, N, h) nhóm phạm trù Γ-phân bậc kiểu (M, N, h) Hom[C, C  ] tập các lớp đồng luân của các hàm tử từ C đến C  Hom(X, Y ) tập các mũi tên từ vật X đến vật Y H n ab nhóm đối đồng điều aben thứ n của nhóm H n s nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n của nhóm H n Γ,ab nhóm đối đồng điều aben thứ n của các Γ-môđun H n Γ,s nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n của các Γ-môđun id X mũi tên đồng nhất của vật X M (Γ-)môđun chéo bện (aben) Mor(C) tập các mũi tên của phạm trù C Ob(C) tập các vật của phạm trù C P nhóm phạm trù bện  (M, N, h) nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) P nhóm phạm trù phân bậc bện π 0 (C) tập các lớp vật đẳng cấu của phạm trù C π 1 (C) = Aut(I) tập các tự mũi tên của vật đơn vị I P(h) phạm trù thu gọn của phạm trù P Red N phạm trù thu gọn Z n ab nhóm các n-đối chu trình aben của nhóm Z n Γ,ab nhóm các n-đối chu trình aben của các Γ-môđun Z n Γ,s nhóm các n-đối chu trình đối xứng của các Γ-môđun Z n s nhóm các n-đối chu trình đối xứng của nhóm ✷ kết thúc chứng minh 4 BẢNG THUẬT NGỮ Tiếng Việt Tiếng Anh cản trở obstruction định lý phân lớp classification theorem đối đồng điều đối xứng symmetric cohomology Γ-môđun chéo Γ-crossed module Γ-môđun chéo aben abelian Γ-crossed module Γ-môđun chéo bện braided Γ-crossed module Γ-môđun chéo đối xứng symmetric Γ-crossed module giả hàm tử pseudofunctor hàm tử monoidal monoidal functor hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor hạt nhân đẳng biến equivariant kernel hệ nhân tử factor set lý thuyết cản trở obstruction theory lý thuyết Schreier Schreier theory môđun chéo crossed module môđun chéo aben abelian crossed module môđun chéo bện braided crossed module môđun chéo đối xứng symmetric crossed module môđun chéo đẳng biến equivariant crossed module môđun chéo đẳng biến aben abelian equivariant crossed module môđun chéo đẳng biến bện braided equivariant crossed module môđun chéo đẳng biến đối xứng symmetric equivariant crossed module mở rộng Γ-môđun Γ-module extension mở rộng nhóm đẳng biến equivariant group extension mở rộng tâm central extension nhóm phạm trù categorical group nhóm phạm trù bện braided categorical group nhóm phạm trù phân bậc bện braided graded categorical group nhóm phạm trù chặt chẽ strict categorical group nhóm phạm trù đối xứng symmetric categorical group 5 nhóm phạm trù phân bậc đối xứng symmetric graded categorical group nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ strict graded categorical group nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện braided strict graded cate-group phạm trù monoidal monoidal category phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category phạm trù Picard Picard category phạm trù Picard chặt chẽ strict Picard category phạm trù Picard phân bậc graded Picard category phạm trù Picard phân bậc chặt chẽ strict graded Picard category phạm trù tenxơ bện braided tensor category phép biến đổi tự nhiên natural transformation ràng buộc constraint ràng buộc đơn vị unit constraint ràng buộc giao hoán commutativity constraint ràng buộc kết hợp associativity constraint tích chéo crossed product tương đương monoidal monoidal equivalence 6 SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÁI NIỆM Nhóm phạm trù phân bậc bện Phạm trù Picard phân bậc _ ? oo Nhóm phạm trù bện Phạm trù Picard _ ? oo Nhóm phạm trù Nhóm phạm trù bện chặt chẽ bện _ ? oo oo // Môđun chéo bện Phạm trù Picard ?  OO Phạm trù Picard _ ? oo ?  OO oo // Môđun chéo aben ?  OO Mở rộng aben Mở rộng aben kiểu _ ? oo chặt chẽ môđun chéo aben Nhóm phạm trù Nhóm phạm trù phân phân bậc bện bậc chặt chẽ bện _ ? oo oo // Γ-môđun chéo bện Phạm trù Picard phân bậc ?  OO Phạm trù Picard _ ? oo ?  OO oo // Γ-môđun chéo aben ?  OO Mở rộng Γ-môđun Mở rộng Γ-môđun _ ? oo phân bậc chặt chẽ kiểu Γ-môđun chéo aben [...]... toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó trong số các kiểu môđun chéo đã được đề cập Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù như: phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện, nhóm. .. đồng cấu nhóm γ 7.2 Cấu trúc của luận án Nội dung của luận án được trình bày trong năm chương Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về phạm trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc Đồng thời, chúng tôi còn trình bày sự phân lớp các hàm tử monoidal (phân bậc) đối... một phạm trù monoidal phân bậc bện sao cho mọi mũi tên đều đẳng cấu và mọi vật đều khả nghịch Nếu bện c trong nhóm phạm trù phân bậc bện P là ràng buộc giao hoán thì P được gọi là phạm trù Picard phân bậc (xem [15]) Phạm trù con KerP của nhóm phạm trù phân bậc bện P (tương ứng, phạm trù Picard phân bậc) có vật là các vật của P và các mũi tên là những mũi tên bậc 1 trong P , là một nhóm phạm trù bện (tương... N, h) là một phạm trù Picard phân bậc Nếu M = π0 P và N = π1 P thì Γ (M, N, h) được ký hiệu là P(h) Để tiện sử dụng, chúng tôi gọi nhóm phạm trù phân bậc bện P(h) (tương ứng, phạm trù Picard phân bậc) là một nhóm phạm trù phân bậc bện thu gọn (tương ứng, phạm trù Picard phân bậc thu gọn) của nhóm phạm phân bậc bện P (tương ứng, phạm trù Picard phân bậc) Chúng tôi đã định nghĩa cản trở của một hàm tử... tử của A Grothendieck [44] để phân lớp các mở rộng phân bậc của phạm trù monoidal Nhưng sau đó họ đã không tiếp tục sử dụng phương pháp này trong nghiên cứu về nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc Trong [31], N T Quang đã giới thiệu một cách tiếp cận khác cho bài toán phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc dựa trên phương pháp hệ nhân tử Theo [13], mỗi nhóm phạm. .. Kết luận của Chương 1 Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về phạm trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picrad phân bậc Đồng thời, chúng tôi còn trình bày về sự phân lớp các hàm tử monoidal (phân bậc) đối xứng kiểu (ϕ, f ) 30 CHƯƠNG 2 HỆ NHÂN TỬ TRONG CÁC PHẠM TRÙ... quả phân lớp về nhóm phạm trù phân bậc bện hay phạm trù Picard phân bậc như cách tiếp cận của A M Cegarra và các đồng tác giả trong [11] cho các mở rộng nhóm đẳng biến Nội dung đầu tiên của luận án là nghiên cứu phạm trù Picard Γ -phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đương với một mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù. .. ứng, phạm trù Picard) Giả sử C là một phạm trù monoidal bện (đối xứng) Một mở rộng phân bậc của C là một cặp (P, J), trong đó P = (P, gr) là một phạm trù monoidal phân bậc bện (đối xứng) và J = (J, J, J∗ ) : C −→ Ker P là một tương đương monoidal đối xứng Khi C là một nhóm phạm trù bện (tương ứng, phạm trù Picard) thì cặp (P, J) là một mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện C (tương ứng, phạm trù Picard)... Theo [13], mỗi nhóm phạm trù Γ -phân bậc được xem như một mở rộng của một nhóm phạm trù bởi nhóm Γ Do mỗi nhóm phạm trù tương đương với một nhóm phạm trù kiểu (Π, A) (xem H X Sính [46]) nên nảy sinh một câu hỏi tự nhiên là: mỗi nhóm phạm trù Γ -phân bậc có tương đương với một mở rộng Γ -phân bậc của một nhóm phạm trù kiểu (Π, A) hay không? Nếu câu trả lời là khẳng định thì bài toán phân lớp có thể được thực... lớp các mở rộng nhóm đẳng biến A → E → Π với A ⊂ ZE bởi các tự hàm tử monoidal Γ -phân bậc của nhóm phạm trù Γ -phân bậc Γ (Π, A, 0) (Định lý 5.3.1) Thứ ba, chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợp thành của 14 một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu (Định lý 5.4.1) Kết quả này mở rộng cấu trúc pull-back của S MacLane [26] trong phép dựng mở rộng nhóm Eγ của mở rộng E . trù phân bậc bện Phạm trù Picard phân bậc _ ? oo Nhóm phạm trù bện Phạm trù Picard _ ? oo Nhóm phạm trù Nhóm phạm trù bện chặt chẽ bện _ ? oo oo // Môđun chéo bện Phạm trù Picard ?  OO Phạm trù. niệm và kết quả về phạm trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc. Đồng thời,. nhóm phạm trù bện . 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù như: phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm phạm trù phân