Ngày soạn : 18/01/10 Ngày dạy : 24/01/10 Chủ đề 5 Hệ phơng trình Buổi 1 các phơng pháp giải hệ phơng trình A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Luyện tập cho học sinh thành thạo việc giải hệ phơng trình bằng ph- ơng pháp cộng đại số, phơng pháp thế và một số bài toán có liên quan đến việc giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng vận dụng lí thuyết vào giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số, phơng pháp thế nhanh và chính xác. - Trình bày lời giải khoa học. Thái độ - Học sinh tích cực ôn luyện B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ - HS1: Nêu định nghĩa hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm nghiệm và tập nghiệm của nó ? Thế nào là hai hệ phơng trình tơng đơng ? - HS2: Nêu quy tắc cộng và quy tắc thế để giải hệ phơng trình III. Bài mới Phần I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa (SGK/9) Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: + = + = ax by c (I) a' x b' y c ' (trong đó a, b, c, a , b, c có thể chứa tham số) 2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm (SGK/9) - Nghiệm (x 0 ; y 0 ) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phơng trình trong hệ - Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phơng trình vô nghiệm - Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó. *) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm. ax by c a' x b' y c ' + = + = (a, b, c, a, b, c khác 0) + Hệ có vô số nghiệm nếu a b c a' b' c ' = = + Hệ vô nghiệm nếu a b c a' b' c ' = + Hệ có một nghiệm duy nhất nếu a b a' b' + Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là ab ab = 0 3. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn . ax by c a' x b' y c ' + = + = a) Phơng pháp cộng đại số. *) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số Bớc1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn) Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho *) Tổng quát: + Nếu có ax by c ax b' y c' + = + = + = + + = (b b')y c c ' ax b' y c' + Nếu có ax by c ax b' y c ' + = + = (b b')y c c ' ax b' y c' = + = + Nếu có ax by c k.ax b' y c ' + = + = + = + = k.ax kby kc k.ax b' y c ' (kb b')y k.c c ' ax by c = + = b) Phơng pháp thế. *) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế Bớc 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho *) Tổng quát: ax by c a' x b' y c ' + = + = a c y x b b a' x b' y c ' = + + = = + + + = ữ a c y x b b a c a' x b' x c ' b b c) Phơng pháp đồ thị - Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình trong hệ - Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng +) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ thị đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm của hệ +) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vô nghiệm +) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.) 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Bớc1: Lập hệ phơng trình - Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đã biết - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói trên Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận. Phần II. Bài tập: 1. Bài 1: Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số: a) x y x y = + = b) x y x y + = = c) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x y x y + = + = d) x y x y = + = Giải: a) x y x y = + = x y x y = + + = x x y = + = x y = + = x y = + = x y = = x y = = Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (2 ; 1) b) x y x y + = = = + = y x y = + = y x = = y x = = y x = = y x Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = ( ; 4) c) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x y x y + = + = xy x y x y xy x y x y + = + = x y x y + = = ( ) y y x y + + = = + y y x y + = = + y x y = = + y x = = + y x = = Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = ( ) d) x y x y = + = x y x y = + + = x x y = + = x y = = x y = = x y = = x y = = Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( ) x y= = 2. Bài 2: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. a) x y x y = + = b) x y x y = + = c) + = + = + x y x y x y x y Giải: a) Xét hệ phơng trình: x y x y = + = Điều kiện: x ; y Đặt a = x ; b = y khi đó hệ phơng trình trở thành a b a b = + = a b a b = + + = a a b = + + = a b = + = a b = = a b = = a b = = x y = = x y = = Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) = ữ b) Xét hệ phơng trình: x y x y = + = Điều kiện: x ; y Đặt a = x ; b = y khi đó hệ phơng trình trở thành a b a b = + = a b a b = + + = a a b = + = a b = + = a b = = a b = = a b = = x y = = x y = = (t/m) Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) = ữ c) Xét hệ phơng trình: + = + = + x y x y x y x y Điều kiện: x y Đặt a = x y+ ; b = x y khi đó hệ phơng trình trở thành : a b a b + = + = a a b = + = a b = + = a b = = a b = = x y x y = + = x y x y + = = x x y = + = x y = + = x y = = (t/m) Vậy hệ phơng trình có nghiệm là ( x; y ) = ( ) 3. Bài 3: Cho hệ phơng trình: mx y x my + = + = a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình mx y x my + = + = ta có hệ phơng trình trở thành x y x y + = + = ( ) y x x x = + = y x x x = + = y x x = = y x = = y x = = Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m Ta có mx y x my + = + = ( ) y mx x m mx = + = y mx x m m x = + = ( ) = = y mx m x m y mx m x m = = m y m m m x m = ữ = m m y m m x m = = m m m y m m x m + = = m y m m x m = = (m 1 ) Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m m m ữ với m 1 - Xét m = 1 => Phơng trình (*) <=> 0x = 1, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Xét m = - 1 => Phơng trình (*) <=> 0x = 3, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 m m m m = ( ) m m m = m m+ = ( ) m m + = m m = + = m m = = m = 0 (nhận), m = - 1 (loại) Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phơng trình mx y x my + = + = ( ) ( ) Từ phơng trình ( ) mx y= y m x = thay y m x = vào phơng trình ( ) ta có phơng trình y x y x + = ữ y y x x + = x y y x+ = x y y x+ = Vậy x y y x+ = là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. 4. Bài 4: Giải các hệ phơng trình sau: a) x x y + = + = b) x y x y + = + = c) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = x y xy x y xy d) x y x y + = + = Giải: a) x x y + = + = ( ) x y = + = x y = + = x y = = + x y = = x y = = Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = ữ b) x y x y + = + = ( ) x y x x + = + + = + = + + = x y x x + = = x y x + = ữ = y x + = = y x = = y x Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = ữ c) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x y x y + = + = xy x y x y xy x y x y + = + = x y x y = + + = x x y = + = x y = + = x y = = x y = = Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = ( ) d) Xét hệ phơng trình: x y x y + = + = Điều kiện: x ; y Đặt a = x ; b = y khi đó hệ phơng trình trở thành a b a b + = + = a b a b + = + = a a b = + = a b = + = a b = = a b = = x y = = x y = = ( thoả mãn) Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) = ữ 5. Bài 5: Cho hệ phơng trình: ( ) ( ) m x y m x m y + = + = có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x 2 - 7y = 1 d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x y x y + nhận giá trị nguyên. (Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 2005) Giải: a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ( ) ( ) m x y m x m y + = + = ta có hệ phơng trình trở thành ( ) ( ) x y x y + = + = x y x y + = + = x y x y + = + = x x y = + = x y = + = x y = = x y = = x y = = Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ữ b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phơng trình ( ) ( ) m x y m x m y + = + = ( ) ( ) Từ phơng trình ( ) x my y+ = my x y= + x y m y + = thay x y m y + = vào phơng trình ( ) ta có phơng trình: x y x y x y y y + + + = ữ x y y x y x y y y + + + = ữ x x y x y y y + + = ữ x x y x y y y + + = x x y x y + = + x y x y + + = Vậy x y x y + + = là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải hệ phơng trình ( ) ( ) m x y m x m y + = + = theo tham số m ta có hpt ( ) ( ) m x y m x m y + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) m x m y m m x m y + = + = ( ) ( ) ( ) m x x m m x m y = + = ( ) ( ) m m x m m x m y + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = m m x m m x m y ( ) m x m m m y m + = + + = ( ) m x m m m y m + = + = ` ( ) m x m m m m y m + = = ( ) m x m m m y m + = = m x m y m + = = Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m m + ữ ( m 0,m 2 ) - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là ( x R;y 2 x = ) +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x 2 - 7y = 1 m m m + = ữ ữ m m m m + + = m m m m+ + = m m + = ( ) ( ) m m = m m = = = = 2 (loại) 1 m m <=> m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x 2 - 7y = 1 d) Thay m x m + = ; y m = vào biểu thức A = x y x y + ta đợc biểu thức A = m m m m m m + ữ + + = m m m m + + + = m m m m + = m m + = ( ) m m + + = ( ) m m m + + + = m + Để biểu thức A = x y x y + nhận giá trị nguyên m + nhận giá trị nguyên m + nhận giá trị nguyên ( ) m +M (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) = { } m m m m + = + = + = + = m m m m = = = = m m m m = = = = Kết hợp với điều kiện m ; m Vậy với các giá trị { } m 7; 3; 1;3 thì giá trị của biểu thức x y x y + nhận giá trị nguyên. 6. Bài 6: Cho hệ phơng trình: ax by c a x b y c + = + = (a, b, c, a, b, c khác 0) a) Chứng minh rằng hệ phơng trình có nghiệm duy nhất a b a b b) Chứng minh rằng hệ phơng trình vô nghiệm a b c a b c = c) Chứng minh rằng hệ phơng trình vô số nghiệm a b c a b c = = Giải: a) Ta có hệ phơng trình: ax by c a x b y c + = + = a c y x b b a c y x b b = + = + ( ) ( ) Số giao điểm của 2 đờng thẳng (1); (2) là số nghiệm của hệ phơng trình ax by c a x b y c + = + = Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) cắt nhau a a b b a b a b Vậy với a b a b thì hpt có 1 nghiệm duy nhất b) Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) song song a a b b c c b b = a b a b b c b c = a b c a b c = Vậy với a b c a b c = thì hệ phơng trình vô nghiệm. c) Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) trùng nhau a a b b c c b b = = a b a b b c b c = = a b c a b c = = Vậy với a b c a b c = = thì hệ phơng trình có vô số nghiệm. Kết luận: Hệ phơng trình: ax by c a x b y c + = + = (a, b, c, a, b, c khác 0) +) Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất a b a b +) Hệ phơng trình có vô nghiệm a b c a b c = +) Hệ phơng trình vô số nghiệm a b c a b c = = IV. Hớng dẫn về nhà - Xem lại các bài tập đã chữa, học lại các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Bài tập về nhà: Cho hệ phơng trình: mx y x my = + = a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y = - 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. [...]... mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 mx + 3x) = 8 - mx + 6x = 4 x.(6- m) = 4 (m 6) 4 24 6m x= Thay vào y = 2 (m 3).x ta có: y = 6m 6m 4 Z 6 - m Ư(4) = { 1; 1;2; 2;4; 4} Để x Z +) +) +) +) +) 6m 6m=1 m=5 6 m = -1 m = 7 6m =2 m=4 6 m = - 2 m = 8 6 m = 4 m = 2 +) 6 m = - 4 m = 10 Thay m = 5 vào y = Thay m = 7 vào y = Thay m = 4 vào y = Thay m = 8 vào y = Thay m = 2 vào y = Thay m =... mới 1 Bài tập 1: Bài 43: (SGK/27) - Gọi vận tốc của ngời đi nhanh là x (m/phút ), vận tốc của ngời đi chậm là y (m/phút) (ĐK: x, y > 0) - Nếu hai ngời cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đờng ngời đi nhanh đi đợc là 2km = 2000m và quãng đờng ngời đi chậm đi đợc là 1,6km = 1600m => thời gian ngời đi nhanh đi là : đi là : 2000 phút , thời gian ngời đi chậm x 1600 phút y Theo bài ra ta có phơng trình:... số để hệ phơng trình có nghiệm y = y 0 Cách 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình (1) 3x 2y = 7 2 (2) (5n + 1)x (n 2)y = n 4n 3 Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 2.(- 2)... 1 Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7 2 7 x.(3m + 2) = 7 (m ) x= 3m + 2 3 Thay vào y = mx 1 y = Để x Z 7 4m 2 m 1 y = 3m + 2 3m + 2 7 ; } Z 3m + 2 Ư(7) = 7; 7;1 1 3m + 2 { +) 3m + 2 = - 7 m = - 3 5 +) 3m + 2 = 7 m = Z (loại) 3 1 +) 3m + 2 = 1 m = Z (loại) 3 +) 3m + 2 = -1 m = - 1 4m 2 y = 2 (t/m) 3m + 2 4m 2 y = 6 (t/m) Thay m = - 1 vào y = 3m + 2 Thay. .. của dòng nớc, vận tốc thực của ca nô nh thế nào ? ( Vxuôi dòng = VThực + V nớc = x + y ; VNgợc = VThực - V nớc = x - y) - Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngợc dòng 63 km ta có phơng trình nào ? ( 108 63 + =7) x+y x-y - Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngợc dòng 84 km ta có phơng trình nào ? ( 81 84 + =7) x+y x-y 63 108 x + y + x - y = 7 - GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập hệ...*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - http://quanghieu030778.violet.vn/ Ngày soạn : 22/01/10 Ngày dạy : 27/01/10 Chủ đề 5 Hệ phơng trình Buổi 2 Luyện tập (tiết 1) A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Tiếp tục luyện tập cho học sinh thành thạo giải một số bài toán có liên quan đến việc giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn - Củng cố cách giải... gặp nhau mỗi ngời đi đợc 1800m thời gian ngời đi nhanh đi đến chỗ gặp nhau là : 1800 (phút) và của ngời đi x 1800 (phút) Theo bài ra ta có phơng trình y 1800 1800 +6= ( 2) x y 5 4 = 4x = 5 y x y Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình : 1800 1800 x +6 = y 1800 + 6 = 1800 x y chậm đi là : Đặt 1 = a, 1 = b Kết quả x y x = 75 y = 60 Vậy vận tốc ngời đi nhanh là: 75 m/phút ; ngời đi chậm là: 60... 2: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B muộn 1 giờ Tính vận tốc dự định và thời gian dự định GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập *) GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau: Vận tốc ( km/h) Thời gian (h) Quãng đờng AB Dự định x (h) y (h) x.y... tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h) (Điều kiện x > 4, y > 2) Thì quãng đờng AB là x.y (km) - Nếu tăng vận tốc đi 14 km/h thì vận tốc là: x + 14 (km/h) và đến sớm 2 giờ nên thời gian thực đi là: y - 2 (h) do đó ta có phơng trình: (x +14).(y - 2) = x.y (1) - Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x - 4 (km/h) và đến muộn 1 giờ nên thời gian thực đi là: y + 1 (h) do đó... (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 6 (h) 3 Bài tập 3: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 15 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì đến B muộn 2 giờ Tính quãng đờng AB GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập *) GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau: Vận tốc ( km/h) Thời gian (h) Quãng . V nớc = x - y) - Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngợc dòng 63 km ta có ph- ơng trình nào ? ( ) - Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngợc dòng 84 km ta có ph- ơng. 2km = 2000m và quãng đờng ngời đi chậm đi đợc là 1,6km = 1600m => thời gian ngời đi nhanh đi là : x phút , thời gian ngời đi chậm đi là : y phút . Theo bài ra ta có phơng trình: . A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định. GV gọi h/s