Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện CÁC TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG TRONG BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN Trần Lê Hùng Trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị Tĩnh điện là một nội dung quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. Để giải các bài toán tĩnh điện học sinh ngoài việc cần nắm vững bản chất hiện tượng vật lí liên quan, còn phải biết sử dụng thành thạo các công cụ toán học như tích phân, đạo hàm…. Ngoài ra người ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp sử dụng định luật bảo toàn, phương pháp sử dụng định lí O-G, phương pháp ảnh điện, phương pháp thay thế tương tương …. Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh nhỏ, đó là vận dụng các tính chất đối xứng trong các bài toán tĩnh điện. Việc sử dụng tính đối xứng sẽ giúp định hình về mặt phương pháp, thao tác giải quyết bài toán sẽ nhanh gọn và hiệu quả hơn. 1. Tính đối xứng của các phân bố điện tích 1.1. Phép đối xứng phẳng Điện tích của một phân bố bất biến đối với phép đối xứng phẳng qua mặt phẳng xOy nếu như: (x, y, z) (x, y,z)ρ − = ρ 1.2. Phép phản đối xứng phẳng Mặt phẳng xOy là phản đối xứng nếu phân bố thoả mãn: (M') (M) hay (x, y, z) (x, y,z)ρ = −ρ ρ − = −ρ 1.3. Bất biến do phép tịnh tiến Phân bố là bất biến do phép tịnh tiến song song với một trục khi mật độ điện tích là như nhau tại một điểm M của phân bố và tại mọi điểm M’ có được bằng phép tịnh tịnh tiến M song song với trục ấy. Mật độ điện tích của một phân bố là bất biến do phép tịnh tiến theo trục Oz nếu như: (x, y,z) (x, y)ρ = ρ Chú ý rằng, mọi mặt phẳng vuông góc trục Oz đều là mặt phẳng đối xứng của phân bố điện tích. 1.4. Bất biến do phép quay Một phân bố là bất biến do phép quay quanh trục Oz nếu mật độ điện tích là như nhau tại một điểm M của phân bố và tại mọi điểm M’ thu được bằng một phép quay bất kì của điểm M xung quanh trục đó. Gọi (r, ,z)θ là các toạ độ trụ trục Oz của M. Đối với một phân bố như thế, sự phân bố các điện tích phải không phụ thuộc góc θ . Điện tích của một phân bố là bất biến đối với phép quay xung quanh trục Oz nếu như: (r, ,z) (r,z)ρ θ = ρ Chú ý rằng, mọi mặt phẳng chứa Oz đều là mặt phẳng đối xứng của phân bố điện tích. 1 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện 1.5. Phân bố có tính đối xứng trụ Phân bố đối xứng trụ là bất biến đối với phép tịnh tiến song song với một trục (Oz) (mọi mặt phẳng vuông góc trục Oz đều là mặt phẳng đối xứng) và quay tròn xung quanh trục đó (mọi mặt phẳng chứa Oz là mặt phẳng đối xứng). Gọi (r, ,z)θ là các toạ độ trụ trục Oz. Phân bố đối xứng trụ: (r, ,z) (r)ρ θ = ρ 1.6. Phân bố có tính đối xứng cầu Phân bố đối xứng cầu là bất biến đối với phép quay xung quanh tất cả các trục đi qua tâm đối xứng. Mọi mặt phẳng chứa gốc đều là mặt phẳng đối xứng của phân bố. Sử dụng toạ độ cầu (r, , )θ ϕ với gốc là tâm đối xứng. Phân bố đối xứng cầu: (r, , ) (r)ρ θ ϕ = ρ 2. Trường và thế gây ra bởi các phân bố điện tích đối xứng Trong bài toán tính cường độ điện trường gây ra bởi một phân bố, việc sử dụng các tích phân là khá vất vả. Tuy nhiên nếu các phân bố có dạng đối xứng, một vài phép toán đơn giản hoá (khử đi một số toạ độ của điểm cần tính toán, loại bỏ các thành phần của trường…) có thể được thực hiện mà không cần nhiều phép tính toán. Một phương pháp hữu hiệu để tính toán trường gây ra bởi một phân bố đối xứng là sử dụng định lí O-G. Trước hết chúng ta phải dựa vào các mặt phẳng đối xứng hoặc phản đối xứng để xác định hướng của trường. Sử dụng tính bât biến của các phép quay hoặc phép tịnh tiến để giảm bớt sự phụ thuộc của các thành phần của trường đối với các toạ độ. Hình dạng thu được của trường quyết định việc lựa chọn một mặt Gauss làm cho phép tính thông lượng trở thành sơ cấp. 2.1. Phép đối xứng phẳng Phân bố D là bất biến đối với một phép phản đối xứng phẳng ϕ qua một mặt phẳng P. Cường độ điện trường do D tạo ra là song song với mặt phẳng P (H.1). 2.2. Phản đối xứng phẳng 2 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện Phân bố D* là bất biến đối với một phép phản đối xứng phẳng * ϕ qua mặt phẳng phản đối xứng P*. Cường độ điện trường do phân bố D* tạo ra là vuông góc với mặt phẳng P* (H.2). 2.3. Bất biến với phép tịnh tiến Khi một phân bố D là bất biến đối với phép tịnh tiến z∆ song song với trục Oz (H.3): E(x,y,z n z) E(x, y,z)+ ∆ = r r hay x x y y E(x,y,z) E(x,y) E (x, y)e E (x, y)e= = + r r r r Trong trường hợp này hàm thế chỉ phụ thuộc vào các biến số x và y. 2.4. Bất biến với phép quay Xét một phân bố điện tích bất biến với phép quay R một góc α (H.4) quanh trục Oz. Trường tĩnh điện ở M và M’ đều có cùng các thành phần trong các hệ toạ độ (Ox,Oy,Oz) và (R(Ox),R(Oy),R(Oz)) tương ứng. Cường độ điện trường tại M’ cũng giống như cường độ điện trường tại M với một phép quay xung quanh vectơ z e r một góc α . Trong hệ toạ độ trụ trục Oz, r r z z E(r, ,z) E (r,z)e E (r,z)eθ = + r r r . Hàm thế chỉ phụ thuộc vào các biến r và z của toạ độ trụ. 2.5. Đối xứng trụ và đối xứng cầu Trường của một phân bố đối xứng trụ trục Oz (sự phân bố điện tích chỉ là hàm của khoảng cách đến trục Oz trong toạ độ trụ) có dạng: r E(r, ,z) E(r)eθ = r r . Hàm thế chỉ phụ thuộc khoảng cách r tới trục Oz: V(r) V(r, ,z) V(r)= θ = r Trường của một phân bố đối xứng cầu tâm O, trong toạ độ cầu: r E(r, , ) E(r)eθ ϕ = r r Hàm thế chỉ phụ thuộc khoảng cách r tới tâm O: V(r) V(r, , ) V(r)= θ ϕ = r 3. Bài tập minh hoạ 3.1. Ví dụ 1 Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một quả cầu tích điện đều trên bề mặt với mật độ điện tích mặt σ . Giải 3 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện Vì rằng mọi mặt phẳng chứa O đều là mặt phẳng đối xứng của phân bố nên vectơ cường độ điện trường phải song song với tất cả các mặt này, do đó ta có thể dễ dàng kết luận rằng cường độ điện trường tại O bằng không mà không cần phép tính toán nào. Xét tại một điểm bất kì trong không gian, tất cả các mặt phẳng chứa O và M đều là mặt phẳng đối xứng, E r phải mang giao tuyến của chúng, vậy r E E.e= r r . Cũng do tính đối xứng cầu của phân bố, E là một hàm của r, tức là r E E(r).e= r r Bằng việc sử dụng định lí Gauss (mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r) ta có thể chỉ ra rằng cường độ điện trường bằng không tại mọi điểm bên trong quả cầu. Trên mặt cầu r 0 E e σ = ε ε r r , và bên ngoài mặt cầu 2 r 2 0 R E e .r σ = ε ε r r . 3.2. Ví dụ 2 Tính cường độ điện trường tạo bởi một đĩa tròn phẳng bán kính R tích điện đều trên bề mặt với mật độ điện tích mặt σ , tại một điểm trên trục của nó. Giải Trục của đĩa là một trục tròn xoay của phân bố điện tích. Tại một điểm M của trục này, trường phải bất biến đối với phép quay quanh trục Oz, do đó: z E(M) E.e= r r 2 0 0 2 2 2 3 0 0 dS E cos 4 r z 2 .z sin d E (1 cos ) 1 dS 2 .z tan .d(z tan ) 2 2 R z cos z r cos θ  σ = α  πε    σ σ  π α α ⇒ = − θ = −   ÷ = π α α = ε ε +   α   =  α  ∫ Hơn nữa, tại điểm đối xứng với M qua mặt phẳng đĩa, ta sẽ có: E( z) E(z)− = − r r 3.3. Ví dụ 3 Một băng có bề rộng 2a, dài vô hạn được mô tả trên sơ đồ, mang mật độ điện tích mặt đều 0 σ . Hãy tính cường độ điện trường tạo ra bởi băng tại điểm M(0,0,z). Giải Mặt phẳng (xOz) là một mặt phẳng đối xứng của phân bố điện tích nên vectơ cường độ điện trường E r phải nằm trong mặt phẳng này. Mặt phẳng (yOz) là một 4 2a x z y O M Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện mặt phẳng đối xứng của phân bố điện tích nên vectơ cường độ điện trường E r phải nằm trong mặt phẳng này. Như vậy E r được mang bởi giao tuyến của hai mặt phẳng này z z E E (z).e= r r . Chia băng thành từng sợi mảnh dy, mỗi sợi mang mật độ điện dài 0 d dyλ = σ . Cường độ điện trường gây ra bởi mỗi sợi được xác định bởi r 0 d dE e 2 r λ = πε r r . Hình chiếu của điện trường nguyên tố này trên trục Oz cho bởi: 0 z 0 cos dE dy 2 r σ α = πε . Trong đó 2 z r cos d y z.tan dy z cos  =   α  α  = α → =  α  0 0 ymax 2 0 0 0 z ymax 0 0 0 E cos .dy d 2 z 2 2 α − −α σ σ σ ⇒ = α = α = ∆α πε πε πε ∫ ∫ Với ∆α là góc nhìn bề rộng của băng từ M 0 z 0 a E arctan e z σ   → =  ÷ πε   r r 3.4. Ví dụ 4 Quả cầu bán kính R, mang mật độ điện tích mặt σ phân bố đều trên bề mặt của nó nằm giữa hai mặt phảng có độ cao z 1 và z 2 ( 1 2 R z z z R− ≤ ≤ ≤ ≤ ). Tính cường độ điện trường tại tâm quả cầu. Giải Điểm O thuộc về mặt phẳng đối xứng (xOz) và (yOz) của phân bố điện tích nên vectơ cường độ điện trường E r phải được mang bởi giao tuyến của hai mặt phẳng này là trục Oz, z E(O) E.e= r r Trường cần tìm là sự chồng chập của các trường nguyên tố tạo ra bởi các vòng có cùng trục Oz. Các phần này là các phần diện tích, trên mặt cầu, giới hạn giữa hai hình nón có góc ở đỉnh là 2α và 2( d )α + α , có bán kính r Rsin= α . Mật độ điện dài trên các vòng này là: d Rdλ = σ α . Cường độ điện trường do các vòng này gây ra: 2 r 2 z 2 0 0 0 0 0 d d dE cos .dl cos sin cos sin .d d(sin ) 4 R 2 R 2 4 π λ λ σ σ = − α = − α α = − α α α = − α πε ε ε ε ∫ 2 2 2 2 2 2 2 1 z 1 2 z 2 1 z z 2 0 0 0 (z z ) E (sin sin )e (cos cos )e e 4 4 4 R σ σ σ − = − α − α = − α − α = − ε ε ε r r r r 5 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện Nếu cho toàn bộ quả cầu tích điện: 1 2 z z R− = = E 0→ = Nếu tích điện cho một nữa quả cầu: z 1 = 0, z 2 = R z 0 E(O) e 4 σ = − ε r r 3.5. Ví dụ 5 Hệ N điện tích điểm q 1 , q 2 , …, q N được phân bố trên trục Oz. Chứng tỏ rằng phương trình một đường sức của trường có dạng: N i i i 1 q cos const = θ = ∑ trong đó các góc i θ được xác định như trên hình vẽ. Giải Hệ là tròn xoay xung quanh trục Oz và các đường sức đều nằm trong các mặt phẳng chứa trục Oz như mặt phẳng hình vẽ. Cường độ điện trường tại điểm M, có toạ độ trụ r và z, gây ra bởi N điện tích điểm có toạ độ z 1 là: N i i r i z i 2 2 i 1 0 i q sin e cos e E (M) 4 r (z z ) = θ + θ = πε   + −   ∑ r r r Với một dịch chuyển nguyên tố r z dr dr.e dz.e= + r r r dọc theo một đường sức, Phương trình vi phân của một đường sức có dạng dr E 0∧ = r r r , có nghĩa là: N N N i i i i i i i 3/2 1/2 2 2 2 2 2 2 i 1 i 1 i 1 i i i sin dz cos dr rdz (z z )dr 1 (z z ) 0 q q q d r r (z z ) r (z z ) r (z z ) = = =   θ − θ − − −  ÷ = = =    ÷ + −     + − + −         ∑ ∑ ∑ N N i i i i i 1 i 1 q d(cos ) 0 hay q cos const = = → θ = θ = ∑ ∑ 3.6. Ví dụ 6 Một khối cầu bán kính a mang mật độ điện tích khối đều ρ , có một lỗ hổng hình cầu có bán kính b không chứa điện tích nào. Xác định cường độ điện trường bên trong lỗ hổng. Giải Phân bố này tương ứng với sự chồng chất của hai phân bố đối xứng: 1 ϕ tương ứng với mật độ điện khối ρ phân phối đều trong quả cầu tâm O 1 , bán kính a; 2 ϕ tương ứng với mật độ điện khối −ρ phân phối đều trong quả cầu tâm O 2 , bán kính b. Xét tại điểm M bên trong lỗ hổng, dùng định lý Gauss: 6 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện 2 3 1 1 0 1 1 1 0 2 3 2 2 0 2 2 2 0 4 4 r E r E r 3 3 4 4 r E r E r 3 3 ρ  φ = π ε = π ρ ⇒ =  ε   ρ  φ = π ε = − π ρ ⇒ = −  ε  1 1 0 2 2 0 E (M) O M 3 E (M) O M 3 ρ  =  ε  ⇒  ρ  = −  ε  uuuur r uuuuur r Theo nguyên lí chồng chất điện trường ta có: 1 2 0 E(M) O O 3 ρ = ε uuuuur r . Như vậy điện trường là đều bên trong lỗ hổng. 3.7. Ví dụ 7 Quả cầu tâm O bán kính R mang mật độ điện tích mặt 0 cosσ = σ θ . a. Chứng tỏ rằng phân bố này tương đương với phân bố của hệ hai khối cầu bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích khối là 0 −ρ và 0 +ρ khi cho tâm O 1 và O 2 tiến đến gặp nhau. b. Xác định cường độ điện trường và hiệu điện thế ở bên trong và bên ngoài quả cầu (chọn mốc điện thế tại O). Giải: a. Trong hệ toạ độ cầu gốc O, trục Oz thì một phần tử diện tích nguyên tố cắt trên mặt cầu tâm O bán kính R bằng: 2 dS Rd .Rsin d R sin .d d= θ θ ϕ = θ θ ϕ . Mang điện tích: 0 dq dS cos dS= σ = σ θ (1) Xét hệ hai khối cầu mang điện, trong không gian chung của chúng, điện tích toàn phần bằng không. Như vậy khi O 1 tiến tới O 2 , các điện tích của phân bố này được định vị trong một màng mỏng, lân cận bề mặt quả cầu tâm O bán kính R, mang mật độ điện khối 0 −ρ và 0 +ρ , theo dấu của z, tức là của cosθ . Xét phần tử thể tích giới hạn bởi hai diện tích nguyên tố dS và cách nhau x = MN. Ta có: 1 2 1 1 2 2 1 2 O O a a O H O H sin 2 H H acos =    = = θ   = θ   2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 H N R O H H N H M H M R O H  = +  ⇒ ⇒ =  = +   1 2 MN x H H a | cos | dV a | cos | dS⇒ = = = θ ⇒ = θ 0 0 0 0 dq a cos dS dq cos dS a = ρ θ  ⇒ ⇒ = σ θ  σ = ρ  (2) Như vậy phân bố thứ nhất có thể thu được từ phân bố thứ hai khi cho a 0 → , với điều kiện áp đặt 0 0 a constσ = ρ = , 0 ( )ρ → ∞ 7 z O A θ R Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện b. Vì rằng hai mặt phẳng (xOz) và (yOz) là hai mặt phẳng đối xứng của phân bố điện tích này nên cường độ điện trường phải song song với hai mặt này, do đó sẽ song song trục Oz. + Xét tại điểm M bên trong quả cầu cách O một khoảng r, dùng định lý Gauss: 2 3 0 0 0 0 4 4 r E r E r 3 3 ρ φ = π ε = π ρ ⇒ = ε 0 1 1 0 0 2 2 0 E (M) O M 3 E (M) O M 3 ρ  =  ε  ⇒  ρ  =  ε  uuuur r uuuuur r Theo nguyên lí chồng chất điện trường ta có: 0 0 0 1 2 z z 0 0 0 a E(M) O O e e 3 3 3 ρ ρ σ = = − = − ε ε ε uuuuur r r r Như vậy cường độ điện trường tại mọi điểm bên trong quả cầu là như nhau. Điện thế bên trong quả cầu: z z 0 0 0 z 0 0 0 0 0 V E dz cos .dz z r cos 3 3 3 σ σ σ = = − π = = θ ε ε ε ∫ ∫ r r + Xét tại một điểm bên ngoài quả cầu. Mỗi khối cầu 0 +ρ và 0 −ρ được xem như hai điện tích điểm đặt tại O 1 và O 2 có điện tích tương ứng là 3 1 0 4 q R 3 = π ρ và 3 2 0 4 q R 3 = − π ρ . Ta có một lưỡng cực điện, vectơ lưỡng cực điện là: 3 3 2 1 0 z 0 z 4 4 p q.O O R a.e R .e 3 3 = = π ρ = π σ uuuuur r r r Điện thế: 3 3 0z 0 3 3 2 0 0 0 R cos1 p.OM 4 1 e .OM V(M) . R 4 OM 3 4 OM 3 r σ θ = = π σ = πε πε ε uuuur uuuur r r Cường độ điện trường: 3 0 r 3 0 r M 3 3 0 0 3 0 2R cos E 3 r 2pcos .e psin .e1 E 4 r R sin E 3 r θ θ  σ θ =  ε θ + θ  = ⇒  πε σ θ  =  ε  r r r 3.8. Ví dụ 8 Cho một điện tích điểm dương q = 1 nC 1. Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a = 10cm. Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phương đó. Nếu bên ngoài hình lập phương đó còn các điện tích khác thì điện thông qua từng mặt của hình lập phương và qua toàn bộ hình lập phương có thay đổi không? 2. Đặt điện tích q tại đỉnh của hình lập phương nói trên. Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phương. 8 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện 3. Đặt điện tích q tại tâm O của một vỏ cầu kim loại cô lập và trung hoà điện. xác định cường độ điện trường tại các điểm trong phần rỗng và bên ngoài vỏ cầu. Giải 1. Vì lí do đối xứng, điện tích q gửi cùng một điện thong 1 φ qua sáu mặt của hình lập phương. Điện thong tổng cộng qua toàn bộ hình lập phương là 1 6φ = φ . Áp dụng định lí Gauss ta có: 1 0 0 q q 18,83 6 φ = → φ = ≈ ε ε V/m. Nếu có các điện khác bên ngoài hình lập phương thì các điện tích này sẽ làm thay đổi điện thông qua các mặt khác nhau của hình lập phương. Nhưng điện thông qua toàn bộ hình lập phương vẫn không thay đổi: 0 q 113φ = ≈ ε V/m. 2. Giả sử q được đặt tại đỉnh A của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ đó. Đối với ba mặt có chứa Q (ABCD, ABB’A’, ADD’A’) điện thông bằng không vì các đường sức đều nằm trên các mặt này. Vì lí do đối xứng, điện thông qua ba mặt còn lại (BB’C’C, CDD’C’, A’B’C’D’) là như nhau, bằng 2 φ . Để tính 2 φ ta xét một hình hộp lớn tâm A, cạnh bằng 2a, khi đó q nằm ở tâm hình lập phương lớn. Diện tích xung quanh của hình lập phương lớn bằng bốn lần diện tích xung quanh cua rhình lập phương nhỏ ABCDA’B’C’D’. Do đó điện thông qua mỗi mặt hình lập phương lớn bằng 2 4φ . Vì lí do đối xứng, điện thông qua toàn bộ hình lập phương lớn là ' φ = 6.4 2 φ =24 2 φ . Áp dụng định lí Gauss ta có: ' 2 2 0 0 q q 24 4,71 24 φ = φ = → φ = = ε ε V/m. 3. Do tính đối xứng cầu tâm O nên r E E(r)e= r r . Áp dụng định lí O-G ta có: + Tại mọi điểm bên trong phần rỗng và bên ngoài vỏ cầu: r 2 0 q E e 4 r = πε r r + Tại những điểm bên trong lớp vỏ cầu: E = 0, vì rằng điện tích cảm ứng ở hai mặt vỏ cầu bằng điện tích q về độ lớn nhưng trái dấu. Ta có nhận xét rằng, tại những điểm bên trong phần rỗng, rất sát mặt trong của vỏ cầu (bán kính R 1 ): 2 0 1 0 q E 4 R σ = = πε ε , kết quả này phù hợp với công thức tính cường độ điện trường gần mặt vật dẫn tích điện. Ta cũng có kết quả tương tự đối với những điểm sát mặt ngoài vỏ cầu. 9 • D C B A’ B’ C’ D’ Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện 10 . Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện CÁC TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG TRONG BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN Trần Lê Hùng Trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị Tĩnh điện là một nội dung quan trọng trong. đều là mặt phẳng đối xứng của phân bố điện tích. 1 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện 1.5. Phân bố có tính đối xứng trụ Phân bố đối xứng trụ là bất biến đối với phép tịnh. (H.1). 2.2. Phản đối xứng phẳng 2 Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện Phân bố D* là bất biến đối với một phép phản đối xứng phẳng * ϕ qua mặt phẳng phản đối xứng P*. Cường