Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 1 - Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số là một chủ đề rộng, hay và tương đối khó. Tuy nhiên, trong giới hạn của một bài giảng ơn thi đại học, tơi chỉ đề cập đến các nội dung sau: ☞ Phương trình và bất phương trình vơ tỷ. ☞ Ba loại hệ phương trình cơ bản. ☞ Một số phương pháp giải các hệ phương trình đặc biệt. Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 2 - Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình vô tỷ Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Tóm tắt lý thuyết Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này I. Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) 0        . 2 f(x) g (x) f(x) g(x) g(x) 0          . Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 3 - II. Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0        . f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0        . 2 g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g (x)                      . 2 g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g (x)                      . 2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) 0 f(x) g (x)           . 2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) 0 f(x) g (x)           . Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 4 - B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình   3 x 2x 5 2x 1 1     . Giải Ta có   1    2 3 x 2x 5 2x 1 2x 1 0                 3 2 1 2 x 4x 2x 4 0 2 x 3           .   2      2 x 2 x 2x 2     x 2 x 1 3 x 1 3           . Ta thấy x 1 3   khơng thỏa mãn điều kiện   3 . Vậy tập nghiệm của   1 là   1;1 3  . Ví dụ 2. [ĐHD06] Giải phương trình   2 2x 1 x 3x 1 0 1      . Giải Ta có   1  2 2x 1 x 3x 1             2 2 2 2x 1 x 3x 1 2 x 3x 1 0 3               .   3  2 x 3x 1 0       3 5 3 5 2 2 x 4     .   2  4 3 2 x 6x 11x 8x 2 0           2 2 x 1 x 4x 2 0      x 1 x 2 2 x 2 2           . Ta thấy x 2 2   khơng thỏa mãn điều kiện   4 nên tập nghiệm của   1 là   1;2 2  . Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 5 - Ví dụ 3. Giải phương trình     2x 1 x 4 x 5 2 x 4 1        . Giải Điều kiện: x 4  . Ta có   1    3x 3 2 2x 1. x 4 3x 3 2 x 5. 2 x 4             2 2x 1. x 4 2 x 5. 2 x 4         2x 1. x 4 x 5. 2 x 4               2x 1 x 4 2 x 5 x 4       9x 36 0     x 4  . Ta thấy x 4  thỏa mãn điều kiện để   1 có nghĩa    1 có nghiệm duy nhất x 4  . Ví dụ 4. Giải phương trình x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3 (1)        . Giải Điều kiện: 3 2 x  . Ta có (1)    x 7 2 2x 3 5x 6 4x 1         2 2 9x 5 4 2x 11x 21 9x 5 2 20x 19x 6           2 2 2 2x 11x 21 20x 19x 6           2 2 4 2x 11x 21 20x 19x 6       2 12x 63x 78 0     2 4x 21x 26 0      25    13 4 x 2 x       . Thử lại ta thấy chỉ 13 4 x  là nghiệm của (1) . Vậy (1) có nghiệm duy nhất 13 4 x  . Nhận xét: Hai phương trình: f(x) g(x)  và 2 2 f (x) g (x)  nói chung là khơng tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9x 5  ở hai vế. Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 6 - Ví dụ 5. Biện luận số nghiệm của phương trình   3 x x m 1 x 1      . Giải Ta có   1  3 2 x x m x 2x 1 1 x 0                 3 2 x x 3x m 1 2 x 1            . Do đó số nghiệm của   1 bằng số nghiệm thõa mãn x 1  của   2 nên bằng số điểm chung của đường thẳng y m 1    với đồ thị hàm số   3 2 f x x x 3x    ( x 1  ). Ta có   2 f ' x 3x 2x 3    . f '(x) 0   1 10 x 3    . Bảng biến thiên của hàm f(x) : x  1 10 3   1 10 3   1    f ' x  0  0   29 20 10 27  1    f x 29 20 10 27   Kết luận: * 29 20 10 27 m 1      56 20 10 27 m    :   1 vơ nghiệm. * 29 20 10 27 m 1      56 20 10 27 m    :   1 có một nghiệm ( 1 10 3 x    ). * 29 20 10 27 1 m 1        56 20 10 27 m 0     :   1 có hai nghiệm. * 29 20 10 27 m 1 1        56 20 10 27 0 m     :   1 có ba nghiệm. * 29 20 10 27 m 1      56 20 10 27 m    :   1 có hai nghiệm. * 29 20 10 27 m 1      56 20 10 27 m    :   1 có một nghiệm. Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 7 - Ví dụ 6. [ĐHB06] Tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt   2 x mx 2 2x 1 1     . Giải Ta có   1    2 2 x mx 2 2x 1 2x 1 0                 2 1 2 3x 4 m x 1 0 2 x            .   2 là phương trình bậc hai có   2 4 m 12 0 m          2 ln có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . Theo định lý Vi-ét thì   m 4 1 2 3 1 1 2 3 x x 3 x x           .   1 có hai nghiệm phân biệt    2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2   1 1 2 1 2 2 x x           1 1 2 1 2 2 x 0 x 0                  1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x 0 x x 0                    1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 x x 1 0 4 x x x x 0             . Thay   3 vào   4 ta thu được m 4 3 1 1 m 4 1 3 2 3 4 1 0 . 0               m 1 0 2m 9 0         9 2 m 1 m         9 2 m  . Ví dụ 7. [ĐHA05] Giải bất phương trình   5x 1 x 1 2x 4 1      . Giải ĐK: 5x 1 0 x 1 0 2x 4 0             x 2  . Ta có:   1  5x 1 2x 4 x 1       2 5x 1 3x 5 2 2x 6x 4        2 2x 6x 4 x 2     (do x 2   x 2 0   )  2 2 2x 6x 4 x 4x 4       2 x 10x 0    0 x 10   Kết hợp với điều kiện để   1 có nghĩa ta có tập nghiệm của   1 là   2;10 . Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 8 - Ví dụ 8. [ĐHA04] Giải bất phương trình     2 2 x 16 7 x x 3 1 x 3 x 3        . Giải ĐK: 2 x 16 0 x 3 0             x 4 2  . Ta có:   1    2 2 x 16 x 3 7 x         2 2 x 16 10 2x       2 2 10 2x 0 10 2x 0 2 x 16 100 40x 4x                     2 x 5 x 5 x 20x 66 0                 x 5 x 5 10 34 x 10 34                  x 10 34   (thỏa mãn   2 ). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là   10 34;   . Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 9 - C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) 2 x x x 2 3     . Đáp số: 1 . 2) 2 x 2 x 3x 1 0      . Đáp số: 3  . 3) 3 3x x x 1 2      . Đáp số: 1  . 4) 3 2 x x 6x 28 x 5      . Đáp số:   1 13 2 1;   . 5) 4 3 x 4x 14x 11 1 x      . Đáp số:   2;1  . 6)   4 3 2 x 5x 12x 17x 7 6 x 1       . Đáp số: 2 3   . Bài 2. Giải các phương trình sau 1) x 3 3x 1 2 x 2x 2       . Đáp số: 1 . 2) 3 3 3 x 1 x 1 x 2     . Đáp số: 0 , 1  . 3) 3 3 3 x 1 x 3 2     . 4) 3 3 3 3 2x 1 1 x x     . Đáp số: 0 , 1 , 3 1 2 . Bài 3. Giải và biện luận theo m các phương trình 1) 2 x 1 x m    . 2) x m x m m     . Đáp số: 1) m 1 0 m 1        : vơ nghiệm, 1 m 0 m 1        : 2 m 1 x 2m    . 2) m 0 0 m 2       : vơ nghiệm, m 0  : x 0  , m 2  : 2 m 4 x 4   . Bài 4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 1 x x m    . Đáp số: m 2 m 1       : vơ nghiệm, m 2   : 1 nghiệm, 2 m 1     : 2 nghiệm. Bài giảng ôn thi vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 10 - Bài 5. [ĐHB07] Chứng minh với mọi m 0  , phương trình   2 x 2x 8 m x 2     có hai nghiệm phân biệt. Bài 6. Giải các bất phương trình sau 1) x 9 2x 4 5     . Đáp số: x 0  . 2) 2 x 1 2(x 1)    . Đáp số: x 1 1 x 3        . 3) 2 2x 5 x 4x 3      . Đáp số: 14 1 x 5   . 4) 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4         . Đáp số: x 1 x 4      . 5) (x 1) 2x 1 3(x 1)     . Đáp số: 1 x 2   . 6) 2x 2x 2 2x 1 1     . Đáp số: 1 x 0 2    . Bài 7. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 1) m 2 x x m     . Đáp số: m 1   : x m 1    , m 1   : x m m 2 x m 1           . 2) x m x 2    . Đáp số: 9 2 m 4   : x m  , 9 m 4  : 9 5 x 4 2   , m 2  : x 2  . [...]... trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Loại 2 A Phương pháp ẩn phụ Tóm tắt lý thuyết Dùng ẩn phụ là một phương pháp thơng dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vơ tỷ nói riêng Đối với phương trình vơ tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau ☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ ☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ... vào Đại học -Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích A Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản Việc sử dụng biểu thức liên . bất phương trình vô tỷ Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Tóm tắt lý thuyết Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ - phương pháp. tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này I. Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) 0        . 2 f(x) g (x) f(x) g(x) g(x) 0    . học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 3 - II. Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0        . f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0        .