Trần Sĩ Tùng Mệnh đề – Tập hợp CHƯƠNG I CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP I MỆNH ĐỀ I MỆNH ĐỀ Mệnh đề • Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai • Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P • Mệnh đề "Khơng phải P" đgl mệnh đề phủ định P kí hiệu P • Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P Q • Mệnh đề "Nếu P Q" đgl mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q • Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Chú ý: Các định lí tốn học thường có dạng P ⇒ Q Khi đó: – P giả thiết, Q kết luận; – P điều kiện đủ để có Q; – Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P đgl mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q • Mệnh đề "P Q" đgl mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh để P ⇒ Q Q ⇒ P Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu ∀ ∃ • "∀x ∈ X, P(x)" • "∃x ∈ X, P(x)" • Mệnh đề phủ định mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" "∃x ∈ X, P(x) " • Mệnh đề phủ định mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" "∀x ∈ X, P(x) " Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B Cách 1: Ta giả thiết A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A vừa vừa sai nên kết B phải Bổ sung Cho hai mệnh đề P Q • Mệnh đề "P Q" đgl giao hai mệnh đề P Q kí hiệu P ∧ Q • Mệnh đề "P Q" đgl hợp hai mệnh đề P Q kí hiệu P ∨ Q • Phủ định giao, hợp hai mệnh đề: P ∧ Q = P ∨ Q , P ∨Q = P ∧Q Trang Mệnh đề – Tập hợp Trần Sĩ Tùng Baøi Trong câu đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến: a) Số 11 số chẵn b) Bạn có chăm học không ? c) Huế thành phố Việt Nam d) 2x + số nguyên dương e) − < f) + x = g) Hãy trả lời câu hỏi này! h) Paris thủ đô nước Ý i) Phương trình x − x + = có nghiệm k) 13 số ngun tố Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Nếu a chia hết cho a chia hết cho b) Nếu a ≥ b a2 ≥ b2 c) Nếu a chia hết cho a chia hết cho d) Số π lớn nhỏ e) hai số nguyên tố f) 81 số phương g) > < h) Số 15 chia hết cho cho Baøi Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh c) Một tam giác tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 60 d) Một tam giác tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại e) Đường trịn có tâm đối xứng trục đối xứng f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng g) Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với h) Một tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc vng Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? Phát biểu mệnh đề thành lời: a) ∀x ∈ R, x > b) ∃x ∈ R, x > x c) ∃x ∈ Q,4x2 − = d) ∀n ∈ N , n2 > n e) ∀x ∈ R, x − x = > f) ∀x ∈ R, x > ⇒ x > g) ∀x ∈ R, x > ⇒ x > h) ∀x ∈ R, x < ⇒ x < i) ∃x ∈ R,5x − x ≤ k) ∃x ∈ N , x + x + hợp số l) ∀n ∈ N , n2 + không chia hết cho m) ∀n ∈ N * , n(n + 1) số lẻ n) ∀n ∈ N * , n(n + 1)(n + 2) chia hết cho Baøi Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để mệnh đề đúng: a) π < π > b) ab = a = b = c) ab ≠ a ≠ b ≠ d) ab > a > b > a < b < e) Một số chia hết cho chia hết cho … cho f) Một số chia hết cho chữ số tận … Bài Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R Tìm x để P(x) mệnh đề đúng: a) P( x ) :" x − 5x + = 0" b) P( x ) : " x − 5x + = 0" c) P( x ) : " x − x > 0" d) P( x ) : " x ≥ x " e) P( x ) : "2 x + ≤ 7" Baøi Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) Số tự nhiên n chia hết cho cho b) Số tự nhiên n có chữ số tận c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa d) Số tự nhiên n có ước số n Baøi Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) ∀x ∈ R : x > b) ∃x ∈ R : x > x c) ∃x ∈ Q : x − = e) ∀x ∈ R : x − x − < f) P( x ) : " x + x + > 0" d) ∀x ∈ R : x − x + > f) ∃x ∈ R : x = Trang Trần Sĩ Tùng Mệnh đề – Tập hợp g) ∀n ∈ N , n2 + không chia hết cho h) ∀n ∈ N , n2 + 2n + số nguyên tố i) ∀n ∈ N , n2 + n chia hết cho k) ∀n ∈ N , n2 − số lẻ Baøi Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Nếu số tự nhiên có chữ số tận chữ số chia hết cho b) Nếu a + b > hai số a b phải dương c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a = b a2 = b2 e) Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c Baøi 10 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích c) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với d) Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng e) Nếu tam giác K có hai góc Bài 11 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ": a) Một tam giác vuông có góc tổng hai góc cịn lại b) Một tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng c) Một tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho chia hết cho cho e) Số tự nhiên n số lẻ n2 số lẻ Baøi 12 Chứng minh mệnh đề sau phương pháp phản chứng: a) Nếu a + b < hai số a b nhỏ b) Một tam giác khơng phải tam giác có góc nhỏ 60 c) Nếu x ≠ −1 y ≠ −1 x + y + xy ≠ −1 d) Nếu bình phương số tự nhiên n số chẵn n số chẵn e) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn f) Nếu tứ giác có tổng góc đối diện hai góc vng tứ giác nội tiếp đường tròn g) Nếu x + y = x = y = Trang Mệnh đề – Tập hợp Trần Sĩ Tùng II TẬP HỢP II TẬP HỢP Tập hợp • Tập hợp khái niệm toán học, khơng định nghĩa • Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp • Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅ Tập hợp – Tập hợp • A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ) + A ⊂ A, ∀A + ∅ ⊂ A, ∀A + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C • A = B ⇔ ( A ⊂ B vaø B ⊂ A ) Một số tập tập hợp số thực • N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R • Khoảng: (a; b) = { x ∈ R a < x < b} ; (a; +∞) = { x ∈ R a < x} ; (−∞; b) = { x ∈ R x < b} • Đoạn: [a; b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b} • Nửa khoảng: [a; b) = { x ∈ R a ≤ x < b} ; (a; b] = { x ∈ R a < x ≤ b} ; [a; +∞) = { x ∈ R a ≤ x} ; (−∞; b] = { x ∈ R x ≤ b} Các phép toán tập hợp A ∩ B ⇔ { x x ∈ A x ∈ B} • Giao hai tập hợp: • Hợp hai tập hợp: • Hiệu hai tập hợp: Phần bù: A ∪ B ⇔ { x x ∈ A hoaëc x ∈ B} A \ B ⇔ { x x ∈ A vaø x ∉ B} Cho B ⊂ A C A B = A \ B Baøi Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó: { } C = { x ∈ R (6 x − x + 1)( x − x + 6) = 0} A = x ∈ R (2 x − x + 3)( x − x + 3) = E = { x ∈ N x + < + x vaø 5x − < x − 1} { } B = x ∈ R ( x − 10 x + 21)( x − x ) = D = { x ∈ Z x − x + = 0} F = { x ∈ Z x + ≤ 1} H = { x ∈ R x + x + = 0} Baøi Viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử nó: A = { 0; 1; 2; 3; 4} B = { 0; 4; 8; 12; 16} C = { −3 ; 9; − 27; 81} G = { x ∈ N x < 5} D = { 9; 36; 81; 144} E = { 2,3,5,7,11} F = { 3,6,9,12,15} G = Tập tất điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB H = Tập tất điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước có bán kính Bài Trong tập hợp sau đây, tập tập rỗng: A = { x ∈ Z x < 1} { } B = { x ∈ R x − x + = 0} { } C = x ∈ Q x2 − 4x + = E = { x ∈ N x + x + 12 = 0} F = { x ∈ R x − x + = 0} Bài Tìm tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau: A = { 1, 2} B = { 1, 2, 3} C = { a, b, c, d} D = x ∈ Q x2 − = Trang Trần Sĩ Tùng Mệnh đề – Tập hợp { } D = { x ∈ R x − x + = 0} E = x ∈ Q x2 − 4x + = Baøi Trong tập hợp sau, tập tập tập nào? a) A = { 1, 2, 3} , B = { x ∈ N x < 4} , C = (0; + ∞) , D = { x ∈ R x − x + = 0} b) A = Tập ước số tự nhiên ; B = Tập ước số tự nhiên 12 c) A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vng d) A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập tam giác vuông; D = Tập tam giác vng cân Bài Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4} c) A = { x ∈ R x − x + = 0} , B = { x ∈ R x − = 1} d) A = Tập ước số 12, B = Tập ước số 18 { } e) A = x ∈ R ( x + 1)( x − 2)( x − x + 15) = , B = Tập số nguyên tố có chữ số { } f) A = { x ∈ Z x < 4} , B = x ∈ Z (5 x − x )( x − x − 3) = { } g) A = x ∈ N ( x − 9)( x − 5x − 6) = , B = { x ∈ N x số nguyên tố , x ≤ 5} Bài Tìm tất tập hợp X cho: a) {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2} ∪ X = {1, 2, 3, 4} c) X ⊂ {1, 2, 3, 4}, X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} d) Bài Tìm tập hợp A, B cho: a) A∩B = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10} b) A∩B = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9} Bài Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–∞; –2], B = [3; +∞) e) A = [3; +∞), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) Bài 10 Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với: a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4) c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3) e) A = (−5; 1], B = [3; +∞), C = (−∞; −2) Baøi 11 Chứng minh rằng: a) Nếu A ⊂ B A ∩ B = A b) Nếu A ⊂ C B ⊂ C (A ∪ B) ⊂ C c) Nếu A ∪ B = A ∩ B A = B d) Nếu A ⊂ B A ⊂ C A ⊂ (B ∩ C) Trang Mệnh đề – Tập hợp Trần Sĩ Tùng III SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ III SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ Số gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a ∆a = a − a đgl sai số tuyệt đối số gần a Độ xác số gần Nếu ∆a = a − a ≤ d a − d ≤ a ≤ a + d Ta nói a ssố gần a với độ xác d, qui ước viết gọn a = a ± d Sai số tương đối ∆ Sai số tương đối số gần a tỉ số sai số tuyệt đối a , kí hiệu δ a = a a • δ a nhỏ độ xác phép đo đạc tính tốn lớn • Ta thường viết δ a dạng phần trăm Qui tròn số gần • Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số • Nếu chữ số sau hàng qui trịn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng sai sơ tuyệt đối số qui trịn khơng vượt nửa đơn vị hàng qui tròn Như vậy, độ xác số qui trịn nửa đơn vị hàng qui tròn Chữ số Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, chữ số đgl chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Trang ... {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2} ∪ X = {1, 2, 3, 4} c) X ⊂ {1, 2, 3, 4}, X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} d) Baøi Tìm tập hợp A, B cho: a) A∩B = {0;1;2 ;3; 4}, A\B = {? ?3; –2}, B\A = {6; 9; 10} b) A∩B = {1;2 ;3} , A\B... Baøi Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh c) Một tam giác tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 60 d) Một... tam giác chúng có diện tích c) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với d) Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng e) Nếu tam giác K có hai góc Baøi 11 Phát biểu mệnh đề sau, cách