Caây Khung Nhoû Nhaát 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 2 Cây khung nhỏ nhất ª Cho – một đồ thò liên thông, vô hướng G = (V, E ) – một hàm trọng số w : E → R ª Tìm một tập con không chứa chu trình T ⊆ E nối tất cả các đỉnh sao cho tổng các trọng số w(T) = ∑ (u, v) ∈ T w(u, v) • là nhỏ nhất. – Tập T làø một cây, và được gọi là một cây khung nhỏ nhất. ª Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất: bài toán tìm T. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 3 Cây khung nhỏ nhất (tiếp) ª Giải bài toán tìm cây khung nhỏ nhất – Giải thuật của Kruskal – Giải thuật của Prim. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 4 Cây khung nhỏ nhất: ví dụ b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 ° Tập các cạnh xám là một cây khung nhỏ nhất ° Trọng số tổng cộng của cây là 37. ° Cây là không duy nhất: nếu thay cạnh (b, c) bằng cạnh (a, h) sẽ được một cây khung khác cũng có trọng số là 37. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 5 Cạnh an toàn ª Cho một đồ thò liên thông, vô hướng G = (V, E ) và một hàm trọng số w : E → R. Tìm một cây khung nhỏ nhất cho G! ª Giải bài toán bằng một chiến lược greedy: nuôi một cây khung lớn dần bằng cách thêm vào cây từng cạnh một. ª Đònh nghóa cạnh an toàn Nếu A là một tập con của một cây khung nhỏ nhất nào đó, nếu (u, v) là một cạnh của G sao cho tập A ∪ {(u, v)} vẫn còn là một tập con của một cây khung nhỏ nhất nào đó, thì (u, v) là một cạnh an toàn cho A. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 6 Một giải thuật tổng quát (generic) ª Một giải thuật tổng quát (generic) để tìm một cây khung nhỏ nhất – Input: một đồ thò liên thông, vô hướng G một hàm trọng số w trên các cạnh của G – Output: Một cây khung nhỏ nhất cho G. GENERIC-MST(G, w) 1 A ← ∅ 2 while A không là một cây khung nhỏ nhất 3 do tìm cạnh (u, v) an toàn cho A 4 A ← A ∪ {(u, v)} 5 return A 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 7 Phép cắt Các khái niệm quan trọng ª Một phép cắt (S, V − S) của G = (V, E ) là một phân chia (partition) của V. Ví dụ: S = {a, b, d, e} trong đồ thò sau. ª Một cạnh (u, v) ∈ E xuyên qua (cross) một phép cắt (S, V − S) nếu một đỉnh của nó nằm trong S và đỉnh kia nằm trong V − S. Ví dụ: cạnh (b, c). b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 S ↑ V − S ↓ 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 8 Cạnh nhẹ (light edge) Các khái niệm quan trọng (tiếp) ª Một phép cắt bảo toàn tập các cạnh A (respects A) nếu không có cạnh nào của A xuyên qua phép cắt. ª Một cạnh là một cạnh nhẹ vượt qua phép cắt nếu trọng số của nó là nhỏ nhất trong mọi trọng số của các cạnh xuyên qua phép cắt. Ví dụ: cạnh (c, d). b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7 6 11 8 S ↑ V − S ↓ 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 9 Nhận ra một cạnh an toàn Đònh lý 24.1 Cho ° G = (V, E) là một đồ thò liên thông, vô hướng ° w là một hàm trọng số trên E ° A là một tập con của một cây khung nhỏ nhất cho G ° (S, V − S) là một phép cắt bất kỳ của G bảo toàn A ° (u, v) là một cạnh nhẹ vượt qua (S, V − S) ⇒ cạnh (u, v) là an toàn cho A. Chứng minh 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 10 Nhận ra một cạnh an toàn (tiếp) ° S: tập các đỉnh đen, V − S: tập các đỉnh trắng ° Các cạnh của một cây khung nhỏ nhất T được vẽ ra trong hình, còn các cạnh của G thì không ° A: tập các cạnh xám ° Cạnh (u, v) là cạnh nhẹ xuyên qua phép cắt (S, V − S). ° p là đường đi duy nhất từ u đến v trong T. x u y v p [...]... Single-Source 22 Cây các đường đi ngắn nhất (tiếp) ª Lemma 25 .9 Cho – Đồ thò có trọng số và có hướng G = (V, E), với hàm trọng số w:E→ℜ – Đỉnh nguồn s ∈ V – G không chứa chu trình có trọng số âm đến được từ s Khởi động G bằng INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) và thực thi chuổi bất kỳ các bước nới lỏng lên các cạnh của G sao cho d[v] = δ(s, v) với mọi đỉnh v ∈ V ⇒ Đồ thò Gπ là một cây các đường đi ngắn nhất có... while: u s 10 2 0 5 v 3 9 u ∞ 1 ∞ 10 4 2 (a) 20.11.2004 s 10 6 7 ∞ x Vòng while: ngay sau lần lặp 1 2 0 ∞ y Ch 10: Single-Source 5 v 1 3 ∞ 9 4 6 7 5 x 2 (b) 28 ∞ y Thực thi giải thuật của Dijkstra (tiếp) Vòng while: ngay sau lần lặp 2 u s 10 2 0 5 v 3 9 u 14 1 8 Vòng while: ngay sau lần lặp 3 8 4 s 10 6 7 5 x 2 (c) 20.11.2004 2 0 5 7 y Ch 10: Single-Source v 1 13 3 9 4 6 7 5 x 2 (d) 29 7 y Thực thi giải...Cấu trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp) ª Hệ luận 25.2 Cho – Đồ thò có trọng số, có hướng G = (V, E) với hàm trọng số w:E→ℜ – p là đường đi ngắn nhất từ s đến v, và có thể được phân thành p’ s u → v ⇒ Trọng số của đường đi ngắn nhất từ s đến v là δ(s, v) = δ(s, u) + w(u, v) v p’ u s 20.11.2004 Ch 10: Single-Source 11 Cấu trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp) Chứng minh v p’ u s 20.11.2004... Ch 10: Single-Source v 1 13 3 9 4 6 7 5 x 2 (d) 29 7 y Thực thi giải thuật của Dijkstra (tiếp) Vòng while: ngay sau lần lặp 4 u s 10 2 0 5 v 3 9 u 9 1 8 8 4 2 (e) 20.11.2004 s 10 6 7 5 x Vòng while: ngay sau lần lặp 5 7 y 2 0 5 Ch 10: Single-Source v 1 9 3 9 4 6 7 5 x 2 (f) 30 7 y Tính đúng đắn của giải thuật của Dijkstra ª Đònh lý 25.10 (Tính đúng đắn của giải thuật của Dijkstra) Thực thi giải thuật... khi gọi luôn luôn có d[v] = δ(s, v) 20.11.2004 Ch 10: Single-Source 21 Cây các đường đi ngắn nhất ª Lemma 25.8 Cho – Đồ thò có trọng số và có hướng G = (V, E), với hàm trọng số w:E→ℜ – Đỉnh nguồn s ∈ V – G không chứa chu trình có trọng số âm đến được từ s ⇒ Sau khi khởi động G bởi INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s), ta có – Đồ thò Gπ là cây có gốc s – Mọi chuổi các bước nới lỏng lên các cạnh của G duy trì... thay đổi sau khi gọi RELAX(u, v, w) 20.11.2004 Ch 10: Single-Source 16 Kỹ thuật nới lỏng (tiếp) ª Các giải thuật trong chương này gọi INITIALIZE-SINGLE-SOURCE và sau đó gọi RELAX một số lần để nới lỏng các cạnh – Nới lỏng là cách duy nhất được dùng để thay đổi các ước lượng đường đi ngắn nhất và các predecessors – Các giải thuật khác nhau ở thứ tự và số lần gọi R ELAX lên các cạnh 20.11.2004 Ch 10: Single-Source... (relaxation) – Duy trì cho mỗi đỉnh v một thuộc tính d[v] dùng làm chận trên cho trọng số của một đường đi ngắn nhất từ s đến v – biến d[v] được gọi là ước lượng đường đi ngắn nhất (shortest path estimate) – Khởi động các ước lượng đường đi ngắn nhất và các predecessors bằng thủ tục sau INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) 1 2 3 4 for each vertex v ∈ V[G] do d[v] ← ∞ π[v] ← NIL d[s] ← 0 20.11.2004 Ch 10: Single-Source... (u, v) có ngắn hơn một đường đi đến v đã tìm được hiện thời hay không Nếu ngắn hơn thì cập nhật d[v] và π[v] s 0 5 u 2 9 v RELAX(u, v, w) 1 if d[v] > d[u] + w(u, v) 2 then d[v] ← d[u] + w(u, v) 3 π[v] ← u 20.11.2004 Ch 10: Single-Source 15 Thực thi nới lỏng lên một cạnh u 5 2 v u 9 5 2 RELAX(u, v, w) u 5 2 v 6 RELAX(u, v, w) v u 7 5 2 v 6 (a) (b) Trò của d[v] giảm sau khi gọi RELAX(u, v, w) Trò của... trúc của đường đi ngắn nhất (tiếp) ª Lemma 25.3 Cho – Đồ thò có trọng số, có hướng G = (V, E) với hàm trọng số w:E→ℜ – Đỉnh nguồn s ⇒ Với mọi cạnh (u, v) ∈ E, ta có δ(s, v) ≤ δ(s, u) + w(u, v) v u s 20.11.2004 Ch 10: Single-Source 13 Kỹ thuật nới lỏng ª Kỹ thuật nới lỏng (relaxation) – Duy trì cho mỗi đỉnh v một thuộc tính d[v] dùng làm chận trên cho trọng số của một đường đi ngắn nhất từ s đến v – biến... Các tính chất của kỷ thuật nới lỏng (tiếp) ª ª Để chứng minh tính đúng đắn của các giải thuật tìm đường đi ngắn nhất (giải thuật Dijkstra và giải thuật Bellman-Ford) ta cần Lemma sau Lemma 25.7 Cho – Đồ thò có trọng số và có hướng G = (V, E), với hàm trọng số w:E→ℜ u → v là một đường đi ngắn nhất trong – Một đỉnh nguồn s, và s G với các đỉnh nào đó u, v ∈ V – G được khởi động bỡi INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, . v) • là nhỏ nhất. – Tập T làø một cây, và được gọi là một cây khung nhỏ nhất. ª Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất: bài toán tìm T. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 3 Cây khung nhỏ nhất (tiếp) ª Giải. (tiếp) ª Giải bài toán tìm cây khung nhỏ nhất – Giải thuật của Kruskal – Giải thuật của Prim. 13.11.2004 Ch. 9: Cay khung nho nhat 4 Cây khung nhỏ nhất: ví dụ b f c d h g ia e 8 7 9 10 1 2 4 14 2 4 7. một cây khung nhỏ nhất ° Trọng số tổng cộng của cây là 37. ° Cây là không duy nhất: nếu thay cạnh (b, c) bằng cạnh (a, h) sẽ được một cây khung khác cũng có trọng số là 37. 13.11.2004 Ch. 9: