Bất đẳng thức Schur phương pháp đổi biến p,q,r Võ Thành Văn Lớp 11 Tốn-Khối chun THPT-ĐHKH Huế Nh÷ cĂc bÔn  biát, bĐt ng thực Schur l mởt bĐt ng thực mÔnh v cõ nhiÃu ựng dửng, nhiản nõ văn cỏn khĂ xa lÔ vợi nhiÃu bÔn hồc sinh THCS cụng nhữ THPT Qua b i viát n y, tổi muốn cụng cĐp thảm cho cĂc bÔn mởt kắ thuêt sỷ dửng tốt BDT Schur, õ l kát hủp vợi phữỡng phĂp ời bián p; q; r Trữợc hát, tổi xin nh-c lÔi và bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r Bt ng thc Schur nh lỵ (BĐt ng thực Schur) Vợi mồi số thỹc khổng Ơm a; b; c; k; ta luæn câ ak (a b)(a c) + bk (b c)(b a) + ck (c a)(c b) 0: Hai tr÷íng hđp quen thc ÷đc sû dưng nhi·u l k = v k = a(a c) + b(b c)(b a) + c(c a2 (a b)(a b)(a c) + b2 (b c)(b a)(c a) + c2 (c b) a)(c b) (i) (ii) Phương pháp đổi biến p; q; r èi vỵi mët sè b i bĐt ng thực thuƯn nhĐt ối xựng cõ cĂc bián khổng Ơm thẳ ta cõ th ời bián lÔi nhữ sau °t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc: V ta thu ÷đc mët sè ¯ng thùc sau ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (a + b)(b + c)(c + a) ab(a2 + b2 ) + bc( b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) a2 + b2 + c2 a3 + b3 + c3 a4 + b4 + c4 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 °t L = p2 q + 18pqr 27r2 4q pq 3r pq r p2 q 2q pr p2 + q p2 2q p3 3pq + 3r p4 4p2 q + 2q + 4pr q 2pr q 3pqr + 3r2 q 4pq r + 2p2 r2 + 4qr2 4p3 r; â 2 a b+b c+c a = (a = = = = = = = = = = b)(b c)(c a) = pq 3r p L p L CÁC VÍ D MINH HA Cõ th thĐy lủi ẵch cừa ph÷ìng ph¡p n y l mèi r ng bc giúa c¡c bi¸n p; q; r m c¡c bi¸n a; b; c ban Ưu khổng cõ nhữ p2 p3 q2 pq 2p3 + 9r p2 q + 3pr p4 + 4q + 6pr 3q 27r 3pr 9r 7pq 4q 5p2 q Nhỳng kát quÊ trản Ơy ch-c ch-n l chữa ừ, cĂc bÔn cõ th phĂt trin thảm nhiÃu ng thực, bĐt ng thực liản hằ giỳa bián p; q; r V i·u quan trång m tæi muèn nõi án l tứ bĐt ng thực (i) v (ii), ta câ r p2 ) p(4q r p2 )(p2 6p (4q (tø (i)) q) (tø (ii)) Tuy nhi¶n mởt số trữớng hủp thẳ cõ th cĂc Ôi lữủng 4q p2 cõ th nhên giĂ tr Ơm lăn giĂ tr dữỡng nản ta thữớng sỷ dửng p(4q p2 ) r max 0; r max 0; (4q p2 )(p2 6p q) Cõ l án Ơy cĂc bÔn  hiu ữủc phƯn n o và bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa, trữợc hát, cĂc bÔn hÂy têp l m thỷ rỗi xem Ăp Ăn sau 3.1 Các ví dụ minh họa Bất đẳng thc Schur Vẵ dử Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chùng minh r¬ng s s s (a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 + + 8ab(4a + 4b + c) 8bc(4b + 4c + a) 8ca(4c + 4a + b) 1: (Vã Th nh V«n) LÍI GIƒI °t P = s (a + b)3 + 8ab(4a + 4b + c) s (b + c)3 + 8bc(4b + 4c + a) s (c + a)3 8ca(4c + 4a + b) Q = 8ab(4a + 4b + c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(4c + 4a + b) = 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc ãp dửng bĐt ng thực Holder, ta câ P2 Q 8(a + b + c)3 c Võ Thành Văn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ta c¦n chùng minh 8(a + b + c)3 , 8(a + b + c) , (a + b + c)3 Q 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 4(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc 9abc ( óng theo bĐt ng thực Schur) Vêy ta cõ pcm Vẵ dử Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca): (APMO 2004) LÍI GIƒI Khai triºn b§t ng thực trản, ta cƯn chựng minh a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + 9(ab + bc + ca) Ta câ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (a2 b2 + 1) + (b2 c2 + 1) + (c2 a2 + 1) a2 b2 c2 + + 2(ab + bc + ca) p 3 a2 b2 c2 9abc a+b+c 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 (theo bĐt ng thực Schur) ãp dửng cĂc bĐt ng thùc tr¶n, ta câ (a2 b2 c2 + 2) + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 3) + 4(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + bc + ca) + 4(ab + bc + ca) + 3(a2 + b2 + c2 ) 9(ab + bc + ca): BĐt ng thực ữủc chựng minh ng thực xÊy v ch¿ a = b = c = 1: Vẵ dử Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chùng minh r¬ng 2(a2 + b2 + c2 ) + abc + 5(a + b + c): (Tr¦n Nam Dơng) LÍI GIƒI Sû dưng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 6V T = 12(a2 + b2 + c2 ) + 3(2abc + 1) + 45 3(a + b + c) p 12(a2 + b2 + c2 ) + a2 b2 c2 + 45 (a + b + c)2 + 9abc = 7(a2 + b2 + c2 ) + p 10(ab + bc + ca) abc 27abc 7(a2 + b2 + c2 ) + 10(ab + bc + ca) a+b+c M°t kh¡c, sû dưng b§t ¯ng thùc Schur, a+b+c 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 = 2(ab + bc + ca) c Võ Thành Văn (a2 + b2 + c2 ) 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Do â 27 10(ab + bc + ca) a+b+c 7(a2 + b2 + c2 ) + 6(ab + bc + ca) 3(a2 + b2 + c2 ) = 4(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 0: 7(a2 + b2 + c2 ) + 10(ab + bc + ca) BĐt ng thực ữủc chựng minh ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = 1: V½ dư Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c; khỉng câ số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng b c a + + b3 + c3 a + c3 a + b3 18 5(a2 + b2 + c2 ) ab bc ca : (Michael Rozenberg) LÍI GII BĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi X a(a + b + c) cyc , X cyc b3 18(a + b + c) 5(a2 + b2 + c2 ) ab bc b3 + c3 X a a2 + +c b2 + c2 cyc ca 18(a + b + c) 5(a2 + b2 + c2 ) ab bc bc ca ãp dửng bĐt ng thực Cauchy-Schwarz, ta câ X a2 b3 + c3 cyc X a b2 + c2 cyc (a2 + b2 + c2 )2 P a (b + c3 ) cyc P bc cyc Ta c¦n chùng minh (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)2 P +P 3) a (b + c a(b + c2 bc) cyc Gi£ sû a + b + c = v (a + b + c)2 a(b2 + c2 bc) 5(a2 18(a + b + c) + + c2 ) ab bc b2 ca cyc n max 0; (4q °t ab + bc + ca = q; abc = r ) r (1 q2 2q)2 + (q + 2)r q 6r 1)(1 q) 18 11q B§t ¯ng thực cuối d ng chựng minh bơng cĂch xt tr÷íng hđp 4q v 4q ¯ng thùc x£y a = b = c ho°c a = b; c = ho°c c¡c ho¡n t÷ìng ùng o Ta cƯn chựng minh Vẵ dử Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a4 + b4 + c4 = Chùng minh r¬ng ab + bc + ca 1: (Moldova TST 2005) c Võ Thành Văn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA LI GII Quy ỗng mău số rỗi khai trin, ta c¦n chùng minh 49 8(ab + bc + ca) + (a + b + c)abc 64 16(ab + bc + ca) + 4(a + b + c)abc a2 b2 c2 a2 b2 c2 + 8(ab + bc + ca) , 16 + 3(a + b + c)abc ãp dửng bĐt ¯ng thùc Schur v gi£ thi¸t a4 + b4 + c4 = 3, ta câ (a3 + b3 + c3 + 3abc)(a + b + c) [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] (a + b + c) (ab + bc)2 + (bc + ca)2 + (ca + ab)2 , + 3abc(a + b + c) ãp dửng bĐt ng thực AM-GM, ta cõ (ab + bc)2 + (bc + ca)2 + (ca + ab)2 + 12 ) 15 + 3abc(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 8(ab + bc + ca) Mt khĂc ta lÔi cõ a2 b2 c2 : Vªy ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = 1: V½ dư Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca = 3: Chùng minh r¬ng a3 + b3 + c3 + 7abc 10: (Vasile Cirtoaje) ãp dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ r max 0; p2 ) p(4q = max 0; p2 ) p(12 Ta cƯn chựng minh p3 Náu p p3 N¸u p p3 9p + 10r 10 p th¼ ta câ 9p + 10r 10 p3 9p 10 12p 9p 10 = 3p 10 > p < th¼ 9p + 10r 10 p3 9p + 10 p(12 p2 ) 10 = (p 3)[(16 p2 ) + 3(4 p) + 2] 0: Vªy ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = Vẵ dử Cho cĂc số dữỡng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng 3+ 12 abc 1 + + a b c : (Vã Th nh V«n) c Võ Thành Văn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA LÍI GIƒI êi bi¸n theo p; q; r, bƠt ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi nhữ sau 3r + 12 5q Mt kh¡c,theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ 3p(4q p2 ) = 4q 3r Ta c¦n chùng minh 4q + 12 ,q 5q ( óng) Vªy ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = 1: V½ dư Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a2 + b2 + c2 = Chùng minh r¬ng a + b + 3: c (PhÔm Kim Hũng) Quy ỗng, rút gồn v ời bián theo p; q; r, bĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi 8p + 3r 12 + 5q ãp dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ p2 ) p(4q 3r p(2q 3) = Tø gi£ thi¸t p2 2q = )q= p2 Thay iÃu trản v o bĐt ng thực cƯn chùng minh, ta câ p(p2 6) 8p + , (2p 12 + 5(p2 3) 3)2 3)(p B§t ¯ng thùc ci óng n¶n ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = 1: V½ dư Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng ab + bc + ca : (Crux mathematicorum) LI GII B i n y  ữủc anh Hũng sỷ dửng cho phƯn bĐt ng thực Chebyshev "SĂng tÔo bĐt ng thực" BƠy giớ cĂc bÔn s ữủc thĐy mởt lới giÊi khĂc vợi bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r rĐt tỹ nhiản Bián ời bĐt ng thực cƯn chựng minh v chuyn và dÔng p; q; r, ta câ 8(243 18p + 3r) 3(729 81q + 27r c Võ Thành Văn r2 ) 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r , 243 Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a+b+c 3=3 3r2 99q + 57r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 3(abc)2 = r2 Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ p2 ) p(4q r 72 , 3(1 4q 19(4q ) 57r Nản ta cƯn chựng minh = 9) 3r2 23q r ) + 23(3 q) ( óng) Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh ng thực xÊy v chi a = b = c = 1: 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r Vẵ dử 10 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng b2 c c2 a a2 b + + bc ca ab 1: (PhÔm Kim Hũng) LI GII Quy ỗng mău số rỗi khai trin, ta c¦n chùng minh X X a2 b2 c a2 b bc cyc cyc Sû dưng b§t ¯ng thùc quen thuëc P a2 b abc, ta c¦n chùng minh cyc X a2 b2 c abc cyc bc X ab bc cyc ,1 , 64 X X X 32 ab + a2 bc + a2 b2 cyc cyc abc cyc vỵi q = ab + bc + ca; r = abc ãp dửng bĐt ¯ng thùc AM-GM, ta câ q cyc 8q + q , 16 ! a b + abc cyc Tiáp tửc sỷ dửng bĐt ng thực trản,ta cƯn chùng minh X X X 64 32 ab + a2 bc + a2 b2 cyc X 4abc cyc r 9r nản cƯn chựng minh 16 8q + q , (q 3)(q q2 6) 0: BĐt ng thực cuối hin nhiản úng nản ta cõ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = ho°c a = 2; b = 1; c = ho°c c¡c ho¡n t÷ìng ùng c Võ Thành Văn 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r CÁC VÍ DỤ MINH HA Vẵ dử 11 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chùng minh r¬ng 1 + + a b c 3a 3b 3c + + : a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab (Dữỡng ực LƠm) °t a := a ; b := ; c := ; bĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi b c X X 3abc a cyc cyc 2a2 + bc X a(a2 , bc) 2a2 + bc cyc ,3 X cyc X a3 + bc 2a2 a cyc ãp dửng bĐt ng thực Cauchy-Schwarz, ta câ X a3 2a2 + bc cyc a cyc !2 X a cyc P !2 a3 + 3abc cyc án Ơy, ta cƯn chựng minh X P ! a cyc ! X a + 3abc cyc Gi£ sû a + b + c = 1; chuyn và dÔng p; q; r, bĐt ng thùc trð th nh 2q)2 3(1 Sû dưng b§t ¯ng thùc q 2 6q + 9r 6q + 3q 3r; ta c¦n chùng minh 2q)2 3(1 12q + 12q ,3 , (1 3q)2 6q + 3q ( óng): Vªy ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c: Vẵ dử 12 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chùng minh r¬ng a4 (b + c) + b4 (c + a) + c4 (a + b) (a + b + c)5 : 12 (Vasile Cirtoaje) LI GII Chuân hõa cho p = 1, bĐt ng thùc trð th nh (1 3q)q + (5q 1)r 12 án Ơy ta sỷ dửng mởt thừ thuêt dũng bĐt ng thực Schur, õ l chia trữớng hủp º gi£i quy¸t c Võ Thành Văn 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r N¸u q CÁC VÍ DỤ MINH HỌA th¼ ta câ (1 3q)q + (5q 1)r (1 3q)q = (1 3 3q) 3q 3q + 3q 2 = 12 N¸u q > ; ta câ (1 3q)q + (5q 1)r (1 3q)q + (5q q = ( 88q + 32q 36 1) 3) + 1 < : 12 12 Vªy bĐt ng thực ữủc chựng minh p p ng thực x£y a = 0; b = 3+6 ; c = v c¡c ho¡n Vợi kắ thuêt xt trữớng hủp giÊi, cõ th d ng giÊi quyát cĂc b i to¡n sau B i to¡n Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng : 32 (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) HìẻNG DN NhƠn v o rỗi rút gồn, chuyn bĐt ng thực và dÔng p; q; r, ta cƯn chựng minh q2 án Ơy xt trữớng hñp q 2q r(2 + r 32 4q) v q > 1: B i to¡n Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chùng minh r¬ng a b c + + a2 + b2 + c2 + 3 : (Dữỡng ực LƠm) HìẻNG DN ữa bĐt ng thực v· mët h m theo p f (p) = 27p2 (54 + 12q)p + 9q án Ơy chia th nh tr÷íng hđp 18q 58q + 120 58 + 12p v 18q 58 + 12p V½ dư 13 Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = Chùng minh rơng 4(a + b + c 4) abc: (Nguyạn Phi Hịng) LÍI GIƒI Theo gi£ thi¸t, ta câ p2 r 2q = 8: M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc Schur bªc 4, ta câ (4q p2 )(p2 6p q) = (p2 16)(p2 + 8) 12p Vẳ vêy, ta cƯn chùng minh (p2 , (p 16)(p2 + 8) 12p 4)2 (p2 + p 12p 4(p 8) 4) ( óng): ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = 2; c = ho°c c¡c ho¡n t÷ìng ùng c Võ Thành Văn 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r CÁC VÍ DỤ MINH HA Vẵ dử 14 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng p p p a2 + abc b2 + abc c2 + abc p : + + b + ca c + ab a + bc abc LÍI GIƒI êi bi¸n th nh p; q; r, ta câ bê · q (1 q) 2(2 3q) r •p dưng BDT Cauchy-Schwarz, ta câ " X p a2 + abc (b + c)(b + a) cyc " #2 Xa + c cyc b+c = X b+c cyc a (a + b)(b + c) cyc P P a + ab cyc = Ta câ X # X b b+c cyc X b+c cyc P ab 1+q q r q q r , , 4(1 q , q2 ) r 4(1 q P 1 b+c ! (a + b + c)2 P P a + ab cyc P a2 + ab cyc 4abc cyc 4r q q cyc cyc b+c ! Xa + c (a + b)(b + c)(c + a) cyc cyc 6X (a + b)(b + c)(c + a) cyc b + c a2 + cyc cyc Nản ta cƯn chùng minh P Xa + c r r q ) r q r =3 q(1 3q)(5 7q) (1 q)(4 7q + q ) Sû döng bê ·, ta câ VT 4(1 q q2 ) q (1 q) 2(2 3q) q q (1 q) 2(2 3q) 3: Vªy ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = : Nhên xt Vợi b i toĂn n y, chóng tỉi câ c¥u häi thó xin d nh cho cĂc bÔn Chựng minh bờ à m chúng tổi  nảu trản HÂy ch ữớng tẳm bờ à n y c Vừ Thành Văn 10 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dư 15 Cho cĂc số thỹc dữỡng a; b; c thọa mÂn a + b + c = Chùng minh r¬ng + abc 81(ab + bc + ca) : 27 (Vó Th nh Vôn) LI GII ãp dửng bĐt ¯ng thùc Schur, ta câ r p2 ) p(4q = 4q BĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi +r 81q 27 Sỷ dửng bĐt ng thực Schur, ta cƯn chựng minh 4q + 81q 27 4q + 81q 27 , BĐt ng thực trản hin nhiản úng theo bĐt ng thực AM-GM nản ta cõ pcm a = b = c = : ¯ng thùc x£y v ch¿ V½ dư 16 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab + bc + ca = 1: Chùng minh r¬ng ab + bc + ca + + + a+b b+c c+a 3: (Nguyạn MÔnh Dụng) LI GII Ta câ , , X ab + bc + ca + + + a+b b+c c+a (ab + 1)(c + a)(c + b) 3(a + b)(b + c)(c + a) cyc X (ab + 1)(c2 + 1) 3[(a + b + c)(ab + bc + ca) abc] cyc , (a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca + abc(a + b + c) + + 3abc , (a + b + c) + abc(a + b + c + 3) + 3(a + b + c) 3(a + b + c) °t p = a + b + c; q = ab + bc + ca = 1; r = abc: BĐt ng thực cƯn chựng minh tr th nh p2 + r(p + 3) , (p N¸u p N¸u 1)(p 3p + 2) + r(p + 3) 0 thẳp ng thực hin nhiản úng b§t p 3; ¡p dưng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ p3 + 9r 4pq c Võ Thành Văn 11 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r p3 4p ,r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ta c¦n chùng minh p2 3p + + (p + 3) , p4 + 3p3 , (p B§t ¯ng thùc cuèi hin nhiản úng vẳ p p3 + 5p2 p3 4p 13p2 + 15p 2)(p + 5p 18 3p + 9) 2v 3p + = p3 + 4p2 + p 2 + 27 >0 Ta câ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = 1; c = ho°c c¡c ho¡n V½ dư 17 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chùng minh r¬ng 1 + + +3 a2 b c 2(a + b + c): (Vietnam MO 2006, B) LÍI GIƒI th nh °t x = a; y = ; z = , ta cõ xyz = 1, ỗng thới ời bián th nh p; q; r, ta câ b§t ¯ng thùc trð b c p2 2q + , 4q p2 2q M bĐt ng thực trản úng theo bĐt ¯ng thùc Schur n¶n ta câ pcm a = b = c = 1: ¯ng thùc x£y v ch Vẵ dử 18 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng vợi mồi k 1; ta luæn câ p a b c (a + b + c)(ab + bc + ca) + + +k k + 1: b+c c+a a+b a3 + b3 + c3 (PhÔm Sinh TƠn) LI GII ời bián bĐt ng thùc theo p; q; r v chu©n hâa cho p = Ta cƯn chựng minh bĐt ng thực 2q + 3r +k q r q 3q + 3r p k+1 Ta câ 2q + 3r +k q r ¯ng thùc x£y (a; b; c) = q 3q + 3r p = 3q + 3r +k q r 1 3q + 3r +k q p p k+2 k 3+ k+1 x; x; q +1 3q + 3r q +1 3q + 3r p k + 1: ho°c cĂc hoĂn v tữỡng ựng Mởt số b i têp t÷ìng tü c Võ Thành Văn 12 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r B i to¡n Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c: Chùng minh rơng vợi mồi k CC V D MINH HA 1; ta luæn câ a b c (a + b)(b + c)(c + a) + + +k b+c c+a a+b a3 + b3 + c3 p k + 1: (PhÔm Sinh T¥n) B i to¡n Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c; khæng câ sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng a b c 9(ab + bc + ca) + + + b+c c+a a+b a2 + b2 + c2 6: (PhÔm Sinh TƠn) Vẵ dử 19 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ số n o ỗng thới bơng 0: Chùng minh r¬ng a b+c b c+a + + c a+b + 10abc (a + b)(b + c)(c + a) 2: (Dữỡng ực LƠm) LI GII °t x = 2a b+c ; y 2b c+a ; z = = 2c a+b , ta câ xy + yz + zx + xyz = B§t ¯ng thùc trð th nh x2 + y + z + 5xyz ữa bĐt ng thực và dÔng p; q; r, tø gi£ thi¸t, ta câ q + r = v b§t ¯ng thùc trð th nh p2 2q + 5r , p2 N¸u 7q + 12 p, sû dưngb§t ¯ng thùc Schur, ta câ )4 p2 ) p(4q r q+ p(4q p2 ) p + 36 4p + ,q ) p2 7q + 12 p2 7(p3 + 36) + 12 4p + Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc p2 iÃu n y úng vẳ Náu p 4, ta câ p2 p 16 7(p3 + 36) + 12 4p + , (p p 3)(p2 16) 2q p2 3q 3: 4q nản p2 Vêy bĐt ¯ng thùc ÷đc chùng minh ho¡n t÷ìng ùng 2q + 5r p2 ¯ng thùc x£y x = y = z = ho°c x = y = 2; z = ho°c c¡c c Võ Thành Văn 13 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dư 20 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng ab + + bc : ca (Vasile Cirtoaje) LÍI GIƒI Chuyºn êi b§t ¯ng thùc v· nh÷ sau 108 3r2 48q + 13pr , 4(9 4q + 3r) + r(1 r) Ta thĐy bĐt ng thực trản úng a+b+c r = abc =1 v theo b§t ¯ng thùc Schur th¼ 3r 3p(4q p2 ) = 4q ) 3r + 4q 0: Vêy bĐt ng thực ÷ñc chùng minh ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = ho°c a = 0; b = c = ho°c c¡c hoĂn v tữỡng ựng Vẵ dử 21 Cho cĂc số khỉng ¥m a; b; c; khỉng câ sè n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) + + b2 + c2 c + a2 a + b2 a + b + c: (Darij Grinberg) LI GII ãp dửng bĐt ng thực Cauchy-Schwarz, ta cƯn chùng minh " X a2 (b + c)2 cyc #2 X !" a cyc X # a2 (b + c)(b2 + c2 ) cyc êi bi¸n theo p; q; r, õ bĐt ng thực viát th nh r(2p3 + 9r 7pq) •p dưng BDT Schur, ta câ p3 + 9r 4pq v b§t ¯ng thùc quen thuëc p2 x£y v ch¿ a = b = c ho°c a = b; c = 0: 3q 0, ta câ pcm ¯ng thùc V½ dư 22 Cho c¡c số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng 5(a2 + b2 + c2 ) 6(a3 + b3 + c3 ) + 1: LÍI GIƒI êi bi¸n v· p; q; r; ta c¦n chùng minh 10q 6(1 , 18r 3q + 3r) + 8q + M«c kh¡c, bĐt ng thực trản úng theo bĐt ng thực Schur nản ta cõ pcm V mởt vẵ dử in hẳnh cho phữỡng phĂp n y l bĐt ng thực Iran 1996 c Võ Thành Văn 14 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Vẵ dử 23 Cho cĂc số khổng Ơm x; y; z; khổng cõ số n o ỗng thới bơng Chùng minh r¬ng 1 + + (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 (xy + yz + zx) : (Iran MO 1996, Ji Chen) LI GII Sỷ dửng phữỡng phĂp ời bián p; q; r, ta chuyn bĐt ng thực và dÔng nhữ sau (p2 + q)2 4p(pq (pq r)2 r) 17p2 q + 4q + 34pqr q 9r2 Bián ời tữỡng ữỡng, rút gồn, ta cƯn chựng minh 4p4 q , pq(p3 4pqr + 9r) + q(p4 5p2 q + 4q + 6pr) + r(pq 9r) BĐt ng thực cuối úng nản ta cõ pcm ¯ng thùc x£y v ch¿ x = y = z ho°c x = y; z = hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng Qua cĂc vẵ dử trản, cõ l cĂc bÔn cụng  ữủc hẳnh dung ½t nhi·u v· b§t ¯ng thùc Schur v nhúng ùng dửng cừa nõ phữỡng phĂp ời bián p; q; r: º k¸t thóc b i vi¸t n y, míi cĂc bÔn giÊi mởt số b i têp sau B i to¡n Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n a3 + b3 + c3 = Chùng minh r¬ng a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 3: (Vasile Cirtoaje) B i to¡n Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng a2 + b2 + c2 + 2abc + 2(ab + bc + ca): (Darij Grinberg) B i to¡n Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a2 + b2 + c2 = Chùng minh r¬ng 12 + 9abc 7(ab + bc + ca): (Vasile Cirtoaje) B i to¡n Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng a2 + a + b2 + b + c2 c+1 3: (Vụ ẳnh Quỵ) B i to¡n Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = Chùng minh r¬ng 2(a + b + c) abc 10: (Vietnam MO 2002, Tr¦n Nam Dơng) B i to¡n 10 Cho c¡c số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chùng minh r¬ng 1+ a+b+c : ab + bc + ca (Vasile Cirtoaje) c Võ Thành Văn 15 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA B i to¡n 11 Cho c¡c số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chùng minh r¬ng 2(a2 + b2 + c2 ) + 12 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) (Balkan MO) B i to¡n 12 Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c; khỉng câ sè n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng vợi måi k 3; ta p 1 k k+1 p + + + : a+b b+c c+a a+b+c ab + bc + ca (PhÔm Kim Hũng) B i to¡n 13 Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca + 6abc = Chùng minh r¬ng a + b + c + 3abc 6: (Lả Trung Kiản, Vó Quốc BĂ Cân) B i to¡n 14 Cho c¡c sè khỉng ¥m x; y; z; khổng cõ số n o ỗng thới bơng 0: Tẳm hơng số a nhọ nhĐt bĐt ng thùc sau óng x+y+z a xy + yz + zx a (x + y)(y + z)(z + x) : (Ivan Borsenco, Irurie Boreico) B i to¡n 15 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng r 3 a+b+c 10 a + b + c : 3 B i to¡n 16 Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng 1 + + + 2abc a+b b+c c+a 247 : 54 B i to¡n 17 Cho a; b; c [1; 2]: Chùng minh r¬ng a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) 7abc: B i to¡n 18 Cho c¡c sè khỉng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng ab bc ca + + 1+c 1+a 1+b ab + bc + ca: (Vasile Cirtoaje) CHÓC CãC BN THNH CặNG!!! c Vừ Thnh Vn 16 Author: Võ Thành Văn Edited and corrected by Võ Quốc Bá Cẩn ... thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r rĐt tỹ nhiản Bián ời bĐt ng thực cƯn chựng minh v chuyn và dÔng p; q; r, ta câ 8(243 18p + 3r) 3(729 81q + 2 7r c Võ Thành Văn r2 ) 3.2 Phương pháp đổi biến. .. 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA LÍI GII ời bián theo p; q; r, bƠt ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi nhữ sau 3r + 12 5q M°t kh¡c,theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ 3p(4q p2 ) = 4q 3r Ta... và bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa, trữợc hát, cĂc bÔn hÂy têp l m thỷ r? ??i xem ¡p ¡n sau 3.1 Các ví dụ minh họa Bất đẳng thức Schur V½ dư Cho c¡c