A . Đặt vấn đề Xét về phơng diện phát triển tính tự lực của học sinh đặc biệt là rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lĩnh hội dợc thì vai trò của việc giải bài tập trong quá trình học có giá trị rất lớn .Giải bài tập giúp học sinh rèn luyện :ý chí ,tính kiên trì vợt khó ,phát triển t duy lô gíc, sự nhanh trí .Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và việc giải bài tập hình học nói riêng thì việc hớng dẫn các phơng pháp suy luận, đặc biệt phơng pháp vẽ thêm đờng phụ để giải các bài toán hình học là điều rất cần thiết.Bởi vì ngoài việc nắm vững kiến thức đã học, HS còn phải biết huy động chúng một cách linh hoạt ,sáng tạo trong các tình huống mới. Nhiều khi việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn.Thậm chí có bài phải vẽ thêm các yếu tố phụ mới tìm ra đợc lời giải của bài toán.Tuy nhiên vẽ thêm nh thế nào là điều mà chúng ta cần suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phơng pháp chung cho việc vẽ thêm đờng phụ để giải các bài toán hình học. Tuỳ từng bài toán cụ thể chúng ta có cách vẽ thêm cho hợp lý.Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện. Việc vẽ thêm đờng phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta biết. Đối vối các em HS thì khi gặp những bài toán phải vẽ thêm đờng phụ thì các em cảm thấy rất ngại vì các em cha có kinh nghiệm và luôn nghĩ rằng nh thế là các em đã gặp một bài toán khó rồi và nhiều em đã dừng lại việc làm bài ngay.Để tạo niềm tin cho các em và giúp các em có nhiều kinh nghiệm, trong những giờ học tự chọn tôi đã lựa chọn vào những bài tập phù hợp với sức học của các em. Và sau một thời gian, việc làm bài của các em tiến bộ rõ rệt. Tôi xin mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình để các đồng nghiệp cùng trao đổi, và xin đợc đóng góp ý kiến cho tôi , để tôi có thể giúp các em HS đợc nhiều hơn trong học tập đặc biệt với bộ môn Toán . II - NộI DUNG Để có thể tìm ra lời giải, cách vẽ thêm đờng phụ hợp lý trớc tiên các em HS cần phải học thuộc, hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết.Ngoài ra các em còn phải biết tìm ra mối liên hệ giữa các nội dung với nhau, hoặc giữa các bài tập với nhau.Phải nắm đợc các bài toán dựng hình cơ bản.Chẳng hạn: Bài toán 1: Cho AB là dây cung của đờng tròn (O;R) (AB 2R). C là một điểm trên tia đối của tia AB Chứng minh điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) Phân tích: Cần chứng minh:điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) OC R > . Điều này cho ta nghĩ đến OC >OA. Do đó ta kẻ đờng phụ OH ( )AB H AB để vận dụng quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu mà có OC > OA. Lời giải: Vẽ ( )OH AB H AB . Ta có HC > HA (vì C là điểm trên tia đối của tia AB,H thuộc đoạn thẳng AB ) OC OA > ( quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu ). Vậy OC > R C nằm ngoài đờng tròn (O;R) Bài toán 2: Cho AB là dây cung của đờng tròn (O;R) (AB 2R). C là điểm trên đoạn AB ( C khác A và B) Chứng minh điểm C nằm trong đờng tròn (O;R) Phân tích : từ bài toán 1dễ nhận ra rằng đờng phụ cần vẽ thêm là OH vuông góc với AB tại H Giải: Vẽ OH AB tại H.Xét các trờng hợp sau: a) C H Ta có OH < OA (vì OH AH )nên OH < R H nằm trong đờng tròn ( O ;R) C nằm trong đờng tròn ( O ;R) b) C nằm trên đoạn AH ( C khác A và H) ta có HC < HA OC OA R < = ( quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu) C nằm trong đờng tròn ( O ;R) c) C nằm trên đoạn HB ( C khác B và H) .Tơng tự nh trên cũng có C nằm trong đờng tròn ( O ;R) Bài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đờng tròn (O;R).H là trực tâm của tam giác ABC.Vẽ OK BC ( K BC). Chứng minh : AH = 2OK Phân tích : Phải chứng minh AH =2OK; và dễ thấy AH//OK. Dự đoán OK là đờng trung bình tam giác AHD (D là giao điểm của AO và HK). Từ đó phát hiện ra rằng D là điểm đối xứng của A qua O. Điểm phụ d giúp ta tìm ra lời giải bài toán. Lu ý : Kết quả trên vẫn đúng cho tam giác ABC bất kì. Từ kết quả bài toán 3 ta giải đợc các bài toán sau. Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn ( O ;R) ,H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC.Chứng minh rằng H,G,O thẳng hàng. Bài toán 3.2 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) có đờng cao AN và CK (N BC, K AB).Đờng tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đờng tròn ( O )tại điểm thứ hai M. Chứng minh OM MB,ở đây O là trung điểm của AC. Bài toán 4: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, CD là một dây cung của nửa đờng tròn (O).Các đờng thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lợt cắt AB tại E và F. Chứng minh AE = BF Phân tích: Vì OA =OB =R, dể có AE =BF cần chứng minh OE =O F. Điểm phụ H với OH CD tại H giúp ta tìm ra lời giải bài toán. Lời giải: Vẽ OH CD, H CD, từ đó có CH =HD(định lý đờng kính vuông góc với dây cung). Vì EC, OH, FD cùng vuông góc với CD nên : EC //OH // FD Do đó OH là đờng trung bình của hình thang CDFE OE = O F. Mà OA = OB =R nên OA OE = OB O F AE =BF. Bài toán 5: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Trên AB lấy các điểm M,N sao cho OM = ON.Qua M và Nkẻ các đờng thẳng song song với nhau, chúng cắt các nửa đờng tròn lần lợt ở C và D. Chứng minh MC và ND vuông góc với CD. Phân tích : Từ bài toán 4 giúp ta chọn điểm phụ vẽ thêm cho bài toán này là điểm I là trung điểm của dây cung CD .Từ đó dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán. Bài toán 6: Cho đờng tròn (O; R), hai bán kính OA và OB. C và D là các điểm trên cung AB sao cho AC = BD và hai dây AC, BD cắt nhau tại M. Chứng minh OM AB. Phân tích : OAB cân đỉnh O, AC=BD,những điều này gợi ta chứng minh OM là đờng phân giác góc O của tam giác OAB. Vẽ OI AC,OK BD (I AC,K BD) để có OI =OK từ đó ta tìm đợc lời giải của bài toán. Lời giải: Vẽ OI AC,OK BD (I AC, K BD) Do AC =BD nên OI = OK Dễ chứng minh đợc ,MIO MKO AIO BKO = = nên ã ã ã ã ã ã AOI IOM BOK KOM AOM BOM+ = + = . OAB cân có ã ã AOM BOM= OM AB. Bài toán 7: Cho tam giác ABC cân ở a nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB , E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh OE CD Phân tích: Bài toán có trọng tâm , trung điểm gợi ta nghĩ đến đờng trung bình của tam giác . Do đó lấy các điểm phụ M,N lần lợt là trung điểm của AD, AC sẽ giúp ta giải đợc bài toán. Lời giải: Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AD,AC, G là giao điểm của CD và OA, E là giao điểm của DN và CM. Dễ thấy G là trọng tâm ABC nên 3 2 = CD GC còn E là trọng tâm ACD nên 3 2 = CM EC . Xét CDM nên 3 2 == DM EC CD GC nên theo đ/l đảo Talét trong tam giác ta suy ra EG //MD . Mặt khác OD AB (D là điểm giữa của dây cung AB của đờng tròn (O) nên OD EG ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O) nên OA BC hay OG BC. Mà DN // BC ( DN là đờng trung bình của ABC do vậy OG DN. Xét DGE Có GO và OD là 2 đờng cao cắt nhau tại O O là trực tâm của DGE . Từ đó OE DG hay OE CD. Bài toán 8: Cho ABC vuông tại A có AB =4cm, AC= 3 cm. Hãy xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng BC và đờng tròn tâm A bán kính 2.5 cm. Phân tích : Để xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng BC với đờng tròn tâm A ta cần tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC vì vậy cần vẽ thêm yếu tố phụ là đờng cao AH của ABC . Lời giải: Vẽ AH là đờng cao của ABC . ABC vuông tại A, AH là đờng cao nên theo hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông có: 222 111 ACABAH += 222 3 1 4 11 += AH cmAHAH 4.2 5 12 ) 5 12 ( 22 === Vì 2.4< 2.5 nên đờng thẳng BC và đờng tròn (A; 2.5 cm) cắt nhau. Bài toán 9: Cho ABC có cmABCBA 4,30 0 == . Xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng BC và đờng tròn tâm A bán kính 2 cm. Phân tích : Cũng nh bài tập 8 ta cũng cần kẻ đờng phụ là đờng cao AH để đi đến lời giải của bài toán. Lời giải: Vẽ đờng cao AH của ABC . Tam giác ABH vuông tại H có 0 30 =HBA nên là nửa tam giác đều cm AB AH 2 2 == Do đó đờng thẳng BC và đờng tròn (A;2) tiếp xúc nhau. Bài toán 10: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đờng tròn (O;R) với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đờng vuông góc vẽ từ A đến đờng kính BC của đờng tròn . Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH. Phân tích : Dễ thấy PB // AH, điều cần chứng minh PC đi qua trung điểm I của AH gợi ta nghĩ đến điểm D là giao điểm của CA và BP và tất nhiên phải có PB = PD . Điều này có đợc từ ABD vuông và PA = PB. Lời giải : Gọi điểm D là giao điểm của CA và BP . Tam giác BAC vuông tại A Tam giác BAD vuông ở A 0 90 =+ DAPPAB Do PA và PB là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O) PA = PB (1) ABPBAP = Mặt khác 0 90 =+ ADPBAP . Từ đó ADPDAP = PD =PA (2) Từ (1) và (2) PD =PB Theo đ/l Ta lét : có AH // DB ( vì cùng vuông góc với BC) nên PB IH CP CI DP AI == Mà PD = PB AI = IH hay I là trung điểm của AH. Bài toán 11: Một đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với AB, AC lần lợt tại D và E. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE tại I. Chứng minh CE DM IC IM = Phân tích: Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lý Talét do vậy ta làm xuất hiện hai đờng thẳng song song. Cách 1: Vẽ CK // AB , K DE.Ta có IM DM IC CK = . Và chứng minh đợc CE = CK. Cách 2: Vẽ MH // DE, H AC. Ta có ; . DM HE AD AE AD AE = = ; IM HE IC CE = do đó DM = HE, từ đó suy ra đpcm. Cách 3: Vẽ ML // AC, L DE. Ta có IM ML IC CE = , DM = ML Từ đó suy ra đpcm. Bài toán 12: Trên dây cung AB của đờng tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Vẽ bán kính OE qua C và bán kính O F qua D. Chứng minh ằ ằ AE EF< Phân tích: Ta có ằ ằ AE EF< ã ã AOC COD < . Từ đó ta nghĩ đến tìm một tam giác có hai góc ã AOC , ã COD mà quan hệ giữa các cạnh đối diện dễ thấy. Cách 1: Vẽ đờng kính AM. Ta có ã ã ã ã ,AOC OMD COD ODM= = và OMD có OD < OM nên từ đó ta có lời giải bài toán. Cách 2: Gọi I là trung điểm của OA. IC là đờng trung bình của OAD nên IC // OD , 1 2 IC OD= ICO có IC < OI. Từ đó tìm ra lời giải bài toán. Cách 3: Gọi K là trung điểm của OD. CK là đờng trung bình của OAD . Ta có : 1 , // 2 CK OA CK OA= OCK có OK < CK.Từ đó giúp ta có đợc đpcm. Cách 4: Trên tia đối của tia CO lấy H sao cho CH = CO . Tứ giác AHDO là hình bình hành, suy ra AH = OD, ã ã AHO COD= AHO có AH < OA. Từ đó ta có lời giải của bài toán. Bài toán 13: Cho hai đờng tròn (O) và , ( )O tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đờng tròn tại B và C (B thuộc đờng tròn (O) ; C thuộc , ( )O ) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B và C song song với nhau. Phân tích : Nếu kẻ thêm tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ta sẽ dễ dàng tìm ra đợc lời giải. Cần lu ý rằng : những bài toán có hai đờng tròn tiếp xúc nhau việc vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đờng tròn sẽ làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đờng tròn, từ đó sẽ giải đợc bài toán. *Bài tập: 1) Cho hai đờng tròn (O) và ( ' O ) tiếp xúc ngoài tại A. Hai điểm B, C lần lợt trên đờng tròn (O) và ( ' O ) sao cho ã 0 90BAC = . Chứng minh rằng OB // ' O C. 2) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R) (AB < AC). Đờng tròn (I) qua B,C và tiếp xúc với AB tại B cắt đờng thẳng AC tại D. Chứng minh OA BD 3) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O).(AB<O). E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AD,BC.I là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng è. Đờng thẳng m vuông góc với OI tại I cắt các cạnh AD,BC lần lợt tại M,N. Chứng minh OMN cân. III - Kết luận 1) Lời kết: Qua đây, chúng ta có thể khẳng định rằng: Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học là rất cần thiết, nó giúp các em HS không những giải đợc các bài toán mà còn giúp các em thấy hứng thú trong học bộ môn toán, phát triển đợc khả năng sáng tạo của các em. Trong quá trình giảng dạy ,để phù hợp với khả năng không đồng đều của các đối t- ợng HS trong lớp , và trong điều kiện thời gian hạn hẹp của các giờ tự chọn nên tôi chỉ chọn những bài tập mang tính chất gợi mở, định hớng, đơn giản để các em thấy tự tin rằng nếu các em cố gắng các em hoàn toàn có thể làm đợc việc mà từ trớc đến nay các em cảm thấy khó khăn đó là việc vẽ thêm các đờng phụ trong các bài toán hình học. 2) Kết quả đạt đợc và kiến nghị Với sự cố gắng, nỗ lực chung của cả giáo viên và các em HS, sau khi áp dung cách làm trên, rất nhiều em HS trong lớp đã thấy hứng thú, yêu thích bộ môn toán đặc biệt là phần hình học. Rất nhiều bài toán đã đợc các em giải bằng nhiều cách khác nhau, có những cách giải ngoài sự mong đợi của cả giáo viên. Mặc dù rất cố gắng song nội dung SKKN chắc chắn còn nhiều vấn đề hạn chế. Tôi rất mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để có thể tiếp tục hoàn thiện đề tài với nội dung phong phú hơn và áp dung đợc cho nhiều đối tợng học sinh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Sở giáo dục & đào tạo hải dơng Hớng dẫn học sinh vẽ thêm đờng phụ để : " Giải một số bài toán hình học 9" Năm học: 2006 - 2007 . hứng thú trong học bộ môn toán, phát triển đợc khả năng sáng tạo của các em. Trong quá trình giảng dạy ,để phù hợp với khả năng không đồng đều của các đối t- ợng HS trong lớp , và trong điều. trên cũng có C nằm trong đờng tròn ( O ;R) Bài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đờng tròn (O;R).H là trực tâm của tam giác ABC.Vẽ OK BC ( K BC). Chứng minh : AH = 2OK Phân. = . Chứng minh rằng OB // ' O C. 2) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R) (AB < AC). Đờng tròn (I) qua B,C và tiếp xúc với AB tại B cắt đờng thẳng AC tại D. Chứng minh OA