Mở đầu *** Lý do chọn đề tài Dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng trình ở chơng trình đại số lớp 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh. Do đặc trng của loại toán này thờng là loại toán có đề tài bằng lời văn và thờng đợc xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý ). Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình. Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì toán lớp 8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phơng trình. Nhng việc giải ph- ơng trình đã có trong chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tợng học sinh. ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống: - 2 = 5 ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 2 = 10 ở lớp 4, 5 cho dới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn: x : 3 = 4 : 2 x x 3 +5 = 11, ( x 15 ) x 7 = 21 ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh bài toán còn cho dới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo. Vì vậy, muốn giải đợc loại toán này học sinh cần phải suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình ( hệ phơng trình ). Mối đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán là đều đợc gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu có liên quan đến thực tế đó. Do khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát li đ- ợc thực tế, dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc của thực tế từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm dạng 1 toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của Sách Giáo Khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng toán. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toán này. Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập . Do đó khi hớng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một số nguyên tắc chung: Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lập ph- ơng trình, phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại l ợng dẫn đến lập đợc ph- ơng trình dễ dàng. Đây là bớc quan trọng và khó khăn đối với học sinh. Với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. Vì vậy tôi đã chọn đề tài Dạy giải toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ phơng trình. Trong thời gian giảng dạy ở trờng THCS tôi đã đợc học hỏi rất nhiều kinh nghiệm của các thầy cô giáo lớp trớc và đợc đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ, đặc biệt là sự hớng dân tận tình của thầy Tống Trần Hoàn đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 2 Nội dung *** chơng i Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán I. Phơng pháp nghiên cứu. Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành về chơng trình toán THCS với nội dung: Phơng trình và hệ phơng trình. Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy tắc gồm các bớc: B ớc 1 : Lập phơng trình (gồm các công việc). - Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn). - Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn và các số liệu đã biết. - Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phơng trình (hệ phơng trình). B ớc 2 : Giải phơng trình và hệ phơng trình. Tùy thuộc vào từng dạng phơng trình và hệ phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp. B ớc 3: Nhận định kết quả và trả lời. So sánh nghiệm tìm đợc với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không rồi trả lời kết quả (có kèm đơn vị). Mặc dù đã có quy tắc trên song ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải bài toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu về giải bài toán nói chung. ii. Yêu cầu về giải một bài toán. 1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, không có sai sót dù nhỏ. Muốn vậy giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức cơ bản, phơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí hiệu ẩn phải chính xác, phải phù hợp với bài toán và trên thực tế. Ví dụ 1: 3 0,6 Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ; sau 3 năm tỷ số tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và tuổi em hiện nay? - Phân tích đề bài: Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ( = 1/2). Từ đó ta có tuổi anh gấp đôi tuổi em. Sau 3 năm, tuổi anh và tuổi em đều tăng 3 đơn vị; khi đó, tỷ số tuổi của anh và của em là: 0,5 + 0,1 = 0,6. - Giải: Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x N). Thì tuổi anh hiện nay là: 2x. Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3. Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3. Theo đầu bài ra ta có phơng trình : x + 3 2x + 3 <=> x + 3 = 0,6 (2x + 3) <=> x = 6 (T/m điều kiện). Vậy tuổi em hin nay là: 6 (tuổi). Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi). 2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng bớc phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn phải khéo léo, mối quanhệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc các giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện. Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác đợc hớng đi, xây dựng đợc lời giải. Ví dụ 2: 4 Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m 2 . Giải: Gọi chiều rộng của khu đát hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0). => Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m). Ta có phơng trình: x (x + 4) = 1020. x 2 + 4x - 1020 = 0. x 1 = 30 (t/m) x 2 = -34 (loại). Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m. Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m). Chú ý: ở đây giáo viên cần lu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 chỉ lấy nghiệm: x =30. 3. Yêu cầu 3: Lời giải thích phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng không đợc thiếu. Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cách chung? Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào tr- ờng hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng? Ví dụ 3: Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạch đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3cm và cạch đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích ban đầu. Tính chiều cao và cạch đáy của tam giác lúc đầu? - Phân tích: Dù chiều cao và cạch đáy của tam giác có thay đổi thì diện tích (S) của tam giác luôn đợc tính theo công thức: S = 1/2 . (cạch đáy . chiều cao). - Giải: 5 Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5) Chiều cao của tam giác là: 3 4 x (cm). Diện tích tam giác ban đầu là: S 1 = 2 2 1 3 3 . ( ) 2 4 8 x x x cm = . Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là: 3 4 x + 3 (cm). Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì cạnh đáy mới là: x - 5 (cm) Diện tích tam giác khi đó là: S 2 = 1 3 .( 3).( 5) 2 4 x x + Theo bài ra ta có: 2 1 3 9 3 .( 3).( 5) . 2 4 10 8 x x x + = 1 2 . 3 ( 3) 4 x + . 2 9 3 ( 5) . 10 8 x x = 2 1 (3 12).( 5) 9 3 . . 2 4 10 8 x x x + = 2 9 ( 4).( 5) 10 x x x + = 2 2 2 10( 4 5 20) 9 10 200 0 x x x x x x + = = x 1 = 20 ( thỏa mãn điều kiện ) x 2 = - 10 ( loại ) Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm Chiều cao của tam giác là: 3 4 .20 = 15 (cm). 4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng đợc. Ví dụ 4: 6 Một xởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xởng đã may đợc nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 5 ngày trớc khi hết thời hạn xởng đã may đợc 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch xởng phải may trong thời gian bao lâu và mỗi ngày xởng phải may xong bao nhiêu áo? - Giải: Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x. (x N; x > 0) Thời gian quy định may xong áo là 3000 x (ngày). Số áo thực tế may đợc trong 1 ngày là: x + 6 (áo). Thời gian may xong 2650 áo là: 2650 6x + (ngày). Vì xởng may xong 2650 áo trớc khi hết hạn 5 ngày nên ta có phơng trình: 3000 2650 5 6x x = + x 2 - 64x 3600 = 0 x 1 = 100 (thỏa mãn điều kiện) x 2 = -36 (loại). Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xởng phải may xong 100 áo. Thời gian quy định may xong 3000 áo là: 3000 100 = 30 (ngày). 5. Yêu cầu 5: Lời giải phải đợc trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy luận từ các bớc tr- ớc nó đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trớc. Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2 đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. - Phân tích: Xét tam giác vuông ABC. Giả sử AC > AB CH > BH. Cần chú ý rằng: AH 2 = BH . CH - Giải: Gọi dộ dài BH là x (m) (x>0). Độ dài CH là x+ 5,6 (m). 7 A B H C Theo công thức hệ thức lợng trong tam giác, ta có phơng trình: x.(x + 5,6) = 9,6 2 x 2 + 5,6 x - 92,16 = 0 x 1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện). x 2 = - 12,8(loại). Vậy: BH = 7,2 m CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m. Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m) 6. Yêu cầu 6 : Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bớc cần lập luận không chồng chéo, phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm nhất là đối với phơng trình bậc hai, hệ phơng trình. Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. - Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0). Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 x 2 +y 2 = 25 2 = 625 x + y = 35 x + y = 35 (x + y) 2 2xy = 625 x . y = 300 x, y là nghiệm của phơng trình: a 2 35 a + 300 = 0 a 1 = 20; a 2 = 15 (thỏa mãn điều kiện). Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15. Nhận xét: ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân vân: 1 hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15). Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các nghiệm dều hợp lí. (Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả). 8 CHƯƠNG II : PHÂN LOạI BàI TOáN GIảI BàI TOáN BằNG CáCH LậP PHƯƠNG TRìNH Và CáC GIAI ĐOạN GIảI MộT BàI TOáN I Phân loại bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ phơng trình. Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau: 1. Loại toán về chuyển động. 2. Loại toán liên quan đến số học. 3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm). 4. Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị). 5. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của chúng). 6. Loại toán có liên quan đến hình học. 7. Loại toán có nội dung vật lí, hóa học. ii. các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình 1. Phần giai đoạn: - Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng ax + b = 0 (a 0). - Với bài toán: Giải bài toán bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng: ax 2 + bx + c = 0 (a,b 0) 9 - Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng: ax + by = c a , x + b , y = c , ( Trong đó a, b, a , , b , không đồng thời bằng 0 ) Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì giải bài toán này có thể chia làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bớc quy tắc giải bài toán bằng lập phơng trình (hệ phơng trình). * Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú đợc có thể mô tả bằng hình vẽ). * Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phơng trình. Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn. * Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc. * Giai đoạn 4: Giải phơng trình , vận dụng các kí thuật giải phơng trình đã biết để tìm nghiệm của phơng trình. * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình, để xác định lời giải của bài toán tức là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không? * Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại. * Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thờng mở rộng cho học sinh tơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối bài toán thành bài toán khác, ta có thể: - Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết). - Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển t duy cho học sinh. - Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất. 10 [...]... phút Do đó để đến B kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc ô tô lúc đầu Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn : - Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định - Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại - Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới + Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực tế ô tô đã đi - Giải : Gọi vận tốc theo dự định... học Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phơng của hai số đó là 157 - Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phơng trình hoặc lập hệ phơng trình theo bảng sau: Cách Số thứ hai PT (hệ pt) x 17 x x2 + (17 x)2 = Bình phơng x2 (17 x)2 157 Cha bình phơng x y x + y = 17 Bình phơng 2 Số thứ nhất Cha bình phơng 1 Quá trình x2 y2 x2 + y2 = 157 - Giải: Gọi số thứ nhất là x => số thứ 2... soạn: Tiết 63: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình i.mục tiêu Giúp học sinh nắm vững 6 yêu cầu về giải một bài toán bằng quy tắc: giải bài toán bằng cách lập phơng trình dựa trên cơ sở của 3 bớc và 7 giai đoạn giải của loại toán trên Rèn luyện kỹ năng biểu diễn các số liệu đã biết từ dạng văn thành các biểu thức đại số và xây dựng đợc phơng trình Rèn cho học sinh có thói quen và tìm thòi cách giải... trình của ẩn Bớc 2: Lập phơng trình + Giáo viên gọi một học sinh lên bảng trả lời - Biểu thị các đại lợng cha biết qua ẩn + Gọi một học sinh nhận xét và các đại lợng đã biết + Giáo viên hệ thống lại các giai đoạn - Dựa và mối liên hệ giữa các đại lợng giải bài toán bằng cách lập phơng trình để lập phơng trình Bớc 3: Giải phơng trình Bớc 4: chọn kết quả thích hợp và trả lời 29 Hoạt động 2: Bài mới Giáo... 2 Kiểm tra 20 bài làm của học sinh nhận đợc theo cách mới kết quả nh sau: Điểm 0 1 Điểm 3 4 Điểm 5 6 Điểm 7 8 Điểm 9 - 10 0 3 7 7 3 0% 15% 35% 35% 15% 2 Nh vậy, ta thấy dẫn dắt học sinh theo các giai đoạn của việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình, học sinh nắm bài chắc hơn và biết cách phân tích bài toán để lập phơng trình theo các điều kiện của bài toán đã cho Việc áp dụng đề tài này là . Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn : - Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định - Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại. - Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới. + Do ô tô đến. trình bày thì giải bài toán này có thể chia làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bớc quy tắc giải bài toán bằng lập phơng trình (hệ phơng trình). * Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết,. có thể mô tả bằng hình vẽ). * Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phơng trình. Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn. * Giai đoạn 3: Lập phơng trình,