CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH 1. Số phức - Định nghĩa tập số phức C: Tập hợp số C là mở rộng tập hợp R các số thực với các phần tử thoả 2 điều kiện:  C chứa một nghiệm i của phương trình x 2 +1=0  Các phép toán + và * trên R được mở rộng thành các phép toán trên C thỏa các tính chất quen thuộc của một trường, nghĩa là với z 1 , z 2 , z 3 ∈C • (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) • z 1 + z 2 = z 2 + z 1 • z 1 + 0 = z 1 • Với mỗi z ∈C, tồn tại z’ sao cho z + z’ = 0 • (z 1 * z 2 ) * z 3 = z 1 * (z 2 * z 3 ) • z 1 * z 2 = z 2 * z 1 • z 1 * 1 = z 1 • Với mỗi z ∈C, z≠0 tồn tại z’ sao cho z * z’ = 1, ta viết z’=z -1 • z 1 * (z 2 + z 3 ) = z 1 * z 2 + z 1 *z 3 - Dạng đại số của số phức và các khái niệm: Môt số phức z có dạng đại số là z= a + ib (a,b ∈ R). Trong đó: a là phần thực và viết a= Re(z) b là phần ảo và viết b= Im(z) Đặc biệt: Các số thực z=a đều có phần ảo =0 Các số phức có dạng z=ib, b ∈ R gọi là các số thuần ảo Xét số phức z = a + ib. Ta nói số phức ibaz −= là liên hợp của z Tính chất của của phép liên hợp ℜ∈⇔= ∈∀= ∈∀+=+ zzz Czzzzzz Czzzzzz 212121 212121 ,** , Modun của môt số phức z= a + ib ký hiệu là |z| và được định nghĩa như sau 22 baz += Các tính chất nn nn zzzzzzzzzz zzzz zzzzzz zz +++≤+++⇒+≤+ << = = )Im()Re( 21212121 2121 - Dạng lượng giác của số phức: Một số phức z=a+ib còn có thể được viết dưới dạng lượng giác như sau: ( ) ϕϕ sincos irz += Trong đó ϕϕ sin,cos rbra == 22 bar += r chính là modun của z và góc ϕ được gọi là argument của z. Ta viết ϕ=arg(z). Xét 2 số phức ( ) 1111 sincos ϕϕ irz += và ( ) 2222 sincos ϕϕ irz += . Ta có: [ ] )sin()cos( 21212121 ϕϕϕϕ +++= irrzz (*) )2(mod)arg()arg()arg( )2(mod)arg()arg()arg( 21 2 1 2121 π π zz z z zzzz −= += - Căn bậc n của một số phức. Từ (*) ta suy ra nếu ( ) ϕϕ sincos irz += thì ( ) ϕϕ ninrz nn sincos += , n∈N. Đặc biệt nếu r=1 thì ta có công thức Moivre: ( ) ϕϕϕϕ nini n sincossincos +=+ Ta gọi căn bậc n của một số phức A là một số phức z sao cho z n = A Ta viết A và z dưới dạng lượng giác: ( ) ( ) θθρ ϕϕ sincos sincos iz irA += += Như vậy ta có r n = ρ và ϕθ =n (mod 2π) Do đó tất cả các căn bậc n của A≠0 là 1 ,,1,0, 2 sin 2 cos −=             ++       += nk n k n i n k n rz n k πϕπϕ Chú ý: căn bậc n của A là đỉnh của đa giác đều n cạnh nội tiếp trong vòng tròn tâm O bán kính n A . Đặc biệt các căn bậc n của đơn vị (A=1) nội tiếp trong vòng tròn đơn vị. Đặt n i n ππ ω 2 sin 2 cos += thì căn bậc n của đơn vị chính là 12 , ,,,1 −n ωωω . Ta nói ω là 1 căn bậc n nguyên thủy của đơn vị. 2. Chuỗi lũy thừa - Metric (khoảng cách) trên tập C. Cho z và z’ thuộc C, khoảng cách giữa z và z’ được định nghĩa bởi: | z – z’| = )b'-(b)a'-(a 22 + với z = a+b i, z’ = a’+b’ i. - Định nghĩa khoảng cách ở trên thỏa các tính chất của một metric. - Giới hạn và đạo hàm. Định nghĩa giới hạn của dãy số phức cũng tương tự như đối với số thực: εε z k n n, k, 0, z zlim nn <−⇒>∀∃>∀⇔= ∞→ z n Định nghĩa giới hạn của hàm số phức cũng tương tự như đối với hàm số thực: εδε f(z) z-z z, ,0 0, L f(z) lim 00 0 <−⇒∀>∃>∀⇔= → z zz Đạo hàm của hàm số phức G(z), ký hiệu là G’(z), được định nghĩa bởi giới hạn của tỉ số z-t G(z) - G(t) khi t → z . - Chuỗi lũy thừa, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối. Chuỗi lũy thừa có dạng: ∑ ∞ =0n n n z a (1) với các hệ số a n , và biến z lấy giá trị phức. Tổng riêng phần: ∑ = = n k k kn z aS z 0 )( Nếu S n (z) có giới hạn là G(z) khi n → ∞ thì ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ và có tổng bằng G(z), và viết: ∑ ∞ = = 0 )( n n n z a zG Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối khi chuỗi | 0 | ∑ ∞ =n n n z a là hội tụ. Tính chất: Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì cũng hội tụ. - Định lý Abel. (i) Tồn tại duy nhất R (0 ≤ R ≤ +∞) sao cho: chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối nếu | z | < R, và chuỗi (1) phân kỳ nếu | z | > R. (ii) Hơn nữa, nếu 0 ≤ ρ < R thì chuỗi (1) hội tụ đều trong đĩa | z | ≤ ρ. Ta gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ghi chú: Trên vòng tròn | z | = R ta không có kết luận tổng quát về chuỗi (1). Hệ quả: Nếu chuỗi (1) hội tụ tại điểm z 0 ≠ 0 thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi z thỏa: | z | < | z 0 | và hội tụ đều trong mọi đĩa | z | ≤ ρ < | z 0 |. - Các quy tắc tính bán kính hội tụ Quy tắc Cauchy: Nếu n n a lim tồn tại (có thể bằng +∞) thì R = ( n n a lim ) -1 . Quy tắc D’Alembert: Nếu a a n n 1 lim + tồn tại (có thể bằng +∞) thì R =         + − a a n n 1 1 lim - Chuỗi tổng và chuỗi tích. Cho 2 chuỗi lũy thừa z a n n n zf ∑ ∞ = = 0 )( và z b n n n zg ∑ ∞ = = 0 )( với bán kính hội tụ là R 1 và R 2 . Ta lập chuỗi tổng và chuỗi tích như sau: ( ) z ba n n nn zgf ∑ ∞ = +=+ 0 ))(( z c n n n zfg ∑ ∞ = = 0 ))(( với c n = a 0 b n + a 1 b n-1 + . . . + a n b 0 , n = 0, 1, 2, … Mệnh đề: Các chuỗi tổng và tích có bán kính hội tụ ≥ min(R 1 ,R 2 ) và hơn nữa (f + g)(z) = f(z) + g(z) (f g)(z) = f(z) g(z) với | z | < min(R 1 ,R 2 ). - Đạo hàm và nguyên hàm của chuỗi lũy thừa. Xét chuỗi lũy thừa ∑ ∞ = = 0 )( n n n z a zG với bán kính hội tụ R. Do chuỗi lũy thừa hội tụ đều trong các đĩa | z | ≤ ρ < R, ta thấy G(z) có đạo hàm theo biến phức là ∑ ∞ = + + += 0 1 1 )1( )(' n n n z a nzG , | z | < R (Phép lấy đạo hàm theo từng số hạng của chuỗi lũy thừa). Một hàm có đạo hàm theo biến phức trong một miền D được gọi là hàm giải tích hay chĩnh hình trong miền D. Như vậy G(z) là một hàm giải tích trong đĩa hội tụ | z | < R. Ta có khai triển Taylor ∑ ∞ = = 0 )( ! )0( )( n n n z n G zG , | z | < R Ngoài phép lấy đạo hàm theo từng số hạng ta cũng có phép lấy tích phân theo từng số hạng vì hàm ∑ ∞ = − = 1 1 )( n n n z n a zF có cùng bán kính hội tụ R và )( 01 1 1 )(' zG z a a zF n n n n n n zn n === ∑∑ ∞ = ∞ = − − trong đĩa | z | < R. 3. Hàm sinh - Định nghĩa hàm sinh. Để nhấn mạnh quan hệ giữa hàm ∑ ∞ = = 0 )( n n n z a zG và dãy {a n } ta nói G(z) là hàm sinh của dãy {a n }. - Một số hàm sinh thường gặp. (i) Đa thức z a z aa zp n n +++= )( 10 là hàm sinh của dãy hữu hạn a 0 , a 1 , …, a n . Do đó p(z) là một hàm nguyên (giải tích trên toàn bộ C). (ii) Xét hàm mũ ∑ ∞ = = 0 ! n n n z e z . Đây cũng là một hàm nguyên. Theo quy tắc tính chuỗi tích ta có: e zz e z e z '' + = Theo quy tắc đạo hàm từng số hạng ta có: ∑∑ ∞ = ∞ = =+ + =       00 ! )1( )!1( 1 n n n n n n n z z e z dz d Vậy e z e z dz d =       (iii) Các hàm lượng giác theo biến phức: ∑ ∞ = − = 0 2 )!2( )1( )(cos k k k k z z ∑ ∞ = + + − = 0 12 )!12( )1( )sin( k k k k z z Từ quy tắc cộng chuỗi lũy thừa ta có: )sin( )cos( z e iz iz += Với z = x + i y ta có: ))sin( )(cos( yy e x e iy e x e z i+== (iv) Các hàm z−1 1 ,       − z1 1 ln , và dãy số điều hòa {H n } ∑ ∞ = = − 0 1 1 n n z z , | z | < 1 Lấy tích phân từng số hạng của chuỗi ∑ ∞ =0n n z ta được một nguyên hàm của hàm z−1 1 , ký hiệu là       − z1 1 ln hay -ln(1-z): ∑ ∞ = =−−=       − 1 )1ln( 1 1 ln n n n z z z Từ đó ta có: ∑ ∞ = − − =−−=+ 1 1 )1( ))(1ln()1ln( n n n z n zz Sử dụng quy tắc nhân chuỗi ta thấy       −− zz 1 1 ln 1 1 là hàm sinh của dãy: n H n 1 2 1 1 +++=  , n = 1, 2, … ∑ ∞ = =       −− 1 1 1 ln 1 1 n n n zH zz Dãy {H n } được gọi là dãy số điều hòa, đóng vai trò quan trọng trong số học cũng như trong việc phân tích độ phức tạp của một số thuật toán. 4. Số Bernoulli - Định nghĩa số Bernoulli. o Dãy số Bernoulli được định nghĩa quy nạp như sau  2 1 ,1 10 == BB (4.1)  2, 0 ≥=       ∑ = mBB m m k k m k (4.2) Trong đó )!(! ! kmk m m k − =       là hệ số nhị thức. o Để ý rằng m=2 thì (4.2) trở thành B 2 + 2B 1 +B 0 = B 2 . Hệ thức này được thỏa do (4.1) Với 3≥m thì (4.2) cho phép tính B m-1 theo B m-2 , B m- 3 ,…, B 0 . Chẳng hạn 30 1 ,0, 6 1 432 −=== BBB B 3 = B 5 = B 7 = … = 0 - Định nghĩa đa thức Bernoulli. Sử dụng các số Bernoulli, ta có thể định nghĩa các đa thức Bernoulli như sau: , 1,0,)( 0 ∑ = − =         = m k km k m k m mBB zz Chú ý rằng B m (z) là một đa thức bậc m với hệ số có bậc cao nhất là B 0 =1 và hệ số hằng B m (0)=B m. - Một số tính chất: o )0()1( 0 ∑ = ==       = m k mmk m k m BBBB o )()( 1 zz mm mBB − = ′ 5. Dáng điệu của H n và n! - Ký hiệu O: Khảo sát hàm theo biến thực hoặc nguyên f(x), g(x). Ta xét dáng điệu của hàm khi x lớn hoặc |x| nhỏ. Ví dụ: • Khi x → +∞, ta nói g = O(f) khi tồn tại M > 0 (không phụ thuộc x) sao cho |g(x)| ≤ M.|f(x)| , khi x khá lớn. [...]... rằng giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn và được gọi là hằng số Stirling: 1   σ = lim  ln(n!) − (n + ) ln(n) + n  n → ∞ 2  Ta cũng có:  ln(n!) =  n +   1  ln(n) − n + σ + 2  1 12 n  1  + O 3    n  và σ n! = e n n  e n    1 + 1 + 1 + O 1    3   12n 288 n 2  n   Dùng tích phân của hàm biến phức ta có thể chứng minh rằng: σ e = 2π và được công thức Stirling sau đây: . CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH 1. Số phức - Định nghĩa tập số phức C: Tập hợp số C là mở rộng tập hợp R các số thực với các phần tử thoả 2 điều kiện: . của số phức và các khái niệm: Môt số phức z có dạng đại số là z= a + ib (a,b ∈ R). Trong đó: a là phần thực và viết a= Re(z) b là phần ảo và viết b= Im(z) Đặc biệt: Các số thực z=a đều có phần. 1 1 lim - Chuỗi tổng và chuỗi tích. Cho 2 chuỗi lũy thừa z a n n n zf ∑ ∞ = = 0 )( và z b n n n zg ∑ ∞ = = 0 )( với bán kính hội tụ là R 1 và R 2 . Ta lập chuỗi tổng và chuỗi tích như sau: (