MỤC LỤC NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 3: Hàm Green ở nhiệt độ khác không 2 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.2 Hàm Green Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Hàm Green trễ và nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Phương trình Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình NỘI DUNG Chương 3 HÀM GREEN Ở NHIỆT ĐỘ KHÁC KHÔNG (Sách: A-Many-particle physics) 3.1 Giới thiệu U 1 = 1 i  α  ,α ψ ∗ α (  R, t)ψ α (  R, t)G α,α  (3.1) U 2 = 1 (i) 2  α  ,α 1 ,α ψ ∗ α (  R, t)ψ α (  R, t)G α,α 1 G α 1 ,α  (3.2) U n = 1 (i) n  α  ,α 1 α n−1 ,α ψ ∗ α (  R, t)ψ α (  R, t)G α,α 1 G α 1 ,α 2 G α n−1 α  (3.3) Thử nghiệm được thực hiện ở nhiệt độ khác không. Vì mục tiêu của lý thuyết nhiều hạt. Nó thường không cần thiết nếu nhiệt độ là nhỏ so với các nguồn năng lượng khác trong bài toán này. Nhưng thường nhiệt độ là rất quan trọng và ở đây nó sẽ được đưa vào hàm của Green. Các hình thức nhiệt độ khác không được bắt nguồn bởi Matsubara (1995). Nó thực sự dễ sử dụng hơn so với lý thuyết nhiệt độ không ở chương 2, do đó phương pháp Matsubara sẽ được sử dụng trong suốt các phần còn lại của cuốn sách. Kết quả đối với nhiệt độ không luôn luôn dễ dàng thu được từ kết quả của trường hợp nhiệt độ khác không bằng cách cho T = 0. 2 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình Ở nhiệt độ khác không, nó được giả định có đại lượng nào đó khác không. Đó là các hạt của chúng, đó là điện tử, photon hoặc là spin được tương tác với một hệ của các hạt khác chưa biết, vì chúng dao động giữa các cấu hình khác nhau. Tất cả những gì được gọi là nhiệt độ, có liên quan tới năng lượng trung bình trên tất cả các cấu hình có thể có của hệ. Một hàm Green có thể có của điện tử là Tr  e −βH C pσ (t)C † pσ (t  )  Tr (e −βH ) (3.4) C pσ (t) = e itH C pσ e −itH (3.5) Ở đây, ký hiệu "Tr" biểu thị vết và là tổng trên một bộ số hoàn chỉnh các trạng thái Tr ≡  n  n| |n  (3.6) Định nghĩa (3.4) sẽ phù hợp với hàm của Green và là iG (p; t, t  ). Tuy nhiên, có một số nhược điểm mà làm cho việc khó sử dụng đến nó. Thông thường, Hamiltonian được viết H = H 0 + V (3.7) Ta có H 0 có thể được tính theo một cách chính xác, còn V vẫn còn và trở thành nhiễu loạn. Tuy nhiên V xuất hiện ở hai biểu thức khác nhau. Đầu tiên là trong exp {±iHt}, và có thể được mở rộng 3 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình trong ma trận S thông thường. Nhưng nó xuất hiện trong các thừa số exp(−βH). Nhiễu loạn được mở rộng trên các nhân tố trọng số nhiệt động lực học. Tất nhiên, đó là một rắc rối để có thể chia làm hai phần khác nhau gộp lại một. Các Hamiltonian có trong hai số hạng là một thừa số theo cấp số nhân. Các thừa số của β = 1/(k B T ) có thể được coi là một phức thời gian. Phương pháp Matsubara hoàn toàn là điều ngược lại, nó xem thời gian như một nhiệt độ phức. Mục đích là để xử lý t và β là phần thực và phần ảo, yêu cầu chỉ khai triển ma trận S. Một động cơ thúc đẩy cho các phương pháp Matsubara được đưa ra bằng cách kiểm tra các số lấp đầy các trạng thái cho boson (e βω q −1) −1 và fermion (e βξ p + 1) −1 . Mỗi một trong số này có thể được khai triển trong một chuỗi (ξ p = ε p − µ): n F (ξ p ) = 1 e βξ p + 1 = 1 2 + 1 β ∞  n=−∞ 1 (2n + 1)iπ/β − ξ p (3.8) n B (ω q ) = 1 e βω q − 1 = − 1 2 + 1 β ∞  n=−∞ 1 2niπ/β − ω q (3.9) Những chuỗi có thể được bắt nguồn từ một định lý nói rằng bất kỳ hàm phân hình có thể được khai triển như một phép tổng ở trên các cực và các thặng dư tại các cực của nó. Hệ số lấp đầy boson  e βω q − 1  −1 có các cực tại ω q = 2niπ/β và hệ số fermion  e βξ p + 1  −1 có các cực tại ξ p = (2n + 1)iπ/β. Nó sẽ thuận lợi cho việc xác định 4 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình các tần số tại cực ω n = (2n + 1) iπ/β, fermion ω n = 2niπ/β, boson (3.10) ở đây các fermion có các cực đại tại bội số lẻ của π/β, trong khi các boson có các cực tại bội số chẵn, bao gồm cả 0. Cả hai phép tổng ở trên có thể viết lại như sau:  n 1 iω n − ω q hoặc  n 1 iω n − ξ p (3.11) ở đây, chúng ta lấy tổng trên các chỉ số nguyên lẻ cho fermion và lấy tổng trên các số nguyên chẵn cho boson. Hệ số 1 iω n − ω q (3.12) là bản chất của hàm Green. Thực sự, nó là hàm Green không tương tác trong phương pháp Matsubara. Trong phương pháp Matsubara, thời gian sẽ trở thành một số phức, mà thường gọi là τ, ở đây τ = it. Hàm Green là hàm của τ với miền xác định −β ≤ τ ≤ β (3.13) Biến đổi Fourier lý thuyết trạng thái cho rằng nếu hàm f(τ) là xác định trên phạm vi (−β ≤ τ ≤ β) f(τ) = 1 2 a 0 + ∞  n=1  a n cos  nπτ β  + b n sin  nπτ β  (3.14) 5 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình ở đây: a n = 1 β  β −β dτf(τ)cos( nπτ β ) (3.15) b n = 1 β  β −β dτf(τ)sin( nπτ β ) (3.16) Một cách khác để viết biến đổi Fourier là xác định f(iω n ) = 1 2 β(a n + ib n ) (3.17) và do đó f(τ) = 1 β  n = −∞ ∞ e −inπτ/β f(iω n ) (3.18) f(iω n ) = 1 2  β −β dτf(τ)e inπτ/β (3.19) Hàm Green boson có thể bổ sung tính chất boson : f(τ) = f(τ + β) (3.20) khi − β < τ < 0 (hay 0 < τ + β < β) Chia tích phân (3.19) thành miền âm và miền dương: f(iω n ) = 1 2   β 0 dτf(τ)e inπτ/β +  0 −β dτf(τ)e inπτ/β  (3.21) và các biến số biến đổi trong hai giới hạn từ τ tới (τ + β) dẫn tới f(iω n ) = 1 2 (1 + e inπ )  β 0 dτf(τ)e inπ/β (3.22) 6 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình Biểu thức f(iω n ) = 0 khi n là số nguyên lẻ cho các boson f(iω n ) =  β 0 dτe iω n τ f(τ) f(τ) = 1 β  n e −iω n τ f(iω n ) ω n = 2nπk B T                boson (3.23) Kết quả này phù hợp với tính toán trước đó (??) tần số boson chỉ chứa số nguyên chẵn. Tương tự, hàm Green fermion sẽ có những tính chất sau fermion:f(τ) = −f(τ + β) khi −β < τ < 0 (3.24) Các thao tác tương tự trên tích trong (3.19) cho f(iω n ) = 1 2 (1 − e inπ )  β 0 dτf(τ)e inπ/β (3.25) Trong trường hợp này f(iω n ) = 0 nếu n là chẵn, trong khi đối với n là số nguyên lẻ thì: f(iω n ) =  β 0 dτe iω n τ f(τ) f(τ) = 1 β  n e −iω n τ f(iω n ) ω n = (2n + 1)πk B T                fermion (3.26) Những phương trình này là đồng nhất với (3.23) chỉ có khác biệt duy nhất là hiệu tần số ω n là số nguyên chẵn hoặc là lẻ. Từng cặp của phương trình sẽ sử dụng thường xuyên để xác định các khai triển Fourier của hàm Green. 7 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình Có hai ưu điểm lớn của phương pháp Matsubara là nó dẫn chúng ta trực tiếp tới kết quả. Trong bản chất, (3.10) và (3.11), một số công thức Kubo được suy ra từ các định nghĩa của vật lý như độ dẫn điện, độ cảm ứng từ Trong công thức (3.6) cho biết hàm tương quan chỉ là hàm Green sơ ban đầu. Cuối cùng nó thể hiện cho hàm Green Matsubara dẫn trực tiếp tới hàm ban đầu Hàm Matsubara sẽ là hàm của tần số phức iω n , chẳng hạn như f(iω n ). Hàm tương đương ban đầu thu được bằng cách cách thay thế iω n bởi (ω + iδ), ở đây δ là vô cùng bé và i = √ −1. Bước này được gọi là một phép phân tích mở rộng. Trong thực tế, trong các công thức đó thì chỉ có một công thức giúp cho f(iω n ) loại bỏ hết iω n , và thay thế bởi (ω + iδ). Một biện pháp đơn giản mang lại hàm ban đầu cần thiết cho các đại lượng vật lý đo lường. Kỹ thuật Matsubara là một phương pháp trực tiếp tính toán định tính có thể được so sánh với thực nghiệm. 3.2 Hàm Green Matsubara Hàm Green điện tử được định nghĩa là G(p, τ − τ  ) = −  T τ C pσ (τ)C † pσ (τ  )  (3.27) G(p, τ − τ  ) = −Tr[e −β(H−µN−Ω) T τ e τ(H−µN) ×C pσ e −(τ−τ  )(H−µN ) C † pσ e −τ  (H−µN ) ] (3.28) e −βΩ = Tr  e −β(H−µN)  (3.29) 8 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình Những định nghĩa này có một số đặc trưng và quy ước mà cần phải được giải thích. Đầu tiên, khung   trong (3.27) có ngụ ý của của phương trình tương đương (3.28) khung 0 lên một toán tử 0 có nghĩa là lấy trung bình nhiệt động lực học, đó là các vết trong tập hợp tất cả các trạng thái, thứ hai Hamiltonian hiện được thay thế bằng H −µN, ở đây µ là thế điện hóa và N là toán tử số hạt. Một phân bố chính tắc suy rộng, coi số lượng của hạt là biến. Định nghĩa của hàm Green áp dụng cho hệ nhiều hạt. Nó cũng có thể sử dụng rất thành công cho một hạt trong một vùng trống. Trong trường hợp sau, việc tiếp tục phân tích được thực hiện như iω n → E + µ + iδ và thế điện hóa bị triệt tiêu trong tất cả các biểu thức vì βµ  0 trong hệ một hạt tại nhiệt độ khác không. Trong một hệ nhiều electron, thế điện hóa được giữ nguyên trong các hệ thức. Việc tiếp tục phân tích (iω n → E + iδ) và năng lượng được đo từ thế điện hóa (năng lượng fermi). Yếu tố T τ là một toán tử thứ tự τ, mà toán tử sắp xếp với τ sớm nhất (gần với −β nhất) ở bên phải. Nó xác định các hàm đơn điệu theo toán tử thứ tự thời gian trong hàmGreen có nhiệt độ khác không. Chỉ số dưới τ là chỉ số của T để phân biệt các toán tử từ nhiệt độ. Thế nhiệt động lực học Ω trong exp(−βΩ) là yếu tố chuẩn hóa cho một trung bình nhiệt động lực học. Ký tự G đã được đã được sử dụng cho các hàm Matsubara. Ký tự này sẽ luôn nhắc nhở người đọc rằng đây là hàm Green của thời gian phức và tần số phức. 9 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình Trong (3.27) hàm Green bên vế trái đã được viết như một hàm của hiệu (τ − τ  ), mặc dù vế phải không hẳn là một hàm của hiệu. Bây giờ chứng minh cho trường hợp này. Ban đầu, viết hàm Green cho các trường hợp riêng biệt cho τ > τ  và τ < τ  K ≡ H − µN (3.30) G(p, τ − τ  ) = −Θ(τ −τ  )Tr  e −β(K−Ω) e τK C −(τ−τ  )K pσ C † pσ  + +Θ(τ  − τ)Tr  e −τK e −β(K−Ω) e τ  K C † pσ e (τ−τ  )K C pσ e −τK  (3.31) Sự thay đổi ký hiệu trong số hạng thứ hai xuất hiện bất cứ khi nào hai toán tử fermion là đổi chổ cho nhau. Tiếp theo, sử dụng định lý cho vết là không thay đổi bởi một biến thiên tuần hoàn của các toán tử Tr(ABC Y Z) = Tr(BC XY ZA) (3.32) để các toán tử của e ( τ  −K) bên trái. Khi này phương trình (3.31) có thể viết lại như sau G(p, τ − τ  ) = −Θ(τ −τ  )Tr  e −τ  K e −β(K−Ω) e τK C pσ e −(τ−τ  )K C † pσ  + +Θ(τ  − τ)Tr  e −τK e −β(K−Ω) e τ  K C † pσ e (τ−τ  )K C pσ  (3.33) Tiếp theo giao hoán các toán tử số mủ: e −τ  K e −β(K−Ω) = e −β(K−Ω) e −τ  K (3.34) vì cả hai đều có toán tử đơn điệu K [ thế nhiệt động lực học Ω không phải là một toán tử mà là một hàm vô hướng của β và µ, được xác 10 [...]... hàm trễ vì một liên hợp phức đơn giản có được một liên hợp phức nâng cao Một hạt tương ứng với những hàm Green này đã được giới thiệu Sự biểu diễn này là một dạng không được sử dụng phổ biến cho việc tính toán các đại lượng vật lý và tính số Tuy nhiên, nó rất hữu ích cho việc chứng minh định lý và trong trường hợp cho mối liên hệ giữa hàm 22 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS TS Lê Đình Green và một... có nghĩa là không có bất kì hạt nào, chúng được sử dụng với một nhóm biểu tượng Hàm Green trễ phụ thuộc vào thời gian thực, không phải tau Mẹo cho vấn đề này là thừa số i đứng trước phụ thuộc với tất cả hàm Green thời gian thực Toán tử hàm Green chỉ cho t > t , cái làm nó có lý Thứ nhất, bắt đầu tính tại một thời điểm t và sau đó tính nó tại thời điểm t Dĩ nhiên, hệ là có lý, những cái này giải thích... Green khác thay đổi iωn → ω + iδ thay đổi iωn → ω + iδ G(p, iωn ) = Gret (p, ω) (3.114) D(q, iωn ) = Dret (q, ω) (3.115) Mối liên hệ này với hàm trễ là một lý do để hàm Matsubara là hữu ích Sau khi được tính toán, phân tích đơn giản được đưa đến hàm trễ, đó là một hàm vật lý thú vị Hàm nâng cao đạt được bởi phân 25 Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS TS Lê Đình tích liên tục iωn → ω − iδ cái mà chắc... hiện trong những kết luận này đưa ra tính chất thay đổi giữa những biến này Một đại lượng khác để tính toán, cho một hệ electron tương tác, số electron trong một trạng thái động lượng p † np = (Cpσ Cpσ ) (3.134) Hình 3.1: Hàm phổ không tương tác A(0) được biểu diễn bởi một hàm delta, trong khi hàm phổ tương tác A thường có một độ rộng khác không Cho một hệ electron không tương tác, số hạt được thử cho... trong nó tuân theo hệ thức phản giao hoán, trong khi các boson không thay đổi dấu bởi vì các toán tử của nó tuân theo hệ thức giao hoán Tất nhiên, thay đổi này là kết quả của sự khác biệt cơ bản giữa boson và fermion Sự thay đổi dấu này đảm bảo cho sự thay đổi dấu giữa ±1 trong hai hình thức của phân phối nhiệt: (eβξp + 1)−1 và (eβωq − 1)−1 Ta phải chú ý dấu trong bài toán fermion với nhiều toán tử Cho... (3.107), (3.112) và (3.120) Một biểu thức ở dạng này được gọi là biểu diễn Lehmanm (1954), và nó được sử dụng đầu tiên ở điện động lực lượng tử Trong nhiều sách, nghiên cứu electron và hàm phổ cho electron thường được tính toán trong nhiều bài tập Bây giờ ta thảo luận về những tính chất chung Biểu diễn của hàm trễ là βΩ n|Cpσ |m Gret (p, ω) = e n,m 2 e−βEn − e−βEm ω + En − Em + iδ (3.122) Phương trình này... thậm chí trong nhiều hệ electron với mặt fermi Hàm trễ không có δp đổi dấu tại mặt fermi, từ đó dễ dàng sử dụng hơn hàm Green nhiệt độ không được giới thiệu trong chương 2 Hàm phổ cho hàm Green không tương tác là A(0) (p, E) = 2πδ(E − ξp ) (3.133) Nó là một hàm delta Hàm phổ A(p, E) được hiểu như một hàm xác suất Nó là xác suất để một electron có động lượng p và năng lượng E Cho một hạt tự do hoặc... E) được tính toán cho hệ tương tác, sự phân bố rộng được tìm ra như là ký hiệu A ở trong hinh 3.1 Có một nhánh của giá trị E cho mỗi p, điều đó thì không bất ngờ Khi electron tán xạ, nó có một đường trung bình khác không và có một vài sự không chắc chắn trong động lượng hoặc năng lượng hoặc cả hai Vì p và E được xem như tách biến và được tổng tất cả khi tính các đại lượng vật lý Hàm phổ A(p, E) xuất... đóng một vai trò quan trọng trong thuyết nhiệt độ khác không, những tính chất của chúng sẽ được thảo luận trong phần này Những tính chất quan trọng này đến từ sự thật rằng tất cả những đại lượng đo được, như là độ dẫn hoặc độ cảm, là hàm trễ tương ứng Mục tiêu của nhiều tính toán là để tính một hàm trễ Có nhiều cách khác nhau để có được nó Cách thứ nhất là sử dụng thuyết thời gian thực ngay cả ở nhiệt... cho t > t , cái làm nó có lý Thứ nhất, bắt đầu tính tại một thời điểm t và sau đó tính nó tại thời điểm t Dĩ nhiên, hệ là có lý, những cái này giải thích tại sao hàm Green là một trong những đại lượng vật lý thú vị Sự tiện lợi của hàm Green là không cần tính toán tại các thời gian khác nhau Trong giới hạn này thời gian là bằng nhau, hoán tử trở nên thống nhất † † 1 = lim{Cpσ (t)Cpσ (t ) + Cpσ (t )Cpσ . là toán tử số hạt. Một phân bố chính tắc suy rộng, coi số lượng của hạt là biến. Định nghĩa của hàm Green áp dụng cho hệ nhiều hạt. Nó cũng có thể sử dụng rất thành công cho một hạt trong một. trong tất cả các biểu thức vì βµ  0 trong hệ một hạt tại nhiệt độ khác không. Trong một hệ nhiều electron, thế điện hóa được giữ nguyên trong các hệ thức. Việc tiếp tục phân tích (iω n → E +. nó có lý. Thứ nhất, bắt đầu tính tại một thời điểm t  và sau đó tính nó tại thời điểm t. Dĩ nhiên, hệ là có lý, những cái này giải thích tại sao hàm Green là một trong những đại lượng vật lý thú