SEMINAR LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI GVHD: TS. VÕ TÌNH HV : PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21 CHƯƠNG 3 ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH 3.5. Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ 3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt 3.5.3. Các phương trình trường điện từ 3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ 2 Trong một hệ bao gồm cả trường điện từ và các hạt chuyển động, hàm tác dụng S của hệ là: 3 3.5. Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ 3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ 1 2 3 (3.65)S S S S = + + hàm tác dụng của hạt tự do 1 :S 2 :S đặc trưng cho tương tác giữa trường và hạt 3 :S hàm tác dụng của trường tự do 3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ Ta xét các số hạng trong biểu thức của S 1 0 S m∈ a. Số hạng thứ nhất khối lượng của hạt 2 1 0 (3.66)S m c d τ = − ∫  TH1: Hệ hạt sắp xếp liên tục trong không gian. Mật độ khối lượng riêng 0 0 0 (3.67) dm dV γ =  TH2: Hệ hạt rời rạc 0 0 ( ) (3.68) i i m r r γ δ = − ∑ r r Thế (3.67) vào (3.66): 2 4 1 0 0 0 (3.69)S dV c d c d x γ τ γ = − = − ∫ ∫ 4 3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ b. Số hạng thứ hai phụ thuộc điện tích và trường 2 S 2 A x (3.70) k k S e d= − ∫  TH1: Hệ hạt liên tục. Mật độ điện tích của hệ / (3.71)de dV ρ =  TH1: Hệ hạt rời rạc ( ) (3.72) i i i e r r ρ δ = − ∑ r r Thay (3.71) vào (3.70) ta được 4 2 1 . (3.73) k k S j A d x c = − ∫ c. Số hạng thứ ba 4 3 1 (3.74) 4 ik ik S D E d x c = − ∫ 5 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt a. Thành lập hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ Hàm tác dụng của một điện tích chuyển động trong trường điện từ 2 1 2 0 ( A ) (3.75) b k k a S S S m c d e dx τ = + = − + ∫ có thể viết dưới dạng sau: 2 1 2 2 0 ( 1 ) (3.76) t t S m c e eAv dt β ϕ = − − + − ∫ urr với là vận tốc của hạt d r v dt ≡ r r 6 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt a. Thành lập hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ Hàm Lagrange của điện tích trong trường điện từ 2 2 0 1 (3.77)m c e eAv β ϕ = − − − + urr L Xung lượng tổng quát 0 2 (3.78) 1 m v eA p eA v β ∂ = = + = + ∂ − r ur ur ur ur r L P 7 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt a. Thành lập hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ Hàm Hamilton của hạt (3.79)v v ∂ − ∂ = r r L H L Thay (3.77) vào (3.79) kết hợp với (3.78) ta có 2 4 2 2 0 ( ) (3.81)m c c eA e ϕ = + − + ur ur H P 8 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu với hàm tác dụng 2 0 2 0 ( A ) 0 (3.85) ( A A ) 0 b i i a b i i i i a S m c d e dx m c d e dx e dx δ δ τ δ τ δ δ = − + = ⇔ − + + = ∫ ∫ lưu ý 2 2 i i i i dx d x c d d dx d x c d d δ τδ τ δ δ τ τ ⇒= = 0 0 ( A A ) 0 ( A A ) 0 b i i i i a b i i i i i i i a i S m e dx e dx m u e d dx d x d d x x e dx δ δ δ δδ δ δ τ = − + + = ⇔ − + + = ∫ ∫ suy ra 9 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích 0 ( A A ) 0 b i i i i i a i S m u e d x e dxd x δδ δ δ = − + + = ∫ lấy tích phân từng phần, ta có: 0 0 [ ( ) dA A ] [( A ) ]| 0 b i i ii b i i i i i a a xd m u e x e dx m u e x δ δ δδ + − − + = ∫ (3.87) Nếu biên không thay đổi trong quá trình lấy biến phân thì SH2=0 10 [...]... dτ  ∂x ∂x    b 11 3.5.2 Phương trình chuyển động của một hạt b Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích ∫ b a d  ∂Ak ∂Ai  dτ ( m0ui ) − e  ∂x i − ∂x k    k i ÷u  δ x dτ = 0   δ xi Vì là bất kỳ nên ta được phương trình chuyển động 4 chiều d  ∂Ak ∂Ai ( m0ui ) − e  i − k dτ  ∂x ∂x với  k ÷u = 0  (3.88) dx k uk = dτ 12 3.5.3 Các phương trình trường điện từ Giả thiết chuyển... ki ∂ iδ Ak ) d 4 x = 0, c 13 3.5.3 Các phương trình trường điện từ Lấy tích phân từng phần và sử dụng định lý Gauss, ta có ∫( j k + ∂ i D ki ) δ Ak d 4 x − Ñ kiδ Ak dSi = 0 ∫D ⇒ ∫ ( j k + ∂ i D ki ) δ Ak d 4 x = 0 Do δ Ak bất kỳ nên: Vì tính phản xứng nên j + ∂i D = 0 ⇔ − ∂i D = j k ki ki k ∂ i D ik = j k đây là phương trình tenxơ nhóm I của hệ phương trình Maxwell 14 3.6 Tenxơ năng xung lượng trường... thức tenxơ vật chất * Ý nghĩa vật lý của phương trình (3.111), ta có: 1 ∂T00 + ∂α T0α = 0, c ∂t ∂Tβ0 1 + ∂α Tβα = 0 c ∂t (3.113) (3.114) Lấy tích phân (3.113) theo thể tích V, ta được 1 ∂ T00 dV + ∫ ∂α T0α dV = 0 c ∂t ∫ ∂ ⇒ ∫ T00 dV = − Ñ T0α dSα , ∫c ∂t (3.116) 22 3.6 Tenxơ năng xung lượng trường điện từ b Thành lập biểu thức tenxơ vật chất * Ý nghĩa vật lý của phương trình (3.111), ta có: ∂ T00 dV =... ) − D nk ∂ n Eik dt ( 3.97 ) * Ta đi khai triển biểu thức của SH2’ Từ hệ phương trình Maxwell nhóm II viết dưới dạng tenxơ ∂ k Emn + ∂ m Enk + ∂ n Ekm = 0 ⇒ D nk ( ∂ i Ekn + ∂ n Eik + ∂ k Eni ) = 0 (3.98) 15 3.6 Tenxơ năng xung lượng trường điện từ a Thành lập biểu thức tenxơ năng xung lượng trường điện từ Do tính phản đối xứng của tenxơ D ik và Eik ta có D ∂ k Eni = (− D )∂ k (− Ein ) = D ∂ k Ein...3.5.2 Phương trình chuyển động của một hạt b Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích Khi đó b SH 1 = ∫ [d (m0ui )δ x + eδ x dA i − eδ A i dx ] = 0 i i i a ∂Ai ∂Ai k k Thế δ Ai = k δ x , dAi = k dx vào trên, ta có ∂x ∂x ∂Ai... ( DE + BH ), 2 với α ; β = 1 ÷ 3 α β 19 3.6 Tenxơ năng xung lượng trường điện từ b Thành lập biểu thức tenxơ vật chất d / dτ = u ∂ n nên mật độ d fi = (γ 0ui ) = u n ∂ n (γ 0ui ), dτ n Sử dụng phương trình liên tục (3.19) ∂ n u = 0 Ta có lực n Ta có ∂ n (u nγ 0ui ) = u n ∂ n (γ 0ui ) + γ 0ui ∂ nu n = u n ∂ n (γ 0ui ) Ta suy ra f i = ∂ n (γ 0u ui ) n (3.110) 20 3.6 Tenxơ năng xung lượng trường điện... bởi V Suy ra biểu thức (3.116) là biểu thức toán học của định luật bảo toàn năng lượng của cả hệ hạt và trường điện từ 23 3.6 Tenxơ năng xung lượng trường điện từ b Thành lập biểu thức tenxơ vật chất Tương tự, từ biểu thức (3.114) ta suy ra ∂ 1 0 Tβ dV = − Ñ βα dSα ∫c ∫T ∂t (3.117) SH1’: là tốc độ biến thiên xung lượng của hệ trong V; SH2’: là dòng xung lượng chảy qua mặt S bao bọc bởi V Suy ra, biểu . SEMINAR LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI GVHD: TS. VÕ TÌNH HV : PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21 CHƯƠNG 3 ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH 3.5. Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường. c eA e ϕ = + − + ur ur H P 8 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu với hàm tác dụng 2 0 2 0 (. + = ∫ (3.87) Nếu biên không thay đổi trong quá trình lấy biến phân thì SH2=0 10 3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích Khi đó 0 1