Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 2 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 3 IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3 PHẦN NỘI DUNG 4 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CÂY 2-3-4 4 I. Giới thiệu về cây 2-3-4 4 II. Tổ chức cây 2-3-4 6 III. Tìm kiếm 8 IV. Tách node 8 1. Tách node con 8 2. Tách node gốc 11 3. Tách theo hướng đi xuống 12 V. Chèn node 14 VI. Tính hiệu quả của Cây 2-3-4 15 VII. Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây đỏ đen 16 CHƯƠNG 2. MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN TRÊN CÂY 2-3-4 21 I. Tổng quan về mô phỏng thuật toán 21 1. Khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán 21 2. Khái niệm mô phỏng thuật toán 21 II. Các yêu cầu mô phỏng thuật toán 22 III. Quá trình thiết kế nhiệm vụ mô phỏng thuật toán 23 IV. Mô phỏng thuật toán trên Cây 2-3-4 23 1. Giới thiệu ngôn ngữ mô phỏng 23 2. Phân tích và thiết kế thuật toán mô phỏng 24 a. Phân tích 24 b. Thiết kế 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 1 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học LỜI MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong hai thập kỉ qua, mô phỏng thuật toán đã được các nhà sư phạm của ngành công nghệ thông tin sử dụng như một công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy các thuật toán trên máy tính. Nguyên nhân của việc mô phỏng thuật toán được sử dụng như một công cụ trợ giúp cho việc giảng dạy là do nó có thể cung cấp các mô phỏng động bằng đồ họa của một thuật toán và các thay đổi trong cấu trúc dữ liệu của nó trong suốt quá trình thực thi. Như một phần của quá trình học thuật toán, việc mô phỏng các thuật toán còn góp phần giúp các em học sinh, sinh viên khi mới bắt đầu làm quen với giải thuật có thể vừa dễ dàng theo dõi các bước duyệt ở lý thuyết vừa nhìn thấy các bước chạy ở thực tế như thế nào. Tư đó có thể giúp các em tư duy thuật toán nhanh hơn và ngày càng yêu thích giải thuật. Mô phỏng thuật toán ngày càng trở nên hữu ích và trở thành một giáo cụ trực quan rất quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực, nhất là trong môi trường giáo dục. Với các nhà sư phạm của ngành công nghệ thông tin thì mô phỏng thuật toán có tác dụng như một tài liệu hướng dẫn trong việc dạy các thuật toán bằng máy tính. Cây 2-3-4 là một cây nhị phân tìm kiếm giải quyết tốt hơn các trường hợp xấu nhất cho cây nhị phân tìm kiếm bình thường. Và đây còn là một nội dung khá mới mẻ và phức tạp đối với nhiều học sinh, sinh viên. Vì vậy vấn đề “Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng” được chọn làm đề tài nghiên cứu. II. Mục đích nghiên cứu đề tài Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 2 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Mục đích nghiên cứu của khóa luận này nhằm tìm hiểu và đánh giá các thuật toán trên Cây 2-3-4, đồng thời xây dựng một phần mềm mô phỏng các thuật toán này nhằm hỗ trợ cho việc học, nghiên cứu và tiến tới dạy các thuật toán trên Cây 2-3-4. III .Nhiệm vu nghiên cứu đề tài. Nghiên cứu tổng quan về mô phỏng thuật toán, các yêu cầu, phương pháp tiếp cận, phương pháp thiết kế một mô đun mô phỏng thuật toán. Thiết kế minh họa các mô đun minh họa các thuật toán trên Cây2-3-4. IV. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu đi sâu vào nghiên cứu và cài đặt một số thuật toán: - Thuật toán tìm kiếm trên Cây 2-3-4 - Thuật toán chèn một node và chèn một giá trị vào Cây 2-3-4 - Thuật toán tách node trên Cây 2-3-4 - Thuật toán xóa node và xóa một giá trị trên Cây 2-3-4 V. Phưong pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu tham khảo các tài liệu tham khảo liên quan đến Cây nhị phân tìm kiếm, Cây 2-3-4 thông qua các sách, tài liệu tham khảo và đặc biệt là nguồn tài liệu phong phú trên mạng Internet. Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 3 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học PHẦN NỘI DUNG Chương I. Lý thuyết về Cây 2-3-4 I. Giới thiệu về cây 2-3-4. Như chúng ta đã biết, các thuật toán về cây nhị phân luôn rất tốt cho nhiều ứng dụng, tuy nhiên chúng lại có những khuyết điểm trong trường hợp xấu nhất. Chẳng hạn như trường hợp Quicksort, trường hợp xấu nhất của nó lại là trường hợp dễ xuất hiện trong thực tế nếu người dùng không chú ý đến nó. Các tập tin đã được xắp xếp thứ tự, các tập tin với thứ tự ngược, các tập các khoá lớn, nhỏ xen lẫn nhau hay các tập tin với sự phân đoạn lớn có cấu trúc đơn giản có thể làm thuật toán tìm trên cây hoạt động rất tồi. Với thuật toán QuickSort, cái mà chúng ta cần để cái tiến tình huống là sắp xếp lại để có trường hợp ngẫu nhiên: bằng cách chọn một phần tử phân hoạch ngẫu nhiên, chúng ta có thể dựa vào quy luật xác xuất để tránh khỏi trường hợp xấu nhất. Với tìm kiếm trên cây nhị phân thì may mắn hơn, bởi vì chúng ta có thể làm tốt hơn nhiều; có một kỹ thuật tổng quát cho phép chúng ta bảo đảm trường hợp xấu nhất sẽ không xuất hiện. Kỹ thuật này gọi là Cân bằng đã được dùng làm cơ sở cho nhiều thuật toán khác nhau về “cây cân bằng”. Chúng ta sẽ xem xét kỹ một thuật toán thuộc loại đó và cùng nhau thảo luận tóm tắt về sự liên quan của nó đối với các phương pháp khác. Để khử trường hợp xấu nhất của cây tìm kiếm nhị phân, chúng ta cần dùng một vài linh động trong cấu trúc sẽ dùng. Để có sự linh động này, chúng ta giả sử rằng các node trong cây của chúng ta có chứa nhiều hơn một khóa. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ thừa nhận các 3-node và 4-node mà có thể chứa tương ứng hai và ba khóa. Một 3-node có ba liên kết ra khỏi nó, một liên kết cho tất cả các mẩu tin có khóa nhỏ hơn cả hai khóa của nó, một cho tất cả các mẩu tin có khóa nằm giữa hai Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 4 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học khóa của nó, một cho tất cả các mẩu tin có khóa lớn hơn hai khóa của nó. Tương tự với một 4-node có 4 liên kết đi ra khỏi nó. Chúng ta sẽ xem xét các đặc tính của cây 2-3-4 và mối quan hệ khá gần gũi giữa cây 2-3-4 và cây đỏ-đen. Hình 4.1 Trình bày một cây 2-3-4 đơn giản. Mỗi node có thể lưu trữ 1, 2 hoặc 3 mục dữ liệu. Hình 4.1 cây 2-3-4 Các số 2, 3 và 4 trong cụm từ cây 2-3-4 có ý nghĩa là khả năng có bao nhiêu liên kết đến các node con có thể có được trong một node cho trước. Đối với các node không phải là lá, có thể có 3 cách sắp xếp sau: Một node với một mục dữ liệu thì luôn luôn có 2 con. Một node với hai mục dữ liệu thì luôn luôn có 3 con. Một node với ba mục dữ liệu thì luôn luôn có 4 con. Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 5 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Như vậy, một node không phải là lá phải luôn luôn có số node con nhiều hơn 1 so với số mục dữ liệu của nó. Nói cách khác, đối với mọi node với số con là c và số mục dữ liệu là d, thì : c = d + 1. Sau đây là các ví dụ cụ thể: Hình 4.2. Các trường hợp của cây 2-3-4 Với mọi node lá thì không có node con nhưng có thể chứa 1, 2 hoặc 3 mục dữ liệu, không có node rỗng. Một cây 2-3-4 có thể có đến 4 cây con nên được gọi là cây nhiều nhánh bậc 4. Trong cây 2-3-4 mỗi node có ít nhất là 2 liên kết ,trừ lnode lá (node không có liên kết nào). Hình 4.2 trình bày các trường hợp của cây 2-3-4. Một node với 2 liên kết gọi là một 2-node, một node với 3 liên kết gọi là một 3-node, và một node với 4 liên kết gọi là một 4-node, nhưng ở đây không có loại node nào là 1-node. II. Tổ chức cây 2-3-4. Các mục dữ liệu trong mỗi node được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải (sắp xếp từ thấp đến cao). Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 6 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Một đặc tính quan trọng của bất kỳ cấu trúc cây là mối liên hệ giữa các liên kết với giá trị khóa của các mục dữ liệu. Trong cây tìm kiếm nhị phân, tất cả node của cây con bên trái có khoá nhỏ hơn khóa của node đang xét và tất cả node của cây con bên phải có khoá lớn hơn hoặc bằng khóa của node đang xét. Trong cây 2- 3-4 thì nguyên tắc cũng giống như trên, nhưng có thêm một số điểm sau: Với node có một mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 1 của node cha. Với node có hai mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 1 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 2 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 3 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 2 của node cha. Với node có ba mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 1 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 2 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 3 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 2 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 3 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 4 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 3 của node cha. Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 7 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Trong tất cả cây 2-3-4, các lá đều nằm trên cùng một mức. Các node ở mức trên thường không đầy đủ, nghĩa là chúng có thể chứa chỉ 1 hoặc 2 mục dữ liệu thay vì 3 mục. Lưu ý rằng cây 2-3-4 là cây cân bằng. Nó vẫn giữ được sự cân bằng khi thêm vào các phần tử có thứ tự (tăng dần hoặc giảm dần). III. Tìm kiếm. Thao tác tìm kiếm trong cây 2-3-4 tương tự như thủ tục tìm kiếm trong cây nhị phân. việc tìm kiếm bắt đầu từ node gốc và chọn liên kết dẫn đến cây con với phạm vi giá trị phù hợp. Ví dụ, để tìm kiếm mục dữ liệu với khoá là 64 trên cây ở hình 4.1, bạn bắt đầu từ gốc. Tại node gốc không tìm thấy mục khoá này. Bởi vì 64 lớn 50, chúng ta đi đến node con 1, (60/70/80)(lưu ý node con 1 nằm bên phải, bởi vì việc đánh số của các node con và các liên kết bắt đầu tại 0 từ bên trái). Tại vị trí này vẫn không tìm thấy mục dữ liệu, vì thế phải đi đến node con tiếp theo. Tại đây bởi vì 64 lớn hơn 60 nhưng nhỏ hơn 70 nên đi tiếp đến node con 1. Tại thời điểm chúng ta tìm được mục dữ liệu đã cho với liên kết là 62/64/66. IV. Tách node 1. Tách node con Việc thêm vào sẽ trở nên phức tạp hơn nếu gặp phải một node đầy (node có số mục dữ liệu đầy đủ) trên nhánh dẫn đến điểm thêm vào. Khi điều này xảy ra, node này cần thiết phải được tách ra. Quá trình tách nhằm giữ cho cây cân bằng. Loại cây 2-3-4 mà chúng ta đề cập ở đây thường được gọi là cây 2-3-4 top-down bởi vì các node được tách ra theo hướng đi xuống điểm chèn. Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 8 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Giả sử ta đặt tên các mục dữ liệu trên node bị phân chia là A, B và C. Sau đây là tiến trình tách (chúng ta giả sử rằng node bị tách không phải là node gốc; chúng ta sẽ kiểm tra việc tách node gốc sau này): Một node mới và rỗng được tạo. Nó là anh em với node sẽ được tách và được đưa vào bên phải của nó. Mục dữ liệu C được chuyển vào node mới. Mục dữ liệu B được chuyển vào node cha của node được tách. Mục dữ liệu A không thay đổi. Hai node con bên phải nhất bị hủy kết nối từ node được tách và kết nối đến node mới. ⇒ Quá trình tách node con sẽ xảy ra các trường hợp sau đây:  Node cha của node cần tách có một khóa. 1. Node cần tách là node con bên phải của node cha nó Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node cần tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. 2. Node cần tách là node con bên trái của node cha nó. Ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 1 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node cần tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 9 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học  Node cha của node cần tách có hai khóa. 1.Node cần tách là node con bên phải (con thứ nhất) của node cha nó. Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. 2. Node cần tách là node con bên giữa (con thứ hai) của node cha nó. Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. 3. Node cần tách là node con phải (con thứ ba) của node cha nó. Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 10 [...]... 3-node và phép quay CHƯƠNG II MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN TRÊN CÂY 2-3-4 I Tổng quan về mô phỏng thuật toán 1 Khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán Thuật toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy các thao tác ấy, từ Input của bài toán nhận được Output cần tìm Các thuật toán có một số tính chất chung, đó là:  Đầu vào (Input): Một thuật. .. thuật toán có các giá trị đầu vào từ một tập xác định  Đầu ra (Output): Từ mỗi tập giá trị đầu vào, thuật toán sẽ tạo ra các giá trị đầu ra Các giá trị đầu ra chính là nghiệm của bài toán Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 21 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học  Tính xác định: Các bước của thuật toán phải được mô tả một cách chính xác  Tính đúng đắn: Một thuật toán phải cho. .. vào của bào toán, chứ không phải chỉ cho một tập đặc biệt các giá trị đầu vào  2 Khái niệm mô phỏng thuật toán Mô phỏng thuật toán là quá trình tách dữ liệu , thao tác ngữ nghĩa và tạo mô phỏng đồ họa cho quá trình trên [Stasko 1990] Mô phỏng thuật toán được thiết kế để giúp người dùng có thể hiểu thuật toán, đánh giá chương trình và sửa lỗi chương trình Một chương trình máy tính chứa các cấu trúc... tích và thiết kế thuật toán mô phỏng Cây 2-3-4 Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 24 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học a Phân tích Các node trong Cây 2-3-4 được sắp xếp theo giá trị các khóa của chúng – giống cây tìm kiếm nhị phân Các giá trị khóa được sinh ra một cách ngẫu nhiên, nhiều lần Mỗi node có thể là hình chữ nhật, có hiện thị các mục giá trị Do đó cần xây dựng một. .. mô un trong chương trình một cách khoa học, chặt chẽ Trên cơ sở đó tiết kiệm thời gian viết mã lệnh và tạo thuận lợi cho công tác bảo trì phần mềm Ngoài ra, Visual FoxPro còn cung cấp các chức năng giúp cho người lập trình có thể xây dựng giao diện phần mềm thân thiện và dễ sử dụng Bên cạnh đó, nó còn cung cấp cho chúng ta một số lớp đồ họa, giúp cho việc xây dựng các hình ảnh mô phỏng được thuận tiện,... Kết quả, với cây 2-3-4 số lượng tăng lên của các mục dữ liệu trên node dẫn đến việc hủy chiều cao giảm xuống của cây Thời gian tìm kiếm của cây 2-3-4 và cây nhị phân cân bằng như cây đỏ-đen là xấp xỉ bằng nhau, và cả hai đều bằng O (log(N)) VII Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây đỏ đen Một cây 2-3-4 có thể được chuyển sang cây đỏ-đen bằng cách áp dụng các luật sau: Chuyển đổi bất kỳ 2-node ở cây 2-3-4 sang... nhau cho người học  6.Cấu trúc tổng quát của mô phỏng INPUT GIẢI THUẬT OUTPUT Dữ liệu mẫu Dữ liệu ngẫu nhiên - Tự động - Từng bước Cấu trúc dữ liệu trừu tượng Dữ liệu nhập trực tiếp Biểu diễn đồ họa Độ phức tạp của thuật toán III Quy trình thiết kế nhiếm vụ mô phỏng thuật toán Sơ đồ quy trình thiết kế nhiệm vụ mô phỏng thuật toán như sau: Nghiên cứu và phân thích giải thuật Xây dựng mô hình mô phỏng. .. Input/Output Những khó khăn Tổng hợp các Sinhthuận lợi khi tiếp Dương – Lớp thành giải viên: Đỗ Thị Thùy bước A_K54_CNTT thu giải thiật thuật Cơ chế sinh dữ liệu vào (Input) Phân tích giải thuật thành nhiều 23 bước Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học IV Mô phỏng thuật toán trên Cây 2-3-4 1 Giới thiệu ngôn ngữ mô phỏng Visual FoxPro là một trong các ngôn ngữ lập trình quản trị cơ sơ... được tô màu đỏ; tất cả các node khác được tô màu đen Hình 4.8 trình bày cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng với nó bằng cách áp dụng các chuyển đổi này Các đường chấm xung quanh các cây con được tạo ra từ Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 16 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học 3-node và 4-nút Các luật của cây đỏ-đen tự động thoả mãn với sự chuyển đổi này Kiểm tra rằng: Hai... khác Tương tự, một node cha màu đen với 2 con màu đen không biểu diễn cho 4-nút Hình 4.7 Chuyển đổi từ cây 2-3-4 sang cây đỏ-đen Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT 17 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Hình 4.8 Cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng Sự tương đương Không những cấu trúc của cây đỏ-đen phù hợp với cây 2-3-4, mà các thao tác hoạt động của hai loại cây này cũng tương . phỏng các thuật toán này nhằm hỗ trợ cho việc học, nghiên cứu và tiến tới dạy các thuật toán trên Cây 2-3-4. III .Nhiệm vu nghiên cứu đề tài. Nghiên cứu tổng quan về mô phỏng thuật toán, các yêu. A_K54_CNTT 2 Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học Mục đích nghiên cứu của khóa luận này nhằm tìm hiểu và đánh giá các thuật toán trên Cây 2-3-4, đồng thời xây dựng một phần mềm mô phỏng các. một mô đun mô phỏng thuật toán. Thiết kế minh họa các mô đun minh họa các thuật toán trên Cây2 -3-4. IV. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu đi sâu vào nghiên cứu và cài đặt một số thuật toán: -