- 1 - § 1. ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC 1. Công thức cộng sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b b a a b a b a b a b a b a b           2. Công thức nhân        2 2 2 2 sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1 a a b a a a a 3. Công thức hạ bậc 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 a a a a     4. Công thức nhân 3 2 2 sin 3 3sin 4 sin cos 3 4 cos 3 cos a a a a a a     5. Biến đổi tích thành tổng 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                                          - 2 - 6. Biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2 sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 sin( ) tan tan cos cos cos sin 2 sin 2 cos 4 4 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a                                                    7. Mở rộng 1 sin sin sin sin 3 3 3 4 1 cos cos cos cos 3 3 3 4 tan tan tan tan 3 3 3 x x x x x x x x x x x x                                                                                        8. Một số phép biển đổi cơ bản   2 2 2 4 4 2 1 sin 2 cos sin 1 cos2 2cos 1 cos 2 2sin 1 sin cos 1 sin (2 ) 2 1 1 tan tan 2 cos a a a a a a a a a a a a a             9. Bài tập 1) sin 3 3 cos3 2sin 2 x x x   HD: PT sin 3 sin 2 3 x x                 - 3 - 2)   2 sin 1 sin 2 4 1 tan cos x x x x                  HD: PT 2 (cos sin )(cos sin ) cos sin x x x x x x      3) 2 3 4 2 cos 1 3cos 5 5 x x   HD: PT 3 2 6 4 cos 3cos 2 0 5 5 2 3 2 4 cos 6cos 3cos 5 0 5 5 5 x x x x x           Đẳng thức lượng giác trong tam giác Trong ABC  ta có: sin( ) sin cos( ) cos sin cos 2 2 cos sin 2 2 A B C A C B A B C B C A          1) CM: sin sin sin 4 cos cos cos 2 2 2 A B C A B C   HD: VT 2sin cos sin 2 cos cos sin 2 2 2 2 2 A B A B C A B C C                    2) CM: sin2 sin 2 sin 2 4 sin sin sin A B C A B C    3) CM: cos cos cos 1 4 sin sin sin 2 2 2 A B C A B C    HD: VT 2 2 cos cos cos 2 sin cos 1 2 sin 2 2 2 2 2 A B A B C A B C C         4) CM: 2 2 2 cos cos cos 1 2cos cos cos A B C A B C     HD: Dùng công thức hạ bậc - 4 - Trong ABC  không vuông ta có: tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 cot cot cot cot cot cot 1 cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B B C C A A B B C C A A B C A B C              Nhận dạng tam giác 1) CMR nếu 2 2 2 sin sin sin 2 A B c    thì ABC  vuông. HD: GT 2 2 2 1 cos 1 cos 1 cos 2 2cos cos cos 0 A B c A B C          2) CMR nếu : sin sin sin 1 cos cos cos A B C A B C       thì ABC  vuông. HD: )sin sin sin 4 cos cos cos 2 2 2 )1 cos cos cos 4 sin cos cos 2 2 2 A B C A B C A B C A B C          3) Nếu   sin sin 1 tan tan cos cos 2 A B A B A B     thì ABC  cân. HD: 2 2 sin cos 1 sin( ) 2 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos sin 2 cos( ) 1 A B A B A B GT A B A B A B C A B A B             - 5 - § 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Định nghĩa: Là một trong các phương trình sau: (1) (2) (3) (4) sin cos tan cot x m x m x m x m     x là ẩn, m là số thực cho trước. II. Công thức nghiệm của PT (1) x m sin  + Nếu  1 m thì (1) vô nghiệm + Nếu 1 m  thì (1) có nghiệm 2 sin 2 x k x m x k                  Trong đó  là một số thực sao cho sin m   Ví dụ: 2 3 3 sin sin sin 2 2 3 2 3 x k x x x k                     Lưu ý:  2 sin sin 2 x k x x k                    ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) 2 f x g x k f x g x f x g x k                 Nếu đo bằng đơn vị độ thì 0 0 0 0 0 .360 sin 180 .360 x a k x m x a k             - 6 -  Với 1 m  trên ; 2 2            thì sin x m  có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là arcsin m  Khi 0; 1; 1 m m m     thì ta có công thức nghiệm đặc biệt sin 0 sin 1 2 2 sin 1 2 2 x x k x x k x x k                   LUYỆN TẬP  Giải các phương trình sau 1 1.1) sin2 2 1.2) sin2 sin 1.3) cos2 sin 2 1.4) cos sin 2 0 3 2 1.5) cos 3 sin 3 1 1.6) cos 3 cos 3 1 3 3 x x x x x x x x x x x                                                                  2 2 2 2 2 2 0 0 0 1.7) sin sin 3 cos cos 3 cos2 3 1.8) cos sin cos 2 1 1.9) 3 sin cos cos 1.10) sin 3 cos2 1 2 sin 2 cos2 1.11) sin 2 cos 3 1 2 1.12) sin(2 15 ) ( 120 120 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   III. Công thức nghiệm của PT (2) cos x m  + Nếu  1 m thì (1) vô nghiệm + Nếu 1 m  thì (1) có nghiệm cos 2 x m x k        Trong đó  là một số thực sao cho cos m   Ví dụ: 1 2 2 cos cos cos 2 2 3 3 x x x k            - 7 - Lưu ý:  cos cos 2 x x k          cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 f x g x f x g x k        Nếu x đo bằng độ thì : 0 0 cos 360 x m x a k       Với 1 m  trên 0;        thì cos x m  có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là arccos m  Khi 0; 1; 1 m m m     thì ta có công thức nghiệm đặc biệt cos 0 2 cos 1 2 cos 1 2 x x k x x k x x k                  IV. Công thức nghiệm của pt  tan x m + TXĐ: 2 x k     + PT tan x m  có nghiệm m    tan x m x k       V. Công thức nghiệm của pt  cot x m + TXĐ: x k   + PT cot x m  có nghiệm m    cot x m x k       LUYỆN TẬP 1. Giải các phương trình sau                                        2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.1) 2 sin2 2 sin 0 1.2) sin sin tan 3 1.3) cos sin sin 0 1.4) 1 sin2 cos 3 sin 3 1.5) cos2 3cos 4 0 7 1.6) sin ( 5 ) sin cos sin 1 2 1.7) cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x - 8 - 2. Giải các pt sau 6 6 4 4 2 2 3 3 2 2 2.1) 4(sin cos ) 2(sin cos ) 8 4 cos 2.2) 3 4 cos sin (1 2 sin ) 2.3) sin cos 1 cos2 2.4) cos 5 sin 4 cos 3 sin 2 2.5) cos 5 sin 4 cos 3 sin2 2.6) tan tan 2 tan 3 17 2.7) sin 2 cos 8 sin 10 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                       3 3 5 7 2.8) sin 2 3cos 1 2 sin 2 2 2.9) cos cos 3 sin sin 3 3 2.10) tan tan 2 1 3 3 x x x x x x x x x                                                                        - 9 - § 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN I) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Dạng:         sin 0 ( 0) cos 0 ( 0) tan 0 a x b a a x b a a x b Cách giải: chuyển vế đưa về phương trình lượng giác cơ bản II) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng: 2 2 sin sin 0 ( 0) tan tan 0 ( 0) a x b x c a a x b x c a         Cách giải: đặt ẩn phụ ( đk ẩn phụ nếu có) LUYỆN TẬP  Giải các phương trình sau 2 4 2 4 4 2 4 4 6 6 4 1) 3sin 2 7 cos2 3 0 2) cos2 5 sin 3 0 3) cos2 cos 2 0 4) cos 4 2 sin 2 0 1 5) sin cos cos2 sin 2 2 4 3 6)( .05) cos sin cos sin 3 0 2 4 2 7) cos sin cos 4 x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x                                                   6 6 2(cos sin ) sin cos 8) 0 2 2 sin x x x x x     - 10 - III) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Dạng: 2 2 sin cos ( 0) a x b x c a b     Cách giải: Chia hai vế pt cho 2 2 a b  : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c PT x x a b a b a b       Vì 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b                                 nên ta đặt 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b      : 2 2 2 2 sin cos cos sin sin( ) c PT x x a b c x a b            Chú ý : Ta có thể đặt cos 2 2 2 2 sin ; a b a b a b      : LUYỆN TẬP  Giải các phương trình sau 5 4 2 2 6 6 2 4 1) 3 cos2 sin 2 2 2) 3sin 2 4 cos 2 1 3) 4 sin 5 cos 4 cos sin cos 1 cos sin 4) 4 cot2 cos sin 1 1 2 5) cos sin 2 sin 4 sin (sin cos ) 1 6) 0 cos sin 1 1 7) 2 tan cot2 2 sin 2 sin2 sin 8) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                      4 2 2 2 2 cos 1 1 cot2 5 sin2 2 8 sin2 9) 2 sin sin 3 3 cos 2 2 0 10) sin cos 2 cos 3 x x x x x x x x x x         [...]... (sin2 x  cos2 x ) thì (4a )  (4) Hoặc chia 2 vế của (4a ) cho cos2 x  0 và dùng công thức d  d 1  tan2 x 2 cos x   3) Một cách tổng quát: với pt đẳng cấp bậc n đối với sin x và cos x ta thường chia 2 vế n cho cos x Ta thường gặp pt đẳng cấp bậc 3 dạng sau: a sin 3 x  b sin2 x cos x  c sin x cos2 x  d cos 3 x  0 LUYỆN TẬP:  1 Giải các phương trình sau 1.1) sin 2 x  2 sin x cos x  3 cos2... bậc nhất đối với sin x và cos x để tìm min , max PT : a sin x  b cos x  c  sin(x  )  Phương trình có nghiệm  c 2 a b 2 c a 2  b2  1  a 2  b2  c2 Áp dụng: Tìm min, max của các hàm sau 1)y  cos x  sin x 2)y  cos x sin x  cos x  2  Bài tập 1: Cho y  k sin x  1 cos x  2 a) Tìm min, max khi k  1 b) Tìm k để min y  1 c) Tìm k để max của y là nhỏ nhất  Bài tập 2: Cho y  2k cos x... 9) sin x  cos x  7 sin 2x  1    10) sin 2x  2 sin x    1     4  VI) Phương trình đối xứng với tan x và cot x Dạng: a(tan2 x  cot2 x )  b(tan x  cot x )  c  0 Cách giải: + TXĐ: x  k  2 t  2   + Đặt t  tan x  cot x   2 tan x  cot2 x  t 2  2    BÀI TẬP TỔNG HỢP  1 Giải các phương trình sau 1) sin 2 4x  cos2 6x  sin(10, 5  10x ) (ĐH Dược HN năm 1999) 2) sin 4...  sin x )  3 2.10) 2 sin x  2 3 cos x  3 1  cos x sin x V) Phương trình đối xứng với sin x và cos x Dạng: a(cos x  sin x )  b sin x cos x  c  0 (a 2  b 2  0)    Cách giải: đặt t  sin x  cos x  2 x    t  2     4  t2  1 Khi đó sin x cos x  2 t2  1 PT  a.t  b c  0 2 LUYỆN TẬP  Giải các phương trình sau 1) 2(sin x  cos x )  sin x cos x  1 2 2 1 1 10 3) cos x   sin... nhất IV) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin x và cos x Dạng: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  0 Cách giải: + Xét cos x  0 + Với cos x  0 , (4)  a tan 2 x  b tan x  c  0 Lưu ý: - 11 - (a 2  b 2  c 2  0) (4) 1) Nếu thay: sin 2 x  1  cos 2x 1  cos 2x 1 ; cos2 x  ; sin x cos x  sin 2x thì pt 2 2 2 (4) trở thành bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x 2) Xét pt a sin 2 x  b sin x cos x ... (ĐH Nông nghiệp I – Khối B 1998) 11) cot2 x  tan2 x  16(1  cos 4x ) cos 2x (ĐH GTVT năm 1998) 12) sin x cot 5x 1 cos 9x (ĐH Huế - Khối A năm 1999) 13) 2 tan x  cot x  3  2 sin 2x (ĐH Ngoại Thương nưm 1997) 14) sin x  cos x  sin x  cos x  2 (ĐH QGHN-Khối D, năm 1999) 15) 2 cos x  sin x  1 (ĐH Dân Lập Hồng Bàng năm 1999) 16) cos 2x  1  sin 2x  2 sin x  cos x - 15 - (ĐH DL Phương Đông