KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 (Đề thi co 01 trang) Câu 1 (4 điểm): Giải phương trình sau trên tập số thực . Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác (). Gọi là trung điểm của , vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác . Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số ( là tập số thực) thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt sao cho . Bài 4 (4 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị : Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để chia hết cho HẾT ( ) ( ) 2 6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11x x x x x x− − + − − = − + − + ABC BC AC< M ABAP BC P BQ AC Q PQ AB T TH CM⊥ H ABC :f →¡ ¡ ¡ ( ) 3 3 ( ) 4 f f x x x= + x ∈¡ , ,a b c ( ) ( ) ( ) 0f a f b f c+ + = k , ,a b c 4 4 4 2 ( ) ( )a b c abc a b c k ab bc ca+ + + + + ≥ + + 2013 1 n - 2014 2 ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Câu 1 (4 điểm): Giải phương trình sau trên tập số thực . (Quốc học Huế) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Điều kiện: . Đặt (). Suy ra 1,0 1,0 1,0 Thử lại thỏa mãn. Vậy nghiệm phương trình là hoặc . 1,0 Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác (). Gọi là trung điểm của , vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác . (Bắc Ninh) ( ) ( ) 2 6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11x x x x x x− − + − − = − + − + 2 3 7 3 x≤ ≤ 7 3 , 3 2a x b x= − = − , 0a b ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 5 2 1 . 2 1 2 11 a b b a a b ab  + =   + + + = +   2 2 5 2 2 11 s p sp s p  − = ⇔  + = +  ( ) 2 2 2 2 5 5 5 11 p s s s s s  = −  ⇔  − + = − +   2 3 2 2 5 4 6 0 p s s s s  = − ⇔  − − − =  ( ) , s a b p ab= + = ( ) ( ) 2 2 2 5 3 2 2 0 p s s s s  = −  ⇔  − + + =   2 3 p s =  ⇔  =  2 1 1 2 a b a b =     =   ⇔  =    =    1 2 x x =  ⇔  =  1x = 2x = ABC BC AC< M ABAP BC P BQ AC Q PQ AB T TH CM⊥ H ABC ĐỀ SỐ 1 Gọi tại . Khi đó đồng quy nên là hàng điểm điều hòa (). Do đó ta có . Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác và ngoại tiếp tứ giác , tâm của hai đường tròn này đều nằm trên . Nhưng và nên nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên. Do đó ta có . (ĐPCM) Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số ( là tập số thực) thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt sao cho . (Vĩnh Phúc) Nội dung trình bày Điểm Đặt thì . Suy ra . Dễ thấy là đơn ánh nên từ suy ra cũng là đơn ánh. 1,0 Gọi là một điểm cố định của hàm . 1,0 Ta có , suy ra cũng là một điểm cố định của hàm 1,0 là một song ánh trên tập nên Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1,0 Bài 4 (4 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị : . (Lê Quí Đôn - Đà Nẵng) CD AB⊥ D , ,AP BQ CD , , ,T B D A ( ) 1TBDA = − . .TM TD TATB= CDM ABPQ CM . .TM TD TATB= . .HP HA HQ HB = ,H T TH CM⊥ :f →¡ ¡ ¡ ( ) 3 3 ( ) 4 f f x x x= + x ∈¡ , ,a b c ( ) ( ) ( ) 0f a f b f c+ + = 3 3 ( ) 4 g x x x= + ( ) ( ) ( )f f x g x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f f f x g f x= = ( )g x ( ) ( ) ( )f f x g x= ( )f x 0 x 0 0 0 1 1 ( ) ( ) 0; ; 2 2 g x g x x x   ⇒ = ⇒ ∈ −     ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( )f x f g x g f x= = 0 ( )f x ( )g x ( )f x 1 1 0; ; 2 2 D   = −     1 1 1 1 (0) 0 0 2 2 2 2 f f f     − + + = − + + =  ÷  ÷     k , ,a b c ( ) ( ) + + + + + ³ + + 2 4 4 4 a b c abc a b c k ab bc ca Q H B C A T D P M Vì bất đẳng thức đúng với mọi giá trị nên phải đúng với Ta chứng minh là gtln 1,0 Xét bất đẳng thức trở thành (1) 1,0 Áp dụng bđt AM – GM ta có Suy ra (2) 1,0 Mặt khác (3) Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh Vậy số k lớn nhất 1,0 Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để chia hết cho (Nam Định) Xét với k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ. Đặt Do t là số lẻ nên Ta có a chia 4 dư 1 nên chia 4 dư 2 Do đó Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của n cần tìm là . HẾT , ,a b c 2 1 3 a b c k= = = Þ £ 2 3 k = 2 3 k = ( ) ( ) + + + + + ³ + + 2 4 4 4 2 3 a b c abc a b c ab bc ca ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 2a b c a b b c c a abc a b cÛ + + ³ + + + + + ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b b c b c a b b c c a+ + + + + ³ + + ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3a b c a b b c c a+ + ³ + + ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc a b c+ + - + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 ab bc bc ca ca ab= - + - + - ³ 2 3 k = 2013 1 n - 2014 2 2 . k n t= 2013 1 1 n n a- = - ( ) ( ) ( ) 1 2 . 2 2 2 2 1 1 1 1 [ 1] k k k k k t t n t a a a a a a - - = - = - = - + + + 2014 2 2014 1 2 1 2 k n a a- Û -M M 1 2 2 2 4 2 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1) k k a a a a a - - = - + + + 1 2 1 i a - + 2014 1 2 ( 1) 3 2014 n a k- Û - + ³M 2012 2n = . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04 /2014 (Đề thi co. k ab bc ca+ + + + + ≥ + + 2013 1 n - 2014 2 ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Câu 1 (4 điểm): Giải phương. t a a a a a a - - = - = - = - + + + 2014 2 2014 1 2 1 2 k n a a- Û -M M 1 2 2 2 4 2 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1) k k a a a a a - - = - + + + 1 2 1 i a - + 2014 1 2 ( 1) 3 2014 n a k- Û - + ³M 2012 2n